1、2020-2021 学年江苏省常州市部分学校高一下期末数学试卷学年江苏省常州市部分学校高一下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知 z2+i，则 z（ i）（ ） A6+2i B42i C62i D4+2i 2在等边ABC 中，AB1，D 为 AB 边的中点，则的值为（ ） A B C D 3第 31 届世界大学生夏季运动会将于 2021 年 8 月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成
2、绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（ ） A甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 B甲成绩的众数比乙成绩的众数小 C甲成绩的极差比乙成绩的极差小 D乙的成绩比甲的成绩稳定 4已知，则的值等于（ ） A B C D 5如图，已知平面 ，且 l设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD则下列结论一定正确的是（ ） AABCD B直线 AB 与 CD 可能为异面直线 C直线 AC 与 BD 可能为异面直线 D直线 AB，CD，l 相交于一点 62021 年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项 A、B、C、D 中，有多项符合题目要求 规定： 全部选对得 5 分，
3、 部分选对得 2 分， 有选错得 0 分 若某题的正确答案是 ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于 1），则其得分的概率为（ ） A B C D 7在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若满足条件 a3，A60的三角形有两个，则 b 的取值范围是（ ） A（2，3） B C D 8如图，点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列结论中不一定正确的是（ ） ADP平面 AB1D1 B平面 A1CP平面 PBD C三棱锥 APB1D1的体积不变 DA1PBD1 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
4、 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分. 9若复数 z 满足（1+i）z5+3i（其中 i 是虚数单位），则（ ） Az 的虚部为i Bz 的模为 Cz 的共轭复数为 4i Dz 在复平面内对应的点位于第四象限 10已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，则（ ） AABCD B四面体 ABCD 的表面积为a2 C四面体 ABCD 的体积为a3 D四面体 ABCD 的外接球半径为a 11下列命题正确的有（ ） A+ B若 （1，1
5、），把 向右平移 2 个单位，得到的向量的坐标为（3，1） C在ABC 中，若 O 点满足+ ，则 O 点是ABC 的重心 D在ABC 中，若（），则 P 点的轨迹经过ABC 的内心 12在ABC 中，满足 cos2A+cos2B1，则下列说法正确的是（ ） A B C若 A，B 为不同象限角，则的最大值为2 D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b 的 3 件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为 14 已知一组样本数据 x1， x2， ，
6、 x10， 且 x12+x22+x1022020， 平均数 11， 则该组数据的标准差为 15已知向量、满足为单位向量，且（+）（），|+|，则向量、的夹角是 16如图，在棱长为的正方体 ABCDABCD中，点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD的中点，则由点 E、F、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（1）计算：（i 为虚数单位）； （2）已知 z 是一个复数，求解关于 z 的方程 z3i 1+3i（i 为虚数单位）
7、18已知向量 （cos，sin+2sin）， （sin，cos2cos），且 （1）求 cos（+）的值； （2）若 ，（0，），且 tan，求 2+ 的值 19ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，延长 AC 到点 D 使 AC2CD，求BCD 的面积 20如图，三棱锥 PABC 的底面是等腰直角三角形，其中 ABAC2，PAPB，平面 PAB平面 ABC，点 E，F，M，N 分别是 AB，AC，PC，BC 的中点 （1）证明：平面 EMN平面 PAB； （2）当 PF 与平面 ABC 所成的角为时，求四棱锥
8、 APMNB 的体积 21习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在 2020 年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况， 随机抽取 n 位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分 100 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在70，80）的市民为 400 人 （1）求 n 的
9、值及频率分布直方图中 t 的值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 3 人，进行心理疏导据以往数据统计， 经过心理疏导后， 调查评分在40， 50） 的市民心理等级转为 “良好” 的概率为， 调查评分在50，60）的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3 人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？ （3） 心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考， 若市民心理健康指数平均值不低于 0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要
10、举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分/100） 22如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平面 PAD底面ABCD，E 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点，PAPD2，BCAD1，CD （1）若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l，求证：lBC； （2）求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值； （3）求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知 z2+i，则 z（ i）
11、（ ） A6+2i B42i C62i D4+2i 解：z2+i，（2+i）（22i）44i+2i+262i， 故选：C 2在等边ABC 中，AB1，D 为 AB 边的中点，则的值为（ ） A B C D 解：等边ABC 中，AB1，D 为 AB 边的中点， 则（） 故选：C 3第 31 届世界大学生夏季运动会将于 2021 年 8 月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（ ） A甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 B
12、甲成绩的众数比乙成绩的众数小 C甲成绩的极差比乙成绩的极差小 D乙的成绩比甲的成绩稳定 解：甲的成绩分别为 90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为 93，94，91，95，92，93， A：甲成绩的中位数为93，乙成绩的中位数为93，A 错误， B：甲成绩的众数为 93，乙成绩的众数为 93，B 错误， C：甲成绩的极差为 96906，乙成绩的极差为 95914，C 错误， D：甲成绩的平均数为93，甲成绩的方差为， 乙成绩的平均数为93，乙成绩的方差为， ，乙成绩比甲成绩稳定，D 正确 故选：D 4已知，则的值等于（ ） A B C D 解：， sin（）cos（）cos（+），
13、 cos（+） 故选：C 5如图，已知平面 ，且 l设梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD则下列结论一定正确的是（ ） AABCD B直线 AB 与 CD 可能为异面直线 C直线 AC 与 BD 可能为异面直线 D直线 AB，CD，l 相交于一点 解：梯形 ABCD 中，ADBC，且 AB，CD，则 ABCD 不一定成立； AB 和 CD 不为异面直线；AC 和 BD 不为异面直线； 由 AB、CD 相交，设交点为 P，可得 P 在 AB 上，又 AB 在平面 内，可得 P 在平面 内； 同理可得 P 也在平面 内，则 P 在平面 、 的交线上， 即直线 AB，CD，l 相交于一点 故
14、选：D 62021 年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项 A、B、C、D 中，有多项符合题目要求 规定： 全部选对得 5 分， 部分选对得 2 分， 有选错得 0 分 若某题的正确答案是 ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于 1），则其得分的概率为（ ） A B C D 解：考生随机地选了至少一个选项，共有：+15 种， 得分的选法有：7 种， 能得分的概率为 P 故选：C 7在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若满足条件 a3，A60的三角形有两个，则 b 的取值范围是（ ） A（2，3） B C D 解：由正弦定理得2， 所以
15、 sinB， 因为三角形有两解， 所以 sinB1 且 ba， 所以 b， 解得 3 故选：C 8如图，点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列结论中不一定正确的是（ ） ADP平面 AB1D1 B平面 A1CP平面 PBD C三棱锥 APB1D1的体积不变 DA1PBD1 解：对于 A，当 P 在 C1处时，易知，DC1AB1，而 DC1平面 AB1D1，AB1平面 AB1D1，故 DC1平面AB1D1， 故选项 A 可能正确； 对于 B，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，由三垂线定理可得，A1CBP，A1CBD， 而 BPBDB，且 BP平面 PBD，
16、BD平面 PBD，故 A1C平面 PBD， 又 A1C平面 A1CP，故平面 A1CP平面 PBD，故选项 B 正确； 对于 C，而 BC1AD1，则易知 BC1平面 AB1D1，点 P 在 BC1上， 则点 P 到平面 AB1D1的距离为定值，故三棱锥 APB1D1的体积为定值，故选项 C 正确； 对于 D，由三垂线定理可知，BD1B1D1， 若 BD1A1P，则易知 BD1平面 A1PC1，则 BD1BC1，而这显然不成立，故选项 D 一定不正确 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项
17、符合题目要求全在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分. 9若复数 z 满足（1+i）z5+3i（其中 i 是虚数单位），则（ ） Az 的虚部为i Bz 的模为 Cz 的共轭复数为 4i Dz 在复平面内对应的点位于第四象限 解：由（1+i）z5+3i，得 z4i， 所以 z 的虚部为1，选项 A 错误； |z|，选项 B 正确； z 的共轭复数为 4+i，选项 C 错误； z 在复平面内对应的点为（4，1）位于第四象限，选项 D 正确 故选：BD 10已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，则（ ）
18、AABCD B四面体 ABCD 的表面积为a2 C四面体 ABCD 的体积为a3 D四面体 ABCD 的外接球半径为a 解：A，如图，取 CD 中点 M，连接 BM，AM，可得 CDBM，CDAM，即可得 CD面 ABM，即有CDAB，故正确； B、正四面体 ABCD 的各棱长为 a，正四面体 ABCD 的表面积4a2故正确； C、如图，设 A 在底面 BCF 的投影为 H，则 BH， AH，四面体 ABCD 的体积为，故错； D、将正四面体 ABCD，补成正方体，则正四面体 ABCD 的棱为正方体的面上对角线， 正四面体 ABCD 的棱长为 a，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面
19、体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为 2R，2R，Ra故正确 故选：ABD 11下列命题正确的有（ ） A+ B若 （1，1），把 向右平移 2 个单位，得到的向量的坐标为（3，1） C在ABC 中，若 O 点满足+ ，则 O 点是ABC 的重心 D在ABC 中，若（），则 P 点的轨迹经过ABC 的内心 解：对于 A：，故 A 正确； 对于 B：若 （1，1），把 向右平移 2 个单位，得到的向量的坐标为（1，1），故 B 错误； 对于 C：在ABC 中，若 O 点满足+ ， 如图所示： 整理得：以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形， 所以
20、， 则 OC2OE， 则 O 点是ABC 的重心，故 C 正确； 对于 D：由于为单位向量， 由于（），则 P 点的轨迹在角平分线上，即经过ABC 的内心，故 D 正确 故选：ACD 12在ABC 中，满足 cos2A+cos2B1，则下列说法正确的是（ ） A B C若 A，B 为不同象限角，则的最大值为2 D 解：因为 cos2A+cos2B1，可得+1， 所以 tanAtanB1， 对于 A，由题意可得 sinAsinBcosAcosB，可得 cos（AB）0，可得 A+B，或 AB，故错误； 对于 B，cos2A+cos2B1|cosB|sinA|tanA|，故正确； 对于 C，因为
21、A，B 为不同象限角，所以 tanAtanB1， 可得tanC+（tanC+）2，故正确； 对于 D，因为 sin2A+sin2B+sin2C2sin（A+B）cos（AB）+2sinCcosC 2sinCcos（AB）2sinCcos（A+B）4sinAsinBsinC， 所以4tanAtanB4，故错误 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b 的 3 件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为 解：从含有两件正品 a1，a2和一件
22、次品 b 的 3 件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回， 基本事件总数 n326， 取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数 m212， 取出的两件产品都是正品的概率为 P 故答案为： 14已知一组样本数据 x1，x2，x10，且 x12+x22+x1022020，平均数 11，则该组数据的标准差为 9 解：一组样本数据 x1，x2，x10，且 x12+x22+x1022020，平均数 11， 则该组数据的方差为（x111）2+（x211）2+（x1011）2 （x12+x22+x102）+1012122（x1+x2+x10） （2020+121022110） 81， 该组数
23、据的标准差为 9 故答案为：9 15 已知向量 、 满足 为单位向量， 且 （ + ） （ ） ， | + |， 则向量 、 的夹角是 解：， ， ， 又， ， ， ，且， 的夹角是 故答案为： 16如图，在棱长为的正方体 ABCDABCD中，点 E、F、G 分别是棱 AB、BC、CD的中点，则由点 E、F、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 解：分别取 AD 中点 P，CC1中点 M，AA1中点 N，可得出过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面为正六边形 EFMGPN，则正六边形的边长 MG， 故截面多边形的面积等于 S 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小
24、题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（1）计算：（i 为虚数单位）； （2）已知 z 是一个复数，求解关于 z 的方程 z3i 1+3i（i 为虚数单位） 解：（1） ； （2）设 za+bi（a，bR），则， 代入 z3i 1+3i， 得 a2+b23i（abi）1+3i，即 a2+b23b3ai1+3i， 则，解得或 则 z1 或 z1+3i 18已知向量 （cos，sin+2sin）， （sin，cos2cos），且 （1）求 cos（+）的值； （2）若 ，（0，），且 tan，求 2+ 的值 解：（1）因为 ， 所以
25、 cos（cos2cos）sin（sin+2sin）0， 所以（coscossinsin）2（sin2+cos2）2， 所以cos（+）2，即 cos（+） （2）因为 ，（0，）， 所以 0+， 因为 cos（+）， 所以 sin（+）， 所以 tan（+）， 因为 tan， 所以 tan（2+）1， 因为 0+，且 cos（+）0， 所以 0， 因为，所以 02+ 因为 tan（2+）1，所以 2+ 19ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，延长 AC 到点 D 使 AC2CD，求BCD 的面积 解：（1）
26、bsinAacos（B）由正弦定理，可得 bsinAasinB， 可得：asinBacos（B），可得：sinBcos（B），化简可得：tanB， B（0，）， B （2）由，可得 sinA， 可得 cosA， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 所以 SABC2SBCDabsinC2，可得 SBCD 20如图，三棱锥 PABC 的底面是等腰直角三角形，其中 ABAC2，PAPB，平面 PAB平面 ABC，点 E，F，M，N 分别是 AB，AC，PC，BC 的中点 （1）证明：平面 EMN平面 PAB； （2）当 PF 与平面 ABC 所成的角为时，求四棱锥 APMN
27、B 的体积 【解答】（1）证明：由题意知，ABAC， E，N 分别是 AB，BC 的中点，ENAC，ENAB， 又平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，EN平面 ABC， EN平面 PAB， EN平面 EMN， 平面 EMN平面 PAB （2）解：连接 PE， PAPB，且 E 是 AB 的中点，PEAB， 又平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABC，PE平面 PAB， PE平面 ABC， 连接 EF，则PFE 为 PF 与平面 ABC 所成的角，即PFE， tanPFEtan， 而 EF， PEEF，即点 P 到平面 ABC 的距离为 PE， 点 M 是 PC 的
28、中点，点 M 到平面 ABC 的距离为 dPE， 四棱锥 APMNB 的体积 VVPABCVMANCPESABCdSANC2221 21习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在 2020 年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况， 随机抽取 n 位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分 100 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级： 调查评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 心理等级 有隐患 一
29、般 良好 优秀 并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在70，80）的市民为 400 人 （1）求 n 的值及频率分布直方图中 t 的值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 3 人，进行心理疏导据以往数据统计， 经过心理疏导后， 调查评分在40， 50） 的市民心理等级转为 “良好” 的概率为， 调查评分在50，60）的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3 人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？ （3） 心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考， 若市民心理健康指数
30、平均值不低于 0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分/100） 解：（1）调查评分在70，80）的市民为 400 人， ， 每组的纵坐标的和乘以组距 10 为 1， 0.84+80t1，解得 t0.002 （2）调查评分在40，50）的频率为 0.002，调查评分在50，60）的频率为 0.004， 调查评分在40，50）的人数占调查评分在50，60）人数的， 若按分层抽样抽取 3 人，则查评分在40，50）的人数为 1 人，调查评分在50，60）人数为
31、 2 人， 经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 选出的 3 人经过心里辅导后，心里等级均达不到的概率为， 经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为 P1 （3）由频率分布直方图可得， 450.02+550.04+650.14+750.2+850.35+950.2580.7， 估计市民心里健康问卷调查的平均评分为 80.7， 市民心里健康指数平均值为， 只需发放心里指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动 22如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平面 PAD底面ABCD，E 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点，PAPD2，BCAD1
32、，CD （1）若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l，求证：lBC； （2）求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值； （3）求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值 【解答】（1）证明：因为 ADBC，AD平面 PAD，BC平面 PAD， 所以 BC平面 PAD，又平面 PAD平面 PBCl， 所以 BC； （2）解：连结 EC，取 EC 的中点 H，连接 MH，HB， 因为 M 是 PC 的中点，H 是 EC 的中点，所以 MHPE， 因为 PAPD，E 为 AD 的中点，所以 PEAD， 又因为平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 PE平面 AB
33、CD，则 MH平面 ABCD， 所以 HB 是 BM 在平面 ABCD 内的射影， 则MBH 为 BM 与平面 ABCD 所成的角， 因为 ADBC，BCAD，E 为 AD 的中点，ADC90， 所以四边形 BCDE 为矩形， 则 EC2，HBEC1， 又 MH， 在MHB 中，tanMBH， 故直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为； （3）解：由（2）可知，CD/BE， 所以直线 BM 与 CD 所成的角即为直线 BM 与 BE 所成的角， 连接 ME，在 RtMHE 中，ME， 在 RtMHB 中，BM，又 BECD， 则在MEB 中， 所以直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为