1、广东省部分重点学校2020-2021学年高一下期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 复数，在（ ）A. B. C. D. 43. 若，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 5. 某棋牌室有名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是，则抽到初级的概率是（ ）A. B. C. D. 6. 若，则的最小值为（ ）A. B. C. 5D. 47. 函数的零点所在区间为（ ）A B. C. D. 8. 设
2、，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9. 已知函数，函数，则下列正确的有（ ）A. 周期相同，最大小值相同B. 由向左平移个单位长度得到C. 由向右平移个单位长度得到D. 由向左平移个单位长度得到10. 下列式子中成立的是（ ）A. B. C. D. 11. 下列函数表示相同函数是（ ）A. B. C. D. 12. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任意单位向量模都相等.B. 若，是平面内的两个不同的点，则C. 若向量，则D. 零向量与任意向量平行三、填空题（每题5分共20分）.13.
3、 若，则 .14. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_15. 若正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为_.16. 如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是_.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，.求（1）； （2）求.18. 如图，在三棱锥中，点是线段的中点，平面平面.（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（2）求证：.19. 某学校900名学
4、生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与 秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数（保留两位小数）.20. 在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求的面积S.21. 已知向量，函数. （1）若且，求的值；（2）求的最小正周期；（3）若，求值.22. 已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范
5、围.广东省部分重点学校2020-2021学年高一下期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法，求得，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，又由，可得.故选：B.2. 复数，在（ ）A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，从而求出其模；【详解】解：因为，所以所以，所以故选：C3. 若，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基
6、本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以，又，所以，因为，所以，所以故选：D4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得因为，可得，解得.故选：C.5. 某棋牌室有名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是，则抽到初级的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求得初级棋友的人数，由古典概型概率公式计算可得结果.【详解】由题意知：高级棋友有人，初级棋友有人，从棋牌室中抽取一名棋友
7、，抽到初级的概率是.故选：C.6. 若，则的最小值为（ ）A. B. C. 5D. 4【答案】B【解析】【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】解：，（当且仅当时等号成立）故选：B7. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得函数为单调递增函数，可得，所以，所以函数的零点所在区间为.故选：C.8. 设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【详解】
8、试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9. 已知函数，函数，则下列正确的有（ ）A. 周期相同，最大小值相同B. 由向左平移个单位长度得到C. 由向右平移个单位长度得到D. 由向左平移个单位长度得到【答案】AC【解析】【分析】求得两个函数的最小正周期和最值即可判断A正确；利用函数图象平移即可判断出其他选项.【详解】解：两个函数的周期都为，最大值为1，最小
9、值为-1，最大小值相同，故A正确；由，则由 向右平移个单位长度得到，故C正确，将向左平移个单位长度得到，不能得到，B错误；将向左平移个单位长度得到，不能得到，D错误；故选：AC.10. 下列式子中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由对数函数、指数函数和幂函数的单调性依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，在上单调递减，A错误；对于B，在上单调递增，B正确；对于C，在上单调递减，C错误；对于D，D正确.故选：BD.11. 下列函数表示相同函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据相等函数的定义判断即可；【详解】解：对于A：显然不是
10、相等函数，故A错误；对于B：定义域为，且定义域也为，且函数解析式一致，故是相等函数，故B正确；对于C：因为，所以与是同一函数，故C正确；对于D：与显然不是相等函数，故D错误；故选：BC12. 下列说法中，正确的是（ ）A. 任意单位向量的模都相等.B. 若，是平面内的两个不同的点，则C. 若向量，则D. 零向量与任意向量平行【答案】AD【解析】【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可；【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；对于B：与互为相反向量，故B错误；对于C：若时，与不一定共线，故C错误；对于D：零向量与任意向量平行，故D正确；故选：AD三、填空题
11、（每题5分共20分）.13. 若，则 .【答案】【解析】【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.14. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_【答案】4【解析】【分析】利用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案详解】由题意可得：，设，则，解得，故答案为4【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题15. 若正方体
12、的棱长为1，则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】利用等体积法即可.【详解】如图，.故答案为：.16. 如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是_.【答案】35、95【解析】【分析】根据熟记的极差和中位数的定义，结合茎叶图的数据，即可求解.【详解】由茎叶图中的数据可得，成绩的最高分为，最低分为分，所以数据的极差为；根据数据中位数的定义，可得数据的中位数为.故答案为：；.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，.求（1）； （2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由
13、已知求，结合向量数量积运算律，即可求；（2）由，利用向量数量积的运算律求值即可.【详解】（1），.（2）.18. 如图，在三棱锥中，点是线段的中点，平面平面.（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（2）求证：.【答案】（1）存在，点是线段的中点，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取线段的中点，利用是的中位线，得，再由线面平行的判断定理可得答案.（2）由，得，由面面垂直得平面可得答案.【详解】（1）在线段上存在点，使得平面，点是线段的中点.下面证明平面： 取线段的中点， 连接， 点是线段的中点，是的中位线， ， 平面，平面，
14、平面. （2）证明：， ， 平面平面，且平面平面，平面，平面， 平面，.19. 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与 秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数（保留两位小数）.【答案】(1)3人；（2）288人；（3）众数15.5 ，中位数15.74 .【解析】【详解】试题分析：每个小长方形的面积即为改组的频率再根据公式可求得
15、（1）、（2）中的问题（3）众数就是出现次数最多的数，在频率分布直方图中众数就是最高矩形的中点中位数两边的直方图的面积相等直方图的总面积为1.试题解析：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为；（2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数为；（3）由图可知众数落在第三组，所以众数为，第一二组的频率为，第一二三组的频率为，所以中位数一定落在第三组，设中位数为x，则，解得考点：频率分布直方图20. 在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求的面积S.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由题设条件化简得，得到，结合正弦定理，即可求解.（2）由（1）
16、和余弦定理得到，求得，再由，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，可得，所以，所以可得，因为，可得，由正弦定理可得，即.（2）由（1）知，由余弦定理，可得，即，解得，所以，因为，又因为，所以，所以的面积为.21. 已知向量，函数. （1）若且，求的值；（2）求的最小正周期；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，求得，得到，即可求解；（2）由，结合周期的计算公式，即可求解；（3）由（2）和题设条件，求得，利用基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，函数，因为，即，可得，所以，又因为，可得，所以.（2）由，所以函数最小正周期为.（3）由（2）知，因为，所以又因为，所以因为，可得，所以.22. 已知.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）将参数代入函数，解一元二次不等式即可；（2）将题设转化为在上恒成立，应用基本不等式，即可求参数a的范围.【详解】（1）当时，即 ， ，即，解得或，原不等式的解集为或.（2）当时恒成立，即，设，当且仅当时等号成立，.