1、2020-2021 学年广东省潮州市高一学年广东省潮州市高一下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4分，共分，共 40 分）分） 1. 复数i 1 iz 的实部为（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 2. 某公司有员工 49 人，其中 30 岁以上的员工有 14 人，没超过 30 岁的员工有 35 人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为 7 的样本，其中 30 岁以上的员工应抽多少 A. 2人 B. 4人 C. 5人 D. 1人 3. 打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是 7,8,9 中的一
2、个数字，第四位是 1,2,3 中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是 A. 16 B. 18 C. 19 D. 110 4. 在ABC中，a=15,b=10,A=60 ，则cosB= A. 2 23 B. 2 23 C. 63 D. 63 5. 已知两条不同直线l，m，两个不同平面，则下列命题正确是 A. 若/ /，l，m，则/lm B. 若/ /，/m，l，则lm C. 若，l，m，则/lm D. 若，/l，/ /m，则lm 6. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距
3、离.在复平面内，复数02i1 iaz（i是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应的点为0Z，满足条件1z 的点Z与0Z之间的最大距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得15BCD，30CBD，10 2mCD，并在C处测得塔顶A的仰角为 45 ，则塔高AB （ ） A. 30 2m B. 20 3m C. 30m D. 20m 8. 在等腰梯形ABCD中，/AB DC，2ABDC，E为BC的中点，则（ ） A. 3142AEABAD B. 3122AEABAD C 1142AEABAD D. 3144
4、AEABAD 9. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos(2)coscaBabA，则ABC为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） 10. 已知复数5 i 与3 2i 分别表示向量OA和OB，则表示向量AB复数为_. 11. 柜子里有 3 双不同鞋子，随机地取出 2 只，则取出的 2 只鞋子不成对的概率为_. 12. 某圆锥母线长为 4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5
5、 小题满分小题满分 44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 已知1a，2b ， 223abab. （1）求a与b的夹角； （2）求2ab. 14. 某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取 20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程） ，被调查汽车的续驶里程全部介于 50公里和 300 公里之间，将统计结果分成 5 组：50,100),100,150),150,200),200,250), 250,300)，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求续驶里程在200,300的车辆数； （2）求续驶里程的平均数； （
6、3）若从续驶里程在200,300的车辆中随机抽取 2 辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在200,250内的概率. 15. 甲乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 1，2，3 号.第一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队 3 名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第 m 行第 n 列的数据是甲队第 m 号队员能战胜乙队第 n 号队员的概率. 0.5 0.3 0.2 0.6 0.5 0.3 0.8 0.7 0.6 （1）求甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰概率； （2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概
7、率更大一些？ 2020-2021 学年广东省潮州市高一下期末数学试卷学年广东省潮州市高一下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 4分，共分，共 40 分）分）. 1. 复数i 1 iz 的实部为（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数，即可求解. 【详解】2i 1 iii1 iz ，实部为1， 故选：B. 2. 某公司有员工 49 人，其中 30 岁以上的员工有 14 人，没超过 30 岁的员工有 35 人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为 7 的样本，其中 30 岁以上的员工应
8、抽多少 A. 2人 B. 4人 C. 5人 D. 1人 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意抽取比例为71497，30 岁以上的员工应抽11427人，故选 A 考点：本题考查了分层抽样的运用 点评：熟练掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题 3. 打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是 7,8,9 中的一个数字，第四位是 1,2,3 中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是 A. 16 B. 18 C. 19 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据分步乘法计数原理计算出总的情况，其中只有一种情况正确即可算出概率 【详解】第二位有三种
9、情况，第四位有三种情况，所以一共有3 3=9种情况，所以一次输对的概率为19 【点睛】本题主要考查了事件与概率，主要掌握分步乘法计数原理，即完成一件事的方法，把每一步完成的方法相乘，就是完成这件事所有的方法本题属于基础题 4. 在ABC中，a=15,b=10,A=60 ，则cosB= A. 2 23 B. 2 23 C. 63 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理即可得到sinB，进而得到结果. 详解】由正弦定理得15103sinsinsinsin332abBABB，baBA 6cos3B 考点：正弦定理解三角形 5. 已知两条不同直线l，m，两个不同平面，则下列命题正确的是
10、 A. 若/ /，l，m，则/lm B. 若/ /，/m，l，则lm C. 若，l，m，则/lm D 若，/l，/ /m，则lm 【答案】B 【解析】 【分析】 对 A，/lm或, l m异面，所以该选项错误；对 B，lm，所以该选项正确；对 C，lm，所以该选项错误；对 D，lm或/lm或, l m相交或, l m异面，所以该选项错误 【详解】对 A，若/ /，l，m，则/lm或, l m异面，所以该选项错误； 对 B，若/ /，l，所以l，因为/m，则lm，所以该选项正确； 对 C，若，l，m，则lm，所以该选项错误； 对 D，若，/l，/ /m，则lm或/lm或, l m相交或, l m
11、异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力. 6. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.在复平面内，复数02i1 iaz（i是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应的点为0Z，满足条件1z 的点Z与0Z之间的最大距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的运算化简0z， 由0z为纯虚数可求得a的值， 从而可求得0z，0Z，
12、设,Z xy且221xy，11y ，由两点间的距离公式即可求解点Z与0Z之间的最大距离. 【详解】由02i1 i22i2i1 i1 i1 i2aaaaz， 因为复数02i1 iaz（i虚数单位，aR）是纯虚数， 所以20a，解得2a ， 所以02iz ，则00,2Z， 由于1z ，故设,Z x y且221xy，11y ， 所以2222024454543ZZxyxyyy， 故点Z与0Z之间的最大距离为 3. 故选：C. 7. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得15BCD，30CBD，10 2mCD，并在C处测得塔顶A的仰角为 45 ，则塔高AB （
13、 ） A. 30 2m B. 20 3m C. 30m D. 20m 【答案】D 【解析】 【分析】由已知在BCD中，利用正弦定理可求CB的值，在RtABC中，由45ACB，可求塔高ABBC的值. 【详解】解：在BCD中，15BCD，30CBD，10 2mCD， 由正弦定理sinsinCDCBCBDCDB，可得10 2sin30sin 1801530CB， 可得220 2202CB ， 在RtABC中，45ACB， 所以塔高20mABBC 故选：D. 8. 在等腰梯形ABCD中，/AB DC，2ABDC，E为BC的中点，则（ ） A. 3142AEABAD B. 3122AEABAD C. 1
14、142AEABAD D. 3144AEABAD 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形ABCD中，利用三角形法则即可求解. 【详解】如图所示： 在三角形ABE中，12AEABBEABBC 12ABBAADDC 1122ABABADAB1122ABABAD3142ABAD. 故选：A. 9. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos(2)coscaBabA，则ABC为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】余弦定理得222222cos,cos22cbacabABbcac代入原式得22
15、22222222222222,22222cabcbacbacabcbaacbccacbc 解得2220abcab或 则形状为等腰或直角三角形,选 D. 点睛：判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分） 10. 已知复数5 i 与3 2i 分别表示向量OA和OB，则表示向量AB的复数为_. 【答案】2 3i 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求出向量A
16、B，即可求出表示的复数为2 3i. 【详解】5 iOA ，3 2iOB ， 32i5i23iABOBOA ， 即向量AB表示的复数为2 3i. 故答案为：2 3i. 11. 柜子里有 3 双不同的鞋子，随机地取出 2只，则取出的 2只鞋子不成对的概率为_. 【答案】45 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解. 【详解】解：取法总数有2615C 种，取出的鞋成对的种数有 3种， 取出的鞋不成对的概率341155p . 故答案为：45 12. 某圆锥母线长为 4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_. 【答案】8 33 【解析】 【分析】 结合圆锥的立体图和平面
17、展开图先求出圆锥底面半径和高，再联立体积公式即可求解 【详解】 可设圆锥底面半径为r， 则圆锥底面圆周长为2 r， 因为圆锥侧面展开图为半圆面， 由lr知24r，2r =，由几何关系可知圆锥的高22422 3h，故圆锥体积为2118 34 2 3333Vr h 故答案为：8 33 【点睛】本题考查圆锥体积的求解，能熟练对圆锥立体图和展开图进行有效转化是解题关键，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题满分小题满分 44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 已知1a，2b ， 223abab. （1）求a与b的夹角；
18、 （2）求2ab. 【答案】 （1）=3； （2）2 3. 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出cos的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）将2ab平方，利用平面向量数量积的运算律和定义可计算出22ab的值，由此可得出2ab的值. 【详解】 （1）由题意： 222223223 1 2 cos83ababaa bb ， 得1cos2，0，因此，=3， （2）222124444 1 24122abaa bb ，因此，22 3ab. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律和定义计算平面向量的夹角与模，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 某电动车售后服务调研小组从汽
19、车市场上随机抽取 20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程） ，被调查汽车的续驶里程全部介于 50公里和 300 公里之间，将统计结果分成 5 组：50,100),100,150),150,200),200,250), 250,300)，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求续驶里程在200,300的车辆数； （2）求续驶里程的平均数； （3）若从续驶里程在200,300的车辆中随机抽取 2 辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在200,250内的概率. 【答案】 （1）5 辆； （2）170； （3）35. 【解析】 【分析】 （1）根据所有长方形面积之和为 1，求得未知数
20、x，计算出区间200,250),250,300)长方形的面积之和即为概率，用此数据乘以样本容量即可； （2）用每个长方形的面积乘以所在区间底边中点值，再求和即可得到结果； （3）先计算出在200,250),250,300)中的车辆数量，再列举出所有的抽取可能性，找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得. 【详解】由题意可知，0.002 50 0.005 50 0.008 5050 0.002 50 1x 0.003x， 故续驶里程在200,300的车辆数为：20 (0.003 500.002 50)5 （2）由直方图可得： 续航里程的平均数为：0.002 50 75 0.005
21、50 125 0.008 50 175 0.003 50 225 0.002 50 275 170. （3）由（2）及题意可知，续驶里程在200,250)的车辆数为 3，分别记为, ,A B C， 续驶里程在250,300的车辆数为 2，分别记为, a b， 事件A “其中恰有一辆汽车的续驶里程为200,250)” 从该 5 辆汽车中随机抽取 2 辆，所有的可能如下： ( ,),( ,),( , ),( , ),( ,),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )A BA CA aA bB CB aB bC aC ba b共 10 种情况， 事件 A包含的可能有共 ( , ),
22、( , ),( , ),( , ),( , ),( , )A aA bB aB bC aC b6种情况， 则63( )105P A . 【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，平均数的求解，涉及古典概型概率的计算，属综合基础题. 15. 甲乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 1，2，3 号.第一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队 3 名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第 m 行第 n 列的数据是甲队第 m 号队员能战胜乙队第 n 号队员的概率. 0.5 0.3 0.2 0.6 0.5 0.3 0.8 0.
23、7 0.6 （1）求甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率； （2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？ 【答案】 （1）0.045； （2）甲队队员获胜的概率更大一些. 【解析】 【分析】 （1） 甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队 1 号输给乙队 1 号， 然后甲队 2 号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得； （2）第三局比赛甲胜可分为 3 个互斥事件：甲队 1 号胜乙队 3 号，甲队 2 号胜乙队 2 号，甲队 3 号胜乙队1 号，分别计算概率后相加可得然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论 【详解】解： （1
24、）甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率为0.5 0.6 0.5 0.30.045 （2）第 3 局比赛甲队队员获胜可分为 3 个互斥事件 （i）甲队 1 号胜乙队 3 号，概率为0.5 0.3 0.20.03； （ii）甲队 2 号胜乙队 2 号，概率为0.5 0.7 0.5 0.5 0.6 0.50.325； (iii)甲队 3 号胜乙队 1 号，概率为0.5 0.4 0.80.16 故第 3 局甲队队员胜的概率为0.03 0.325 0.160.515. 则第 3 局乙队队员胜的概率为1 0.5150.485 因为0.5150.485， 故甲队队员获胜的概率更大一些 【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式解题关键是把事件“第 3局比赛甲队队员获胜”分斥成 3 个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论