1、北京市延庆区2020-2021学年高一下期末考试数学试卷一、选择题共10个小题，每小题5分，共50分.1. 是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 2. 在中，那么的面积等于（ ）A. B. C. D. 3. 在空间，给出下面四个命题： 三个不同点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 两条相交直线确定一个平面. 其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 4. 在中，那么等于（ ）A B. C. D. 5. 在中，那么等于（ ）A. B. C. D. 6. 复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D
2、. 7. 如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 已知两个平面，两条直线，给出下面的四个命题： ； ； ； .其中，所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 10. 在中，给出如下命题： 若，则是锐角三角形 若，则是等腰三角形 若，则是等腰直角三角形 若，则是等腰或直角三角形其中，所有正确命题的序号是 （ ）A. B. C. D. 二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 实部等于_；虚部等于_.12. 在空间中，两条平行直线是指_，并且没有公共点的两条
3、直线.13. 已知，是虚数单位，则_；_.14. 在复平面上所对应点的坐标为_.15. 中，则其最大内角等于_.16. 正方体中，是的中点，是线段上的一点. 给出下列命题： 平面中一定存在直线与平面垂直； 平面中一定存在直线与平面平行； 平面与平面所成的锐二面角不小于； 当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是_.二、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 分别求实数x的值，使得复数 （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.18. 如图，四边形是矩形，平面，是上的一点.（）求证：平面；（）求证：19. 在中，钝角.（）求；
4、 （）求.20. 在中，三内角所对的边分别为，.（）若，求边上的高；（）若，求的面积；（）求周长的最大值.21. 三棱柱中，侧面底面，是棱上的一点，过的平面与相交于.（1）求证：；（2）若是的中点，求证：平面平面；（3）求证：与平面不垂直.北京市延庆区2020-2021学年高一下期末考试数学试卷一、选择题共10个小题，每小题5分，共50分.1. 是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据复数运算确定正确选项.【详解】依题意.故选：A2. 在中，那么的面积等于（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式即可得到答
5、案.【详解】由三角形的面积公式可知，三角形的面积.故选：C.3. 在空间，给出下面四个命题： 三个不同的点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 两条相交直线确定一个平面. 其中正确命题的序号是（ ）A B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】根据平面的知识确定正确命题的序号.【详解】，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，故错误.，直线和直线外一点确定一个平面，故错误.，空间两两相交的三条直线不一定确定一个平面，可以多个，故错误.，两条相交直线确定一个平面，故正确.故选：D4. 中，那么等于（ ）A. B. C. D. 【4题答案
6、】【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求得.【详解】由正弦定理得.故选：C5. 在中，那么等于（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】B【解析】【分析】用余弦定理直接解出即可.【详解】由余弦定理：.故选：B.6. 复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】，其对应的点在第二象限，所以.故选：B7. 如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据锥体体积公式计算出几何体
7、的体积.【详解】.故选：D8. 复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断.【详解】因为，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；由复数的几何意义可知：，则，故D正确.故选：D.9. 已知两个平面，两条直线，给出下面的四个命题： ； ； ； .其中，所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】通过线面平行的判断定理可判断；根据线面垂直的性质定理可判断；通过直观想象可判断；由可得：，进而可以判断.【详解】由线面平行的判定定
8、理可知，有可能，错误；由线面垂直的性质定理可知，正确；a,b可以平行或异面；错误.由可得：，又因为，所以，正确.故选：D.10. 在中，给出如下命题： 若，则是锐角三角形 若，则是等腰三角形 若，则是等腰直角三角形 若，则是等腰或直角三角形其中，所有正确命题的序号是 （ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理对选项逐一分析，由此确定正确命题的序号.【详解】，由正弦定理得为锐角，但无法判断角的大小，所以错误.，则是等腰三角形，所以正确.，假设，则，但三角形不是直角三角形，所以错误.，所以或，所以三角形是等腰或直角三角形. 正确.故选：C第二部分（
9、非选择题，共100分）二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 的实部等于_；虚部等于_.【11题答案】【答案】 . . .【解析】【分析】根据复数实部、虚部的知识确定正确结论.【详解】的实部为，虚部为.故答案为：；12. 在空间中，两条平行直线是指_，并且没有公共点的两条直线.【12题答案】【答案】在同一平面内.【解析】【分析】根据平行直线的定义即可得解.【详解】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.故答案为：在同一平面内.13. 已知，是虚数单位，则_；_.【13题答案】【答案】 . . .【解析】【分析】利用复数相等的知识列方程组，解方程组
10、求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：；14. 在复平面上所对应的点的坐标为_.【14题答案】【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算化简，进而求得对应点的坐标.【详解】，对应点为.故答案为：15. 中，则其最大内角等于_.【15题答案】【答案】.【解析】【分析】先判断最大，计算，由此求得最大内角.【详解】由于最大，故最大，由于，所以.故答案为：16. 正方体中，是的中点，是线段上的一点. 给出下列命题： 平面中一定存在直线与平面垂直； 平面中一定存在直线与平面平行； 平面与平面所成的锐二面角不小于； 当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是_.【16题答案】
11、【答案】 .【解析】【分析】对于：利用反证法进行证明；对于：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQAD于P，且PQ=MN.可以证明面MAC.即可判断；对于：当M与A1重合时，DAC即为二面角的平面角，此时DAC=45.当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；即可判断；对于：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当当M与A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小.即可判断【详解】对于：假设平面中存在直线l面，则由面面垂直的判定定理可得：面面.而在正方体中，面面.因为是的中点，是线段上的一点，所以面与面不重合，所以过AC有两个平面
12、和均与面垂直，这与过平面内一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，故假设不正确，所以错误；对于：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQAD于P，且PQ=MN.则有，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以，又面MAC, 面MAC,所以面MAC.故正确.对于：当M与A1重合时，DAC即为二面角的平面角，此时DAC=45.当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；故正确.对于：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当当M与A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小.故正确.故答案为：【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1) 立体几
13、何证明题一般是几何关系的证明，用判定定理；(2) 立体几何计算题一般是求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算二、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 分别求实数x的值，使得复数 （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.【17题答案】【答案】（1）或；（2）且；（3）.【解析】【分析】（1）虚部为0，进而解得答案；（2）虚部不为0，进而解得答案；（3）实部 为0且虚部不为0，进而解得答案.【详解】（1）当时，即或时，是实数；（2）当时，即且时，是虚数；（3）当且时，即时，纯虚数.18. 如图，四边形是矩形，平
14、面，是上的一点.（）求证：平面；（）求证：【18题答案】【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由已知可得，即可得证；（）首先可得平面，从而得到，再由，即可得到平面，从而得证；【详解】（）是矩形，平面， 平面， 平面， （）证明：因为平面，所以平面，因为平面所以因为所以因为，平面所以平面因为平面所以19. 在中，是钝角.（）求； （）求.【19题答案】【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.（）先求得，然后利用正弦定理求得.【详解】（） ， ， ， ， ， 是钝角，. （）， ， .20. 在中，三内角所对的边分别为，.（）若，求边上
15、的高；（）若，求的面积；（）求周长最大值.【20题答案】【答案】（）6；（）；（）.【解析】【分析】（）先求得三角形的面积，然后利用等面积法求得边上的高.（）结合余弦定理求得，由此求得三角形的面积.（）结合余弦定理以及基本不等式求得的最大值，由此求得三角形周长的最大值.【详解】（），设边上的高为，.（），.（），当且仅当时，等号成立.，当且仅当时，此时周长的最大值等于.21. 三棱柱中，侧面底面，是棱上的一点，过的平面与相交于.（1）求证：；（2）若是的中点，求证：平面平面；（3）求证：与平面不垂直.【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可证明；（2）先通过线面垂直的性质定理证明底面，得到，再证，进而通过线面垂直的判定定理得出结论（3）用反证法即可证明.【详解】（1）是三棱柱， 平面平面， 平面平面，平面平面， （2）如图，连接，是等边三角形，是的中点， 又因为侧面底面且交于AC，底面， 在中，平面，又平面，平面平面.（3）假设平面， 则，是等边三角形，是的中点，与矛盾，则假设不成立，所以与平面不垂直.