1、2022年江西省九江市初中学业水平模拟数学三模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1. 3的绝对值是（）A. 3B. 3C. -D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 根据小成和小华一周内每天的锻炼时长绘制成如下折线统计图，已知两人平均每天的锻炼时长相同，分别表示小成和小华锻炼时长的方差，则（ ）A. B. C. D. 5. 如图，是由7个全等的菱形（有一个内角为60）拼接而成的图形，菱形的顶点称为格点，以其中的4个格点为顶点连成矩形的个数共有（ ）A. 6B. 8C
2、. 10D. 126. 已知点M为二次函数图象的顶点，则以下结论错误的是（ ）A. 该函数图象与x轴总有两个交点B. 若该函数图象的顶点M的坐标为，则b与a的关系满足C. 无论k取何值，顶点M总在x轴的上方D. 直线与该函数图象交于点C、D，则当时，MCD是等边三角形二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 江西省于2022年1月26日下午，第一批率先向北京红十字血液中心提供360000毫升悬浮红细胞血液，支持北京冬奥会，将360000毫升用科学记数法表示为_8. 如图，直线，且直线b、c、d相交于同一点，若，则的度数为_9. 因式分解= 10. 已知，是一元二次方程的两根，则_
3、11. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接DF、CF，若，则EFC面积为_12. 如图，矩形ABCD中，点E是BC的中点，点F在AB上，P是矩形上一动点若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，FP的长为_三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）化简并求值：，其中（2）如图，在ABCD中，点O是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线于点E，EF分别与AB、CD交于点H、G求证：14. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上15. 圆周率是无限不循环小数历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过
4、深入研究目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位有学者发现，随着小数部分位数的增加，09这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同 （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为_；（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表方法求解）16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形17. 如图，RtAOD的边OD在x轴上，将AOD先向
5、右平移m个单位，再向上平移n个单位得到BCE，点C、B恰好落在反比例函数的图象上，若（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的若干名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表：组别年龄段频数（人数）频率A55%B25%C4242%D20E88%（1）请直接写出_，_；（2）志愿者的年龄的中位数落在_组；（3）若抽取的100名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示
6、，请估计该社区志愿者共有多少人？19. 如图1，AB为半径，点C在AB延长线上且满足，点D是圆上的一个动点，连接AD、CD（1）ACD面积最大时，请直接写出的值；（2）猜想：当的度数为多少时，CD为的切线，并证明你的猜想（3）如图2，点H为AB中点，试猜想CD与DH的数量关系并给出证明20. “荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千左图为实际图，右图为侧面几何图静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅
7、垂线AB夹角（即）的度数；（2）如果我们把荡秋千最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当时，可使人愉悦感最强当小鹏用力将小运从点C推出后可达到最高点D处，此时请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由（结果精确到0.01，参考数据：，）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽风景小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人已知小捷先出发20s，如图，两人之
8、间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示请回答下列问题：（1）小捷的速度为_m/s、父亲的速度为_m/s；（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m22. 已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ（1）点A和点B坐标分别为_和_；四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是_，的解析式为_（2）当点Q到x轴距离为4时，求m值和此时四边形APBQ的面积若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出
9、当时，a的取值范围六、解答题（本大题共12分）23. 回归教材：（1）如图1，小然同学在学习九年级上（北师版）教材P90页时，遇到了这个问题如图，在ABC中，垂足为D求证：请你替小然写出过程小试牛刀：（2）如图2，_ 变式探索：（3）如图3，ABC中，点D为ABC内部一点，且满足，求AD长拓展应用：如图4，（4）正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作圆在正方形内得到弧AC，点P为弧AC上一点，且满足BPC面积记作，正方形ABCD面积记为求；试猜想与的数量关系并证明 2022年江西省九江市初中学业水平模拟数学三模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1
10、. 3的绝对值是（）A. 3B. 3C. -D. 【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3故选B【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图示确定几何体主视图即可得到答案【详解】解：该几何体的主视图，为一个长方形上面加一个三角形，如图，故选A【点睛】考查几何体三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图掌握以上知识是解题的关键3. 下列运算正确的是（
11、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，完全平方公式，同底数幂的除法逐项分析判断即可求解【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意故选D【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，完全平方公式，同底数幂的除法，正确的计算是解题的关键4. 根据小成和小华一周内每天的锻炼时长绘制成如下折线统计图，已知两人平均每天的锻炼时长相同，分别表示小成和小华锻炼时长的方差，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】观察折线统
12、计图可知小成每天锻炼时长在35至45分钟之间波动，小华每天锻炼时长在30至50分钟之间波动，据此分析即可求解【详解】解：根据折线统计图可知小成每天锻炼时长在35至45分钟之间波动，小华每天锻炼时长在30至50分钟之间波动，分别表示小成和小华锻炼时长的方差，故选B【点睛】本题考查了折线统计图，方差，理解方差的意义是解题的关键5. 如图，是由7个全等的菱形（有一个内角为60）拼接而成的图形，菱形的顶点称为格点，以其中的4个格点为顶点连成矩形的个数共有（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质画出图形，从而求解【详解】解：如图，
13、，同理可得，四边形是矩形，同理可得四边形是矩形，如图，根据题意是等边三角形，设菱形的边长为1，则，则，则，四边形是矩形，同理可得，四边形是矩形，共10个，故选C【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键6. 已知点M为二次函数图象的顶点，则以下结论错误的是（ ）A. 该函数图象与x轴总有两个交点B. 若该函数图象的顶点M的坐标为，则b与a的关系满足C. 无论k取何值，顶点M总在x轴的上方D. 直线与该函数图象交于点C、D，则当时，MCD是等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质逐项分析判段即可求解【详解】令, 则 ， 该抛物线与 轴
14、总有2个交点，故A选项正确，不符合题意； 抛物线 ， 其顶点 的坐标为 ，则，故B选项正确，不符合题意； 抛物线 的顶点 的纵坐标 为 ， 无论 取何值, 一次函数 图象的顶点 总在 轴的下方，故C选项错误，符合题意；顶点 的坐标为 ，根据题意可设点 , 则点 ， 是等边三角形， 且 或，且，故D选项正确，不符合题意，故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数综合，等边三角形的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 江西省于2022年1月26日下午，第一批率先向北京红十字血液中心提供360000毫升悬浮红细胞血液，支持北
15、京冬奥会，将360000毫升用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键8. 如图，直线，且直线b、c、d相交于同一点，若，则的度数为_【答案】#度【解析】【分析】根据垂线的定义可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件即可求解【详解】如图，故答案为：【点睛】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，掌
16、握平行线的性质是解题的关键9. 因式分解= 【答案】【解析】【详解】试题分析：原式=故答案为考点：提公因式法与公式法的综合运用10. 已知，是一元二次方程的两根，则_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入即可求解【详解】解：，是一元二次方程的两根，则故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若是一元二次方程的两根，11. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接DF、CF，若，则EFC的面积为_【答案】【解析】【分析】在上截取，连接，证明，
17、进而可得，过点作，勾股定理求得，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解【详解】解：如图，在上截取，连接，四边形是正方形，则是等腰直角三角形，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，在与中，过点作，则是等腰直角三角形，设，则， 中，即，解得，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键12. 如图，矩形ABCD中，点E是BC的中点，点F在AB上，P是矩形上一动点若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，FP的长为_【答案】2或4或【解析】【分析】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE以O为圆心OF为半径画O交CD
18、于P3只要证明EP1FFP2FFP3E30，即可推出FP12，FP24，FP3解决问题【详解】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE以O为圆心OF为半径画O交CD于P3四边形ABCD是矩形，BADB90，BF1，BE，AF2，AD2，tanFEBtanADF，ADFFEB30，EF，OFOD2，OEF是等边三角形，EP1FFP2FFP3E30，FP12，FP24，FP3，故答案为：2或4或【点睛】本题考查了矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1
19、3. （1）化简并求值：，其中（2）如图，在ABCD中，点O是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线于点E，EF分别与AB、CD交于点H、G求证：【答案】（1），2；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据分式的减法运算计算化简，然后将代入即可求解；（2）由平行四边形的性质得ADBC，根据平行线的性质证明E=F，角边角证明AFGCEH，其性质得AG=CH【详解】（1）解：原式；当时，原式；（2）证明：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，点O是AC的中点，又AH=CG；【点睛】本题考查了分式的化简求值，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解
20、题的关键14. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上【答案】【解析】【分析】分别解两个不等式，再找解集的公共部分【详解】解：，由得：，由得：，所以原不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组、用数轴表示解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键15. 圆周率是无限不循环小数历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位有学者发现，随着小数部分位数的增加，09这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同 （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为
21、_；（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率（用画树状图或列表方法求解）【答案】（1）；（2）见解析，【解析】【分析】(1)这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,根据概率公式计算即可;(2)画出树状图计算即可.【详解】（1）这个事件中有10种等可能性,其中是6的有一种可能性,数字是6的概率为,故答案为：；（2）解：画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况（其中有一幅是祖冲之）【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键16.
22、 如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接，过点与对角线的交点作交于点，则四边形即为所求，（2）在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，则ADMCDF，则AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM,则AEM即为所求【小问1详解】如图（1）所示，连接，过点与对角线的交点作交于点，则四边形即为所求，【小问2详解】如图（2）所示，等腰
23、三角形即为所求，在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，AD=CD，ADMCDF，则AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM，则AEM即为所求【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键17. 如图，RtAOD的边OD在x轴上，将AOD先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到BCE，点C、B恰好落在反比例函数的图象上，若（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据，解RtAOD求得的坐标；（2）由（1）得到的坐标，通过平移求得的
24、坐标，待定系数法求解析式即可求解；【小问1详解】解：RtAOD的边OD在x轴上，；【小问2详解】将AOD先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到BCE，在反比例数的图象上，解得，即 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的若干名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表：组别年龄段频数（人数）频率A55%B25%C4242%D
25、20E88%（1）请直接写出_，_；（2）志愿者的年龄的中位数落在_组；（3）若抽取的100名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？【答案】（1）25，20% （2）C （3）200【解析】【分析】（1）根据A组人数以及A组的频率求得总人数，用总人数减去其他组的人数即可求得a，用1减去其他组的频率即可求得m（2）（3）;（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据岁的人数除以占社区志愿者的占比，即可求解【小问1详解】解：A组人数为5人，频率为5%，则总人数为55%=100（人），a=100-5-42-20-8=25，故答案为：25，20%；【
26、小问2详解】2+25=2750，则第50，51个数据都落在C组，即中位数落在C组；【小问3详解】抽取的100名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例为31%，人数有42+20=62（人）志愿者共有6231%=200（人）【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，样本估计总体，求中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键19. 如图1，AB为半径，点C在AB延长线上且满足，点D是圆上一个动点，连接AD、CD（1）ACD面积最大时，请直接写出的值；（2）猜想：当的度数为多少时，CD为的切线，并证明你的猜想（3）如图2，点H为AB中点，试猜想CD与DH的数量关系并给出证明【答案】（1） （2），
27、证明见解析 （3），证明见解析【解析】【分析】（1）过点作，根据三角形的面积公式可得取得最大值时，面积最大，勾股定理求得，进而根据正弦的定义即可求解；（2）根据切线的性质，特殊角的三角函数值，即可求解；（3）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可求解【小问1详解】解：如图，过点作，点D是圆上的一个动点，时，最大，则，设，中，【小问2详解】当的度数为时，CD为的切线，证明：为的切线，【小问3详解】，理由如下，如图，设，则，为的中点，又，【点睛】本题考查了垂线段最短，求正弦，切线的的性质，已知特殊三角函数值求角度，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键20. “荡秋千”一直以来都是
28、人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千左图为实际图，右图为侧面几何图静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即）的度数；（2）如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当时，可使人愉悦感最强当小鹏用力将小运从点C推出后可达到最高点D处，此时请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由（结果精确到0.01，参考数据：，）【答案
29、】（1） （2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）过点作，则四边形是矩形，根据题意求得，根据即可求解；（2）过点作与点，解，根据题意分别求得，进而求得的值，即可求解【小问1详解】如图，过点作，则四边形是矩形， 根据题意可知，在中，,，【小问2详解】能，理由如下，如图，过点作与点，由（1）可知，即当时，可使人愉悦感最强能实现愉悦感最强【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求弧长公式，正确的计算是解题的关键五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一
30、个训练段已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示请回答下列问题：（1）小捷的速度为_m/s、父亲的速度为_m/s；（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m【答案】（1）2, 3 （2）A(40，0)，y=-2x+520 （3）180x 210【解析】【分析】（1）根据函数图像结合速度等于路程除以时间即可求解；（2）待定系数法求解析式即可求解；（3）分情况讨论，在AB段时，当父亲到达终点后，根据题意列方程求解即可求解【小
31、问1详解】由图象可得，小婕20s走了40m，爸爸200s走了600m，则小婕的速度为4020=2(m/s)，父亲的速度为600200=3(m/s)，故答案为：2，3；【小问2详解】由图象知，点A是父亲追上小婕时的时间点，设父亲ts追上小婕，则，2(20+t)=3t，解得，t=40，A(40,0)，当父亲到达终点时，y=600-2(200+40)=120， (200,120)，小婕走完全程需要的时间为，6002=300(8)，300-40=260(s)， C(260,0)，设BC所在直线解析式：y=kxb(k0)，把B（200，120），C(260，0）分别代入得，解得，BC所在直线解析式为y=
32、-2x+520；【小问3详解】在AB段时，父亲到达终点前父亲走xs，父女相距100m时，3x-2(x+40)=100，解得，x180，当父亲到达终点后，把y=100代入，y=-2x520得，-2x+520=100，解得，x210，180x210时，父女相距超过100m综上所述：在180s到210s的时间段内，父女两人之间的距离超过了100m【点睛】本题考查了一次函数应用，从函数图象获取信息是解题的关键22. 已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ（1）点A和点B坐标分别为_和_
33、；四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是_，的解析式为_（2）当点Q到x轴的距离为4时，求m值和此时四边形APBQ的面积若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出当时，a的取值范围【答案】（1），菱形，； （2），四边形APBQ的面积为2，时，四边形APBQ的面积10；且【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求得定点，求得顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形对角线互相平分求得，进而即可求解求得的解析式；（2）根据题意得的值，进而求得面积；根据条件可得，进而求得的坐标，结合图象即可求解【小问1详解】，当时，当时，抛物线过定点，点A在点B左侧，如图，由翻折可知，轴，轴，则是抛物
34、线的对称轴，平分，四边形是菱形，顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形的性质可得，得，【小问2详解】当点到轴的距离为时，则，或，当时，则点坐标为，点坐标为，当时，则点的坐标为，点坐标为，由可知当时，点的坐标为，点，要使直线与两抛物线共同组成的图象共有4个交点，则的取值范围是：且【点睛】本题考查了二次函数综合，菱形的性质与判定，轴对称的性质，数形结合是解题的关键六、解答题（本大题共12分）23. 回归教材：（1）如图1，小然同学在学习九年级上（北师版）教材P90页时，遇到了这个问题如图，在ABC中，垂足为D求证：请你替小然写出过程小试牛刀：（2）如图2，_ 变式探索：（3）如图3，ABC中，
35、点D为ABC内部一点，且满足，求AD长拓展应用：如图4，（4）正方形ABCD中，以D为圆心，DC为半径作圆在正方形内得到弧AC，点P为弧AC上一点，且满足BPC面积记作，正方形ABCD面积记为求；试猜想与的数量关系并证明【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；，证明见解析【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等，证明即可；（2）利用同角的余角相等，证明，推出，利用对应边成比例求出AB，再利用勾股定理解即可求出CD；（3）先利用已知条件求出，再通过导角证明，推出，利用对应边成比例即可求出AD；（4）先利用正方形和等腰三角形的性质推出，证明，再利用对应边长成比例得出，则在直角三角形ABP中，；作于点E，作于点F，由得，推出，再由，相似比为，推出，进而得出，【详解】解：（1）证明过程如下：ABC中，在与中，；（2），在与中，即，解得，,故答案为：；（3），又，在与中，即，；（4）如图，连接AP，AC， PD，ABCD是正方形ABCD，同理可得，又，在与中，又，；，证明如下：如图，作于点E，作于点F，则，四边形BFPE是矩形，即，又，即，【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，第4问难度较大，熟练掌握相似三角形的判定方法，合理运用前3问的解答思路是解题的关键