1、2020-2021 学年北京市丰台区高二学年北京市丰台区高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分）. 1已知集合 A0，1，2，B1，2，3，则 AB（ ） A1，2 B0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 2命题“xR，x230”的否定是（ ） AxR，x230 BxR，x230 CxR，x230 DxR，x230 3下列两个变量具有相关关系的是（ ） A正方体的体积与棱长 B汽车匀速行驶时的路程与时间 C人的体重与饭量 D人的身高与视力 4若 ab，则下列不等式中一定成立的是（ ） A B Ca3b
2、3 D|a|b| 5一箱产品中有 8 件正品和 2 件次品每次从中随机抽取 1 件进行检测，抽出的产品不再放回已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（ ） A B C D 6若 x1，则函数的最小值为（ ） A B C4 D5 7在下列 4 组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是（ ） Ar1 Br2 Cr3 Dr4 8设 xR，则“1x3”是“x2+x20”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行为了增强比赛的趣味性
3、，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ） A3 B18 C21 D24 10已知函数 f（x）的定义域为1，5，其部分自变量与函数值的对应情况如表： x 1 0 2 4 5 f（x） 3 1 2.5 1 3 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示给出下列四个结论： f（x）在区间1，0上单调递增； f（x）有 2 个极大值点； f（x）的值域为1，3； 如果 xt，5时，f（x）的最小值是 1，那么 t 的最大值为 4 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
4、5 分分 11函数 f（x）的定义域为 12为迎接中国共产党建党 100 周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动由 4 位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级的学生进行党史宣讲若要求高一年级安排 2 位教师，高二、高三年级各安排 1 位教师，则不同的安排方案种数为 （结果用数字作答） 13能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 cba，则 abac”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 14已知函数 f（x）lnxax+1，若 a1，则 f（x）的零点个数为 ；若 f（x）有两个不同的零点，则 a 的取值范围是 15算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式
5、和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“”表示的三位数为 ；如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被 5 整除的三位数的个数为 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16已知（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x
6、5 （1）求 a0的值； （2）求 a1+a3+a5的值 17甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为 （1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率； （2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率 18已知函数 f（x）x3+3x2ax 在 x1 处取得极值 （1）求 a 的值； （2）求 f（x）在区间4，4上的最大值和最小值 19第七次全国人口普查公报显示，自 2010 年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显
7、著下面两表分别列出了 2010 年和 2020 年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15 岁及以上人口平均受教育年限数据 东部地区（单位：年） 北京 天津 河北 上海 江苏 浙江 福建 山东 广东 海南 2020 年 12.6 11.3 9.8 11.8 10.2 9.8 9.7 9.8 10.4 10.1 2010 年 11.7 10.4 9.1 10.7 9.3 8.8 9.0 9.0 9.6 9.2 西部地区（单位：年） 重庆 四川 贵州 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 广西 内蒙古 2020 年 9.8 9.2 8.8 8.8 6.8
8、 10.3 9.1 8.9 9.8 10.1 9.5 10.1 2010 年 8.8 8.4 7.7 7.8 5.3 9.4 8.2 7.9 8.8 9.3 8.8 9.2 （1）从东部地区任选 1 个省份，求该省份 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加1 年的概率； （2）从东部地区和西部地区所有 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加 1 年的省份中任选 2 个，设 X 为选出的 2 个省份中来自西部地区的个数，求 X 的分布列和数学期望 E（X）； （3） 将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均
9、受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较 s12与 s22的大小（只需写出结论） 20已知函数 f（x）exax （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）对x（0，+），都有 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 21已知函数 （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）设曲线 yf（x）在点（t，f（t）（t1）处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，求|AB|2的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分）. 1已知集合 A0，1，2，B1，2，3，则 AB（ ） A1，2 B
10、0，1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 解：因为集合 A0，1，2，B1，2，3， 则 AB1，2 故选：A 2命题“xR，x230”的否定是（ ） AxR，x230 BxR，x230 CxR，x230 DxR，x230 解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 可知命题“xR，x230”的否定是“xR，x230” 故选：D 3下列两个变量具有相关关系的是（ ） A正方体的体积与棱长 B汽车匀速行驶时的路程与时间 C人的体重与饭量 D人的身高与视力 解：正方体的体积与棱长是函数关系，故选项 A 错误； 汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故选项 B 错误； 饭量会影响
11、体重，但不是唯一因素，所以人的体重与饭量是相关关系，故选项 C 正确； 人的身高与视力无任何关系，故选项 D 错误 故选：C 4若 ab，则下列不等式中一定成立的是（ ） A B Ca3b3 D|a|b| 解：若 a0b，则，0，故 A，B 错误； 若 ab，则 a3b3，故 C 正确； 取 a2，b0，可得|a|b|，故 D 错误 故选：C 5一箱产品中有 8 件正品和 2 件次品每次从中随机抽取 1 件进行检测，抽出的产品不再放回已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（ ） A B C D 解：已知有 8 件正品和 2 件次品，每次从中随机抽取 1 件进行检测，抽出
12、的产品不再放回， 因为前两次检测的产品均是正品，说明剩下的 8 件中有 6 件正品， 所以第三次检测的产品是正品的概率为 故选：C 6若 x1，则函数的最小值为（ ） A B C4 D5 解：因为 x1，所以 x10， 则 f（x）x+， 当且仅当 x1，即 x+1 时取等号， 此时函数 f（x）的最小值为 2+1， 故选：B 7在下列 4 组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是（ ） Ar1 Br2 Cr3 Dr4 解：由散点图变化趋势可知，r10，r30，r20，r40， 又图 1 中的散点更为集中，更接近于一条直线， 所以 r1r3， 故样本相关系数最大的是 r1 故选：A 8设 x
13、R，则“1x3”是“x2+x20”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为 x2+x20，所以 x2 或 x1， 因为（1，3）（2）（1，+）， 所以“1x3”是“x2+x20”的充分不必要条件 故选：A 9某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ） A3 B18 C21 D24 解：根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场， 则“多人多足”有 3 种安排方法， 将
14、踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的 3 个位置，有 A336 种安排方法， 则有 3618 种安排方法； 故选：B 10已知函数 f（x）的定义域为1，5，其部分自变量与函数值的对应情况如表： x 1 0 2 4 5 f（x） 3 1 2.5 1 3 f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示给出下列四个结论： f（x）在区间1，0上单调递增； f（x）有 2 个极大值点； f（x）的值域为1，3； 如果 xt，5时，f（x）的最小值是 1，那么 t 的最大值为 4 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 解：根据函数的导数 f（x）的图象， 整理出函数 f（x）的图象， 如图所示： 对于
15、，f（x）在区间1，0上单调递减，故错误； 对于，f（x）有 1 个极大值点，2 个极小值，故错误； 对于，根据函数的极值和端点值 f（x）的值域为1，3，故正确； 对于，如果 xt，5时，f（x）的最小值是 1，那么 t 的最大值为 4，故正确 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11函数 f（x）的定义域为 x|x0 解：要使 f（x）有意义，则 x0， f（x）的定义域为x|x0 故答案为：x|x0 12为迎接中国共产党建党 100 周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动由 4 位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级
16、的学生进行党史宣讲若要求高一年级安排 2 位教师，高二、高三年级各安排 1 位教师，则不同的安排方案种数为 12 （结果用数字作答） 解：根据题意，要求高一年级安排 2 位教师，则高一有 C426 种安排方法； 高二、高三年级各安排 1 位教师，则高二、高三年级有 A222 种安排方法， 故有 6212 种不同的安排方法； 故答案为：12 13能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 cba，则 abac”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 1，2，3 解：“设 a，b，c 是任意实数若 cba，则 abac”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 a1，b2，c3 故答案为：1，2
17、，3 14已知函数 f（x）lnxax+1，若 a1，则 f（x）的零点个数为 1 ；若 f（x）有两个不同的零点，则 a 的取值范围是 0a1 解：当 a1 时，f（x）lnxx+1， f（x）1， 当 0 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 f（x）maxf（1）0， 所以 f（x）的零点个数为 1， f（x）a， 当 a0 时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）不会有两个零点， 当 a0 时，令 f（x）0，得 0 x，f（x）单调递增， 令 f（x）0，得 x，f（x）单调递减， 所以 f（x）maxf（）lna+1ln，
18、若 f（x）有两个零点，则 ln0， 所以1，有 a0， 所以 0a1， 故答案为：1；0a1 15算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空， 则 “” 表示的三位数为 621 ； 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被 5 整除的三位数的个数为 12 解：由题意，结合表格中的数
19、据和图形，则“”表示的三位数为 621； 共有 5 根算筹，要能被 5 整除，则个位数必须为 0 或 5， 当个位数为 5 时，不符合题意； 当个位数为 0 时，则 5 根算筹全部放在十位和百位， 若百位有 1 根，十位 4 根，则共有 122 个三位数； 若百位有 2 根，十位 3 根，则共有 224 个三位数； 若百位有 3 根，十位有 2 根，则共有 122 个三位数； 若百位有 4 根，十位有 1 根，则共有 212 个三位数； 若百位有 5 根，十位有 0 根，则共有 2 个三位数 所以共有 2+4+2+2+212 个 故答案为：621；12 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小
20、题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16已知（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 （1）求 a0的值； （2）求 a1+a3+a5的值 解：（1）（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5， 令 x0，可得 a01 （2）由二项式定理，得 1+10 x+40 x2+80 x3+80 x4+32x5 因为， 由可得 a110，a380，a532 所以 a1+a3+a5122 17甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；
21、如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为 （1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率； （2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率 解：（1）设“甲恰有两轮获胜”为事件 A，则； （2）设“选中甲与机器人比赛”为事件 A1， “选中乙与机器人比赛”为事件 A2， “战胜机器人”为事件 B， 根据题意得， 则 P（B）P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）， 所以战胜机器人的概率为 18已知函数 f（x）x3+3x2ax 在 x1 处取得极值 （1）求 a 的值； （2）求 f（x）在区间4，4上的最大值和最小值 解：（1）因为 f（x）x3
22、+3x2ax， 所以 f（x）3x2+6xa 因为 f（x）在 x1 处取得极值， 所以 f（1）0，即 3+6a0，解得 a9 经检验，符合题意 （2）由（1）得 f（x）x3+3x29x 所以 f（x）3x2+6x9 令 f（x）0，得4x3 或 1x4； 令 f（x）0，得3x1 所以 f（x）的单调递增区间为43），（1，4，单调递减区间为（3，1） 所以 f（x）的极大值为 f（3）27，极小值为 f（1）5 又 f（4）20，f（4）76， 所以 f（1）f（4）f（3）f（4） 所以 f（x）的最大值为 76，最小值为5 19第七次全国人口普查公报显示，自 2010 年以来，我国
23、大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著下面两表分别列出了 2010 年和 2020 年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15 岁及以上人口平均受教育年限数据 东部地区（单位：年） 北京 天津 河北 上海 江苏 浙江 福建 山东 广东 海南 2020 年 12.6 11.3 9.8 11.8 10.2 9.8 9.7 9.8 10.4 10.1 2010 年 11.7 10.4 9.1 10.7 9.3 8.8 9.0 9.0 9.6 9.2 西部地区（单位：年） 重庆 四川 贵州 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆
24、广西 内蒙古 2020 年 9.8 9.2 8.8 8.8 6.8 10.3 9.1 8.9 9.8 10.1 9.5 10.1 2010 年 8.8 8.4 7.7 7.8 5.3 9.4 8.2 7.9 8.8 9.3 8.8 9.2 （1）从东部地区任选 1 个省份，求该省份 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加1 年的概率； （2）从东部地区和西部地区所有 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加 1 年的省份中任选 2 个，设 X 为选出的 2 个省份中来自西部地区的个数，求 X 的分布列和数学期望 E（X）； （3）
25、将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较 s12与 s22的大小（只需写出结论） 解：（1）东部地区共有 10 个省份，其中 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加 1年的有 2 个 设“选取的省份 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加 1 年”为事件 A， 则 P（A） （2）东部地区 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增加 1 年的有 2 个， 西部地区 2020 年 15 岁及以上人口平均受教育年限比 2010 年至少增
26、加 1 年的有 6 个，共 8 个 则 X 的可能取值为 0，1，2， ， ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P （3） 20已知函数 f（x）exax （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）对x（0，+），都有 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 解：（1）因为 f（x）exax， 所以 f（x）exa 当 a0 时，f（x）0，所以 f（x）在（，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，得 xlna；令 f（x）0，得 xlna， 所以 f（x）的单调递增区间是（lna，+），单调递减区间是（，lna） （2）由（1）知 f（x）exa 因为 x（0，+），所以 ex
27、1 当 a1 时，f（x）0 所以 f（x）在区间（0，+）上单调递增， 于是 f（x）f（0）10，所以 a1 符合题意 当 a1 时，令 f（x）0，得 xlna；令 f（x）0，得 0 xlna， 所以 f（x）在区间（lna，+）上单调递增，在区间（0，lna）上单调递减 所以 f（x）f（lna）aalna0，解得 1ae 综上，a 的取值范围是（，e） 21已知函数 （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）设曲线 yf（x）在点（t，f（t）（t1）处的切线与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，求|AB|2的最小值 解：（1）因为， 所以 因为 f（0）2， 所以曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 y2x0， 即 yx+2 （2）因为， 所以曲线 yf（x）在点（t，f（t）处的切线方程为 令 x0，得；令 y0，得 xt2， 所以 设，则 令 g（t）0，得；令 g（t）0，得， 所以 g（t）在区间上单调递増，在区间上单调递减 于是当时，g（t）有最小值为，故|AB|2有最小值为