1、山东省滨州市滨城区山东省滨州市滨城区 2020-2021 学年七年级下期末数学试题学年七年级下期末数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分 1. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解本班同学早餐是否有喝牛奶的习惯 B. 了解外地游客对泰山的印象 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解我国初中学生的视力情况 2. 如图所示，在下列四组条件中，能判断/AB CD的是（ ） A 12 B. 180BADABC C. 34 D. ABDBDC 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 64 的立方根是4 B. 24
2、的算术平方根是 4 C. 0 的立方根是 0 D. 25的平方根是5 4. 下列结论： 两个无理数的和一定是无理数 两个无理数的积一定是无理数 任何一个无理数都能用数轴上的点表示 实数与数轴上的点一一对应， 其中正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在 54的方格纸中，每个小正方形边长为 1，点 O，A，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点 C，使ABC的面积为 3，则这样的点 C共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 将一块含 30 角的直角三角板ABC（90C，30B ）和一把直尺按如图所示的位置放置，若43CED，则BAF的度数为（
3、 ） A. 47 B. 43 C. 17 D. 13 7. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若ab，且0c ，则acbc B. 若ab，则11ab C. 若22acbc，则ab D. 若ab，则22acbc 8. 若方程组32232732xykxyk解满足 x+y2021，则 k等于（ ） A 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 9. 如果关于 x的不等式（a1）xa1的解集为 x1，那么 a的取值范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a1 D. a0 10. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，
4、金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9枚（每枚黄金重量相同） ，乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同） ，称重两袋相等两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13两（袋子重量忽略不计） 问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意得（ ） A. 11910813xyyxxy（） （） B. 10891311yxxyxy C. 91181013xyxyyx（） （） D. 91110813xyyxxy（） （） 11. 两位同学在解方程组时，甲同学由24axbycxy 正确地解出32xy ，乙同学因把c写错了解得22xy ，则a b c
5、的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 7 12. 某校数学课外小组， 在坐标纸上为学校一块空地设计植树方案如下： 第k棵树种植在点,kkkP x y处，其中11x ，11y ， 当2k 时，11121 5551255kkkkkkxxkkyy ， a表示非负实数a的整数部分，例如2.82，0.30按此方案，第 2021 棵树种植点的坐标为（ ） A. 1,405 B. 2,403 C. 2,405 D. 1,403 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13. 如图，计划把河中的水引到水池 M中，可以先过 M点作 MCAB，
6、垂足为 C，然后沿 MC开渠，则能使所开的渠最短，这种设计方案的根据是_ 14. 已知(m2)x|m|13y0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m_ 15. 已知8240ab， 则, a b向上平移3个单位长度， 再向右平移7个单位长度后的坐标是_ 16. 在2，3，4，1.010010001，227，38这 6个实数中，无理数有_个 17. 若关于 x的不等式组0721xmx的整数解共有 4个，则 m的取值范围是_ 18. 若方程组1122a xyca xyc的解是23xy，则方程组111222a xyaca xyac的解是 x_，y_ 三、简答题（三、简答题（60 分）分） 19. （
7、1）220213122723； （2）解方程3228xyxxyx； （3）2164x； （4）解不等式组241342163xxxx，并利用数轴确定不等式组的解集 20. 如图，在直角坐标系xOy中，1,0A ，3,0B，将A、B同时分别向上平移 2个单位，再向右平移 1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC （1）直接写出点C，D的坐标：C_，D_； （2）四边形ABCD的面积为_； （3）点P为线段BC上一动点（不含端点） ，连接PD，PO求证：CDPBOPOPD 21. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记 m 分（60m100） ，组委会从 1000 篇征文中
8、随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 60m70 38 0.38 70m80 a 0.32 80m90 b c 90m100 10 0.1 合计 1 请根据以上信息，解决下列问题： （1）征文比赛成绩频数分布表中 c的值是_； （2）补全征文比赛成绩频数分布直方图； （3）若 80 分以上（含 80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数 22. 已知， 如图，ABCADC，BF、DE分别平分ABC与ADC， 且13 求证：/AB DC 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到
9、智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的北上 （徐则臣著）和牵风记 （徐怀中著）两种书共 50本已知购买 2本北上和 1本牵风记需 100 元；购买 6 本北上与购买 7本牵风记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，,4Aab，,B a b，且3a bbxy为关于x、y的二元一次方程 （1）求A、B两点的坐标； （2）如图，在y轴上是否存在一点M，使2ABMAOBSS
10、，若存在，求M点的坐标；若不存在，说明理由 山东省滨州市滨城区山东省滨州市滨城区 2020-2021 学年七年级下期末数学试题学年七年级下期末数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分 1. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解本班同学早餐是否有喝牛奶的习惯 B. 了解外地游客对泰山的印象 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解我国初中学生的视力情况 【1 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行逐一判断即可
11、 【详解】解：A了解本班同学早餐是否有喝牛奶的习惯，适合全面调查，故选项 A 符合题意； B了解外地游客对泰山的印象，适合抽样调查，故选项 B不符合题意； C了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项 C 不符合题意； D了解我国初中学生的视力情况，适合抽样调查，故选项 D不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 2. 如图所示，在下列四组条件中，能判断/AB CD是（ ）
12、A. 12 B. 180BADABC C. 34 D. ABDBDC 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可 【详解】解：A、12， AD/BC（内错角相等，两直线平行） ，故此选项不符合题意； B、BADABC180， AD/BC（同旁内角互补，两直线平行） ，故此选项不符合题意； C、34， AD/BC（内错角相等，两直线平行） ，故此选项不符合题意； D、ABDBDC， AB/CD（内错角相等，两直线平行） ，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题关键 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 64
13、 的立方根是4 B. 24的算术平方根是 4 C. 0的立方根是 0 D. 25的平方根是5 【3 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根及平方根的概念，分别进行判断即可 【详解】解：A、64的立方根是4，故 A 错误； B、2146，24的算术平方根是 4，正确； C、0 的立方根是 0，正确； D、255，25的平方根是5，正确； 故选：A 【点睛】本题考查了立方根的定义，平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行判断 4. 下列结论： 两个无理数的和一定是无理数 两个无理数的积一定是无理数 任何一个无理数都能用数轴上的点表示 实数与数轴上的点一一对应， 其中正确的是（ ） A.
14、B. C. D. 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例即可判断，根据任何有理数都能用数轴上的点表示出来即可判断；实数和数轴上的点能建立一一对应关系，即可判断 【详解】如 +（）=0，0是有理数，不是无理数，错误； 22=2，是有理数，不是无理数，错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示正确，正确； 实数与数轴上的点一一对应，正确； 故选 C 【点睛】本题考查了实数与数轴和实数的运算的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力 5. 如图，在 54的方格纸中，每个小正方形边长为 1，点 O，A，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点 C，使ABC的面积为 3，则这
15、样的点 C共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【5 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据点 A、B 的坐标判断出 ABx轴，然后根据三角形的面积求出点 C 到 AB的距离，再判断出点 C 的位置即可 【详解】解：由图可知，ABx 轴，且 AB3， 设点 C到 AB 的距离为 h， 则ABC的面积123h3， 解得 h2， 点 C在第四象限， 点 C的位置如图所示，共有 3 个 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积，确定 C 所在的直线是关键 6. 将一块含 30 角的直角三角板ABC（90C，30B ）和一把直尺按如图所示的位置放置，若43CED，则BAF的
16、度数为（ ） A. 47 B. 43 C. 17 D. 13 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角板的角度解答即可 【详解】解：DEAF， CED=EAF=43 ， BAC=90- -30 =60 ， BAF=BAC- -EAF=60- -43 =17 ， 故选：C 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答 7. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若ab，且0c ，则acbc B. 若ab，则11ab C. 若22acbc，则ab D. 若ab，则22acbc 【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，分别
17、进行判断，即可得到答案 【详解】解：A、若ab，且0c ，则acbc，故 A错误； B、若ab，则11ab ，故 B 错误； C、若22acbc，则ab，正确； D、若ab，且20c ，则22acbc，故 D错误； 故选：C 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质进行判断 8. 若方程组32232732xykxyk的解满足 x+y2021，则 k等于（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】以 k为已知数解方程组，将方程组的解代入方程 x+y=2021，即可求得 k的值 【详解】解：322
18、32732xykxyk 2-3 得： -25y=-5k y=15k 将 y=15k 代入得： 415xk 15415xkyk 将15415xkyk代入 x+y=2021 中得： 141202155kk k=2022 故选：D 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和二元一次方程组的解法正确求得二元一次方程组的解是解题的关键 9. 如果关于 x的不等式（a1）xa1的解集为 x1，那么 a的取值范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a1 D. a0 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a1） ，且 a10，根据不等式的解集
19、为 x1 发现，不等号的方向发生了改变，由此可知 a1小于 0，进而可以推出 a 的取值范围 【详解】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a1）且 a1，不等号右边变为 1， 不等号的方向发生了改变， a10，解得 a1， 故选 C. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，能够熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键 10. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9枚（每枚黄金重量相同） ，乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同） ，称重两袋相等两袋互相交换 1 枚
20、后，甲袋比乙袋轻了 13两（袋子重量忽略不计） 问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意得（ ） A 11910813xyyxxy（） （） B. 10891311yxxyxy C. 91181013xyxyyx（） （） D. 91110813xyyxxy（） （） 【10 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：9枚黄金的重量=11 枚白银的重量；（10 枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可 【详解】解：枚黄金重 x两，每枚白银重 y两 由题意得：91110813xyy
21、xxy（） （） 故选 D 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系 11. 两位同学在解方程组时，甲同学由24axbycxy 正确地解出32xy ，乙同学因把c写错了解得22xy ，则a b c 的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 7 【11 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出 a，b，c 的值，即可求出所求 【详解】解：把32xy 代入方程组24axbycxy 得：322324abc ， 把22xy 代入 ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=
22、1， 联立得：3221abab ， 解得：45ab ， 由 3c+2=-4，得到 c=-2， 则 a+b+c=4+5-2=7 故选：D 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法 12. 某校数学课外小组， 在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下： 第k棵树种植在点,kkkP x y处，其中11x ，11y ， 当2k 时，11121 5551255kkkkkkxxkkyy ， a表示非负实数a的整数部分，例如2.82，0.30按此方案，第 2021 棵树种植点的坐标为（ ） A. 1,405 B. 2,403 C. 2,405 D. 1,4
23、03 【12 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 根据所给的 xk、yk的关系式找到种植点的横坐标和纵坐标的变化规律， 然后将 2021 代入求解即可 【详解】解：由题意可知， 11x ， 21101 5555xx ， 32211 5555xx ， 43321 5555xx ， 1121 555kkkkxx ， 将以上等式相加，得：155kkxk， 当 k=2021 时，202120202021 52021 5 40415x ； 11y ， 211055yy ， 322155yy ， 433255yy ， 11255kkkkyy， 将以上等式相加，得：11+5kky， 当 k=2021
24、时，202120201+4055y， 第 2021 棵树种植点的坐标为1,405， 故选：A 【点睛】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，找出点的横坐标和纵坐标的变化规律是解答的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13. 如图，计划把河中的水引到水池 M中，可以先过 M点作 MCAB，垂足为 C，然后沿 MC开渠，则能使所开的渠最短，这种设计方案的根据是_ 【13 题答案】 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段性质：垂线段最短，进行判断即可 【详解】解：从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， 过 M
25、点作 MCAB于点 C，则 MC最短， 这样做的依据是垂线段最短 故答案为：垂线段最短 【点睛】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，掌握基本性质是解题关键 14. 已知(m2)x|m|13y0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m_ 【14 题答案】 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可. 【详解】解：依题意可知|m|-1=1 且 m-20， |m|=2，且 m2， m=-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为 1的整式方程叫二元一次方程. 15. 已知8240ab，
26、 则, a b向上平移3个单位长度， 再向右平移7个单位长度后的坐标是_ 【15 题答案】 【答案】 （15，21） 【解析】 【分析】根据非负性求得 a、b值，再根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”解答即可 【详解】解：8240ab， a8=0，b+24=0， a=8，b=24， （8，24）向上平移 3个单位长度，再向右平移 7 个单位长度后的坐标是（15，21） ， 故答案为： （15，21） 【点睛】本题考查绝对值的非负性、算术平方根的非负性、坐标与图形变化-平移，熟练掌握点的坐标平移变化规律是解答的关键 16. 在2，3，4，1.010010001，227，38这 6个实数中，
27、无理数有_个 【16 题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，据此判断即可 【详解】解：4=2，38=2， 2，3，1.010010001是无理数，共 3个， 故答案为：3 【点睛】本题考查无理数概念，解答的关键是理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 17. 若关于 x的不等式组0721xmx的整数解共有 4个，则 m的取值范围是_ 【17 题答案】 【答案】6m7 【解析】 【详解】由 x-m0，7-2x1 得到 3xm，则 4 个整数解就是 3，4，5，6， 所以 m的取
28、值范围为 6m7， 故答案为 6m7. 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意， 列出关于 m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍 18. 若方程组1122a xyca xyc的解是23xy，则方程组111222a xyaca xyac的解是 x_，y_ 【18 题答案】 【答案】 . -1 . -3 【解析】 【分析】把23xy代入方程组1122a xyca xyc可求出 c1c22（a1a2） ，c12a13，再根据方程组111222a xyaca xyac，即可求出 x、y 的值 【详解】解：把23xy代入方程组1122a xyca xyc得， 1122
29、2323acac， 所以 c1c22（a1a2） ，c12a13， 方程组111222a xyaca xyac，得， （a1a2）xa1a2（c1c2） ， 所以（a1a2）x（a1a2） ， 因此 x1， 把 x1代入方程组111222a xyaca xyac中的方程得， a1+ya1c1， 所以 y2a1c1 （c12a1）3， 故答案为：1，3 【点睛】本题考查二元一次方程组及其解法，掌握方程组的解法是解决问题的关键，解二元一次方程组的基本思想是消元 三、简答题（三、简答题（60 分）分） 19. （1）220213122723； （2）解方程3228xyxxyx； （3）2164x；
30、（4）解不等式组241342163xxxx，并利用数轴确定不等式组的解集 【19 题答案】 【答案】 （1）3； （2）24xy； （3）x=7或 x=9； （4）2x3，数轴表示见解析 【解析】 【分析】 （1）分别进行有理数的乘方运算、算术平方根运算、立方根运算、绝对值运算计算即可； （2）先变形原方程组，再利用代入消元法求解二元一次方程组即可； （3）根据求一个数的平方根的方法求解即可； （4）先解出每个一元一次不等式的解集，再求其公共部分即为方程组的解集，然后将解集表示在数轴上即可 【详解】解： （1）220213122723 =1+23+23 =3； （2）原方程组变形为：24yxy
31、 将 y=4代入中得：2x=4， 解得：x=2， 原方程组的解为24xy； （3）（8）2=64， x+1= 8， 解得：x=7或 x=9， 原方程的解为 x=7或 x=9； （4）不等式组241342163xxxx， 解得：x3， 解得：x2， 原不等式组的解集为2x3， 将解集表示在数轴上如图： 【点睛】本题考查实数的混合运算、解二元一次方程组、求一个数的平方根、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的运算法则和解法步骤是解答的关键 20. 如图，在直角坐标系xOy中，1,0A ，3,0B，将A、B同时分别向上平移 2个单位，再向右平移 1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC （
32、1）直接写出点C，D的坐标：C_，D_； （2）四边形ABCD的面积为_； （3）点P为线段BC上一动点（不含端点） ，连接PD，PO求证：CDPBOPOPD 【20 题答案】 【答案】 （1） （4，2） ， （0，2） ； （2）8； （3）见详解 【解析】 【分析】 （1）根据 C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标； （2）先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再求出其面积即可； （3）过点 P作 PQAB，故可得出 CDPQ，ABPQ，由平形线的性质即可得出结论 【详解】解： （1）由图可知，C（4，2） ，D（0，2） 故答案为： （4，2） ， （0，2） ； （2）S=1
33、13 21 21 2822 故答案为：8； （3）证明：如图，过点 P作 PQAB， CDAB， CDPQ，ABPQ， CDP=1，BOP=2， CDP+BOP=1+2=OPD 【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键 21. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记 m 分（60m100） ，组委会从 1000 篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 60m70 38 0.38 70m80 a 0.32 80m90 b c 90m100 10 0.1 合计 1 请
34、根据以上信息，解决下列问题： （1）征文比赛成绩频数分布表中 c的值是_； （2）补全征文比赛成绩频数分布直方图； （3）若 80 分以上（含 80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数 【21 题答案】 【答案】 （1）0.2； （2）画图见解析； （3）300 【解析】 【分析】 （1）根据频率的和为 1，求出 c 的值；（2）先用分数段是 90 到 100的频数和频率求出总的样本数量，然后再乘以频率分别求出 a 和 b的值，再画出频数分布直方图；（3）用全市征文的总篇数乘以 80分以上的频率得到全市 80分以上的征文的篇数 【详解】解：（1）10.380.320.1=0
35、.2， 故答案为 0.2； （2）10 0.1=100， 100 0.32=32，100 0.2=20， 补全征文比赛成绩频数分布直方图： （3）全市获得一等奖征文的篇数为：1000 （0.2+0.1）=300（篇） 【点睛】掌握有关频率和频数的相关概念和计算，正确根据频数分布表和频数分布直方图中的数据信息解决问题是解题的关键 22. 已知， 如图，ABCADC，BF、DE分别平分ABC与ADC， 且13 求证：/AB DC 【22 题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】由角平分线的定义，角度的等量关系，得到23，即可得到结论成立 【详解】证明：BF，DE分别平分ABC与ADC 2 1A
36、BC ，2 2ADC ABCADC 12 13 23 /AB CD 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的北上 （徐则臣著）和牵风记 （徐怀中著）两种书共 50本已知购买 2本北上和 1本牵风记需 100 元；购买 6 本北上与购买 7本牵风记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用
37、最低？最低费用为多少元？ 【23 题答案】 【答案】 （1）两种书的单价分别为 35 元和 30 元； （2）共有 4 种购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为 17本和 33本，购买北上和牵风记的数量分别为 18本和 32 本，购买北上和牵风记的数量分别为 19 本和 31 本，购买北上和牵风记的数量分别为 20 本和 30 本；其中购买北上和牵风记的数量分别为 17 本和 33 本费用最低，最低费用为 1585 元 【解析】 【分析】 （1）设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y，根据“购买 2 本北上和 1 本牵风记需 100 元”和“ 购买 2 本北上和 1 本牵风记需 100
38、元”建立方程组求解即可； （2）设购买北上的数量 n本，则购买牵风记的数量为 50-n，根据“购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半”和“购买两种书的总价不超过 1600 元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可 【详解】解： （1）设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y 由题意得：210067xyxy 解得3530 xy 答：两种书的单价分别为 35 元和 30元； （2）设购买北上的数量 n本，则购买牵风记的数量为 50-n 根据题意得15023530 501600nnnn解得：216203n 则 n可以取 17、18、19、20， 当 n=17时，50-n=33，共花费 173
39、5+3330=1585元； 当 n=18时，50-n=32，共花费 1735+3330=1590元； 当 n=19时，50-n=31，共花费 1735+3330=1595元； 当 n=20时，50-n=30，共花费 1735+3330=1600元； 所以，共有 4 种购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为 17 本和 33 本，购买北上和牵风记的数量分别为 18 本和 32本，购买北上和牵风记的数量分别为 19本和 31本，购买北上和牵风记的数量分别为 20 本和 30 本；其中购买北上和牵风记的数量分别为 17本和 33本费用最低，最低费用为 1585元 【点睛】本题考查了二元一次方程
40、组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键 24. 在平面直角坐标系中，,4Aab，,B a b，且3a bbxy为关于x、y的二元一次方程 （1）求A、B两点的坐标； （2）如图，在y轴上是否存在一点M，使2ABMAOBSS，若存在，求M点的坐标；若不存在，说明理由 【24 题答案】 【答案】 （1）A（2，4） ，B（2，1） ； （2）存在，点 M坐标为（0，7.5）或（0，2.5） 【解析】 【分析】 （1）二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，据此列出 a、b的方程组，解方程组求出 a、b值即可解答； （2）根据坐标与图形性
41、质求出AOBS，分点 M在 AB上方和下方两种情况，利用三角形的面积公式求解即可 【详解】解： （1）3a bbxy为关于x、y的二元一次方程， 11abb，解得：21ab， A（2，4） ，B（2，1） ； （2）存在， 如图，过 A作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D，连接 AB交 y轴于 E， 由题意，AC=4，BD=1，CD=4， 111=S(14) 42 42 15222AOBACOBDOACDBSSS 梯形， 又11=S22222AOBAOEBOESSOEOEOE ， OE=2 5， 2ABMAOBSS， =120ABMAOBSS，又112+2=222ABMMEMMESE， ME=5， 当点 M 在 AB 上方时，如图 1，OM=OE+ME=2.5+5=7.5，M（0，7.5） ； 当点 M 在 AB 下方时，如图 2，OM=MEOE=52.5=2.5，M（0，2.5） ， 综上，满足条件的点 M坐标为（0，7.5）或（0，2.5） 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义、解二元一次方程组、坐标与图形、三角形的面积公式、梯形的面积公式，解答的关键是，理解二元一次方程组的定义，会利用数形结合与分类讨论思想解决问题