1、2022年湖南省永州市零陵区中考第二次模拟监测数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 1，6中绝对值最大的数是（ ）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 我国自主研发“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒.科学记数法表示的数据为（ ）A. B. C. D. 4. 下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分，且，则的度数为（ ）A. 70B. 60C. 50D. 406. 防晒衣的主要作用是阻隔太
2、阳紫外线的直接照射，上图为某品牌防晒衣某分店年月的销量（单位：件）情况这个月销量（单位：件）的中位数是（ ）A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著算法统宗有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，是的直径,于交于,则的半径为（ ）A. B. C.
3、D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：2a+b=0；关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为1x3；8a+c0；a+bm(am+b)（m为实数），其中正确的个数为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分请将答案填在答题卡的答案栏内）11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_12. 分式方程的解是_13. 分解因式：x316x_14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，
4、其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80则小彤这学期的体育成绩是_15. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是_cm16. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，且OA=2，OAB=30，将AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数y=（k0）的图像恰好经过D点，则k的值为_. 17. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为_18. 规定在平面直角坐标系中，如果点的坐标为（，），那么线段在平面直角坐
5、标系中的方向值表示为：若与互相垂直，且，则现有与互相垂直，且，则锐角_三、解答题（本大题共8个小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 化简求值：（），其中a+120. 已知关于x的一元二次方程x2(k+1)x+2k3=0（1）当k=3时，求一元二次方程x2(k+1)x+2k3=0的解；（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根21. 我市某学校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查
6、结果绘制成如图两幅不完整的统计图：劳动课程烹饪园艺电工木工缝纫人数1012a915（1）_，_，扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角_；（2）若该校七年级共有600名学生，请估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；（3）七（1）班计划在“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程中任选两类参加学校展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率22. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，连接，（1）求证：；（2）求的度数23. 我区某农产品商店经营某种农产品，若零售一袋这种农产品可获利润15元，批发一袋这种农产品可获利润6元（1）已知该商店某日卖出了这种农产
7、品100袋共获利润780元，该商店当天零售、批发这种农产品各多少袋？（2）根据有关规定：该商店在出售这种农产品时，零售的数量不能超过总数的30%现该商店要售出1000袋这种农产品，请问：当零售和批发这种农产品分别是多少袋时，才能使总利润最大？最大总利润是多少？24. 如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板边和量角器的直径在同一条直线上，AB=BC=40cm，OD=20cm（1）如图，当与量角器的半圆相切时，求的长；（2）如图，当和重合时，求证：25. 平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，其对称轴与轴交于点（1）求点，坐标；（2）若方程（）有两个不相等的实数根，且两根都在，之间（包括，
8、），结合函数的图象，求的取值范围（3）直线经过点（，），将点向右平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围26. 探究题：【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心【问题探究】（1）如图，在中，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）（2）如图所示，在中，直线为的“理想线”，点在上，点在上，试求的长实际运用】（3）通过上面的学习，请你解决以下问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，
9、要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法2022年湖南省永州市零陵区中考第二次模拟监测数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 1，6中绝对值最大的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的定义、实数的大小关系解决此题【详解】解：根据绝对值的定义，|1|=1、|=、|=、|6|=6根据实数的大小关系，161，6中，绝对值最大的数是6故选：D【点睛】本题主要考查绝对值的定义、实数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义、实数的大小关系是解决本题的关键2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D
10、. 【答案】B【解析】【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值对各选项进行逐一判断即可【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；B、正确，该选项符合题意；C、原计算错误，该选项不符合题意；D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值，熟记相关运算法则及公式是解答本题的关键3. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒.科学记数法表示的数据为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用
11、科学记数法表示绝对值大于1的数，一般表示为a10n的形式，其中1|a|10，n等于原数的整数位数减1，依此逆推即可【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了有科学记数法表示的数还原为原数，熟练掌握a, n的确定方法是解题的关键4. 下面四个几何体中，左视图不是矩形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解【详解】解：A. 长方体的左视图是矩形，不符合题意；B.圆柱的左视图是矩形，不符合题意；C.球的左视图是圆，符合题意；D.三棱柱的左视图是矩形，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何
12、体的三视图是解题的关键5. 如图，在中，平分，且，则的度数为（ ）A. 70B. 60C. 50D. 40【答案】D【解析】【分析】由角平分线的定义求出BEF=140，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出B的度数即可.【详解】平分，且，故选D【点睛】此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用6. 防晒衣的主要作用是阻隔太阳紫外线的直接照射，上图为某品牌防晒衣某分店年月的销量（单位：件）情况这个月销量（单位：件）的中位数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据销量折线图，结合中位数的定义直接求解【详解】解：销量由小到大排列为
13、：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：=2387，故选：B【点睛】此题考查的是平均数及中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数也考查了折线图7. 我国古代数学名著算法统宗有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？
14、”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论【详解】解：由题意知：OC=x-（5-1），PC=10，OP=x，在RtOCP中，由勾股定理得：x-（5-1）2+102=x2即故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键8. 如图，是的直径,于交于,则的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用垂径定理得到AE=4，在直角三角形AOE中，求得AOE=45，利用勾股定理求出结果【详解】解：OEAB，AE=，在直角AOE中，AOE=2D=45，EO=AE=4，AO=,故选择
15、A【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理和勾股定理，确定等腰直角三角形是解决问题的关键9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据点A、B的坐标，求出AB的长度，根据菱形的性质，得出AD=AB=，根据轴，即可得出点D的坐标【详解】解：点A（0，2），B（-1，0），OA=2，OB=1，四边形ABCD为菱形，AD=AB=，即轴，点D的坐标为：，故A正确故选：A【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系内点的特点，根据题意求出是解题的关键10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（
16、a0）的图象如图所示，下列结论：2a+b=0；关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为1x3；8a+c0；a+bm(am+b)（m为实数），其中正确的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线的对称轴为直线x=1，计算可判断；由对称轴为直线x=1以及抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)，得到抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，得到函数值小于0时，x的范围即可判断；当x=4时，y0，通过计算即可判断；不等式两边加上c，即a+b+cam2+bm+c（m为实数），即为x=1对应的函数值与x=m时对应的函数值比较大小【详解】解：由抛物线的对称轴为直线x=1，得，即b=-2
17、a，2a+b=0，故正确；函数图象与x轴的一个交点为(-1，0)，且抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，由图象得到函数值小于0时，x的范围为-1x3，故正确；由图象知：当x=4时，y016a+4b+c0，b=-2a，16a-8a+c0，8a+c0，故错误；抛物线的顶点横坐标为1，且开口向下，当x=1时，对应的函数值最小，即a+b+cam2+bm+c（m为实数），即为x=1对应的函数值小于x=m时对应的函数值，a+bam2+bm=m（am+b），故正确；则正确的选项有：共3个故选：C【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及
18、二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分请将答案填在答题卡的答案栏内）11. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_【答案】12【解析】【分析】多边形的外角和为360，而多边形的每一个外角都等于30，由此做除法得出多边形的边数【详解】解：36030=12，这个多边形为十二边形，故答案为：12【点睛】本题考查了多边形的外角，关键是明确多边形的外角和为36012. 分式方程的解是_【答案】x=-3【解析】【分析】方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可【详解】解：方程两边都乘x（x-2），得5x=3（
19、x-2），解得：x=-3，检验：当x=-3时x（x-2）0，所以x=-3是原方程的解，故答案为：x=-3【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键解分式方程注意要检验13. 分解因式：x316x_【答案】x（x+4）（x4）.【解析】【详解】先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可 解：原式=x（x216）=x（x+4）（x4），故答案为x（x+4）（x4）14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80则小彤这学期的体育成绩是_【答案】8
20、3分【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可【详解】解：根据题意得：9030%+8070%=83（分）；答：小彤这学期的体育成绩是83分故答案为：83分【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题15. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是_cm【答案】75【解析】【分析】过点B作BDAC于D，根据题意得：AD=60cm，BD=54cm，根据斜坡BC的坡度，求出CD的长，即可得出AC的长【详解】过点B作BD
21、AC于D，如图所示：根据题意得：AD=230=60（cm），BD=183=54（cm），斜坡BC的坡度i=2：5，BD：CD=2：5，CD=BD=54=135（cm），AC=CD-AD=135-60=75（cm），AC的长度是75cm故答案为：75【点睛】本题主要考查了坡度坡角问题，需注意的是坡度是坡角的正切值，是坡面铅直高度和水平宽度的比16. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，且OA=2，OAB=30，将AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数y=（k0）的图像恰好经过D点，则k的值为_. 【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质得到DAB=OAB=30，AD=AO=2，求得DAO
22、=60，过D作DCOA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：将AOB沿AB翻折得ADB，DAB=OAB=30，AD=AO=2，DAO=60，过D作DCOA于C，ACD=90，AC=AD=1，CD=，OC=OA- AC=2-1=1，D（1，），反比例函数y=（k0）的图像恰好经过D点，k=1=，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键17. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为_【答案】#【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，然后根
23、据线段垂直平分线的性质可得，最后根据三角形的周长公式即可得【详解】解：平分，且，的垂直平分线交于点，则的周长为，故答案为：【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键18. 规定在平面直角坐标系中，如果点的坐标为（，），那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：若与互相垂直，且，则现有与互相垂直，且，则锐角_【答案】45#45度【解析】【分析】根据平面向量互相垂直的运算法则得到方程cossin+(sin-1)(sin+1)=0通过解该方程求得tan=1，所以由特殊角的三角函数值求得答案详解】解：与互相垂直，且，coss
24、in+(sin-1)(sin+1)=0，cossin+sin2-1=0，即cossin-cos2=0，两边同除以cos2得：tan=1是锐角，=45故答案是：45【点睛】本题主要考查了平面向量，坐标与图形性质以及同角三角函数的关系，解题的关键是正确运用两平面向量互相垂直的运算法则三、解答题（本大题共8个小题，共78分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 化简求值：（），其中a+1【答案】，【解析】【分析】先通过分式的性质化简，在代入求值即可；【详解】解：原式，当a+1时，原式，【点睛】本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，准确计算是解题的关键20. 已知关于x的一元二次方
25、程x2(k+1)x+2k3=0（1）当k=3时，求一元二次方程x2(k+1)x+2k3=0的解；（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根【答案】（1）x1=3，x2=1； （2）见解析【解析】【分析】（1）用因式分解法可求出答案；（2）根据根的判别式公式，得到0，即可得到答案【小问1详解】解：当k=3时，原方程变为x2-4x+3=0，(x-3)(x-1)=0，x1=3，x2=1；【小问2详解】证明：=(k+1)2-4(2k3)=k2+2k+1-8k+12=k2-6k+11=(k-3)2+20，方程总有两个不相等的实数根；【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程-因式分解法，正
26、确掌握根的判别式是解题的关键21. 我市某学校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：劳动课程烹饪园艺电工木工缝纫人数1012a915（1）_，_，扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角_；（2）若该校七年级共有600名学生，请估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；（3）七（1）班计划在“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程中任选两类参加学校展示活动，请用列表或画树状图的方法，求
27、恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率【答案】（1）14；25； （2）120人 （3）【解析】【分析】（1）根据选择“园艺”课程的人数为12，占总调查人数的20%，求出总人数，用调查的总人数减去另外4项的人数为选择“电工”课程的人数，即可得出a的值；用选择“缝纫”的人数除以调查的总人数，即可得出其百分比；用选择“烹饪”课程的人数除以总人数，然后乘以360，得出图中“烹饪”所对应扇形的圆心角的度数；（2）用七年级的学生人数乘以样本中选择“园艺”劳动课程的人数的百分比，即可估算出该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；（3）先列出表格，然后根据概率公式计算出恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动
28、课程的概率即可【小问1详解】解：被调查的学生人数为：（人），选择电工课程的人数为：（人）；选择“缝纫”课程的人数占总人数的百分比为：，即；扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角为：故答案为：14；25；【小问2详解】解：该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数为：（人）【小问3详解】解：根据题意列表如下：烹饪园艺电工缝纫烹饪烹饪、园艺烹饪、电工烹饪、缝纫园艺园艺、烹饪园艺、电工园艺、缝纫电工电工、烹饪电工、园艺电工、缝纫缝纫缝纫、烹饪缝纫、园艺缝纫、电工共有12种等可能的结果，恰为“园艺、缝纫”的有2种，恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率为：【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计
29、总数、画树状图或列表求概率，根据题意熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键22. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，连接，（1）求证：；（2）求的度数【答案】（1）见解析 （2）135【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形ABE 求得ABE=45，再利用等腰BAG得到BGA=67.5，求AGF=22.5，同样方法求得AFG=22.5，利用等角对等边得出结论；（2）结合（1）的结论，利用三角形内角和定理求出结果【小问1详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=DC，BAD=ABC=BEF=90，由旋转知，BA=BG，DC=EF，GBE=FEB=90，又AB=AE，BG=BA=AE=EF，又AB
30、E=AEB= ,GBA=90-ABE=45，BGA=BAG= ,AGF=90-BGA=22.5，同样方法得到AFG=22.5，AFG=AGF，AG=AF；【小问2详解】由（1）知，AFG=AGF=225，GAF=180-AFG-AGF=135【点睛】本题考查矩形的旋转、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是找到等腰三角形23. 我区某农产品商店经营某种农产品，若零售一袋这种农产品可获利润15元，批发一袋这种农产品可获利润6元（1）已知该商店某日卖出了这种农产品100袋共获利润780元，该商店当天零售、批发这种农产品各多少袋？（2）根据有关规定：该商店在出售这种农产品时，零售的数
31、量不能超过总数的30%现该商店要售出1000袋这种农产品，请问：当零售和批发这种农产品分别是多少袋时，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【答案】（1）该商店当月零售这种农产品20袋，批发这种农产品80袋； （2）该商店零售、批发这种农产品的袋数分别是300袋，700袋时，获得最大利润为8700元【解析】【分析】（1）设该商店当月零售这种农产品x袋，则批发这种农产品（100-x）袋，依据该商店某月卖出100袋这种农产品共获利润780元，列方程求解即可；（2）设该商店当月零售这种农产品m袋，则批发这种农产品（1000-m）袋，该商店获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质
32、，即可求解【小问1详解】解：设该商店当月零售这种农产品x袋，则批发这种农产品（100-x）袋，依题意得15x+6（100-x）=780，解得：x=20，100-20=80（袋），答：该商店当月零售这种农产品20袋，批发这种农产品80袋；【小问2详解】解：设该商店当月零售这种农产品m袋，则批发这种农产品（1000-m）袋，依题意得0m100030%，解得0m300，设该商店获得利润为y元，依题意得y=15m+6（1000-m），即y=9m+6000，90，y随着m的增大而增大，当m=300时，y取最大值，此时y=9300+6000=8700（元），批发这种农产品的数量为1000-m=700（袋）
33、，答：该商店零售、批发这种农产品的袋数分别是300袋，700袋时，获得最大利润为8700元【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键24. 如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边和量角器的直径在同一条直线上，AB=BC=40cm，OD=20cm（1）如图，当与量角器的半圆相切时，求的长；（2）如图，当和重合时，求证：【答案】（1）AD的长为(20-20)cm； （2）见解析【解析】【分析】（1）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；（2）利用圆周角定理以及切
34、线的性质定理得出CEF=ODF=OFD=CFG，进而求出CFGCEF，即可得出答案【小问1详解】解：如图，连接O与切点H，则OHAC，又A=45，AO=OH=20cm，AD=AO-DO=（20-20）cm；【小问2详解】证明：如图，连接EF，OD=OF，ODF=OFD，DE为直径，ODF+DEF=90，DEC=DEF+CEF=90，CEF=ODF=OFD=CFG，又FCG=ECF，CFGCEF，CF2=CGCE【点睛】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出CFGCEF是解题关键25. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，其对称轴与轴交
35、于点（1）求点，的坐标；（2）若方程（）有两个不相等的实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围（3）直线经过点（，），将点向右平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）计算自变量为0时的函数值得到A点坐标，把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线对称轴，从而得到B点坐标（2）利用抛物线与x轴交点问题，可看作抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间(包括1，3) ，利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，顶点在第一象限，所以且当时，即然后解a的不等式组即可得到a的范围（3）由直
36、线经过点（，），可求出从而得出分和两种情况，当时，当时，和当时，当时，解出即可得出结果【小问1详解】抛物线与y轴交于点A，即当时，【小问2详解】如图所示：方程有两个不同的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间(包括1，3)，抛物线开口向下，顶点在第一象限，当时，【小问3详解】直线经过点（，），将点向右平移个单位长度，得到点当时，如图所示：抛物线与线段只有一个公共点，当时，当时，时抛物线与线段只有一个公共点当时，如图所示：抛物线与线段只有一个公共点，当时，当时，时抛物线与线段只有一个公共点故抛物线与线段只有一个公共点时或【点睛】本题考查了抛
37、物线与x轴的交点，把求二次函数 (a，b，c是常数， a0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质26. 探究题：【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心【问题探究】（1）如图，在中，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）（2）如图所示，在中，直线为“理想线”，点在上，点在上，试求的长【实际运用】（3）通过上面的学习，请你解决以下问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三
38、角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）作线段BC的中垂线即可（2）过点M作于点H，根据理想线的定义求得，再证明根据相似三角形对应边成比例的性质列式求出AM和AN的长，最后进行判断取舍即可；（3）分三种情况讨论得出符合条件的直线共有三条【小问1详解】作线段BC的中垂线AM，如图所示AM是BC的中垂线，BM=CM，SABM=SACM，AB=AC，AB+BM=AC+CM直线AM是ABC的“理想线”【小问2详解】如图1，过点M作于点H，的周长为：的面积为：是的“理想线”，即又解得，当时，点N在AC
39、上， 符合题意，当时，即,故不符合题意,综上，【小问3详解】如图2，取BC的中点P，连接AP，平分是的一条“理想线”；如图3，取BC的中点为P，连接AP，设直线QF是的一条“理想线”过点Q作于点E，的周长为：的面积为：QF是的一条“理想线”即又解得，或当时，点F在BC上，即符合题意；当时，即符合题意，综上，当Q在AC上，F在BC上时，有和符合题意；当点Q在AC上 ,点F在AB上时，过点A作ADBC，过点C作CGAB，过点Q作QHAB，垂足分别为D，G，H，同理可得，根据面积相等可得 设，则AF=8-x / 又 解得，（会去）或当时，故此种情况不存在，综上，的“理想线”共有下图中的三条，即直线AD，直线QF和直线MN.【点睛】此题主要考查了相似三角形的综合应用以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的数学思想得出是解题关键