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山东省济南市长清区2021年八年级下期末数学试卷(含答案解析)

1、山东省济南市长清区山东省济南市长清区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试学年八年级下期末数学试卷卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 48 分 )分 ) 1. 若xy,则下列不等式成立的是( ) A. 33xy B. 11xy C. 33xy D. xy 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A. (x3) (x3)x29 B. x22x1x(x

2、2)1 C. x22x1(x1)2 D. 8a2b22a2 4 b2 4. 如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( ) A. AODO B. CDAB C. BADBCD D. /,AD BC ADBC 5. 下列说法不正确的是( ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 6. 在平面直角坐标系中,将点 A(-2,3)向右平移 4 个单位长度再向下平移 4个单位长度,得到的对应点 A的坐标为( ) A. (-6,7) B. (-6,-1)

3、 C. (2,-1) D. (2,7) 7. 化简1xx 21xx的结果是( ) A. x B. x C. x1 D. x1 8. 如图将 ABC绕点 P按逆时针方向旋转 90 ,得到 ABC,则点 A 的对应点 A的坐标是( ) A. (0,4) B. (2,-2) C. (3,-2) D. (-1,4) 9. 已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的 2倍,则这个多边形的边数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图,在ABC 中,AB10,BC16,点 D、E分别是边 AB、AC中点,点 F 是线段 DE 上的一点,连接 AF、BF,若AFB90 ,则线段 EF的

4、长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,CB12,CD5,折叠纸片使 AD与对角线 BD重合,与点 A 重合的点为N,折痕为 DM,则 MNB 的面积为( ) A 65 B. 125 C. 135 D. 26 12. 如图,BD为平行四边形 ABCD 的对角线,DBC45 ,DEBC 于点 E,BFCD 于点 FDE、BF相交于点H, 直线 BF交线段 AD的延长线于点G, 下列结论: ABHE; ABBH; BHDBDG;BH2BG2AG2其中正确的结论有( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每

5、小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分 )分 ) 13. 分解因式:x2+6x+9=_ 14. 分式426mm值为 0,则 m_; 15. 如图,菱形 ABCD对角线 AC、BD 相交于点 O,若 AC=8,BD=6,则该菱形的周长是_ 16. 一次函数 y=ax+b与正比例函数 y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示, 则关于x的不等式 ax+bkx的解集为_ 17. 如果方程13x23kx有增根则 k_ 18. 如图,正方形 ABCD中,AB6,点 E 为对角线 AC上的动点,以 DE 为边作正方形 DEFG,点 H是 CD上一点,DH23CD,连接 GH,则 GH 的最小值为_

6、 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 9 小题,共小题,共 78分 )分 ) 19. 因式分解: (1)22mxmy; (2)2 ()3 ()m abn ba 20. 解不等式组:2173112xxx ,并在数轴上表示出不等式组的解集 21. 解分式方程:22xx112x 22. 先化简,再求值:211121aaaa,其中3 1a 23. 如图,在 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的一条直线分别交 AD,BC 于点 E,F求证:AE=CF 24. 如图,菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O,BEAC,AEBD,连接 EO (1)试判断四边形 AEBO的形

7、状,并说明理由; (2)若 CD6,求 OE 的长 25. 为抗击新型冠状病毒肺炎,某市医院打算采购 A、B两种医疗器械,购买 1 台 A器材比购买 1 台 B器材多花 5 万元,并且花费 300 万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B器材的数量相等 (1)求购买一台 A 器材和一台 B器材各需多少万元; (2)医院准备购买 A、B两种器材共 60 台,若购买 A、B 器材的总费用不高于 800 万元,那么最多购买 A器材多少台? 26. 综合与实践 已知四边形 ABCD与 AEFG均为正方形 (1)数学思考: 如图 1,当点 E在 AB边上,点 G在 AD边上时,线段 BE 与 DG

8、 的数量关系是_;位置关系是_; (2)在图 1 的基础上,将正方形 AEFG以点 A 为旋转中心,逆时针旋转角度 ,得到图 2则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理 (3)如图 3,着点 D、E、G 在同一直线上,AB2AE=22,求线段 BE的长 27. 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y12x6与 x 轴、y轴相交于 A、B两点,点 C 在线段 OA上,将线段 CB绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD,此时点 D 恰好落在直线 AB上,过点 D 作 DEx 轴于点 E (1)求证:BOCCED; (2)如图 2,将BCD沿 x 轴正方向平移得BCD,当

9、BC经过点 D时,求点 D坐标及BCD 平移的距离; (3)若点 P在 y轴上,点 Q在直线 AB上,是否存在以 C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的 P点的坐标;若不存在,请说明理由 山东省济南市长清区山东省济南市长清区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试学年八年级下期末数学试卷卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 48 分 )分 ) 1. 若xy,则下列不等式成立的是( ) A. 33xy B. 11xy C. 33xy D. xy 【1 题答案】 【答案】B 【解析】

10、 【分析】根据不等式的性质分析判断 【详解】解:A.根据不等式的基本性质,不等式两边同乘以 3,不等号的方向不变,得33xy,故 A错误; B.不等式两边同加上 1,不等号方向不变,得11xy ,故 B正确; C.不等式两边同除以 3,不等号方向不变,得33xy,故 C错误; D.不等式两边同乘以-1,不等号的方向改变,得xy ,故 D 错误 故选:B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,特别注意当不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变 2. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产,以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.

11、 B. C. D. 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义:把一个图形沿某条直线对折,对折后直线两旁的部分能完全重合,则这个图形是轴对称图形,中心对称图形:把一个图形绕某点旋转180后能与自身重合,则这个图形是中心对称图形,根据概念逐一分析可得答案 【详解】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意; D、既是轴对称图形又是中心对称图形的,故本选项符合题意 故选:D 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别,掌握以上知识是解题

12、的关键 3. 下列从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A. (x3) (x3)x29 B. x22x1x(x2)1 C. x22x1(x1)2 D. 8a2b22a2 4 b2 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【详解】解:A从左到右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意; B从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意; C从左到右变形属于因式分解,故本选项符合题意; D从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意; 故选:C 【点睛】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几

13、个整式的积的形式,叫因式分解 4. 如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( ) A. AODO B. CDAB C. BADBCD D. /,AD BC ADBC 【4 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质定理直接判断即可 【详解】解:四边形 ABCD 是平行四边形,AC与BD相交于点O, CDAB,BADBCD,/,AD BC ADBC,OD=OB,OA=OC, 故 B、C、D正确; 故选:A 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 5. 下列说法不正确的是( ) A. 两组对边分别相等的四边

14、形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【5 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解 【详解】解:A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的,故该选项不符合题意; B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的,故该选项不符合题意; C、一个角是直角的四边形是矩形是错误的,故该选项符合题意; D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的,故该选项不符合题意; 故选:C 【点睛】本题考查了矩形的判定,平行四边形的判定和性质,菱形的判定,熟练运用这些判定是本

15、题的关键 6. 在平面直角坐标系中,将点 A(-2,3)向右平移 4 个单位长度再向下平移 4个单位长度,得到的对应点 A的坐标为( ) A. (-6,7) B. (-6,-1) C. (2,-1) D. (2,7) 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标的平移规律解答即可 【详解】解:将点 A(-2,3)向右平移 4 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度, 那么平移后对应的点 A的坐标是(-2+4,3-4) ,即(2,-1) , 故选:C 【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减 7. 化简1xx 21xx的结

16、果是( ) A. x B. x C. x1 D. x1 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】将分母化为同分母,通分,再将分子因式分解,约分即可 【详解】原式2(1)111xxxxxxxx, 故选 B 【点睛】此题考查分式的加减法,难度不大,先化为同分母再通分是解题关键 8. 如图将ABC绕点 P按逆时针方向旋转 90 ,得到ABC,则点 A的对应点 A的坐标是( ) A. (0,4) B. (2,-2) C. (3,-2) D. (-1,4) 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 根据旋转的性质, 确定出点 A, 点 B, 点 C的位置, 得到ABC, 即可得点 A 的对应

17、点 A的坐标 【详解】解:如图,ABC即为所求, 点 A 的对应点 A的坐标是(0,4) 故选:A 【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转,解决本题关键是掌握旋转的性质旋转前后两个图形全等,对应顶点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的夹角等于旋转角 9. 已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的 2倍,则这个多边形的边数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设多边形的边数为 n,由 n边形的内角和可以表示成(n-2)180,外角和为 360 ,根据题意列方程求解 【详解】解:设多边形边数为 n,依题意,得 (n-2)180=23

18、60, 解得 n=6, 故选 C 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角,掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和是解题关键 10. 如图,在ABC 中,AB10,BC16,点 D、E分别是边 AB、AC的中点,点 F是线段 DE 上的一点,连接 AF、BF,若AFB90 ,则线段 EF的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到 DF=5,由三角形中位线的性质得到 DE=8,最后由线段的和差解题即可 【详解】解:AFB=90 ,点 D是 AB 的中点, DF= 12AB=5, BC= 16,

19、D、E 分别是 AB,AC 的中点, DE=12BC=8, EF=DE-DF=3, 故选:B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质,掌握定理是解题的关键 11. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,CB12,CD5,折叠纸片使 AD与对角线 BD重合,与点 A 重合的点为N,折痕为 DM,则MNB的面积为( ) A. 65 B. 125 C. 135 D. 26 【11 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】 由勾股定理得出BD=13, 由折叠的性质可得ND=AD=12, MND=A=90 , NM=AM, 得出EAB=90 ,BN=BD-ND=1,设 AM=NM=x,则 BM=AB-

20、AM=5-x,在 RtBMN 中,由勾股定理得出方程,解方程得出 x,即可得出答案 【详解】解:四边形 ABCD 是矩形, A=90 ,AD=BC=12,AB=CD=5, BD=2222512ABAD=13, 由折叠的性质可得:ND=AD=12,MND=A=90 ,NM=AM, MNB=90 ,BN=BD-ND=13-12=1, 设 AM=NM=x,则 BM=AB-AM=5-x, 在 RtBMN中,NM2+BN2=BM2, x2+12=(5-x)2, 解得:x=125, NM=AM=125, MNB 的面积=12BN NM=11261255 ; 故选:A 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理

21、以及矩形的性质熟练掌握折叠的性质和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键 12. 如图,BD为平行四边形 ABCD 的对角线,DBC45 ,DEBC 于点 E,BFCD 于点 FDE、BF相交于点H, 直线 BF交线段 AD的延长线于点G, 下列结论: ABHE; ABBH; BHDBDG;BH2BG2AG2其中正确的结论有( ) A. B. C. D. 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】通过判断BDE为等腰直角三角形,得到 BE=DE,根据等角的余角相等得到BHE=C,再根据平行四边形的性质得到A=C, 则A=BHE, 于是可对进行判断; 根据“AAS”可证明BEHDEC,

22、得到 BH=CD,CE=EH,可对进行判断;接着由平行四边形的性质得 AB=CD,则 AB=BH,运算可对进行判断;因为BHD=90 +EBH,BDG=90 +BDE,由BDEEBH,推出BDGBHD;依据勾股定理即可得到 BH2+BG2=AG2 【详解】DBC=45 ,DEBC, BDE为等腰直角三角形, BE=DE, BFCD, C+CBF=90 , 而BHE+CBF=90 , BHE=C, 四边形 ABCD为平行四边形, A=C, A=BHE,所以正确; 在BEH和DEC中 BHECHEBCEDBEDE, BEHDEC(AAS) , BH=CD,CE=EH, 四边形 ABCD为平行四边形

23、, AB=CD, AB=BH,所以正确; BHD=90 +EBH,BDG=90 +BDE, BDEEBH, BDGBHD,所以错误; BFCD,ABCD, ABG=90 , RtABG中,AB2+BG2=AG2, 又AB=BH, BH2+BG2=AG2,所以正确; 正确 故选:B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质以及勾股定理,熟练运用平行四边形的性质是本题的关键 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分 )分 ) 13. 分解因式:x2+6x+9=_ 【13 题答案】 【答案】 (x+3)2

24、【解析】 【详解】试题分析:直接用完全平方公式分解即可:x2+6x+9=(x+3)2 14. 分式426mm的值为 0,则 m_; 【14 题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件:分子为 0,分母不为 0,即可求出答案 【详解】由题意可知:40260mm, 解得:4m, 故答案为:4 【点睛】本题考查分式的值,解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件,本题属于基础题型 15. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD相交于点 O,若 AC=8,BD=6,则该菱形的周长是_ 【15 题答案】 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解. 【

25、详解】依题意可知 BDAC,AO=4,BO=3 AB=2234=5, 菱形的周长为 45=20 【点睛】此题主要考查菱形的周长计算,解题的关键是熟知菱形的对角线垂直. 16. 一次函数 y=ax+b与正比例函数 y=kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示, 则关于x的不等式 ax+bkx的解集为_ 【16 题答案】 【答案】x1 【解析】 【分析】由图象可以知道,当 x=-1 时,两个函数的函数值是相等的,再根据函数的增减性可以判断出不等式 ax+bkx 解集 【详解】 两个条直线的交点坐标为(1, 2), 且当 x1时, 直线 y=kx 在 y=ax+b 直线的下方, 故不等式 ax+bkx

26、的解集为 x1 故答案为 x1 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识点,解题的关键是根据图象可知一次函数与一元一次不等式的增减性 17. 如果方程13x23kx有增根则 k_ 【17 题答案】 【答案】1 【解析】 【分析】先解分式方程,用含k的代数式表示方程的的解,因为方程13x23kx有增根,则3x ,再求出k即可 【详解】13x23kx 去分母得:12(3)xk 解得:72kx 原方程有增根 3x 即:732k 解得:1k 故答案为:1 【点睛】本题考查了分式方程的解法,增根的定义,根据增根的定义求解是解题的关键 18. 如图,正方形 ABCD中,AB6,点 E 为对角线 A

27、C上的动点,以 DE 为边作正方形 DEFG,点 H是 CD上一点,DH23CD,连接 GH,则 GH 的最小值为_ 【18 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】连接CG,证明ADECDG SAS,推出45DCGDAE,推出点G的运动轨迹是射线CG,根据垂线段最短可知,当GHCG时,GH的值最小 【详解】连接CG, 四边形ABCD是正方形,四边形DEFG是正方形, DADC,DEDG,90ADCEDG,45DAC, ADECDG, ADECDG SAS, 45DCGDAE, 点G的运动轨迹是射线CG, 根据垂线段最短可知,当GHCG,GH的值最小, 243DHCD, 2CHCDDH, 最小

28、值sin452CH 故答案为:2 【点睛】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 9 小题,共小题,共 78分 )分 ) 19. 因式分解: (1)22mxmy; (2)2 ()3 ()m abn ba 【19 题答案】 【答案】 (1)m(x+y) (x-y) ; (2) (a-b) (2m+3n) 【解析】 【分析】 (1)直接提取公因式 m,再利用平方差公式分解因式得出答案; (2)直接提取公因式(a-b) ,进而分解因式即可 【详解】解: (1)mx2-my2 =m(x2-y2) =m(x+y) (x-y) ; (2

29、)2m(a-b)-3n(b-a) =2m(a-b)+3n(a-b) =(a-b) (2m+3n) 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用乘法公式是解题关键 20. 解不等式组:2173112xxx ,并在数轴上表示出不等式组的解集 【20 题答案】 【答案】34x,数轴见解析 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【详解】解:解2173112xxx 由解得4x, 由解得3x, 解集在数轴上表示如下图: 所以不等式组的解集为34x 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴

30、上表示出来(,向右画;,向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”,“”要用实心圆点表示;“”,“”要用空心圆点表示 21. 解分式方程:22xx112x 【21 题答案】 【答案】13x 【解析】 【分析】两边都乘以2x,化分式方程为整式方程,解整式方程求得 x 的值,最后检验即可得 【详解】解:22xx112x 去分母得,221xx 解得,13x 经检验,13x 是原方程的解, 所以,原分式方程的解为:13x 【点睛】本题考查了解分式方程,解题的关键是把分式方程转化为整式方程,不

31、要忘记检验 22. 先化简,再求值:211121aaaa,其中3 1a 【22 题答案】 【答案】a+1;3 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 a 的值代入进行计算即可 【详解】解:原式=2211 11111aaaaaaaaa 当3 1a 时,原式=3 1 13 23. 如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的一条直线分别交 AD,BC 于点 E,F求证:AE=CF 【23 题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 利用平行四边形的性质得出 AO=CO, ADBC, 进而得出EAC=FCO, 再利用 ASA 求出AOECOF,即

32、可得出答案 【详解】ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, AO=CO,ADBC, EAC=FCO, 在AOE 和COF 中EAOFCOAOOCAOECOF , AOECOF(ASA) , AE=CF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键 24. 如图,菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O,BEAC,AEBD,连接 EO (1)试判断四边形 AEBO的形状,并说明理由; (2)若 CD6,求 OE 的长 【24 题答案】 【答案】 (1)矩形,理由见解析; (2)6 【解析】 【分析】 (1)结合题意,可得四边形 A

33、EBO 为平行四边形;再根据菱形性质,推导得BEAE,即可得到答案; (2)根据(1)的结论,结合矩形性质,得OEAB;根据菱形性质,得6ABCD,即可得到答案 【详解】 (1)BEAC,AEBD 四边形 AEBO 为平行四边形 菱形 ABCD ACBD BEAE 四边形 AEBO 为矩形; (2)四边形 AEBO为矩形 OEAB 菱形 ABCD 6ABCD 6OEAB 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的知识;解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定和性质,从而完成求解 25. 为抗击新型冠状病毒肺炎,某市医院打算采购 A、B两种医疗器械,购买 1 台 A器材比购买 1 台 B

34、器材多花 5 万元,并且花费 300 万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B器材的数量相等 (1)求购买一台 A 器材和一台 B器材各需多少万元; (2)医院准备购买 A、B两种器材共 60 台,若购买 A、B 器材总费用不高于 800 万元,那么最多购买 A器材多少台? 【25 题答案】 【答案】 (1)购买一台 A器材需要 15万元,则购买一台 B 器材需要 10 万元 (2)最多购买 A 器材 40 台 【解析】 【分析】 (1)设购买一台 B 器材需要 x 元,则购买一台 A 器材需要(x+5)元,根据数量=总价 单价结合 300万元购买 A 器材和花费 200 万元购买 B

35、器材的数量相等,即可得出关于 x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论; (2)设购买 A 器材 y台,则购买 B 器材(60-y)台,根据题意列出不等式并解答 【详解】解: (1)设购买一台 B器材需要 x 万元,则购买一台 A 器材需要(x+5)万元,依题意,得: 3002005xx, 解得:x=10, 经检验,x=10 是原方程的解,且符合题意, x+5=15 答:购买一台 A器材需要 15 万元,则购买一台 B 器材需要 10 万元 (2)设购买 A 器材 y台,则购买 B 器材(60-y)台, 依题意,得:15y+10(60-y)800 解得 y40 所以 y 的最大值为 40 答:

36、最多购买 A器材 40台 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出分式方程; (2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式 26. 综合与实践 已知四边形 ABCD与 AEFG均为正方形 (1)数学思考: 如图 1,当点 E在 AB边上,点 G在 AD边上时,线段 BE 与 DG 的数量关系是_;位置关系是_; (2)在图 1 的基础上,将正方形 AEFG以点 A 为旋转中心,逆时针旋转角度 ,得到图 2则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理 (3)如图 3,着点 D、E、G 在同一直线上,AB2AE

37、=22,求线段 BE的长 【26 题答案】 【答案】 (1)相等,垂直; (2)成立,理由见解析; (3)71BE 【解析】 【分析】 (1)由正方形性质可以得到 BE与 DG 相等且垂直; (2)由“SAS”可证BAEDAG,可得 BE=DG,ABE=ADG,由余角的性质可证 BEDG; (3)由(2)问结论连接 BD,表示出BDE三边即可利用勾股定理列方程解题 【详解】 (1)四边形 ABCD 与 AEFG均为正方形 BEDG,AB=AD,AG=AE AB-AE=AD-AG 即 BE=DG BE与 DG的数量关系是相等;位置关系是垂直 故答案为:相等;垂直 (2) (1)中结论成立,理由如

38、下: 设 BE交 AD于 O,DG于 N, 四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形, AE=AG,AB=AD,BAD=EAG=90 , BAE=DAG, 在ABE和DAG 中, ABADBAEDAGAEAG, ABEADG(SAS) , BE=DG;ABE=ADG, ABE+AOB=90 , ADG+AOB=ADG+DON=90 , DNO=90 , BEDG; (3)连接 BD AB2AE=22 22EGAE,24BDAB 由(2)可得:90 ,BEDBEDG 在 RtBED中,ED=DG-EG=BE-EG=BE-2 222DEBEBD 222()42EBEB 解方程得:71BE ,

39、71BE 【点睛】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 27. 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y12x6与 x 轴、y轴相交于 A、B两点,点 C 在线段 OA上,将线段 CB绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD,此时点 D 恰好落在直线 AB上,过点 D 作 DEx 轴于点 E (1)求证:BOCCED; (2)如图 2,将BCD沿 x 轴正方向平移得BCD,当 BC经过点 D时,求点 D 的坐标及BCD平移的距离; (3)若点 P在 y轴上,点 Q在直线 AB上,是否存在以 C、D、P、Q为顶点的四

40、边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的 P点的坐标;若不存在,请说明理由 【27 题答案】 【答案】 (1)见解析; (2)点 D 的坐标为(4,1) ,BCD 平移的距离为103; (3)存在,点 P的坐标为(0,12)或(0,112) 【解析】 【分析】 (1)利用同角的余角相等可得出OBCECD,由旋转的性质可得出 BCCD,结合BOCCED90 即可证出BOCCED(AAS) ; (2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标,设 OCm,则点 D的坐标为(m+3,m) ,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 m值,进而可得出点 C,D的坐标,由点 B,C的坐标,利用

41、待定系数法可求出直线 BC的解析式,结合 BCBC 及点 D在直线 BC上可求出直线 BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C的坐标,结合点 C 的坐标即可得出BCD平移的距离; (3)设点 P 的坐标为(0,m) ,点 Q 的坐标为1,32nn,分 CD 为边及 CD 为对角线两种情况考虑,利用平行四边形的对角线互相平分,即可得出关于 m,n 的二元一次方程组,解之即可得出点 P 的坐标 【详解】 (1)证明:BOCBCDCED90 , OCB+OBC90 ,OCB+ECD90 , OBCECD 将线段 CB 绕着点 C顺时针旋转 90 得到 CD, BCCD 在BOC和C

42、ED 中,BOCCEDOBCECDBCCD , BOCCED(AAS) (2)解:直线 y12x+3 与 x 轴、y轴相交于 A、B 两点, 点 B的坐标为(0,3) ,点 A 的坐标为(6,0) 设 OCm, BOCCED, OCEDm,BOCE3, 点 D坐标为(m+3,m) 点 D在直线 y12x+3 上, m12(m+3)+3,解得:m1, 点 D的坐标为(4,1) ,点 C 的坐标为(1,0) 点 B的坐标为(0,3) ,点 C 的坐标为(1,0) , 直线 BC的解析式为 y3x+3 设直线 BC的解析式为 y3x+b, 将 D(4,1)代入 y3x+b,得:13 4+b,解得:b

43、13, 直线 BC的解析式为 y3x+13, 点 C的坐标为(133,0) , 1310133CC , BCD平移的距离为103 (3)解:设点 P的坐标为(0,m) ,点 Q的坐标为(n,12n+3) 分两种情况考虑,如图 3所示: 若 CD 为边,当四边形 CDQP 为平行四边形时,C(1,0) ,D(4,1) ,P(0,m) ,Q(n,12n+3) , 10410312nnm,解得:123mn, 点 P1的坐标为(0,12) ; 当四边形 CDPQ为平行四边形时,C(1,0) ,D(4,1) ,P(0,m) ,Q(n,12n+3) , 104103 12nmn ,解得:1123mn , 点 P2的坐标为(0,112) ; 若 CD 为对角线,C(1,0) ,D(4,1) ,P(0,m) ,Q(n,12n+3) , 14010 132nmn ,解得:125mn, 点 P的坐标为(0,12) 综上所述:存在,点 P 的坐标为(0,12)或(0,112) 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质,解题的关键是掌握利用全等三角形的判定定理 AAS;利用一次函数图象上点的坐标特征;利用平行四边形的对角线互相平分的性质