1、江苏省南京市六校2020-2021学年高一下期末联考数学试题一单项选择题：共8小题，每小题5分1 若复数满足，则（ ）A. 1B. C. D. 2. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 3. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ）A 18B. 20C. 22D. 244. 在中，内角、所对的边分别为、，满足，则=（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 906. 已知
2、的内角，所对的边分别为，若向量与平行，则（ ）A. B. C. D. 7. 我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，所对的边分别为，面积若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在任意四边形中，其中，分别是，的中点，分别是，的中点，求=（ ）A. B. C. D. 二多选题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为（ ）A. B. C. D. 10. 在中，若，则的值可以等于（ ）A. B. C. 2D. 311. 已
3、知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A. 棱台的侧面积为B. 棱台的高为C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12. 共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，当取到最大值时，则下列说法
4、正确的是（ ）A. 最大值是B. 的最大值是C. D. 三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13 计算：_14. 在中，若，则=_15. 如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA=90，ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为_16. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎有效措施之一是早发现、早隔离现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区其中，(单位：米)，则=_；四边形的面积为_（平方米）四解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17
5、. 在，z为纯虚数，且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_，求实数m的值或取值范围（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）18. 已知的最小正周期为（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域19. 如图，在平行四边形中，（1）求；（2）求20. 百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目.100年来，中国社会沧桑巨变今年是我国建党一百周年，某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩(均在80100之间)绘制成频率
6、分布直方图如图（1）求的值，并求在的学生总人数；（2）若从成绩在的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在的概率21. 如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值22. 如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，剩余部分需做绿化，设.（1）若，求的长；（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.江苏省南京市六校2020-2021学年高一下期末联考数学试题一单项选择题：共8小题，每小题5分1. 若复数满足，则（ ）A. 1
7、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合复数的除法运算求出复数，进而根据模长公式即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：D.2. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件直接利用正弦定理求解即可【详解】解：在中，因为，所以由正弦定理得，即，所以，故选：C3. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ）A. 18B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样，可计算出抽取容量为60的样本时各层所抽
8、取的人数【详解】根据分层抽样，抽取容量为60的样本时，应从高二年级抽取的学生人数为（人故选：4. 在中，内角、所对的边分别为、，满足，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理将已知等式角化边，再利用余弦定理即可求解【详解】在中，由正弦定理可化成，由余弦定理可得：，故选：5. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案【详解】连接，则，因为平面，在平面内，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，所以异面直线与所成的角为，故选：D【点睛
9、】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题6. 已知的内角，所对的边分别为，若向量与平行，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标运算得到，结合余弦定理化简整理即可求出结果.【详解】因为向量与平行，所以，结合正弦定理得，因为，所以，故，显然，所以，即，因为，所以，故选：A.7. 我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设内角，所对的边分别为，面积若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边角关系得，则，由题设得，结合二次函数的性质即可求面积的最大值.【详解】，由正弦定理得且，即且，时，面积取
10、最大值故选：C8. 如图，在任意四边形中，其中，分别是，的中点，分别是，的中点，求=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，可得四边形为平行四边形根据向量的线性运算可得即可【详解】如图，连接，因为，分别是，的中点，分别是，的中点，所以,且，,且,所以，且，可得四边形为平行四边形，且，则故选：二多选题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据复数实部与虚部的定义，可得，由二倍角余弦公式
11、进行化简，求出的值，又，进而即可求解【详解】解：因为复数的实部与虚部之和为，所以，即，解得或，又，所以或或故选：ABC10. 在中，若，则的值可以等于（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】AD【解析】【分析】根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式，结合因式分解法，运用正弦定义和正弦定理进行求解即可.【详解】，因此或，当时，因为，所以，而，所以，当时，故选：AD11. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A. 棱台的侧面积为B. 棱台的高为C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为【答案】AC【解
12、析】【分析】由题意作正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，从而得到侧面的高与棱台的高，从而求得【详解】由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，在等腰梯形中，则，故棱台的侧面积为，故正确，又三棱台为正三棱台，所以为棱台的高，在中，在中，故错误，棱台的侧棱与底面所成角为，故正确，棱台的侧面与底面所成锐二面角为，故错误，故选：12. 共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家
13、主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，当取到最大值时，则下列说法正确的是（ ）A. 的最大值是B. 的最大值是C. D. 【答案】BD【解析】【分析】设，根据得出，再证明，从而可得，根据在上单调递减，得时，有最大值，故可判定选项A，B；取的中点，通过证明，来说明，三点共线，再利用，结合，三点共线可得，可判定选项C，D.【详解】因，公共，所以，有.记，则，由，得，又，所以.因为，所以面积，所以，因为在上单调递减，
14、所以当时，有最大值，故选项A错误，选项B正确；当取到最大值时，取的中点，连接，因为，所以，因为，所以，所以，三点共线，在中，有，所以.所以，因为，三点共线，所以，故选项C错误，选项D正确.故选：BD.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 计算：_【答案】-1【解析】【分析】根据复数的运算法则，即可求解【详解】，故答案为：14. 在中，若，则=_【答案】【解析】【分析】令，然后对两边平方化简可得答案【详解】解：令（），则由得，,得，因为，所以，故答案为：15. 如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA=90，ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点
15、，则PM的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理得出PC平面ABC，进而得到PCCM，然后运用勾股定理得到答案.【详解】平面PAC平面ABC且交于AC，又PCAC，PC平面ABC，而CM平面ABC，PCCM，当CM最小时，PM最小.如图，ABC是边长为4的正三角形，当CMAB时CM最小，此时M为AB中点，易得.PM的最小值为.故答案为：.16. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎有效措施之一是早发现、早隔离现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区其中，(单位：米)，则=_；四边形的面积为_（平方米）
16、【答案】 . . 【解析】【分析】连接，由题意可得，利用诱导公式，余弦定理可得，解得的值，进而可求，可得的值，求得，的值，再根据三角形的面积公式即可求解四边形的面积【详解】如图，连接，由题意可得，可得，由余弦定理可得，即，解得：，所以，所以，可得，所以四边形的面积（平方米）故答案为：，【点睛】关键点点睛：利用诱导公式得到，再利用余弦定理求解是解题的关键.四解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 在，z为纯虚数，且对应的点在第一象限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_，求实数m的值或取值范围（注：
17、如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】若选：利用共轭复数的定义列式求解即可；若选：利用纯虚数的定义列式求解即可；若选：利用复数的除法运算求出，再由复数的几何意义列出不等式，求解即可【详解】选：由得解得或；选：为纯虚数，所以解得；选：由得，又对应的点在第一象限内，则，故或18. 已知的最小正周期为（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域【答案】（1）；单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求的值，再由正弦函数的单调增区间即可求的单调递增区间；（2）由的范围求得范围，再由正弦函数的性质即可求值域.【详解
18、】（1）因为的最小正周期为，所以，则，则，令，解得，所以函数的单调递增区间为（2）由得，所以，所以19. 如图，在平行四边形中，（1）求；（2）求【答案】（1）12；（2）【解析】【分析】（1）由向量加法的平行四边形法则得，再利用向量数量积公式即可求解（2）在中，由余弦定理先求出，然后再利用余弦定理求出，进而可求【详解】解：（1）因为.（2）在中，由余弦定理可得从而有，故20. 百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目.100年来，中国社会沧桑巨变今年是我国建党一百周年，某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩(均在
19、80100之间)绘制成频率分布直方图如图（1）求的值，并求在的学生总人数；（2）若从成绩在的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在的概率【答案】（1）；16人；（2）【解析】【分析】（1）根据竞赛成绩落在80100之间频率和为1，可求得a值，再计算出落在之间的频率，然后乘以50即可求解；（2）计算成绩落在及的人数，然后给这些人编号，利用列举法及古典概型的概率计算公式即可求解【详解】解：（1）由题意，解得根据频率分布直方图，可得成绩落在的学生人数为（2）根据频率分布直方图，可得成绩落在和的人数分别为：0.0450=2和0.0850=4将落在和的人分别记作，和，则从成绩在的同学中随机选出2位，有，
20、；，；，；，；共15种情况.记“至少有一人成绩在”为事件C，则事件C包含：，；，；，；，；共14种情况，故所以至少有一人成绩在的概率为21. 如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得，直径所对的圆周角为直角证得，再线面垂直的判定定理可证；（2）数形结合，证得即为二面角的平面角，然后在三角形中，利用边角关系求解即可.【详解】解析：（1）因为垂直于圆所在平面，所以平面，因为平面，所以，因为是以为直径的半圆上一点，所以，又，平面，所以平面（2）连接，在半圆中，因为，所以
21、，又因为是的中点，所以，在内过点作，垂足为点，连接，则面 BCD，则为在面的投影，因为，所以，所以即为二面角的平面角，其中，由得，算得，所以，故二面角的余弦值为22. 如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，剩余部分需做绿化，设.（1）若，求的长；（2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.【答案】（1）千米；（2）有，.【解析】【分析】（1）设千米， 时，为等边三角形，得，中， ，由可得答案；（2）中，由正弦定理得；中，由正弦定理得；由得，由利用可得答案.【详解】（1）设千米，当时，为等边三角形，所以，由，得，中，所以，所以，所以，解得，所以千米；（2）中，由正弦定理得，解得；中，由正弦定理得，解得；由，得，即，解得；由，因，所以当时取得最小值，所以的面积有最小值，最小值为.