1、山东省济南市历城区山东省济南市历城区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题4分，共分，共12小题小题48分）分） 1. 下列常用 APP 的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（xy）axay B. x21（x+1） （x1） C. （x+1） （x+3）x2+4x+3 D. x2+2x+1x（x+2）+1 3. 如图，在ABCD中，BCD 的平分线交 BA 的延长线于点 E，AE2，AD5，则 CD的长为（ ） A. 4
2、 B. 3 C. 2 D. 1.5 4. 若关于 x 的一元二次方程2x2xm0有两个不相等的实数根，则 m的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 下列各命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形既是轴对称图形及是中心对称图形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为 125.6万辆，到 2020 年销量为 130 万辆，设年平均增长率为 x，可列方程为（ ） A 125.6（1x）213
3、0 B. 125.6（12x）130 C. 130（1x）2125.6 D. 125.6（1x）2130 7. 如图，RtABC中，C90 ，BC3，AC4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到AED，连接 BE，则 BE的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 关于 x的分式方程12x2kx264x 有增根 x2，则 k 的值为（ ） A. -32 B. -23 C. 23 D. 32 9. 如图，已知直线 y1x+m与 y2kx1 相交于点 P（1，2） ，则关于 x的不等式 x+mkx1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在AB
4、C 中，AB8，BC12，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，点 F是线段 DE上的一点，连接 AF、BF，若AFB90 ，则线段 EF的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 关于 x 的方程11ax1的解为正数，则 a的取值范围是 A. a2 B. a2 且 a1 C. a2 D. a2且 a3 12. 如图，正方形 ABCD的边长为 5，E 为 BC上一点，且 BE1，F为 AB边上的一个动点，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为（ ） A 1 B. 3 C. 3 D. 2.5 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 6
5、 小题小题 24 分）分） 13. 多项式 x2+mx+5因式分解得（x+5） （x+n） ，则 m=_，n=_ 14. 如图，一个直角三角形纸板的直角边,AC BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中12 _ 15. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，A=52，以点 B为圆心、以 BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ADC的度数为_； 16. 如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草若草坪部分的总面积为2160m，则小路的宽度为_m 17. 如图，ABC面积为 6cm2，A
6、P 与B 的平分线垂直，垂足是点 P，则PBC的面积为_； 18. 正方形 ABCD外取一点 E，连接 AE、BE、DE，过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P，若 AEAP1，PB5下列结论：APDAEB；EBED；点 B 到直线 AE 的距离为2；S正方形 ABCD16其中正确结论的序号是_ 三、解答题了共三、解答题了共9个小题，个小题，78分）分） 19. （1） 解不等式：213 x512x 1，并把解集在数轴上表示出来 （2）解不等式（组） ：3242113xxxx，并求出它所有的整数解的和 20. 分解因式 （1）4x29； （2） 3a6a23a3 21. 计算（1）化简：
7、24mm 124m ； （2）化简求值： （221xx 1）21xx，其中 x12 22. 解分式方程：23x13x269x 23. 用适当的方法解下列方程：x2-6x-3=0 24. 如图，在ABC 中，ACBC，CD为ACB 的角平分线，AEDC，AEDC，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE为矩形 （2）连接 DE，若 AB10，CD12，求 DE 的长 25. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC为三个项点分别是 A（5，2） ，B（5，5） ，C（1，1） （1）画出ABC 向左平移 5个单位得到的A1B1C1，则点 A的对应点 A1的坐
8、标为_； （2）画出A1B1C1绕点 C顺时针旋转 90 后得到的A2B2C2，则点 A1的对应点 A2的坐标为_； （3）请直接写出四边形 A2B2B1C1的面积为_； （4）在平面上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 26. 某电商响应市政府号召，在线销售甲、乙两种农产品，已知 1 件甲产品的售价是 1 件乙产品售价 3 倍，用 300 元购买甲产品的数量比用 200 元购买乙产品数量少 20 件 （1）求甲、乙两种农产品每件的售价分别是多少元? （2）如果某客户购买甲、乙两种农产品共 40
9、 件，总费用不超过 365 元，请你帮忙计算，此客户最多购买甲产品多少件? 27. 在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD边上点，点 E在 AP的延长线上，将线段 AE绕点 A顺时针旋转 90 ，到线段 AF，连接 DE （1）如图 1，连接 BF，求证：BFDE； （2）如图 2，若 EF正好经过点 B， 求证：DEEF； 探究 BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图 3，当 EF经过点 C 时，若 CF4，CE2，请直接写出此时正方形边的长度） 山东省济南市历城区山东省济南市历城区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数
10、学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题4分，共分，共12小题小题48分）分） 1. 下列常用 APP 的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（xy）a
11、xay B. x21（x+1） （x1） C. （x+1） （x+3）x2+4x+3 D. x2+2x+1x（x+2）+1 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案 【详解】解：A、a（x-y）=ax-ay，是多项式的乘法运算，故此选项错误； B、x2-1=（x+1） （x-1） ，正确； C、 （x+1） （x+3）=x2+4x+3 是多项式的乘法，故此选项错误； D、x2+2x+1=x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误 故选：B 3. 如图，在ABCD中，BCD 的平分线交 BA 的延长线于点 E，AE2，AD5，则 CD的长为（ ）
12、 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.5 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得 ABCD，AD=BC=5，由 CE平分BCD得DCE=BCE，由平行线的性质得DCE=E，运用等量代换得E=BCE，从而得到BCE 为等腰三角形，计算出 BE 的长度，由 AE=2可求得 AB的长度，继而得到 CD的长 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AD=BC=5，CD=AB， E=ECD， CE平分BCD， BCE=ECD， E=BCE， BE=BC=5， AB=BE-AE=5-2=3， CD=3 故选：B 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰
13、三角形的判定与性质能证得BCE是等腰三角形是解此题的关键 4. 若关于 x 的一元二次方程2x2xm0有两个不相等的实数根，则 m的值可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，该一元二次方程根的判别式的值大于零，即 (-2)2-4m0， m1. 对照本题的四个选项，只有 D 选项符合上述 m的取值范围. 故本题应选 D. 5. 下列各命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形既是轴对称图形及是中心对称图形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【5 题
14、答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、矩形和菱形的判定、平行四边形的性质判断即可 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，原命题是假命题； B、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是假命题； C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题； 故选：C 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 6. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为 125.6万辆，到 2020
15、年销量为 130 万辆，设年平均增长率为 x，可列方程为（ ） A. 125.6（1x）2130 B. 125.6（12x）130 C. 130（1x）2125.6 D. 125.6（1x）2130 【6 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】设年平均增长率为 x，由题意得等量关系：2018年销量 （1+增长率）2=2020年销量，根据等量关系列出方程 【详解】解：设年平均增长率为 x，可列方程为： 125.6（1+x）2=130， 故选：D 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程 7. 如图，RtABC中，C9
16、0 ，BC3，AC4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到AED，连接 BE，则 BE的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求 AB=5，由旋转的性质可得 AB=AE=5，BAE=60 ，即可求解 【详解】解：C=90 ，BC=3，AC=4， AB=225ACBC， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到AED， AB=AE=5，BAE=60 ， ABE是等边三角形， BE=AB=5， 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 8. 关于 x
17、的分式方程12x2kx264x 有增根 x2，则 k 的值为（ ） A. -32 B. -23 C. 23 D. 32 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把 x=-2代入整式方程计算即可求出 k的值 【详解】解：分式方程去分母得：x+2+k（x-2）=6， 由分式方程的增根为 x=-2， 代人得到-4k=6， 解得：k=32， 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 9. 如图，已知直线 y1x+m与 y2kx1 相交于点 P（1，2） ，则关于 x的不等式
18、x+mkx1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象，找出直线 y=x+m 在直线 y=kx-1 的下方所对应的自变量的范围即可 【详解】解：根据图象得,当 x-1 时，x+mkx-1 故选 D 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式解集和一次函数与元一次不等式，解题关键在于判定函数图象的位置关系 10. 如图，在ABC 中，AB8，BC12，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，点 F是线段 DE上的一点，连接 AF、BF，若AFB90 ，则线段 EF的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【10 题答案】
19、 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到 DE=12BC由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 DF=12AB所以由图中线段间的和差关系来求线段 EF 的长度即可 【详解】解：点 D、E分别是边 AB、AC的中点， DE是ABC的中位线， BC=12， DE=12BC=12 12=6 AFB=90 ，D是 AB 的中点，AB=8， DF=12AB=12 8=4， EF=DE-DF=6-4=2 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中 11. 关于 x 的方程11ax1的解为正数，
20、则 a的取值范围是 A. a2 B. a2 且 a1 C. a2 D. a2且 a3 【11 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整数方程的解，由分式方程的解为正数和原方程最简公分母0，确定出 a的范围即可 【详解】解：去分母得：a+1=x-1， 解得：x=a+2， 由分式方程的解为正数，得到 a+20且 a+21， 解得：a-2 且 a-1 故选：B 【点睛】本题考查分式方程的解，表示出方程的解，建立关于 a的不等式是求解本题的关键 12. 如图，正方形 ABCD的边长为 5，E 为 BC上一点，且 BE1，F为 AB边上的一个动点，以 EF 为边向
21、右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 2.5 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可知，点 F 为主动点，运动轨迹是线段 AB，G 为从动点，所以以点 E为旋转中心构造全等关系，得到点 G的运动轨迹，也是一条线段，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 CG最小值 【详解】解：由题意可知，点 F 是主动点，点 G是从动点，点 F 在线段上运动，点 G 的轨迹也是一条线段， 将EFB绕点 E旋转 60 ，使 EF 与 EG重合，得到EFBEGH， 从而可知EBH 为等边三角形， 四边形 ABCD是正方形， FBE=90
22、， GHE=FBE=90 ， 点 G在垂直于 HE的直线 HN上， 延长 HG交 DC 于点 N， 过点 C作 CMHN 于 M，则 CM 即为 CG 的最小值， 过点 E作 EPCM于 P，可知四边形 HEPM为矩形， 则 CM=MP+CP=HE+12EC=1+2=3， 故选：B 【点睛】本题考查了线段最值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点 G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 6 小题小题 24 分）分） 13. 多项式 x2+mx+5因式分解得（x+5） （x
23、+n） ，则 m=_，n=_ 【13 题答案】 【答案】 . 6 . 1 【解析】 【分析】将（x+5） （x+n）展开，得到，使得 x2+（n+5）x+5n与 x2+mx+5的系数对应相等即可 【详解】解： （x+5） （x+n）=x2+（n+5）x+5n，x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n 56551nmmnn 故答案为：6；1 14. 如图，一个直角三角形纸板的直角边,AC BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中12 _ 【14 题答案】 【答案】180 【解析】 【 分 析 】 利 用 C=90， 求 得 3+4=90， 利 用 公 式 求 出 正 八 边 形 的 每 个 内 角
24、 的 度 数 =(82) 1801358，即可求出答案 【详解】解：如图， C=90， 3+4=90， 正八边形的每个内角的度数=(82) 1801358， 1+2=1352 90 =180， 故答案为：180 【点睛】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，正多边形内角和公式，熟记正多边形内角和公式是解题的关键 15. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，A=52，以点 B为圆心、以 BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ADC的度数为_； 【15 题答案】 【答案】109 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角的关系求出B，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出BCD，
25、最后根据三角形外角的性质即可求出ADC 【详解】解：在 RtABC中，ACB=90 ，A=52 ， B=90 -A=90 -52 =38 ， BC=BD，BCD+BDC+B=180 ， BCD=BDC=12（180 -B）=12（180 -38 ）=71 ， ADC=BCD+B=71 +38 =109 ， 故答案为：109 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求出BCD是解决问题的关键 16. 如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草若草坪部分的总面积为21
26、60m，则小路的宽度为_m 【16 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】设小路的宽度为 xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为(24-2x)m，宽为(10-x)m的矩形，根据其面积为2160m，可得方程，解方程即可 【详解】设小路的宽度为 xm，则由题意可得：(24-2x) (10-x)=160 解方程，得：12x ，220 x 当20 x=时，10-x=-100，不合题意，舍去 所以2x 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移，得到一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同时注意检验解的合理性 17
27、. 如图，ABC的面积为 6cm2，AP 与B 的平分线垂直，垂足是点 P，则PBC的面积为_； 【17 题答案】 【答案】3cm2 【解析】 【分析】 延长AP交BC于点D， 由角平分线的定义可知ABP=DBP， 结合BP=BP以及APB=DPB=90 ，即可证出ABPDBP，进而可得 AP=DP，根据三角形的面积即可推出 SAPC=SDPC，再根据SPBC=SBPD+SDPC=12SABC即可得出结论 【详解】解：延长 AP 交 BC于点 D，如图所示 AP 与B 的平分线垂直于点 P， ABP=DBP， 在ABP和DBP中， ABPDBPBPBPAPBDPB ， ABPDBP（ASA）
28、AP=DP APC与DPC同底等高， SAPC=SDPC， SPBC=SBPD+SDPC=12SABC=12 6=3（cm2） 故答案为：3cm2 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全靠三角形的判定与性质，角平分线的定义以及三角形的面积，找出 SPBC=12SABC以及作出正确的辅助线是解题的关键 18. 正方形 ABCD外取一点 E，连接 AE、BE、DE，过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P，若 AEAP1，PB5下列结论：APDAEB；EBED；点 B 到直线 AE 的距离为2；S正方形 ABCD16其中正确结论的序号是_ 【18 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】首
29、先利用已知条件根据边角边可以证明APDAEB；利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定 EBED；由可得BEP=90 ，故 BE 不垂直于 AE 过点 B 作 BFAE 延长线于 F，由得AEB=135 所以EFB=45 ，所以EFB 是等腰 Rt，故 B 到直线 AE 距离为 BF；连接 BD，根据三角形的面积公式得到 SBPD，根据 SABD=SAPD+SAPB+SBPD即可判定 【详解】解：EAB+BAP=90 ，PAD+BAP=90 ， EAB=PAD， 又AE=AP，AB=AD， 在APD 和AEB 中， AEAPEABPADABAD ， APDAEB（SAS） ；故正确； ADP=
30、ABE，而对顶角相等， BED=BAD=90 ，即 EBED，故正确； 由APDAEB 得，AEP=APE=45 ，从而APD=AEB=135 ， 所以BEP=90 ， 过 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于 F，则 BF的长是点 B 到直线 AE 的距离， 在AEP中，由勾股定理得 PE=2， 在BEP中，PB=5，PE=2，由勾股定理得：BE=3=PD， PAE=PEB=EFB=90 ，AE=AP， AEP=45 ， BEF=180 -45 -90 =45 ， EBF=45 ， EF=BF， 在EFB中，由勾股定理得：EF=BF=62，故错误； 连接 BD，则 SBPD=12PD BE
31、=32， SAPD+SAPB=SAEB+SAPB=SAEP+SBEP=1122AEPBEPSSAEAPPEBE=1622， 所以 SABD=SAPD+SAPB+SBPD=622， 所以 S正方形ABCD=2SABD=46，故错误； 综上可知，正确的有， 故答案： 【点睛】 此题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题 三、解答题了共三、解答题了共9个小题，个小题，78分）分） 19. （1） 解不等式：213 x512x 1，并把解集在数轴上表示出来 （2）解不等式（组） ：3242113xxxx，并求出
32、它的所有的整数解的和 【19 题答案】 【答案】 （1）x0，数轴表示见解析； （2）1x4，6 【解析】 【分析】 （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项求出不等式的解集； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集 【详解】解： （1）3151122xx， 去分母，得（3x+1）-（5x-1）2， 去括号，得 3x+1-5x+12， 移项，得 3x-5x2-1-1， 合并同类项得-2x0， 系数化为 1 得：x0， 在数轴上表示为： （2）3242113xxxx， 由得：x1； 由得 x4； 不等式组的解集为 1x4， 它的所有整数解为 1，2，3
33、，它们的和为 6 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键 20. 分解因式 （1）4x29； （2） 3a6a23a3 【20 题答案】 【答案】 （1） （2x+3） （2x-3） ； （2）3a（1-a）2 【解析】 【分析】 （1）利用平方差公式即可； （2）先提公因式 3a，再利用完全平方公式即可 【详解】解： （1）4x2-9 =（2x）2-32 =（2x+3） （2x-3） ； （2）3a-6a2+3a3 =3a（1-2a+a2） =3a（1-a）2 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式
34、的结构特征是正确应用的关键 21. 计算（1）化简：24mm 124m ； （2）化简求值： （221xx 1）21xx，其中 x12 【21 题答案】 【答案】 （1）124m； （2）1xx ，-1 【解析】 【分析】 （1）先将分母因式分解，再通分，最后根据法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可 【详解】解： （1）原式1(2)(2)2(2)mmmm 222(2)(2)2(2)(2)mmmmmm 22(2)(2)mmm 12(2)m 124m； （2）原式2211(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxx x 1(1)(1)(1)x x
35、xx 1xx， 当12x 时， 原式121112 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 22. 解分式方程：23x13x269x 【22 题答案】 【答案】无解 【解析】 【分析】先把原分式方程可化为2163333xxxx ，再将方程两边同时乘以（x+3） （x-3） ，得 2（x-3）-（x+3）=-6，求解 x 的值，再把 x的值代入（x+3） （x-3）中，若（x+3） （x-3）0，则 x 的值即为原分式方程的解，若（x+3） （x-3）=0，则原分式方程无解 【详解】解：2216339xxx ， 2163333xxxx ， 两边同时乘以（x
36、+3） （x-3） ， 得 2（x-3）-（x+3）=-6， 解得 x=3， 检验：把 x=3 代入（x+3） （x-3）=0， 所以原分式方程无解 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练应用解分式方程的方法进行求解是解决本题的关键 23. 用适当的方法解下列方程：x2-6x-3=0 【23 题答案】 【答案】x1=32 3，x2=32 3 【解析】 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得 【详解】解：x2-6x-3=0， x2-6x=3， 则 x2-6x+9=3+9，即（x-3）2=12， x-3=2 3， x1=32 3，x2=32
37、3 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 24. 如图，在ABC 中，ACBC，CD为ACB 的角平分线，AEDC，AEDC，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE为矩形 （2）连接 DE，若 AB10，CD12，求 DE 的长 【24 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）13 【解析】 【分析】 （1）先证四边形 ADCE 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得 CDAB，则ADC=90 ，即可得出平行四边形 ADCE为矩形； （2）由等腰三角形的性质
38、得 BD=AD=12AB=5，CDAB，再由勾股定理求出 AC=13，然后由矩形的性质求解即可 【详解】解： （1）证明：AEDC，AE=DC， 四边形 ADCE是平行四边形， AC=BC，CD 为ACB角平分线， CDAB， ADC=90 ， 平行四边形 ADCE为矩形； （2）AC=BC，CD为ACB的角平分线， BD=AD=12AB=5，CDAB， BDC=90 ， AC=2213ADCD， 由（1）得：四边形 ADCE为矩形， DE=AC=13 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质是
39、解题的关键 25. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 为三个项点分别是 A（5，2） ，B（5，5） ，C（1，1） （1）画出ABC 向左平移 5个单位得到的A1B1C1，则点 A的对应点 A1的坐标为_； （2）画出A1B1C1绕点 C顺时针旋转 90 后得到的A2B2C2，则点 A1的对应点 A2的坐标为_； （3）请直接写出四边形 A2B2B1C1的面积为_； （4）在平面上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点 D 的坐标，若不存在，请说明理由 【25 题答案】 【答案】 （
40、1）作图见解析， （0，2） ； （2）作图见解析， （2，2） ； （3）292； （4） （1，4）或（1，-2）或（9，6） 【解析】 【分析】 （1）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C的对应点 A1，B1，C1即可 （2）利用旋转变换的性质分别作出 A1，B1，C1的对应点 A2，B2，C2即可 （3）利用分割法把四边形面积看成矩形面积减去周围两个三角形和一个梯形额面积即可 （4）作出符合题意平行四边形，可得结论 【详解】解： （1）如图，A1B1C1即为所求，点 A1的坐标为（0，2） 故答案为： （0，2） （2）如图，A2B2C2即为所求点 A2的坐标为（2，2） 故答案为：
41、 （2，2） （3）四边形 A2B2B1C1的面积=4 9-12 5 3-12 （3+9） 1-12 4 4=292 故答案为：292 （4）满足条件点 D如图所示，坐标分别为（1，4）或（1，-2）或（9，6） 【点睛】 本题考查作图-平移变换，旋转变换，四边形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，学会用分割法求四边形面积 26. 某电商响应市政府号召，在线销售甲、乙两种农产品，已知 1 件甲产品的售价是 1 件乙产品售价 3 倍，用 300 元购买甲产品的数量比用 200 元购买乙产品数量少 20 件 （1）求甲、乙两种农产品每件的售价分别是多少元? （2）如果某
42、客户购买甲、乙两种农产品共 40 件，总费用不超过 365 元，请你帮忙计算，此客户最多购买甲产品多少件? 【26 题答案】 【答案】 （1）每件甲产品的售价是 15元，每件乙产品的售价是 5元； （2）16件 【解析】 【分析】 （1）设每件乙产品的售价是 x元，则每件甲产品的售价是 3x元，根据数量=总价 单价，结合用 300元购买甲产品的数量比用 200元购买乙产品数量少 20 件，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲产品 m件，则购买乙产品（40-m）件，根据总价=单价 数量，结合总价不超过 365 元，即可得出关于 m的一元一次不等式，解之即可得出
43、 m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论 【详解】解： （1）设每件乙产品的售价是 x元，则每件甲产品的售价是 3x元， 依题意得：200300203xx， 解得：x=5， 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， 3x=3 5=15（元） 答：每件甲产品的售价是 15 元，每件乙产品的售价是 5元 （2）设购买甲产品 m件，则购买乙产品（40-m）件， 依题意得：15m+5（40-m）365， 解得：m332， 又m为整数， m 可以取的最大值为 16 答：此客户最多购买甲产品 16 件 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，
44、正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 27. 在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD边上点，点 E在 AP的延长线上，将线段 AE绕点 A顺时针旋转 90 ，到线段 AF，连接 DE （1）如图 1，连接 BF，求证：BFDE； （2）如图 2，若 EF正好经过点 B， 求证：DEEF； 探究 BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图 3，当 EF经过点 C 时，若 CF4，CE2，请直接写出此时正方形边的长度） 【27 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）见解析；BE2+BF2=2AB2，理由见解析； （3）5 【解析】 【分析
45、】 （1）由正方形的性质和旋转的性质可得 AB=AD，AE=AF，EAF=90 =BAD，由“SAS”可证ABFADE，可得 BF=DE； （2）由等腰直角三角形的性质可得AFE=AEF=45 ，由全等三角形的性质可得AFB=AED=45 ，可得结论； 由正方形的性质和勾股定理可求 BD2=2AB2，在 RtDBE 中，BE2+DE2=DB2，可得结论； （3）连接 AC，过点 A作 AHEF于 H，由等腰直角三角形的性质可得 AH=FH=EH=3，由勾股定理可得AH2+CH2=AB2+BC2，即可求解 【详解】解：证明： （1）四边形 ABCD正方形， AB=AD，DAB=90 ， 将线段
46、AE 绕点 A 顺时针旋转 90 ，到线段 AF， AE=AF，EAF=90 =BAD， BAF=DAE， ABFADE（SAS） ， BF=DE； （2）AE=AF，EAF=90 ， AFE=AEF=45 ， ABFADE， AFB=AED=45 ， DEF=AED+AEF=90 ， DEDF； BE2+BF2=2AB2； 理由如下：如图 2，连接 DB， 四边形 ABCD是正方形， AB=AD，BAD=90 ， AB2+AD2=BD2， BD2=2AB2， DEF=90 ， BE2+DE2=DB2， BE2+BF2=2AB2； （3）如图 4，连接 AC，过点 A作 AHEF于 H， CF=4，CE=2， EF=6， AE=AF，EAF=90 ，AHEF， AH=FH=EH=3， CH=1， AC2=AH2+CH2=AB2+BC2， 9+1=2AB2， AB=5， 正方形的边长为5 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键