1、2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高二下期末数学试卷一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分 1已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则A，B，C，D，2壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有A4种B7种C15种D18种3函数f（x）x22x的导函数为f（x）（）A2x2xB2x2xln2C2x+2xD2x+2xln242021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国、英雄赞歌、唱支山歌给党听）、毛主席派人来这4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国、我和我的祖国这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，
2、要求最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有A14种B48种C72种D120种5如图是yf（x）的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（）Af（x）在2，1上是增函数Bf（x）在区间（1，2）上是增函数Cf（x）的最大值是f（1）D当x3时，f（x）取极小值6一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是ABCD7已知随机变量，那么ABC1D38已知集合，那么“”是“，”的A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分
3、，部分选对得2分，不选或有选错的得0分9对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有ABCD10在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是0，则第四个项点对应的复数可以是ABCD11已知，则A的最小值为25B的最小值为C的最小值为D的最小值为12已知定义域为的函数满足：，；当，时，则AB，C函数的值城为，D，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分 13已知变量与线性相关，若，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是14已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则15某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加
4、，则满足上述要求的不同方案共有 种（用数字填写答案）16已知随机变量，若，则四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）为了了解某中心城市人们观看电视剧觉醒时代的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得到下方的列联表年轻人非年轻人总计已观看觉醒时代12525150未观看觉醒时代351550总计16040200（1）根据该列联表，是否有的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系？（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：0.150
5、.010.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82818（12分）我们曾用组合模型发现了组合恒等式CC+C，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧而列出表示同一个量的代数式（1）某医院有内科医生8名，外科医生x（x3）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求x的值；（2）化简：CC+CC+CC+CC19（12分）如图，在直三棱柱中，点，分别是，的中点（1）证明
6、：平面；（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积20（12分）已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望21（12分）已知函数，（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）如果当，时，的最大值是6，求的值22（12分）已知函数，其中，是自然对数的底数，（1）当，时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围参考答案与试题解析一、单项选择题：本小题共8小题，每小
7、题5分，共计40分 1已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则A，B，C，D，【分析】利用函数的定义域求出集合，由此能求出【解答】解：集合是函数的定义域，则，是函数的定义域，则，故选：2壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有A4种B7种C15种D18种【分析】依据题意可将人民币分成选取1张，选取2张，选取3张，选取4张进行分类计算【解答】解：选取1张人民币共有种不同的情况，选取2张人民币共有种不同的情况，选取3张人民币共有种不同的情况，选取4张人民币共有种不同的情况，故共有种不同的币值故选：3函数f（x）x22x的导函数为f（x）（）A2x2xB2x2xln2C2x+
8、2xD2x+2xln2【分析】根据幂函数和指数函数的求导公式求导即可【解答】解：f（x）x22x，f（x）2x2xln2故选：B42021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国、英雄赞歌、唱支山歌给党听）、毛主席派人来这4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国、我和我的祖国这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有A14种B48种C72种D120种【分析】由题可知只有最后一首歌曲要求是合唱歌曲，其他歌曲没有要求，故可先选出最后一首歌曲，再选取其他歌曲即可【解答】解：因为要求最后一首歌必须是合唱歌曲
9、，所以可先安排最后一首歌曲，有种情况，对于其他的3首歌曲没有要求，故可从剩下的5首歌曲种选出3首进行排序，有种情况，则不同的安排方法共有种故选：5如图是yf（x）的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（）Af（x）在2，1上是增函数Bf（x）在区间（1，2）上是增函数Cf（x）的最大值是f（1）D当x3时，f（x）取极小值【分析】利用yf（x）的导函数的图象，对ABCD四个选项逐一判断即可【解答】解：由图知，当x2，12，4时，f（x）0，f（x）在2，1，2，4上是减函数，故A错误，D错误；同理可得，f（x）在区间（1，2）上是增函数，故B正确，C错误；故选：B6一批产品共50件，其中有
10、3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是ABCD【分析】由题意利用恰好发生次的概率计算公式，求得结果【解答】解：一批产品共50件，其中有3件不合格品，有47件合格品，所有的取法有种，恰有1件不合格品的取法有种，故从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率为，故选：7已知随机变量，那么ABC1D3【分析】利用二项分布列的的计算公式即可得出【解答】解：随机变量，故选：8已知集合，那么“”是“，”的A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【分析】根据已知条件，求得命题存在，使得成立的充要条件，再根据充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：，设，则，（1），是，的充
11、分不必要条件，故选：二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置9对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有ABCD【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可【解答】解：因为，故选项正确；因为，故选项错误；因为，故选项错误；因为，故选项正确故选：10在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是0，则第四个项点对应的复数可以是ABCD【分析】利用向量的相等及其运算法则、平行四边形的性质即可得出【解答】解：
12、假设平行四边形的，三点对应的三个复数分别为：，0，则，则点对应的复数可以是，假设平行四边形的，三点对应的三个复数分别为：，0，则，则点对应的复数可以是，假设平行四边形的，三点对应的三个复数分别为：，0，则，则点对应的复数可以是故选：11已知，则A的最小值为25B的最小值为C的最小值为D的最小值为【分析】对于选项：，从而利用基本不等式求最值，对于选项：，从而二次函数的性质求最值，对于选项：利用基本不等式可得，从而利用对数运算及对数函数的单调性求最值，对于选项：，从而利用基本不等式求最值【解答】解：（当且仅当，即，时，等号成立），故正确，故时，有最小值，故错误，（当且仅当时，等号成立），故错误，（
13、当且仅当时，等号成立），故正确，故选：12已知定义域为的函数满足：，；当，时，则AB，C函数的值城为，D，【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若，则（1）（5），故对，对于，当时，（3），故错，对于，区间，的端点5是1的5倍，都存在，使，故，又当，时，则有，故对，对于，当，则有，若，有，不是整数，错误；故选：三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上13已知变量与线性相关，若，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是【分析】设线性回归方程为，把已知数据代入求得，则线性回
14、归方程可求【解答】解：设线性回归方程为，与的线性回归直线的斜率为6.5，关于的线性回归方程为故答案为：14已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则0【分析】，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，可得：也是关于的方程的一个根，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则也是关于的方程的一个根，解得，则，故答案为：015某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 240种（用数字填写答案）【分析】根据题意，分2步进行分析：将5人分成4组，将分好的4组全排列，分别参加4个社团，由
15、分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：将5人分成4组，有种分组方法，将分好的4组全排列，分别参加4个社团，有种排法，由分步计数原理，则种方案，故答案为：24016已知随机变量，若，则0.8【分析】先得到正态曲线的对称轴是，得到，即可得到要求的结果【解答】解：随机变量，正态曲线的对称轴是，故答案为：0.8四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）为了了解某中心城市人们观看电视剧觉醒时代的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得到下方的列联表年轻人非年轻人总计已观看觉醒时代1252515
16、0未观看觉醒时代351550总计16040200（1）根据该列联表，是否有的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系？（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：0.150.010.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【分析】利用的公式求解即可【解答】解：（1），所以有的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系（2）越来越多的年轻人关注国家发展的历史18（12分）我们曾用组合模型发现了组合恒等式CC+C，这里所使用的方法，实际上是
17、将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧而列出表示同一个量的代数式（1）某医院有内科医生8名，外科医生x（x3）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求x的值；（2）化简：CC+CC+CC+CC【分析】（1）将原事件转化为从剩下7名内科医生，外科医生x（x3）名，派2名医生参加赈灾医疗队，即可求解（2）结合二项式定理，将原式看作（1+x）n（1+x）n 展开式中xn+1 的系数减，即可求解【解答】解：（1）内科医生8名，外科医生x（x3）名，现要派3名医生参加
18、赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生x（x3）名，派2名医生参加赈灾医疗队，即，解得x5（2）（1+x）n（1+x）n，xn+1 的系数+CC+CC+CC+CC，原式可以看作（1+x）n（1+x）n 展开式中xn+1 的系数减，即19（12分）如图，在直三棱柱中，点，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积【分析】（1）由、分别是、的中点，可得四边形是平行四边形，则，由直线与平面平行的判定可得平面；（2）由已知求解三角形可得，再由是直三棱柱，得平面，可得，由直线与平面垂直的判定得平面，得到为二面角的平面角，求得，再由棱锥体积公
19、式求三棱锥的体积【解答】证明：（1）、分别是、的中点，四边形是平行四边形，则，平面，平面，平面；解：（2），则，又是直三棱柱，平面，平面，平面，又平面，则为二面角的平面角，可得三棱锥的体积20（12分）已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出
20、分布列，由数学期望的计算公式求解即可【解答】解：（1）记“该投手投中两分球1次“为事件，则（A），记“该投手第一次投中三分球“为事件，则（B），记“该投手第二次投中三分球“为事件，则（C），记“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”为事件，因为每次投篮的结果相互独立，所以，所以（D）；（2）的可能取值为0，2，3，5，6，8，则，故的分布列为：023568所以21（12分）已知函数，（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）如果当，时，的最大值是6，求的值【分析】（1）当时，由奇函数定义可得为奇函数，当时，举反例可得是非奇非偶函数；（2）写出分段函数解析式，然后对分类分析在，上的单调性，求出最大值，
21、得关于的方程求解值【解答】解：（1）当时，则为奇函数，当时，（1），（1），则不是奇函数，（1），则不是偶函数，当时，为奇函数，当时，是非奇非偶函数；（2），当，即时，在上是增函数，在，上是增函数；当，即时，在，上是增函数，在，上是增函数；当，时，的最大值是（2），令，解得或，的值是1或322（12分）已知函数，其中，是自然对数的底数，（1）当，时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围【分析】（1）利用导数判断出的单调性，由此得到的取值范围，即可证明；（2）构造函数，利用导数研究函数的性质，结合函数零点的存在性定理进行分析求解，即可得到答案【解答】（1）证明：当时，则，令，解得，当时，
22、则在上单调递增，因为，所以（3），故；（2）解：因为，所以0是函数的一个零点，令，可得，当时，则在上单调递增，此时函数仅有一个零点，不符合题意；当时，由，可得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，取得极小值，即最小值为，设（a），则（a），所以当时，（a），则（a）单调递增，当时，（a），则（a）单调递减，当时，（a）取最大值，此时（a），函数只有一个零点；因为，且（a）在区间，上单调递增，、所以当，时，（a），即，此时，如图所示，当时，则单调递增，且，所以当时，只有一个零点，当时，则单调递减，取，则，因为，而，在，上单调递减且连续，所以在，上有唯一的零点，又因为在区间上没有零点，所以当时，有两个零点；当时，因为（a）在上单调递减，所以（a），即，此时，如图所示，因为当时，所以函数单调递减，且，所以当时，有一个零点，设，则，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以，则单调递增，所以当时，即当时，故，设，则，当时，单调递减，当时，则单调递增，所以（1），即，当且仅当时取等号，所以，而，在，上递增且连续，所以在，上有唯一的零点，又因为在，上没有零点，所以当时，有两个零点综上所述，的取值范围为，