1、2020-2021 学年江苏省连云港市高二学年江苏省连云港市高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若 z1a+2i，z234i，且为纯虚数，则实数 a 的值是（ ） A B C3 D8 2若 4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报 1 项，则不同的报名方式有（ ） A6 种 B24 种 C64 种 D81 种 3若在的展开式中，第 4 项为常数项，则 n 的值是（ ） A15 B16 C17 D18 4已知加工某一零件共需两道工序， 第 1，2 道工序的不合格品率分别为 3%和
2、5%， 且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是（ ） A4.85% B7.85% C8.85% D11.85% 5已知随机变量 服从正态分布 N（，2），若 P（4）P（8）0.18，则 P（68）（ ） A0.12 B0.22 C0.32 D0.42 6正四棱台的上、下底面边长分别是 2 和 4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A B C20 D21 7 某班举行了由6名学生参加的 “弘扬中华文化” 演讲比赛， 决出第1名到第6名的名次 （没有并列名次） 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从回答分析，6
3、 人的名次排列情况可能有（ ） A216 种 B240 种 C288 种 D384 种 8 体积为的三棱柱 ABCA1B1C1， 所有顶点都在球 O 的表面上， 侧棱 AA1底面 A1B1C1， 底面A1B1C1是正三角形，AB1与底面 A1B1C1所成的角是 45则球 O 的表面积是（ ） A B C D 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全选对的得要求全选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的
4、得 0 分）分） 9设 z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（ ） A若|z1z2|0，则 B若 z1z2R，则 C若|z1|z2|，则 D若|z1|z2|，则 10在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB1，BC1的中点，则 EF（ ） A与 BB1垂直 B与 BD 垂直 C与 A1C1异面 D与 CD 异面 11现有 3 名男生和 4 名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A排成前后两排，前排 3 人后排 4 人的排法共有 5400 种 B全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有 3600 种 C全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有 576 种 D全体排
5、成一排，男生互不相邻的排法共有 1440 种 12如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，现将RtACD 沿斜边 AC 翻折成D1AC（D1不在平面 ABC 内）若 M，N 分别为 BC 和 BD1的中点，则在ACD 翻折过程中，下列结论正确的是（ ） AMN平面 ACD1 BAD1与 BC 不可能垂直 C二面角 D1ABC 正切值的最大值为 D直线 AD1与 DM 所成角的取值范围为 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13若某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程（单位：亿元），其中，|
6、e|0.5若今年该地区财政收入为 10 亿元，则年支出预计不会超过 亿元 14若，则 a1+a2+a3+a4 15已知复数 z1，z2满足|z1|2，|z2|3，|z1z2|4，则|z1+z2| 16已知正方形 ABCD 的边长为 4，将ABC 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC平面 ACD，得到三棱锥 BACD若 O 为 AC 的中点，点 M，N 分别为 DC，BO 上的动点（不包括端点），且 BNCM，则当点N 到平面 ACD 的距离为 时，三棱锥 NAMC 的体积取得最大值，且最大值是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证
7、明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在z2724i，是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答 已知 z 是虚数，且_，求|z| 18（1）求 0.9966的近似值；（结果精确到 0.001） （2）设 aZ，且 0a13，若 512021+a 能被 13 整除，求 a 的值 19如图，有一块正四棱柱的木料，E，F 分别为 A1D1，D1C1的中点，AB4，BB16 （1）作出过 B，E，F 的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长； （2）求点 B1到平面 BEF 的距离 20为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否
8、有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人） 有效 无效 合计 口服 40 10 50 注射 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据所选择的 100 个病人的数据，能否有 95%的把握认为给药方式和药的效果有关？ （2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，求至少 2 人有效的概率 参考公式：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 21如图，四棱锥 SABCD 的底面是矩形，平面 SAB平面
9、ABCD，点 E 在线段 SB 上，ASBABS30，AB2AD （1）当 E 为线段 SB 的中点时，求证：平面 DAE平面 SBC； （2）当 SB4SE 时，求锐二面角 CAED 的余弦值 22某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏游戏的规则如下：每局游戏需投篮 3 次， 若投中的次数多于未投中的次数， 该局得 3 分， 否则得 1 分 已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立 （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数 X 的分布列与期望； （2）若参与者连续玩 2n（nN*）局投篮游戏获得的分数的平均值大于 2，即可获得一份大奖现有 nk 和 nk+1 两种
10、选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若 z1a+2i，z234i，且为纯虚数，则实数 a 的值是（ ） A B C3 D8 解：z1a+2i，z234i， 为纯虚数， ，解得 a 故选：B 2若 4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报 1 项，则不同的报名方式有（ ） A6 种 B24 种 C64 种 D81 种 解：由题可知每名学生都可以选报数学、物理、化学兴趣小组的其中一项， 所以每名学生有三种可能，所以 4 名学生不同的报名方式由 34
11、81 种， 故选：D 3若在的展开式中，第 4 项为常数项，则 n 的值是（ ） A15 B16 C17 D18 解：由题意可得， 令 r3 可得， n18 故选：D 4已知加工某一零件共需两道工序， 第 1，2 道工序的不合格品率分别为 3%和 5%， 且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是（ ） A4.85% B7.85% C8.85% D11.85% 解：根据题意，第 1 道工序的不合格品率分别为 3%，则其合格品的概率 P113%97%， 第 2 道工序的不合格品率分别为 5%，则其合格品的概率 P115%95%， 则加工出来的零件为合格品的概率 P0.970.950.
12、921592.15%， 则加工出来的零件为不合格品的概率 P1P7.85%； 故选：B 5已知随机变量 服从正态分布 N（，2），若 P（4）P（8）0.18，则 P（68）（ ） A0.12 B0.22 C0.32 D0.42 解：随机变量 服从正态分布 N（，2），且 P（4）P（8）， 由对称性可知，6，又 P（4）P（8）0.18，P（46）P（68）0.32， 故选：C 6正四棱台的上、下底面边长分别是 2 和 4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A B C20 D21 解：由棱台的几何特征可得其高度为：， 则其体积： 故选：A 7 某班举行了由6名学生参加的 “弘扬中华文化” 演
13、讲比赛， 决出第1名到第6名的名次 （没有并列名次） 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从回答分析，6 人的名次排列情况可能有（ ） A216 种 B240 种 C288 种 D384 种 解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有 4 种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有 4 种可能性， 所以 6 人的名次排列情况可能有种 故选：D 8 体积为的三棱柱 ABCA1B1C1， 所有顶点都在球 O 的表面上， 侧棱 AA1底面 A1B1C1， 底面A1B1C1是正三角形，AB1与底面 A1B1C1所成的角是 45则球
14、O 的表面积是（ ） A B C D 解：由题意可知三棱柱为正三棱柱，设正三棱柱 ABCA1B1C1的底边长为 a， AB1与底面 A1B1C1所成的角是 45，侧棱 AA1a， 正三棱柱 ABCA1B1C1的体积是， a2a，得 a1， 底面A1B1C1的外接圆的半径为， 则球 O 的半径为 R， 球 O 的表面积是 4R2 故选：A 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全选对的得要求全选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得
15、2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9设 z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（ ） A若|z1z2|0，则 B若 z1z2R，则 C若|z1|z2|，则 D若|z1|z2|，则 解：由|z1z2|0，得 z1z20，则 z1z2，故 A 正确； 若 z1z2R，则，错误，如 z11+i，z20，故 B 错误； 若|z1|z2|，则，故 C 正确； 取 z11，z2i，满足|z1|z2|，但，故 D 错误 故选：AC 10在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB1，BC1的中点，则 EF（ ） A与 BB1垂直 B与 BD 垂直 C与 A1C1异面 D与 CD
16、 异面 解：如图， 分别取 AB、BC 的中点 G、H，连接 EG、FH、GH， 则 EGBB1，FHBB1，EGBB1，FHBB1， EGFH 且 EGFH，可得四边形 EGHF 为平行四边形，则 EFGH 由正四棱住的结构特征可知，BB1底面 ABCD，则 BB1GH， 可得 EF 与 BB1垂直，故 A 正确； 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，BDAC，而 GHAC， 可得 EF 与 BD 垂直，故 B 正确； EFGHACA1C1，故 C 错误； EFGH，GH平面 ABCD，EF平面 ABCD，EF平面 ABCD， 可得 EF 与 CD 无交点，若 EF 与 CD 平行，则
17、GH 与 CD 平行，与 GH 和 CD 相交矛盾， 故 D 正确 故选：ABD 11现有 3 名男生和 4 名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ） A排成前后两排，前排 3 人后排 4 人的排法共有 5400 种 B全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有 3600 种 C全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有 576 种 D全体排成一排，男生互不相邻的排法共有 1440 种 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，将 7 名学生排成前后两排，前排 3 人后排 4 人的排法，有 C73A33A445040 种排法，A 错误； 对于 B，甲不站排头也不站排尾，有 5 种情况，将剩下的
18、 6 人全排列，有 A66种排法，则有 5A663600种排法，B 正确； 对于 C，将 4 名女生看成一个整体，有 A44种排法，将这个整体与 3 名男生全排列，有 A44种排法，则有A44A44576 种排法，C 正确； 对于 D，先排 4 名女生，有 A44种排法，排好后有 5 个空位，在 5 个人空位中任选 3 个，安排 3 名男生，有 A53种排法，则有 A44A531440 种排法，D 正确； 故选：BCD 12如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，现将RtACD 沿斜边 AC 翻折成D1AC（D1不在平面 ABC 内）若 M，N 分别为 BC 和 BD1的
19、中点，则在ACD 翻折过程中，下列结论正确的是（ ） AMN平面 ACD1 BAD1与 BC 不可能垂直 C二面角 D1ABC 正切值的最大值为 D直线 AD1与 DM 所成角的取值范围为 解： 对于 A 选项： 由 M， N 分别为 BC 和 BD1的中点， 则 MNCD1， 由 CD1平面 ACD1， MN平面 ACD1， 所以 MN平面 ACD1，故 A 正确； 对于 B 选项：由 ADCD，则 AD1CD1，当 AD1D1B 时，且 D1BAB，此时满足 AD1B 平面 CD1，因此 AD1BC， 所以 B 错误； 对于 C 选项：如图，作 D1QED 于 Q，ED 为直角，作 RQA
20、D 于 R，连接 RD1， 所以，D1RQ 为二面角 D1ABC 的平面角， 设 D1Qx， 所以， 所以 C 错误； 对于 D 选项：如图，作 APDM，AD1可以看成以 AC 为轴线，以 45为平面角的圆锥的母线， 所以 AC 与 AD1夹角为 45，AC 与 AP 夹角为 15，又 D1不在平面 ABC 内， 6045+15，304515， 所以 AD1与 DM 所成角的取值范围，所以 D 正确， 故选：AD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13若某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程（单位：亿元），
21、其中，|e|0.5若今年该地区财政收入为 10 亿元，则年支出预计不会超过 10 亿元 解： 某地的财政收入 x 与支出 y 满足的线性回归模型是 ybx+a+e （单位： 亿元） ， 其中，|e|0.5 0.8x+1.5+e 当 x10 时， 0.8x+1.5+e9.5+e |e|0.5，0.5e0.5 9y10， 今年支出预计不超出 10 亿元 故答案为：10 14若，则 a1+a2+a3+a4 8856 解：若，则令 x0，可得 a09， 再令 x1，可得 9+a1+a2+a3+a49756， a1+a2+a3+a48856， 故答案为：8856 15已知复数 z1，z2满足|z1|2，
22、|z2|3，|z1z2|4，则|z1+z2| 解：|z1z2|4， 42（z1z2）（）（z1z2）（）z1+z2z1+z222+32z1z2， 化为：z1+z23， 则（z1+z2）（）（z1+z2）（+）z1+z2+z1+z222+32+z2+z110， |z1+z2|， 故答案为： 16已知正方形 ABCD 的边长为 4，将ABC 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC平面 ACD，得到三棱锥 BACD若 O 为 AC 的中点，点 M，N 分别为 DC，BO 上的动点（不包括端点），且 BNCM，则当点N 到平面 ACD 的距离为 时，三棱锥 NAMC 的体积取得最大值，且最大值是 解：如
23、图所示，由几何关系可得：BO平面 ACD，令 ， 作 MEAC 于点 E，则 ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立 故答案为： 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在z2724i，是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答 已知 z 是虚数，且_，求|z| 解：若选择，设 za+bi（a，bR，b0），则 z2（a+bi）2（a2b2）+2abi724i， 由，解得或， z3+4i 或 z34i，则|z|5 若选择，设 za+bi（a，bR，b0）则
24、， 由，解得， z125i，则|z|13 若选择，设 za+bi（a，bR，b0），则， 是实数，则， 又 b0，a2+b21，则|z|1 18（1）求 0.9966的近似值；（结果精确到 0.001） （2）设 aZ，且 0a13，若 512021+a 能被 13 整除，求 a 的值 解：（1） 10.024+0.00024+0.976 （2）， 其中能被 13 整除， 只需a1 能被 13 整除，由 0a13，得 a10，故 a1 19如图，有一块正四棱柱的木料，E，F 分别为 A1D1，D1C1的中点，AB4，BB16 （1）作出过 B，E，F 的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的
25、周长； （2）求点 B1到平面 BEF 的距离 解：（1）连接 AC，过点 B 作直线 MN，分别交直线 DC，DA 的延长线于 N，M 两点，连接 EM，FN 分别交 AA1，CC1与 P，Q 两点，连接 PB，BQ， 则五边形 EPBQF 为所求截面， 在正方形 A1B1C1D1中，在 RtAMB 中，AMBDAC45，ABM45，故 AMAB4， 由AMPA1EP，故， 故 A1P2，AP4，故， 同理，可求得， 故五边形 EPBQF 周长为：， 则截面周长为 （2）分别取 AD，DC 的中点 R，T，连接 ER，FT，在 RtABR 中， 在 RtERB，同理 求得等腰EBF 的面积为
26、，求得EB1F 的面积为 设 B1到平面 BEF 的距离为 h，由，得， 故，故 B1到平面 BEF 的距离为 20为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人） 有效 无效 合计 口服 40 10 50 注射 30 20 50 合计 70 30 100 （1）根据所选择的 100 个病人的数据，能否有 95%的把握认为给药方式和药的效果有关？ （2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，求至少 2 人有效的概率 参考公式：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0
27、.15 0.10 0.05 0.025 0.01 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解：（1）提出假设 H0：给药方式和药的效果无关， 由表格数据得， 因为当 H0成立时，K23.841 的概率约为 0.05， 所以有 95%的把握认为给药方式和药的效果有关 （2）依题意，从样本的注射病人（50 人）中按分层抽样的方法取出的 5 人中， 有效的人，无效的有 2 人，记抽取的 3 人中有 i 人有效的为事件 Ai（i2，3）， 则； 因为 A3和 A2互斥，所以抽取的这 3 个病人中至少有 2 人有效的概率 P（A2+A2）P（A2）+P（A3）0.6+0.10.
28、7 所以其中至少 2 个病人有效的概率为 0.7 21如图，四棱锥 SABCD 的底面是矩形，平面 SAB平面 ABCD，点 E 在线段 SB 上，ASBABS30，AB2AD （1）当 E 为线段 SB 的中点时，求证：平面 DAE平面 SBC； （2）当 SB4SE 时，求锐二面角 CAED 的余弦值 【解答】（1）证明：四棱锥 SABCD 的底面是矩形，ADAB， 又平面 SAB平面 ABCD，平面 ABCD平面 SABAB，AD平面 ABCD， AD平面 SAB，又 BS平面 SAB，ADBS， ASBABS，ASAB，又 E 为 BS 的中点，AEBS， 又 ADAEA，BS平面 D
29、AE， BS平面 SBC，平面 DAE平面 SBC （2）解：如图，连接 CA，CE，在平面 ABS 内作 AB 的垂线，建立空间直角坐标系 Axyz， 设 AB2AD4a， A （0， 0， 0） ， B （0， 4a， 0） ， C （0， 4a， 2a） ， D （0， 0， 2a） ，则， 设平面 CAE 的法向量为， 即令 x1，则， 是平面 CAE 的一个法向量， 设平面 DAE 的法向量为， 即得 ， 锐二面角 CAED 的余弦值为 22某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏游戏的规则如下：每局游戏需投篮 3 次， 若投中的次数多于未投中的次数， 该局
30、得 3 分， 否则得 1 分 已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立 （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数 X 的分布列与期望； （2）若参与者连续玩 2n（nN*）局投篮游戏获得的分数的平均值大于 2，即可获得一份大奖现有 nk 和 nk+1 两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由 解：（1）由题意知 XB， 则， ， ， ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由（1）可知在一局游戏中，甲得 3 分的概率为，得 1 分的概率为， 若选择 nk，此时要能获得大奖，则需 2k 次游戏的总得分大于 4k， 设 2k 局游戏中，得 3 分的局数为 m，则 3m+（2km）4k，即 mk 易知 mB， 故此时获大奖的概率 同理可以求出当 nk+1，获大奖的概率为 因为 所以，则 P1P2 答：甲选择 nk+1 时，获奖的概率更大