1、2020-2021 学年北京市昌平区高二学年北京市昌平区高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）. 1已知全集 Ax|x24，BxZ|x1，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1，0，1，2 Dx|1x2 2已知 x，yR，且 x0，y0，x+y2，那么 xy 的最大值为（ ） A B C1 D2 3下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（ ） Ay1x2 By2|x| Cy Dylnx 4在等差数列an中，a54，数列an的前 9 项的和为（ ） A4 B8 C36 D72 5若不
2、等式 ax2xc0 的解集为x|1x，则函数 f（x）cx2xa 的图象可以为（ ） A B C D 6为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 经计算可得 X29.967由 P（X26.635）0.01，下列结论正确的是（ ） A有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性
3、别无关 D在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 7已知奇函数如果 f（x）ax（a0 且 a1）对应的图象如图所示，那么 g（x）（ ） A B C2x D2x 8“克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 为奇数就将它乘 3 加 1不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到 1，得到 1 即终止运算已知正整数 k，经过 6 次运算后得到 1，则k 的值为（ ） A32 B32 或 5 C64 D64 或 10 9
4、设无穷等比数列an，则“0a2a1”是“an为递减数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 102020 年 5 月 1 日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加已知甲、乙两个小区在0，t这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量 Q 与时间 t 的关系如图所示给出下列四个结论： 在t1，t2这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； 在t2，t3这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； 在 t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢； 甲小区在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在t2，
5、t3的平均分出量最大 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11已知全集 U0，1，2，3，4，5，集合 A0，1，2，3，B3，4，则（UA）B 12命题 p：x0，x2+x10，则p： 13函数 f（x）的定义域为 14已知数列an满足 a117，an+1an4，则当 n 时，数列an的前 n 项和取得最大值 15已知函数 f（x）xex，则 f（1） ；若函数 g（x）f（x）m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 16数列an：a1，a2，an，；bn：b1，b2，bn
6、， 定义数列 an&bn：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7， 设 an，bn1，1n29，则数列 an&bn的所有项的和等于 ； 设 an5n，bn4n1，1n29，则数列 an&bn与 bn&an有 个公共项 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知等差数列an满足 a3+a520，a64a2 （）求数列an的通项公式； （）设数列bn是各项均为正数的等比数列，cnan+bn，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件，求数列cn的前 n 项和 Sn 条件：
7、b11； 条件：b58b2； 条件：b2+b36 18已知函数 f（x）+1 （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）求函数 f（x）在2，2上的最大值和最小值 19记数列an的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n，都有 Sn （）求 a1，a2； （）设 bnan+2，求证：数列bn是等比数列； （）求数列an的前 n 项和 Sn 20已知函数 f（x）lnx（a+1）x+1，aR （）当 a0 时，求证：f（x）0； （）若函数 g（x）f（x）+x21 在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 21已知集合 A1，2，3，n，nN*集合 A 含有 k 个
8、元素的子集分别记为 Ak，1，Ak，2，Ak，3，Ak，m，其中 1kn，kN*，mN* 当 1jm，jN*时，设 Ak，jx1，x2，xk，且 x1x2x3xk 定义：S（Ak，j）xkxk1+xk2+（1）k+1x1； TkS（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+S（Ak，m） （）若 n5， （）写出满足 S（A4，j）2 的一个集合 A4，j，并写出 j 的最大值； （）求 T1+T2+3的值； （）若存在唯一的 nN*，使得 T1+T2+Tn1024，求 n 的值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）
9、. 1已知全集 Ax|x24，BxZ|x1，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1，0，1，2 Dx|1x2 【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|2x2，BxZ|x1， ABxZ|1x20，1，2 故选：A 2已知 x，yR，且 x0，y0，x+y2，那么 xy 的最大值为（ ） A B C1 D2 【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得 xy（）21，即可得答案 解：根据题意，x0，y0，x+y2， 则 xy（）21，当且仅当 xy1 时等号成立， 即 xy 的最大值为 1 故选：C 3下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（ ） Ay1x2
10、By2|x| Cy Dylnx 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y1x2，是二次函数，是偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意； 对于 B，y2|x|，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增，符合题意； 对于 C，y，其定义域为0，+），不是偶函数，不符合题意； 对于 D，ylnx，是对数函数，其定义域为（0，+），不是偶函数，不符合题意； 故选：B 4在等差数列an中，a54，数列an的前 9 项的和为（ ） A4 B8 C36 D72 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式直接求解 解：在等差数
11、列an中，a54， 数列an的前 9 项的和为： 9a536 故选：C 5若不等式 ax2xc0 的解集为x|1x，则函数 f（x）cx2xa 的图象可以为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得方程 ax2xc0 的解为 x11 或 x2，且 a0，由根与系数的关系分析 a、c 的值，即可得 f（x）的解析式，分析可得答案 解：根据题意，不等式 ax2xc0 的解集为x|1x， 则方程 ax2xc0 的解为 x11 或 x2，且 a0， 则有，解可得， 函数 f（x）cx2xax2x+2，是开口向下，对称轴为 x的二次函数， 故选：C 6为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性
12、别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 经计算可得 X29.967由 P（X26.635）0.01，下列结论正确的是（ ） A有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 D在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 【分析】利用独立性检验中 K2的统计意义判断
13、解：因为 9.9676.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 故选：B 7已知奇函数如果 f（x）ax（a0 且 a1）对应的图象如图所示，那么 g（x）（ ） A B C2x D2x 【分析】根据函数的奇偶性，先求出函数 f（x）的图象即可得到结论 解：当 x0 时，函数单调递减，则 0a1， f（1）， a，即函数 f（x）（）x， 当 x0，则x0，则 f（x）（）xf（x）， 则 y（）x2x， 即 g（x）2x，x0， 故选：D 8“克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给
14、一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 为奇数就将它乘 3 加 1不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到 1，得到 1 即终止运算已知正整数 k，经过 6 次运算后得到 1，则k 的值为（ ） A32 B32 或 5 C64 D64 或 10 【分析】利用正整数 k 经过 6 次运算后得到 1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到 k 的所有可能的取值 解：根据题意，正整数 k 经过 6 次运算后得到 1， 所以正整数 k 经过 5 次运算后得到 2， 经过 4 次运算后得到 4， 经过 3 次运算后得到 8 或 1 （不符合题意，舍去）， 经过 2 次运算后得到 16
15、，则经过 1 次运算后得到 32 或 5， 所以正整数 k 的值为 64 或 10， 故选：D 9设无穷等比数列an，则“0a2a1”是“an为递减数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断an的单调性，举出反例说明“an为递减数列”不能得到“0a2a1”，进一步得出结论 解：因为无穷等比数列an，0a2a1， 所以公比 q 满足， 所以有 anan+1anq，即an为递减数列； 而无穷等比数列an如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负， 如，所有不一定可以得到 0a2a1， 所
16、以“0a2a1”是“an为递减数列”的充分而不必要条件， 故选：A 102020 年 5 月 1 日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加已知甲、乙两个小区在0，t这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量 Q 与时间 t 的关系如图所示给出下列四个结论： 在t1，t2这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； 在t2，t3这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； 在 t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢； 甲小区在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在t2，t3的平均分出量最大 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】
17、利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断 解：在t1，t2这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误 在t2，t3这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确 在 t2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确 甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11已知全集 U0，1，2，3，4，5，集合 A0，1，2，3，B3，4，则（UA）B 3，4，5 【分析】进行补集和并集
18、的运算即可 解：U0，1，2，3，4，5，A0，1，2，3，B3，4， UA4，5，（UA）B3，4，5 故答案为：3，4，5 12命题 p：x0，x2+x10，则p： x0，x2+x10 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 解：命题为特称命题，则命题的否定为：x0，x2+x10 故答案为：x0，x2+x10 13函数 f（x）的定义域为 （，1） 【分析】由题意根据函数的定义域的求法，得出 x 的范围 解：对于函数 f（x），应有 2x10，1x0， 求得 x1，可得函数的定义域为（，1）， 故答案为：（，1） 14已知数列an满足 a117，an+1an4，则当 n 5 时，数列
19、an的前 n 项和取得最大值 【分析】根据条件求得数列an是首项为 17，公差为4 的等差数列，进而分析出何时项为正，何时为负即可求解结论 解：数列an满足 a117，an+1an4， 数列an是首项为 17，公差为4 的等差数列， an174（n1）214n， 当 n5 时，an0， 当 n5 时，an0， 当 n5 时，数列an的前 n 项和取得最大值， 故答案为：5 15已知函数 f（x）xex，则 f（1） 0 ；若函数 g（x）f（x）m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 （0，） 【分析】 根据题意， 求出函数的导数， 将 x1 代入可得第一空答案， 由函数的导数分析 f （x
20、） 的单调性，可得 f（x）的最值，据此作出函数的大致图像，分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x）xex，则其导数 f（x）（x）ex+x（ex）（1x）ex， 则 f（1）（11）e10， f（x）（1x）ex， 在区间（，1）上，f（x）0，则 f（x）为增函数， 在区间（1，+）上，f（x）0，则 f（x）为减函数， 则 f（x）f（1）， 在区间（，0）上，f（x）0， 在区间（0，+）上，0f（x）， 若函数 g（x）f（x）m 有两个零点，即函数 yf（x）与直线 ym 有且仅有 2 个交点， 必有 0m，即 m 的取值范围为（0，） 故答案为：0，（0，） 16数列an：a1
21、，a2，an，；bn：b1，b2，bn， 定义数列 an&bn：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7， 设 an，bn1，1n29，则数列 an&bn的所有项的和等于 19 ； 设 an5n，bn4n1，1n29，则数列 an&bn与 bn&an有 2 个公共项 【分析】由题意可以得到数列 an&bn的通项公式，然后根据an、bn的通项公式可以知道 29 个项里面有 9 个 1，10 个1，10 个 2，从而得到问题解答； 由题意可以得到数列 an&bn和 bm&am的通项公式，再令 an&bnbm&am即可得到 n、m 的关系式，最后根据 5 的倍数与 4 的倍数的特征可以得到解答 解：
22、由题意可得： an&bn， 当 1n29 时，数列 an&bn的所有项的和为： 91+（155）（1）+（144）219； 由题意可得： an&bn，bm&am， 很显然，要使 an&bnbm&am，必须 n、m 同时为 3 的倍数或者同时不为 3 的倍数， 若 n、m 同时为 3 的倍数，则有 5m4n1，则 n24 或 n9，此时 m19 或 m7，不成立； 若 n、m 同时不为 3 的倍数，则有 5n4m1，则 m4 或 14 或 19 或 29，此时对应的有 n3 或 11 或15 或 23， 把与题意相矛盾的舍去，剩下 m14，n11 或 m29，n23， 即 a11&b11b14&
23、a14或 a23&b23b29&a29， 即数列 an&bn与 bn&an有 2 个公共项； 故答案为 19；2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知等差数列an满足 a3+a520，a64a2 （）求数列an的通项公式； （）设数列bn是各项均为正数的等比数列，cnan+bn，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件，求数列cn的前 n 项和 Sn 条件：b11； 条件：b58b2； 条件：b2+b36 【分析】（）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由
24、已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，即可求得数列an的通项公式； （）设数列bn的公比为 q，分别取条件、条件、条件作为已知条件，列关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，即可求得数列bn的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前 n 项和公式求解 解：（）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 由已知可得，解得 ana1+（n1）d3n2， 则数列an的通项公式为 an3n2； （）设数列bn的公比为 q， 选择条件作为已知条件：则，解得， ； 选择条件作为已知条件：则，解得或（舍）， ； 选择条件作为已知条件：则，解得， ； ， 则 数列cn的前 n 项和 Sn
25、18已知函数 f（x）+1 （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）求函数 f（x）在2，2上的最大值和最小值 【分析】（）求出函数的导数，就是 f（1），f（1），求出切线方程即可； （）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值即可 解：（）f（x）x22x，则 f（1）1， f（1），切点是（1，）， 故切线方程是 y（x1）即 3x+3y40； （）令 f（x）x22x0，解得：x0 或 x2， x，f（x），f（x）在2，2的变化如下： x 2 （，0） 0 （0，2） 2 f（x） + + 0 0 f（x） 递增 极大值 递减
26、f（x）在2，0）递增，在（0，2递减， f（x）地方极大值是 f（0）1，又 f（2），f（2）， f（x）在2，2的最大值是 f（0）1， f（x）在2，2在最小值是 f（2） 19记数列an的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n，都有 Sn （）求 a1，a2； （）设 bnan+2，求证：数列bn是等比数列； （）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】（）直接利用数列的递推关系式和赋值法的应用求出结果； （）利用递推关系式的应用求出数列为等比数列； （）利用（）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和 解：（）数列an的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数 n，都有 S
27、n 当 n1 时，解得 a14， 当 n2 时，解得 a216 （）由于， 当 n2 时， 得：an3an1+4， 由于 bnan+2， 所以 bn+1an+1+23an+6， 故， 所以数列bn是以 6 为首项，3 为公比的等比数列； （）由（）得：， 故 anbn263n12， 所以 20已知函数 f（x）lnx（a+1）x+1，aR （）当 a0 时，求证：f（x）0； （）若函数 g（x）f（x）+x21 在 x1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 【分析】（）求出 f（x），令 f（x）0，求出 x 的值，然后利用 f（x）的正负确定函数 f（x）的单调性，由函数极值的定义求出函
28、数 f（x）的极值，即函数 f（x）的最值，从而得到 f（x）的取值范围，即可证明； （）求出 g（x），然后分 a0，0a1 和 a1 三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可 【解答】（）证明：函数 f（x）lnx（a+1）x+1，定义域为（0，+）， 当 a0 时，f（x）lnxx+1，则 f（x）， 令 f（x）0，解得 x1， 当 0 x1 时，f（x）0，则 f（x）单调递增， 当 x1 时，f（x）0，则 f（x）单调递减， 所以当 x1 时，函数 f（x）取得唯一的极大值 f（1）0， 故 f（x）的最大值为 0， 所以 f（x）0； （）解：函数
29、 g（x）f（x）+x21， 则 g（x）， 当 a0 时，则 ax10， 当 0 x1 时，x10，则 g（x）0，故 g（x）单调递增， 当 x1 时，x10，则 g（x）0，故 g（x）单调递减， 所以当 x1 时，g（x）取得极大值，符合题意； 当 0a1 时，则 axx， 当 0 x1 时，ax1x10，则 g（x）0，故 g（x）单调递增， 当 1x时，x10，ax10，则 g（x）0，故 g（x）单调递减， 所以当 x1 时，g（x）取得极大值，符合题意； 当 a1 时，当 x1 时，ax1x10，则 g（x）0，故 g（x）单调递增， 所以 1 不是函数 g（x）的极大值 综上
30、所述，实数 a 的取值范围为（，1） 21已知集合 A1，2，3，n，nN*集合 A 含有 k 个元素的子集分别记为 Ak，1，Ak，2，Ak，3，Ak，m，其中 1kn，kN*，mN* 当 1jm，jN*时，设 Ak，jx1，x2，xk，且 x1x2x3xk 定义：S（Ak，j）xkxk1+xk2+（1）k+1x1； TkS（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+S（Ak，m） （）若 n5， （）写出满足 S（A4，j）2 的一个集合 A4，j，并写出 j 的最大值； （）求 T1+T2+3的值； （）若存在唯一的 nN*，使得 T1+T2+Tn1024，求 n 的值 【分析】理解定
31、义：S（Ak，j）xkxk1+xk2+（1）k+1x1，TkS（Ak，1）+S（Ak，2）+S（Ak，3）+S（Ak，m）（）用特殊值和枚举法解题，（）分类讨论 解：（）若 n5， （i）取 A4，j1，2，3，4，S（A4，j）43+212 j 的最大值为 3 （ii）枚举法：集合 A 含有 1 个元素的子集有1，2，3，4，5，则 T115； 集合 A 含有 2 个元素的子集有1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，则 T220； 集合 A 含有 3 个元素的子集有1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，3，4，1，3，5，1，4，5，2，3，4，2，3，5，2，4，5，3，4，5，则 T330； T1+T2+T365 （）对于集合 A 的子集，可以分两类，一类含 n，一类不含 n； 如果有集合x1，x2，.，xk，n（x1，x2，.，xk，nZ，且 x1x2.xkn），则存在唯一与之对应的集合x1，x2，.，xk， 满足 S（x1，x2，.，xk）+S（x1，x2，.，xk，n）n，且这样的集合有（1kn）组，最后还剩下集合n； T1+T2+Tnn（+.+）+n2n1n， 令 2n1n1024，得 n8