1、20222022 年广东省广州市中考冲刺年广东省广州市中考冲刺数学数学试题试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）下列各数：12，2，3，3.1416，83，其中有理数的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （3 分）如图，把周长为 3 个单位长度的圆放到数轴（单位长度为 1）上，A，B，C 三点将圆三等分，将点 A 与数轴上表示 1 的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点 B 与数轴上表示 2 的点重合，点 C 与数轴上表示 3 的点重合，点 A 与数轴上表示 4 的点重合，若当圆停止运动
2、时点 B 正好落到数轴上，则点 B 对应的数轴上的数可能为（ ） A2020 B2021 C2022 D2023 3 （3 分）分式方程3;2=1 的解是（ ） Ax1 Bx1 Cx5 Dx2 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A|2|2 B （a2b3）2a4b6 C （a1）2a21 D3+3 = 33 5 （3 分）下列命题中，真命题的个数有（ ） 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线相等的四边形是矩形； 对角线互相垂直的四边形是菱形； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （3 分）颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿
3、灯可直接通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（ ） A12 B13 C14 D34 7 （3 分）如图，AB 切O 于点 B，连接 OA 交O 于点 C，连接 OB若A30，OA4，则劣弧的长是（ ） A13 B23 C D43 8 （3 分）对于题目“抛物线 l1：y（x1）2+4（1x2）与直线 l2：ym（m 为整数）只有一个交点，确定 m 的值” ；甲的结果是 m1 或 m2；乙的结果是 m4，则（ ） A只有甲的结果正确 B只有乙的结果正确 C甲、乙的结果合起来才正确 D甲、乙的结果合起来也不正确 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，B9
4、0，AB5，BC12，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE，使得点 D 落在 AC 上，则 tanECD 的值为（ ） A23 B32 C137 D57 10 （3 分） 如图， 直线 yx+2 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A， B 两点， 过 A， B 两点作矩形 ABCD， AB2AD，曲线 =在第一象限经过 C，D 两点，则 k 的值是（ ） A3 B6 C8 D24 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）在二次根式4 中，x 的取值范围 12 （3 分）一元二次方程 x（x5）0 的根为 13 （3 分）如
5、图，在ABC 中，C90，B15，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，BE4，则 AC 14 （3 分）若关于 x 的方程 x2+2xm0（m 是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数 y=经过第 象限 15 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，B42，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B，当 BDAC 时，则BCD 的度数为 16（3 分） 如图， 直线 l 上有三个正方形， A， B， C， 若 A， C 的面积分别为 36 和 64， 则 B 的面积为 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （4 分）阅读材料：善
6、于思考的小军在解方程组 1 = 04( ) = 5时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由得 xy1 将代入得：41y5，即 y1 把 y1 代入得 x0， 方程组的解为 = 0 = 1 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程2 3 = 223+57+ 2 = 9 18 （4 分）如图，AC 平分BAD，CA 平分BCD，AC 与 BD 交于点 O （1）求证：OBOD； （2）若 AC8，BD6，求ABC 的面积 19 （6 分）先化简，再求值： （222）2424+4，其中 x4 20 （6 分）某社区为了加强社区居民对民法典知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“适用民法”专项试题
7、，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取 10 名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：90 90 70 90 100 80 80 90 95 65 乙小区：95 70 80 90 70 80 95 80 100 90 整理数据 成绩 x（分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲小区 2 2 4 2 乙小区 2 3 a 3 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85 90 d 乙小区 b c 80 应用数据 （1）直接写出 a，b，c，d 的值； （2）根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“适用民法”专项知识
8、掌握更好？至少说出两个理由； （3）若乙小区共有 1000 人参与了答卷，请估计乙小区成绩大于 90 分的人数 21 （8 分）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同， 每个篮球的价格相同） ， 购买 1 个足球和 1 个篮球共需 170 元； 足球单价是篮球单价的 2 倍少 10 元 （1）求足球和篮球的单价各是多少元？ （2） 根据学校实际情况， 需一次性购买足球和篮球共 20 个， 但要求购买足球和篮球的总费用不超过 1600元，学校最多可以购买多少个足
9、球？ 22 （10 分）如图，ABC 中，C90 （1）尺规作图：作边 BC 的垂直平分线，与边 BC，AB 分别交于点 D 和点 E； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若点 E 是边 AB 的中点，ACBE，求证：ACE 是等边三角形 23 （10 分）如图（1） ，某数学活动小组经探究发现：在O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，此时 PAPBPCPD （1）如图（2） ，若 AB 与 CD 相交于圆外一点 P，上面的结论是否成立？请说明理由 （2） 如图 （3） ， 将 PD 绕点 P 逆时针旋转至与O 相切于点 C， 直接写出 PA、 PB、 PC 之间的数量关系 （ 3
10、 ） 如 图 （ 3 ） ， 直 接 利 用 （ 2 ） 的 结 论 ， 求 当 PC = 3 ， PA 1 时 ， 阴 影 部 分 的 面积 24 （12 分）已知：抛物线 y= 12（x+k） （x7）交 x 轴于 A、B（A 左 B 右） ，交 y 轴正半轴于点 C，且OBOC （1）如图 1，求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为第一象限抛物线上一点，连接 AP，AP 交 y 轴于点 D，设 P 的横坐标为 m，CD 的长为 d，求 d 与 m 的函数解析式（不要求写出自变量 m 的取值范围） ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 P 作 PEy 轴于点 E，延长 EP
11、至点 G，使得 PG3CE，连接 CG交 AP 于点 F，且AFC45，连接 AG 交抛物线于 T，求点 T 的坐标 25 （12 分）已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，BC8，AB10，点 P，E，F 分别是 AB，AC，BC 上的动点，且 AP2CE2BF，连接 PE，PF，以 PE，PF 为邻边作平行四边形 PFQE （1）当点 P 是 AB 的中点时，试求线段 PF 的长 （2）在运动过程中，设 CEm，若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1：3 的两部分，试求 m 的值 （3）如图，设直线 FQ 与直线 AC 交于点 N，在运动过程中，以点
12、Q，N，E 为顶点的三角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的 CE 的长；若不能，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 【解答】解：83=2， 有理数有：12，3.1416，83共 3 个， 故选：C 2 【解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按 A，B，C 的顺序 排列： A.202036731，所以此时点 A 正好落在数轴上； B.202136732，所以此时点 B 正好落在数轴上； C.20223674，所以此时点 C 正好落在数轴上； D.202336741，所以此时
13、点 A 正好落在数轴上 故选：B 3 【解答】解：去分母，得 x23， 移项合并同类项，得 x5 检验：把 x5 代入 x20， 所以原分式方程的根为：x5 故选：C 4 【解答】解：A、原式2，故 A 不符合题意 B、原式a4b6，故 B 符合题意 C、原式a22a+1，故 C 不符合题意 D、3 与3不是同类二次根式，故 D 不符合题意 故选：B 5 【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； 对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题 故选：B 6 【解答】解：根据
14、题意画图如下： 共有 4 种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有 1 种结果， 颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率为14， 故选：C 7 【解答】解：AB 切O 于点 B， ABO90， A30， O60， OA4， OB=12OA2， 劣弧的长=602180=23， 故选：B 8 【解答】解：由抛物线 l1：y（x1）2+4（1x2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线 x1，顶点为（1，4） ， 如图所示： m 为整数， 由图象可知，当 m1 或 m2 或 m4 时，抛物线 l1：y（x1）2+4（1x2）与直线 l2：ym（m 为整数）只有一个交点，
15、 甲、乙的结果合在一起正确， 故选：C 9 【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理可得 AC13 根据旋转性质可得 AE13，AD5，DE12， CD8 在 RtCED 中，tanECD=128=32， 故选：B 10 【解答】解：作 DHx 轴于 H， 将 y0 代入直线 yx+2 得x+20， 解得：x2 点 A 的坐标为（2，0） 将 x0 代入直线 yx+2 得；y2， 点 B 的坐标为（0，2） ， OA2，OB2， BAD90， DAH+BAO90 BAO+ABO90， DAHABO 又DHABOA90， ADHBAO， =12，即2=2=12 DHAH1 点 D 的坐标为（3
16、，1） 曲线 =在第一象限经过 D 点， k313， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 【解答】解：由题意得：4x0， 解得：x4， 故答案为：x4 12 【解答】解：方程 x（x5）0， 可得 x0 或 x50， 解得：x10，x25， 故答案为：x10，x25 13 【解答】解：DE 垂直平分 AB， AEBE4， BAEB15， AECBAE+B15+1530， C90， AC=12AE=1242 故答案为：2 14 【解答】解：方程 x2+2xm0（m 是常数）有两个相等的实数根， 2241（m）4+4m0，
17、m1； 反比例函数 y=经过第二，四象限， 故答案为二，四 15 【解答】解：ACBC， AB42， BDAC， ADBA42， 点 B 关于直线 CD 的对称点为 B， CDBCDB=12（42+180）111， BCD180BCDB1804211127 故答案为：27 16 【解答】解：如图， 图形 A、B、C 都是为正方形， EF236，MN264，GEGM，EGM90， EGF+NGM90， 而EGF+FEG90， FEGNGM， 在EFG 和GNM 中， = = = ， EFGGNM， GFMN， 在 RtEFG 中，EG2EF2+FG2EG2+MN236+64100， 正方形 B
18、的面积为 100 故答案为 100 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 【解答】解：2 3 = 223+57+ 2 = 9 将代入得：1+2y9，即 y4， 将 y4 代入得：x7， 原方程组的解为： = 7 = 4 18 【解答】证明：如图所示： （1）AC 平分BAD，CA 平分BCD， DACBAC，DCABCA， 在ADC 和ABC 中， = = = ， ADCABC（ASA） ， ADAB， ADB 是等腰三角形， OBOD； （2）由（1）可知： AOBD，OBOD=12， BD6， OB=12 6 = 3， 又AC8， =12 =12 8 3
19、 =12 19 【解答】解：原式（2;4;22;2） (;2)2(:2)(;2)=;4;2;2:2= 4:2， 当 x4 时，原式= 44+2= 23 20 【解答】解： （1）乙小区 80 x90 对应的人数 a2， 甲小区成绩的众数 d90， 将乙小区成绩重新排列为 70，70，80，80，80，90，90，95，95，100， 所以其平均数 b=702+803+902+952+10010=85，中位数 c=80+902=85； （2） （答案不唯一） 根据以上的数据分析，甲小区对“适用民法”专项知识掌握更好 甲、乙小区随机抽取的 10 名人员中， “适用民法”专项知识的测试平均分相同，且
20、其中甲的中位数 90大于乙的中位数 85，甲的众数 90 大于乙的众数 80 所以，甲小区掌握“适用民法”专项知识较好； （3）310 1000 = 300（人） ， 所以，乙小区成绩大于 90 分的人数约为 300 人 21 【解答】解： （1）设一个足球的单价 x 元、一个篮球的单价为 y 元，根据题意得 + = 170 = 2 10， 解得： = 110 = 60， 答：一个足球的单价 110 元、一个篮球的单价 60 元； （2）设可买足球 m 个，则买篮球（20m）个，根据题意得： 110m+60（20m）1600， 解得：m8， m 为整数， m 最大取 8 答：学校最多可以买 8
21、 个足球 22 【解答】 （1）解：如图所示，直线 DE 即为所求； （2）证明：C90，点 E 是边 AB 的中点， AEBECE=12AB， ACBE， ACAECE， ACE 是等边三角形 23 【解答】解： （1）成立理由如下： 如图（2） ，连接 AD、BC， 则BD PP PADPCB = PAPBPCPD； （2）PC2PAPB 理由如下： 如图（3） ，连接 BC，OC， PC 与O 相切于点 C， PCO90， AB 是直径， ACB90 PCAOCB OCOB OCBOBC PCAOBC PP PCAPBC PC：PBPA：PC PC2PAPB （3）如图（3） ，连接 O
22、C， PC2PAPB，PC= 3，PA1 PB3，AOCO1 PO2 PC 与O 相切于点 C， PCO 是直角三角形 sinCPO=12 CPO30，COP60 AOC 为等边三角形 SAOC=12 1 32=34 S扇形AOC=6012360=6 S阴影S扇形AOCSAOC =634 24 【解答】解： （1）当 y0 时，12（x+k） （x7）0， 解得：xk 或 7， 点 B 的坐标为（7，0） ，A（k，0） ， OBOC， OCOB7， 点 C 的坐标为（0，7） ， 将点 C 的坐标代入抛物线表达式得：12（0+k） （07）7， 解得：k2， y= 12（x+2） （x7）=
23、 12x2+52x+7， 故抛物线的表达式为 y= 12x2+52x+7； （2）过点 P 作 PKAB 与点 K，PEy 轴于点 E，如图 1， y= 12（x+2） （x7） ， P（m，12（m+2） （m7） ） ，A（2，0） ， AKm+2， tanPAB=12(+2)(7)+2=72， DOAOtanPAB2（7;2）7m， CD7（7m）m， dm （3）过点 C 作 WCED 使得 WDPD，TLAB，连接 WD，WP， 设 ECk， 则 PG3k， WCDDEP，CDEP，WDPD， WCDDEP， 则PWD 为等腰直角三角形， WPD45CFD， WPCG， 四边形 CG
24、PW 为平行四边形， CWPG3kED， CD2kPE， tanAPE=32， 由（2）可得 tanPAB=72， 7;2=32， m4，k2， EO7+29，EG10， G（10，9） ，A（2，0） ， tanGAB=912=34， 再设 T 坐标为（t，12（t+2） （t7） ） ， 则 tanTAB=72=34， t=112， T（112，458） 25 【解答】解： （1）如图，作 PHBC 于点 H， ACB90，BC8，AB10， AC6 AP2CE2BF， 点 P 是 AB 的中点， PAPB5 CEBF=52，PH3，BHCH4， FH=32 PF= 2+ 2=352 （2
25、）如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 分成 1：3 的两部分时，则 EM=12PF PHBC， PHF90ACB， PHAC， CEMHPF，PBHABC， PH2CE2m，= 26=10;210， m=158 如图，平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1：3 的两部分时，则 FDQD，QN=12PG， CF=12PG APGABC， = 16;28=210， m=409 m 的值为158或409 （3）如图，当QNE90时，则点 N 与点 C 重合，设 CEx， PBHABC， =， 6=10;210， x=3011 如图，当QEN90时，则点 P 与点 B 重合， 则 2x10， x5 如图，当EQN90时， FPRPES， =， 2;35(6;)45(6;)=3510;45;2， x=8376934 经检验，x 值符合题意 综上，CE 的长为8376934或 5 或3011