1、山东省青岛市崂山区山东省青岛市崂山区 2021 年七年级下期末数学试题年七年级下期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列银行标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为( ) A. 50.8 10米 B. 780 10米 C. 68 10米 D. 78 10米 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天我市下雨 B. 抛一枚硬币，正面朝下 C. 购买一张福利彩票中奖了 D. 掷一枚骰子，向上一面数字一定大于零 4. 下列计算正确的是（ ） A. a8 a2=a4 B. a3 a4=a7 C. （2a
2、2）3=6a6 D. （1 ? 2?）-2=14 5. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OAOD，OBOC，测得 ABa，EFb，圆形容器的壁厚是（ ） A. a B. b C. ba D. 12（ba） 6. 如图点 E在 BC的延长线上，则下列条件中，不能判定 ABCD 的是（ ） A. 12 B. BDCE C. 34 D. D+DAB180 7. 小华同学热爱体育锻炼，每周六上午从家跑步到离家较远的田园广场，在那里与同学们打一段时间的羽毛球后再漫步回家，下面能反映小华同学离家的距离 y与实间 x 之间的图像的是（ ） A. B. C. D.
3、8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：（2a+b） （m+n） ；2a（m+n）+b（m+n） ；m（2a+b）+n（2a+b） ；2am+2an+bm+bn你认为其中正确的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题二、填空题 9. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 2211322xyx yxyxy ，所捂多项式是_ 10. 小明有两根长度分别为 4cm和 9cm木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为_cm 11. 若2(3)(4),xaxbxxa则=_，b
4、=_ 12. 如图直线12/ll，ABCD，134 ，那么2的度数是_. 13. 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90 ，AE 是过点 A的一条直线，且点 B，C在 AE的两侧，BDAE于 D，CEAE于 E若 DE =3，CE=2 则 BD=_ 14. 如图 1，已知 AB=AC，D 为BAC角平分线上面一点，连接 BD，CD；如图 2，已知 AB=AC，D、E为BAC的角平分线上面两点，连接 BD，CD，BE，CE；如图 3，已知 AB=AC，D、E、F为BAC 的角平分线上面三点，连接 BD，CD，BE，CE，BF，CF；，依次规律，第 n 个图形中有全等三角形的对数是_ 三、作图
5、题三、作图题 15 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：四边形 ABCD求作：点 P，在直线 BC 上方，使PCB=B，且点 P到 AB和 BC的距离相等 四、解答题四、解答题 16. （1）计算： （12）-2-（-2）0+（-0.2）2020 （-5）2021； （2）用乘法公式计算：1232-124 122； （3）先化简，再求值： （3a + b）2-（3a+b） （3a-b）-2b2其中 a=13，b =2 17. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A,B,C 均在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC ； （2）求ABC
6、的面积； 18. 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16 份） ，并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 50 元、30 元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物某顾客购买了 125元的商品. （1）求该顾客转动转盘获得购物券的概率； （2）求该顾客分别获得 50 元、20 元的购物券的概率 19. 如图，直线 EF分别与 AB，CD 交于点 A，C，若 AB/CD，CB平分ACD，EAB=80，求B的度数 20. 如图所示，梯形上底的
7、长是 x，下底的长是 15，高是 8 （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是_； （2）当 x每增加 1 时，y如何变化?请进行说明； （3）当 x = 0 时，求 y 的值，此时 y 表示的是什么? 21. 如图，点 B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF试说明： （1）ABCDEF； （2）AEGC 22. 某中学初一年级学生和老师一起到一条笔直的跑道上锻练身体，学生到达起点后做了一会准备活动，老师先跑，当学生出发时，老师已经距起点 200 米了，他们距起点的距离 s（米）与学生出发的时间 t（秒）之间的关系如图所示（不完整） ，根据图中给出的信息，解答下
8、列问题： （1）在上述变化过程中，自变量是_，因变量是_； （2）前 420米老师和学生的速度分别为多少米/秒? （3）学生与老师相遇_次，最后一次相遇时距起点的距离为_米 23. 用几个小的长方形、 正方形拼成一个大的正方形， 然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积 （1）由图 1可得乘法公式_； （2）如图 2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()abc的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为_； （3）利用（2）中的结论解决以下问题： 已知13abc ，52ab bcac，求222abc的值
9、； （4）如图 3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若12m n，24mn ，求图 3中阴影部分的面积 24. 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营 A，B他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后，再巡查 B 营他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图 2，作 B关于直线 l的对称点 B，连结 AB与直线 l交于点 C，点 C就是所求的位置 证明：如图 3，在直线 l上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC， 直线 l是点
10、B，B对称轴，点 C，C在 l上， CB=_，CB=_， AC +CB=AC+CB=_ 在ACB， ABAC+CB， AC+CBAC+CB即 AC+CB最小 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”， 即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 （其中 C在 AB与 l的交点上， 即 A，C，B三点共线） 本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型 拓展应用：如图，等腰直角ABC中，ACB = 90 ，BD 平分ABC 交 AC 于 D，点 P 是 BD 上一个动点，点 M是 BC上
11、一个动点，请在图 5中画出 PC + PM的值最小时 P 的位置 （可用三角尺） 山东省青岛市崂山区山东省青岛市崂山区 2021 年七年级下期末数学试题年七年级下期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列银行标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析即可 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查的是轴对称图形在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分
12、能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴 2. 某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为( ) A. 50.8 10米 B. 780 10米 C. 68 10米 D. 78 10米 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中110a，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n 是正数；当原数的绝对值1时，n 是负数 【详解】解：将0.0000008用科学记数法表示为：78 10 故选：D 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式
13、为 a10n的形式，其中110a，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天我市下雨 B. 抛一枚硬币，正面朝下 C. 购买一张福利彩票中奖了 D. 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义进行判断 【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，由必然事件和随机事件的定义可知，选项 A，B，C为随机事件，选项 D 是必然事件， 故选 D 【点睛】本题考查必然事件和随机事件的定义 4. 下列计算正确的是（ ） A. a8 a2=a4 B. a3 a4
14、=a7 C. （2a2）3=6a6 D. （1 ? 2?）-2=14 【4 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可 【详解】解：Aa8 a2=a6，故本选项不合题意； Ba3 a4=a7，正确； C （2a2）3=8a6，故本选项不合题意； D， （12）-2=4，故本选项不合题意 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 5. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OAOD，OBOC
15、，测得 ABa，EFb，圆形容器的壁厚是（ ） A. a B. b C. ba D. 12（ba） 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】证明AOBDOC,根据全等三角形的性质，得到ABCDa,即可求出圆形容器的壁厚. 【详解】在AOB和DOC中， OAODAOBDOCOBOC ， AOBDOC， ABCDa, EFb 圆形容器的壁厚是1ba .2 故选:D. 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 6. 如图点 E在 BC的延长线上，则下列条件中，不能判定 ABCD 的是（ ） A. 12 B. BDCE C. 34 D. D+DAB180 【6
16、题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可 【详解】解：A、正确，符合“内错角相等，两条直线平行”的判定定理； B、正确，符合“同位角相等，两条直线平行”的判定定理； C、错误，若3=4，则 ADBE； D、正确，符合“同旁内角互补，两条直线平行”的判定定理； 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单 7. 小华同学热爱体育锻炼，每周六上午从家跑步到离家较远的田园广场，在那里与同学们打一段时间的羽毛球后再漫步回家，下面能反映小华同学离家的距离 y与实间 x 之间的图像的是（ ） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】D 【解析】
17、【分析】y表示离家的距离，因此开始时和结束时图像应和 x 轴相交，根据跑步和漫步的速度即可求解 【详解】由题意得，先出发，离家距离变远，而后打球时离家距离未变，最后回家时离家距离变近，所以图像应该分为三段，A、B 错误；出发时跑步前进，回家时漫步前进，因此第一段应该比第三段坡度更大，所以 C错误，D 正确 故选：D 【点睛】本题考察了函数图像的判断，应根据题干信息中离家的距离判断曲线的变化情况，仔细审题，不要漏掉信息是解决此类题的关键 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：（2a+b） （m+n） ；2a（m+n）+b（m+n） ；m（2a+b）+n（2a+b）
18、 ；2am+2an+bm+bn你认为其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同方法表示出长方形的面积，进而逐项分析即可 【详解】 根据长方形的面积可表示长为2ab， 宽为mn的长方形， 则面积为2abmn故正确； 将长方形表示成2个宽为a， 长为mn， 1个长为b， 宽为mn的长方形， 则面积为2 ()()a mnb mn，故正确； 将长方形表示成为长为2ab和宽分别为,m n的两个长方形，其面积为22ab mab n，故正确 将长方形表示成 6个小长方形，则面积为 2am+2an+bm+bn，故正确 故选 D
19、 【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积关系，掌握多项式的乘法是解题的关键 二、填空题二、填空题 9. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 2211322xyx yxyxy ，所捂多项式是_ 【9 题答案】 【答案】621xy 【解析】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【详解】由题意可得，所捂多项式是：2211(3)22x yxyxyxy 22111132222x yxyxyxyxyxy 621xy 故答案为：621xy 【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键 10. 小明有两根长度分别为 4cm和 9cm的
20、木棒，他想再取一根木棒，组成等腰三角形，那么等腰三角形的周长为_cm 【10 题答案】 【答案】22 【解析】 【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析 【详解】解：当腰长为 4cm时，则三边分别为 4cm，4cm，9cm，因为 4+49，所以不能构成三角形； 当腰长为 9cm 时，三边长分别为 4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长=4+9+9=22cm 故答案为 22 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理 11. 若2(3)(4),xaxbxxa则=_，b=_ 【11 题答案】 【答案】 . -1
21、 . -12 【解析】 【详解】34xx=2212xxxaxb， 易得，1,12ab ， 12. 如图直线12/ll，ABCD，134 ，那么2的度数是_. 【12 题答案】 【答案】56 【解析】 【分析】如图，设垂足为 O，由平行得知DAO134 ，ABCD 可得DOA90 ，由三角形的内角和为 180 及已知的两个角可求得ADO 的度数，进而根据对顶角相等得出2 的度数 【详解】设垂足为 O，如图， 由平行得知DAO134 ，ABCD可得DOA90 ， 所以ADO180903456 ， 因为ADO与2是对顶角相等，所以2ADO56 故答案为：56 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定
22、义以及三角形内角和定理，熟练掌握定理的内容是解决本题的关键 13. 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90 ，AE 是过点 A的一条直线，且点 B，C在 AE的两侧，BDAE于 D，CEAE于 E若 DE =3，CE=2 则 BD=_ 【13 题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】利用 AAS 判定ABDCAE，得到 BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE，所以 BD=DE+CE 【详解】解：BDAE于 D， BDA=90 ， DBA+BAD=90 ， CEAE 于 E， AEC=90 ， BAC=90 ， BAD+EAC=90 ， DBA=EAC， 在ABD和CAE中，
23、BDAAECDBAEACABAC ， ABDCAE（AAS） ， BD=AE，AD=CE， DE=3，CE=2， AE=AD+DE=CE+DE=5， BD=AE=5， 故答案为：5 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 14. 如图 1，已知 AB=AC，D 为BAC 的角平分线上面一点，连接 BD，CD；如图 2，已知 AB=AC，D、E为BAC的角平分线上面两点，连接 BD，CD，BE，CE；如图 3，已知 AB=AC，D、E、F为BAC 的角平分线上面三点，连
24、接 BD，CD，BE，CE，BF，CF；，依次规律，第 n 个图形中有全等三角形的对数是_ 【14 题答案】 【答案】(1)2n n 【解析】 【分析】根据条件可得图 1 中ABDACD 有 1 对三角形全等；图 2 中可证出ABDACD，BDECDE，ABEACE 有 3 对三角形全等；图 3 中有 6 对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果 【详解】图 1中有 1对三角形全等； 图 2中有 3对三角形全等； 图 3中有 6对三角形全等； 1=1，3=1+2，6=1+2+3，由规律可得第 n 个图中有 1+2+3+4+5+n=(1)2n n 故答案为(1)2n n 【点睛】本题主要考查
25、图形的变化规律，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键 三、作图题三、作图题 15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：四边形 ABCD求作：点 P，在直线 BC 上方，使PCB=B，且点 P到 AB和 BC的距离相等 【15 题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线上任意一点，到角两边的距离相等，可得点 P 在ABC 的角平分线上，要想满足PCB=B，则再作BCP 即可 【详解】解：如图所示，点 P 即为所求 【点睛】本题是作图题，考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是关键 四、解答题四、解答题 16.
26、（1）计算： （12）-2-（-2）0+（-0.2）2020 （-5）2021； （2）用乘法公式计算：1232-124 122； （3）先化简，再求值： （3a + b）2-（3a+b） （3a-b）-2b2其中 a=13，b =2 【16 题答案】 【答案】 （1）-2； （2）1； （3）6ab，4 【解析】 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及积的乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a与 b 的值代入计算即可求出值 【详解】解： （1）原式=4-1
27、+（-0.2） （-5）2020 （-5） =4-1-5 =-2； （2）原式=1232-（123+1） （123-1） =1232-（1232-1） =1232-1232+1 =1； （3）原式=9a2+6ab+b2-（9a2-b2）-2b2 =9a2+6ab+b2-9a2+b2-2b2 =6ab， 当 a=13，b=-2 时，原式=4 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 17. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A,B,C 均在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC
28、 ； （2）求ABC的面积； 【17 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）132 【解析】 【分析】 （1）分别作出 A，B，C对应点 A，B，C即可 （2）利用分割法求出三角形的面积即可 【详解】解： （1）如图，ABC即为所求 （2）三角形面积为11112 41 21 31 432222 【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质 18. 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16 份） ，并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色
29、、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 50 元、30 元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物某顾客购买了 125元的商品. （1）求该顾客转动转盘获得购物券的概率； （2）求该顾客分别获得 50 元、20 元的购物券的概率 【18 题答案】 【答案】 （1）716； （2）116 ，14 【解析】 【分析】 （1）有颜色区域共 7个，共有 16个区域，得到获奖概率为716 （2）50元的购物券对应红色，即概率为116；20 元的购物券对应绿色，即概率为14 【详解】解： （1）某顾客购买了 125元的商品， 可以获得一次转动转盘的机会， 红色、黄色、绿色区域一共有 7个， 该顾客转动转
30、盘获得购物券的概率为：716； （2）红色区域只有 1 个，绿色区域有 4 个，且指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 50 元、30元、20元的购物券， 顾客获得 50 元购物券的概率为：116， 顾客获得 20元购物券的概率为：14 【点睛】本题考查概率的基本运算，本题关键在于熟练掌握概率公式 19. 如图，直线 EF分别与 AB，CD 交于点 A，C，若 AB/CD，CB平分ACD，EAB=80，求B的度数 【19 题答案】 【答案】40 【解析】 【分析】根据平行线的性质可求解ECD=80 ，根据角平分线的定义可求解BCD 的度数，再利用平行线的性质可求得B的度数
31、【详解】ABCD， EAB=ECD， EAB=80 ， ECD=80 ， CB平分ACD， 11804022BCDECD， ABCD， B=BCD=40 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，综合运用平行线的性质角平分线的定义是解题的关键 20. 如图所示，梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8 （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是_； （2）当 x每增加 1 时，y如何变化?请进行说明； （3）当 x = 0 时，求 y 的值，此时 y 表示的是什么? 【20 题答案】 【答案】 （1）y=4x+60； （2）增加 4； （3）三角形的面积 【解析】 【分析
32、】 （1）根据梯形的面积公式可得答案； （2）代入计算发现结论； （3）上底为 0，此时梯形变为三角形，y 表示三角形的面积 【详解】解： （1）由梯形的面积计算公式得， y=12（x+15） 8 =4x+60， 故答案为：y=4x+60； （2）由 y=4x+60 可知， 当 x每增加 1 时，y的值就增加 4； （3）当 x=0时，梯形的上底就变为 0，此时梯形就变为三角形， 所以当 x=0时，y 表示的是三角形的面积 【点睛】本题考查函数关系式、函数值，理解函数的意义及变量之间的变化关系是正确解答的前提 21. 如图，点 B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF试说
33、明： （1）ABCDEF； （2）AEGC 【21 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据等式性质，由 BE=CF得 BC=EF，再根据 SSS 定理得ABCDEF即可； （2）由全等三角形得B=DEF，由平行线的判定定理得 ABDE，再根据平行线的性质得A=EGC 详解】 （1）BECF， BEECCFEC，即BCEF， 在ABC与DEF中， ABDEACDFBCEF， (SSS)ABCDEF； （2）ABCDEF， B=DEF， ABDE， A=EGC 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等
34、的条件，属于中考常考题型 22. 某中学初一年级学生和老师一起到一条笔直的跑道上锻练身体，学生到达起点后做了一会准备活动，老师先跑，当学生出发时，老师已经距起点 200 米了，他们距起点的距离 s（米）与学生出发的时间 t（秒）之间的关系如图所示（不完整） ，根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）在上述变化过程中，自变量是_，因变量是_； （2）前 420米老师和学生的速度分别为多少米/秒? （3）学生与老师相遇_次，最后一次相遇时距起点的距离为_米 【22 题答案】 【答案】 （1）学生出发的时间 t；距起点的距离 s； （2）老师的速度为 2（米/秒） ； 学生的速度为 6（米/秒）
35、； （3）2；420米 【解析】 【分析】 （1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量； （2）根据速度=路程 时间，即可分别算出老师以及学生的速度； （3）根据函数图象即可得到结论 【详解】解： （1）观察函数图象可得出：自变量为学生出发的时间 t，因变量为距起点的距离 s 故答案为：学生出发的时间 t；距起点的距离 s （2）老师的速度为： （300-200） 50=2（米/秒） ； 学生的速度为：300 50=6（米/秒） （3）学生与朱老师相遇 2次，第二次相遇时距起点的距离 420 米， 故答案为：2；420米 【点睛】本题考查了函数的应用，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键
36、23. 用几个小的长方形、 正方形拼成一个大的正方形， 然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积 （1）由图 1可得乘法公式_； （2）如图 2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()abc的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为_； （3）利用（2）中的结论解决以下问题： 已知13abc ，52ab bcac，求222abc值； （4）如图 3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若12m n，24mn ，求图 3中阴影部分的面积 【23 题答案】 【答
37、案】 （1） （a+b2）=a2+2ab+b2； （2） （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （3）65； （4）36 【解析】 【分析】 （1）用两种方法表示同一个图形面积即可 （2）用两种方法表示图中正方形面积即可 （3）找到三个代数式的关系，整体代换求值 （4）先表示阴影部分面积，再求值 【详解】解： （1）图 1正方形的面积可以表示为：a2+2ab+b2 又可以表示为： （a+b）2 （a+b2）=a2+2ab+b2 故答案为： （a+b2）=a2+2ab+b2 （2）图 2 中正方形的面积可以表示为： （a+b+c）2 还可以表示为：a2+b2+c2+2ab
38、+2ac+2bc （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 故答案为： （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （3）由（2）知：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc =169-2（ab+ac+bc） =169-104 =65 （4）221122Smnn mn阴影 22111222mnmn 21()32mnmn 21(1272)2 36 【点睛】本题考查用面积表示代数恒等式，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键 24. 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营 A，B
39、他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后，再巡查 B 营他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图 2，作 B关于直线 l的对称点 B，连结 AB与直线 l交于点 C，点 C就是所求的位置 证明：如图 3，在直线 l上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC， 直线 l是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l上， CB=_，CB=_， AC +CB=AC+CB=_ 在ACB， ABAC+CB， AC+CBAC+CB即 AC+CB最小 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段
40、最短”， 即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 （其中 C在 AB与 l的交点上， 即 A，C，B三点共线） 本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型 拓展应用：如图，等腰直角ABC中，ACB = 90 ，BD 平分ABC 交 AC 于 D，点 P 是 BD 上一个动点，点 M是 BC上一个动点，请在图 5中画出 PC + PM的值最小时 P 的位置 （可用三角尺） 【24 题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在 BA 上截取 BC=BC，连接 CC，可证得 C、C关于 BD 对称，将两
41、条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决 【详解】解：证明：如图 3，在直线 l上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC， 直线 l是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l上， CB=CB，CB=CB， AC+CB=AC+CB=AB 在ACB， ABAC+CB， AC+CBAC+CB即 AC+CB最小 故答案为：CB，CB，AB； 拓展应用：如图，在 BA上截取 BC=BC，连接 CC，过 C作 CMBC于点 M，交 BD 于点 P，在 BD 上另取一点 P，连接 PC，在 BC 上取点 M，连接 PM， BC=BC，BD 平分CBC， BD垂直平分 CC， PC=PC，PC=PC， PC+PM=PC+PM=CM， CP+PMCM， PC+PMPC+PM， 点 P即为所求 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及垂线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键