1、2021 年山东省淄博市周村区七年级下年山东省淄博市周村区七年级下期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 方程组13xyxy的解为（ ） A. x4，y1 B. x3，y2 C. x2，y1 D. x2，y1 2. 把不等式 x 1 解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知ab，下列不等式变形不正确的是（ ） A. 22ab B. 33ab C 2121ab D. 22ab 4. 一个不透明的盒子中装有 3个红球，2 个黄球和 1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一
2、个小球，恰好是红球的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 5. 如图，l1l2，点 O 在直线 l1上，将三角板的直角顶点放在点 O 处，三角板的两条直角边与 l2交于 A，B两点，若135，则2 的度数为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. 20 或 100 B. 120 C. 20 或 120 D. 36 7. 如图，在ABC中，ABC=50 ，BAC=20 ，D为线段 AB垂直平分线与直线 BC的交点，连结 AD，则CAD=（ ） A. 40 B. 30
3、 C. 20 D. 10 8. 如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与ABC全等的三角形是（ ） A. AEG B. ADF C. CEG D. FDG 9. 关于 x的方程 x2m1 的解为负数，则 m的取值范围是（ ） A. m12 B. m12 C. m12 D. m12 10. 实数a在数轴上的对应位置如图所示 若实数b满足0ab ，则b的值可以是（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 11. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A、B 是两格点，如果 C也是图中的格点，且使得 ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4、 12. 定义运算x表示求不超过 x 的最大整数 如0.30， 1.51， 1.62， 2.23 若1.52x36，则 x 的取值范围是（ ） A. 4.5x5 B. 3x3.5 C. 3x3.5 D. 4.5x5 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题 4分，共分，共 24 分）分） 13. 如图，如图，直线 AB，CD 被直线 EF所截，ABCD，1=110 ，则2=_ 14. 若21xy 是方程27xay的一个解，则a的值_ 15. 用一组 a， b 的值说明命题“若 a2b2， 则 ab”是假命题， 若 a3， 则 b 的值可以
5、是_（写出符合要求的一个即可） 16. 如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，20CAD，则ACE的度数是_ 17. 如图， RtABC 中， C90， AD 平分BAC， 交 BC 于点 D， 且 DADB 若 CD3， 则 BC_ 18. 如图，在正方形网格中，点 A，B，C，D均为格点，则CBD+ABC_ 三、解答题，解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共三、解答题，解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共 78 分）分） 19. 如图，ABAD，BACDAC，D70 ，求B 的度数 20. 如图，点 G在 CA的延长线上，AFAG，ADCGEC求证：AD平分BAC 21
6、. 解方程组： （1）25342xyxy； （2）233327xyxy 22. 解不等式（组） （1）23x2（x4） ； （2）2362513xxxx 23. 如图，在ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AEBC （1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求ABC 的周长 24. 列方程（组）或不等式解决问题 每年的 4月 23 日是世界读书日某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入 A，B 两种规格的书柜用于放置图书经市场调查发现，若购买 A 种书柜
7、3 个、B种书柜 2个，共需资金 1020 元；若购买 A 种书柜 5 个、B种书柜 3个，共需资金 1620 元 （1）A、B两种规格书柜的单价分别是多少？ （2）若该校计划购买这两种规格的书柜共 20 个，学校至多有 4350 元的资金，问 B 种书柜最多可以买多少个？ 25. 如图， 点 C 是线段 AB上除点 A、 B外的任意一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接 AE交 DC于 M，连接 BD 交 CE 于 N，连接 MN （1）求证：AEBD； （2）请判断CMN形状，并说明理由 26. 在ABC中，ABAC，在ABC 的外部作等边三角形
8、ACDE为 AC的中点，连接 DE 并延长交BC 于点 F，连接 BD （1）如图 1，若BAC100 ，求BDF的度数； （2）如图 2，ACB的平分线交 AB于点 M，交 EF于点 N，连接 BN 补全图 2； 若 BNDN，求证：MBMN 2021 年山东省淄博市周村区七年级下年山东省淄博市周村区七年级下期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 方程组13xyxy的解为（ ） A. x4，y1 B. x3，y2 C. x2，y1 D. x2，y1 【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】方程组利用
9、加减消元法求出解即可 【详解】解：13xyxy， +得：2x4， 解得：x2， 得：2y2， 解得：y1， 则方程组的解为21xy 故选：C 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用 2. 把不等式 x 1 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解在数轴上的表示方法即可得 【详解】不等式1x的解集为1x 则不等式的解集表示在数轴上的起点是实心圆点，且向左画 观察四个选项可知，只有选项 A符合 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的解在数轴上的表示方法，掌握不等式解集在数轴上的表示方法
10、是解题关键 3. 已知ab，下列不等式变形不正确的是（ ） A. 22ab B. 33ab C. 2121ab D. 22ab 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断 【详解】A. 由ab知22ab ，此选项变形正确； B. 由ab知33ab，此选项变形正确； C. 由ab知2121ab ，此选项变形正确； D. 由ab知ab，则22ab，此选项变形错误； 故选 D. 【点睛】此题考查不等式的
11、性质，解题关键在于掌握其性质定义. 4. 一个不透明的盒子中装有 3个红球，2 个黄球和 1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 【4 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的计算公式计算即可 【详解】解：盒子中装有 3个红球，2 个黄球和 1个绿球共 6 个球， 从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是3162， 故选：A 【点睛】此题考查概率的计算公式，熟记公式是解题的关键 5. 如图，l1l2，点 O 在直线 l1上，将三角板的直角顶点放在点 O 处，三角板的两条直角边与 l2交于 A
12、，B两点，若135，则2 的度数为（ ） A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 【5 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先求出OBA，然后根据对顶角相等即可得出2 【详解】l1l2， 1+BOA+OBA=180 ， 1=35 ，BOA=90 ， OBA=55 ， 2=OBA=55 ， 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，求出OBA 是解题关键 6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. 20 或 100 B. 120 C. 20 或 120 D. 36 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角
13、形的性质因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解 【详解】解：设两内角的度数为 x、4x； 当等腰三角形的顶角为 x时，x+4x+4x180 ，x20 ； 当等腰三角形的顶角为 4x时，4x+x+x180 ，x30，4x120； 因此等腰三角形的顶角度数为 20 或 120 故选：C 【点睛】此题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质 7. 如图，在ABC中，ABC=50 ，BAC=20 ，D为线段 AB的垂直平分线与直线 BC 的交点，连结 AD，则CAD=（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【7 题答案】 【答案】B 【解析】
14、 【分析】 由 D为线段 AB的垂直平分线与直线 BC 的交点可得 AD=BD,可得ABC=BAD=50 ,可得CAD 的度数. 【详解】解：由题意得：D 为线段 AB的垂直平分线与直线 BC的交点， AD=BD, ABC=BAD=50 , BAC=20 , CAD=BAD-BAC=30 , 故选 B. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键 8. 如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与ABC全等的三角形是（ ） A. AEG B. ADF C. CEG D. FDG 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理分别计算出所有三角形的边长
15、，然后根据“SSS”对各选项进行判断 【详解】解： 在ABC中，BC22112，AC22125，AB3， 在AEG中，EG22112，AG2，AE221310， 在ADF中，AD22112，DF3，AF221417， 在CEG 中，EG22112，CGCE22125， 在FDG中，DG22112，FG22125，DF3， 所以 BCDG，ACFG，ABDF， 所以ABCFDG（SSS） 故选 D 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质。 9. 关于 x的方程 x2m1 的解为负数，则 m的取值范围是（ ） A. m1
16、2 B. m12 C. m12 D. m12 【9 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先解方程求得 x2m+1，再根据方程的解为负数得出 2m+10，解之可得答案 【详解】解：x2m1， x2m+1， 方程的解为负数， 2m+10， 解得 m12， 故选：A 【点睛】此题考查了不等式的求解方法，求出方程的解并正确解不等式是解题的关键 10. 实数a在数轴上的对应位置如图所示 若实数b满足0ab ，则b的值可以是（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【10 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴得到12a，确定21a ，再根据0ab ，得到最小的整数 b的值 【详解】解
17、：由数轴可知：12a， 21a ， 0ab ， 最小的整数 b 的值为 2， 故选：D 【点睛】此题考查数轴上的点与实数的对应关系，实数的大小比较，相反数的定义 11. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A、B 是两格点，如果 C也是图中的格点，且使得 ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【11 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】当 AB为腰时，分别以点 A、点 B为圆心，AB 长为半径画圆，观察此时满足条件的格点数；当 AB为底边时，作线段 AB 的垂直平分线，观察此时满足条件的格点数，由此得到答案 【详解】解：如下图
18、： 当 AB为腰时，分别以点 A、点 B为圆心，AB 长为半径画圆，观察可知满足条件的格点共 4个；当 AB为底边时，作线段 AB 的垂直平分线，观察可知满足条件的格点共 4 个，所以 C是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形的点数共 8个 故选：C 【点睛】 本题考查格点图中寻找可与已知两点构成等腰三角形的点， 熟练掌握分类讨论思想是解题的关键 12. 定义运算x表示求不超过 x最大整数 如0.30， 1.51， 1.62， 2.23 若1.52x36，则 x 的取值范围是（ ） A. 4.5x5 B. 3x3.5 C. 3x3.5 D. 4.5x5 【12 题答案】 【答案】B 【解析】
19、【分析】根据题意得出22x36，即2x33，据此可得 32x34，解之即可 【详解】解：根据题意，得：22x36， 2x33， 则 32x34， 解得 3x3.5， 故选：B 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式组进行求解 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题 4分，共分，共 24 分）分） 13. 如图，如图，直线 AB，CD 被直线 EF所截，ABCD，1=110 ，则2=_ 【13 题答案】 【答案】70 【解析】 【详解】解： 如图，ABCD，1=110 ， 1+3=180 ，即 110 +3=18
20、0 ， 3=70 ， 2=3=70 . 14. 若21xy 是方程27xay的一个解，则a的值_ 【14 题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值 【详解】把21xy 代入方程得2 217a ， 解得：3a ， 故答案为：3 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 15. 用一组 a， b 的值说明命题“若 a2b2， 则 ab”是假命题， 若 a3， 则 b 的值可以是_（写出符合要求的一个即可） 【15 题答案】 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】当 a3，b0 时，根据有理数的乘方法则得到 a2b2
21、，根据有理数的大小比较法则得到 ab，根据假命题的概念解答即可 【详解】解：当 a3，b0时，a29，b20， 此时 a2b2，而 ab， 命题“若 a2b2，则 ab”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、有理数的乘方，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 16. 如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，20CAD，则ACE的度数是_ 【16 题答案】 【答案】35 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得出 ADBC，最后根据角平分线的定义进行求解 【详解】
22、AD是ABC的中线，ABAC，20CAD， ADBC， 70ACB， CE是ABC的角平分线， 1352ACEACB， 故答案为：35 【点睛】本题考查等腰三角形的“三线合一”，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 17. 如图， 在 RtABC 中， C90， AD 平分BAC， 交 BC 于点 D， 且 DADB 若 CD3， 则 BC_ 【17 题答案】 【答案】9 【解析】 【分析】AD 平分BAC，交 BC 于点 D，且 DA=DB, 可得B=BAD=CAD=30o，可得 AD 与 BD 的长，可得答案.
23、 【详解】解：由题意得：AD 平分BAC，交 BC于点 D，且 DA=DB B=BAD=CAD，且B+BAD+CAD=90o B=BAD=CAD=30o， 在 RTACD中，CAD=30o，CD=3，AD=6, BD=AD=6, BC=BD+CD=6+3=9. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，及直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半. 18. 如图，在正方形网格中，点 A，B，C，D均为格点，则CBD+ABC_ 【18 题答案】 【答案】45 【解析】 【分析】 取格点 E， 连接 BE、 AE 利用勾股定理得到 BEBD， 根据等腰三角形的性质得出CBECBD 由勾股定理的逆定
24、理以及 ABAE 证明ABE 是等腰直角三角形，进而求出CBD+ABC45 【详解】解：如图，取格点 E，连接 BE、AE 由勾股定理得，BE212+5226，BD212+5226， BEBD， BCED， CBECBD AB222+3213，AE222+3213， AB2+AE2BE2，ABAE， ABE是等腰直角三角形， ABECBE+ABC45 ， CBD+ABC45 故答案为：45 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键 三、解答题，解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共三、解答题，解答要写出必要的文字说明或演算步骤（共 78 分）分） 19.
25、如图，ABAD，BACDAC，D70 ，求B 的度数 【19 题答案】 【答案】70 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出ABCADC（SAS） ，进而利用全等三角形的性质得出答案 【详解】证明：在ABC与ADC中， ABADBACDACACAC ABCADC（SAS） ， BD， D70 ， B70 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键 20. 如图，点 G在 CA的延长线上，AFAG，ADCGEC求证：AD平分BAC 【20 题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】由AFAG可得GAFG ，由ADCGEC 可得 ADGE
26、，即得GCAD，AFGBAD，从而可以证得结论 【详解】证明：AFAG GAFG 又ADCGEC ADGE GCAD，AFGBAD CADBAD AD平分BAC 【点睛】平行线的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握 21. 解方程组： （1）25342xyxy； （2）233327xyxy 【21 题答案】 【答案】 （1）21xy； （2）31xy 【解析】 【分析】 （1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可 （2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可 【详解】解： （1）25342xyxy， 由可得：y52x，
27、代入，可得：3x4（52x）2， 解得 x2， 把 x2 代入，解得 y1， 原方程组的解是=21xy （2）233327xyxy 2 3，可得5x15， 解得 x3， 把 x3 代入，解得 y1， 原方程组的解是=31xy 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键在于能够熟练掌握加减消元法和代入消元法. 22. 解不等式（组） （1）23x2（x4） ； （2）2362513xxxx 【22 题答案】 【答案】 （1）x2； （2）x3 【解析】 【分析】 （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口
28、诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】解： （1）去括号，得：23x2x8， 移项，得：3x2x82， 合并同类项，得：5x10， 系数化为 1，得：x2； 不等式的解集为：x2； （2）2362513xxxx 解不等式得：x3， 解不等式得：x8， 则不等式组的解集为：x3 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法. 23. 如图，在ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AEBC （
29、1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求ABC 的周长 【23 题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）32 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先依据平行线的性质证明B=DAE，C=CAE，然后结合角平分线的定义可证明B=C，故此可证明 ABC 为等腰三角形； （2）首先证明 AEFCFG，从而得到 CG的长，然后可求得 BC 的长，于是可求得 ABC的周长 试题解析：证明： （1）AEBC，B=DAE，C=CAE AE 平分DAC，DAE=CAE，B=C，ABC是等腰三角形 （2）F 是 AC 的中点，AF=CF 在 AFE和 CFG 中，C=
30、CAE，AF=FC，AFE=GFC，AEFCFG，AE=GC=8 GC=2BG，BG=4，BC=12，ABC周长=AB+AC+BC=10+10+12=32 点睛： 本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定， 熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键 24. 列方程（组）或不等式解决问题 每年的 4月 23 日是世界读书日某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入 A，B 两种规格的书柜用于放置图书经市场调查发现，若购买 A 种书柜 3 个、B种书柜 2个，共需资金 1020 元；若购买 A 种书柜 5 个、B种书柜 3个，共需资金 1620 元 （1）A、B两种规格书柜的单价分别是多少？ （2
31、）若该校计划购买这两种规格的书柜共 20 个，学校至多有 4350 元的资金，问 B 种书柜最多可以买多少个？ 【24 题答案】 【答案】 （1）A 种书柜的单价熟练掌握 180元，B种书柜的单价是 240 元； （2）B 种书柜最多可以买 12 个 【解析】 【分析】 （1）设 A 种书柜的单价是 x元，B种书柜的单价是 y元，根据“购买 A种书柜 3个、B种书柜 2个，共需资金 1020 元；购买 A种书柜 5个、B种书柜 3个，共需资金 1620元”，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设 A 种书柜可以买 m个，则 B 种书柜可以买（20m）个，根据学校至多
32、有 4350元的资金，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m为整数即可求解 【详解】 （1）设 A 种书柜的单价是 x 元，B 种书柜的单价是 y 元，依题意得： 321020531620 xyxy， 解得180240 xy， 答：A 种书柜的单价熟练掌握 180元，B种书柜的单价是 240 元； （2）设 A 种书柜可以买 m个，则 B 种书柜可以买（20m）个，依题意得： 180m+240（20m）4350， 解得：m7.5， 则 20m12.5， m 为整数， B种书柜最多可以买 12个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的
33、应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 25. 如图， 点 C 是线段 AB上除点 A、 B外任意一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接 AE交 DC于 M，连接 BD 交 CE 于 N，连接 MN （1）求证：AEBD； （2）请判断CMN的形状，并说明理由 【25 题答案】 【答案】 （1）见解析（2）是等边三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质，结合条件可证明ACEDCB，则可证得 AEBD； （2） 利用 （1） 的结论， 结合等边三
34、角形的性质可证明ACMDCN， 可证得 MCNC， 则可判定CMN为等边三角形 详解】 （1）证明： ACD和BCE 是等边三角形， ACDC，CECB，DCA60，ECB60， DCAECB60， DCADCEECBDCE，ACEDCB， 在ACE与DCB 中， ACDCACEDCBCECB ACEDCB（SAS） ， AEBD； （2）解：CMN 为等边三角形，理由如下： 由（1）得，ACEDCB， CAMCDN， ACDECB60，而 A、C、B 三点共线， DCN60， 在ACM与DCN 中， MACNDCACDCACMDCN ACMDCN（ASA） ， MCNC， MCN60， MC
35、N为等边三角形 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键 26. 在ABC中，ABAC，在ABC 的外部作等边三角形ACDE为 AC的中点，连接 DE 并延长交BC 于点 F，连接 BD （1）如图 1，若BAC100 ，求BDF的度数； （2）如图 2，ACB的平分线交 AB于点 M，交 EF于点 N，连接 BN 补全图 2； 若 BNDN，求证：MBMN 【26 题答案】 【答案】 （1）20； （2）见解析；见解析 【解析】 【分析】(1)分别求
36、出ADF，ADB， 根据BDF=ADF-ADB 计算即可； (2)根据要求画出图形即可； 设ACM=BCM=a，由 AB=AC， 推出ABC=ACB=2a，可得NAC=NCA=a，DAN=60 +a，由 ABNADN (SSS) ，推出ABN=ADN=30 ，BAN=DAN=60 +a，BAC=60 +2a， 在 ABC 中，根据BAC+ACB+ABC=180 ，构建方程求出 a，再证明MNB=MBN 即可解决问题； 【详解】 （1）如图 在等边三角形 ACD 中，CAD=ADC= 60 ， AD= AC E 为 AC 的中点， ADE=12ADC = 30 ， AB= AC， AD= AB，
37、 BAD=BAC+ CAD= 160 ADB=ABD= 10 BDF=ADF-ADB= 20 . (2)补全图形，如图 2 所示， 证明:连接 AN. CM 平分ACB， 设ACM =BCM = a， AB= AC， ABC=ACB = 2a. 在等边三角形 ACD 中， E 为 AC 的中点， DNAC， NA= NC， NAC=NCA= a DAN=60 +a， 在 ABN 和 A DN 中， ABADBNDNANAN ABNADN (SSS)， ABN= ADN = 30 ， BAN =DAN= 60 + a， BAC=60 +2a， 在 ABC 中，BAC+ACB+ABC= 180 ， 60 +2a+2a+2a=180 . a= 20 NBC=ABC-ABN=10 MNB=NBC +NCB = 30 MNB= MBN MB=MN 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.