1、2020-2021学年江苏省宿迁市高一下期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（）ABCD2如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（）班级得分78910111314频数2123121A13.5B10.5C12D133在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形4在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+5已知m，n是两条不相同
2、的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（）A若m，n，mn，则B若m，m，n，则nC若，m，mn，则nD若，m，n，则mn6已知，（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（）ABC或D7在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB120，CACB，AA12，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（）A8B16C32D648祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公
3、共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（）AB3R2CD3R2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）9设i为虚数单位，复数z（a+i）（1+2i），aR，则下列命题正确的是（）A若z为纯虚数，则a的值为2B若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（，2）C实数a是z（为z的共轭复数）的充分不必要条件D若|z|5，则实数a的值为210中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100
4、分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）A成绩是49分或100分的职工人数是0B成绩优良的人数是35人C众数是75D平均分约为75.5分11已知O是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A若，则O是ABC的重心B若向量，且，则ABC是正三角形C若O是ABC的外心，AB3，AC5，则的值为8D若，则SOAB：SOBC：SOAC4：1：212已知边长为a的菱形ABCD中，ADC60，将ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（）A在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，）B在翻折
5、的过程中，三棱锥DABC体积最大值为C在翻折过程中，三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为D在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D，E为棱CD上的一个动点，ED的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 14若cos（），则sin（） 15海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取
6、两点C，D，测得CD45m，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则AB两点的距离为 m16某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R3，正三棱柱的底面棱长a，且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量（3，1），（2，4）（1）求向量与夹角；（2）若（）（），求实数的值18已知复数z满足|z|，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限（1）求复数；（2）设向量表示复数z对应的向量，（
7、cos+isin）z（0）的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数利用该几何意义，若OAB是等边三角形，求向量对应的复数19已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，其中条件f（x）h2（x）+g2（x）；条件：f（x）h（x）g（x）；条件：f（x）h（x）g（x）求：（1）f（x）的单调递减区间；（2）f（x）在区间0，的取值范围20某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图（1）若从该兴趣小
8、组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在7080分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率21如图，在四棱锥中PABCD，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA（1）求证：ABPC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存
9、在，请说明理由22已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a6，P，Q为边BC上两点，2，CAQ（1）求AQ的长；（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy0），求x+y的最小值参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（）ABCD解：设从中随机摸出两只球，它们颜色不同为事件A，基本事件总数为6，事件A中包含的基本事件数为4，P（A）故选：B2如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（）班级得分7
10、8910111314频数2123121A13.5B10.5C12D13解：因为80%129.6，12个班级的得分按照从小到大排序，可得80百分位数是13故选：D3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形解：因为，由正弦定理可得：，整理可得：acosAbcosB所以sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或者2A+2B，所以AB或A+B，而当A+B时则C，所以三角形ABC为直角三角形，所以ccosBa，这时accosB0，分母为0无意义所以AB，故选：A4在ABC中，AD为BC边上
11、的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（+），故选：A5已知m，n是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（）A若m，n，mn，则B若m，m，n，则nC若，m，mn，则nD若，m，n，则mn解：若m，n，mn，则或与相交，故A错误；若m，m，则，又n，则n，故B正确；若，m，则m或m，又mn，n或n或n与相交，故C错误；若，m，则m，又n，mn，故D正确故选：BD6已知，（，3），在上的投影向量为，则与的夹角为（）ABC或D解：设与的夹角为，由在上的投影向量为|cos，得cos，故选：D7在直三棱柱ABCA1B1C1
12、中，ACB120，CACB，AA12，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（）A8B16C32D64解：直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB120，CACB，所以ABC的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径R，所以故选：B8祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：则此帐
13、篷距底面处平行于底面的截面面积为（）AB3R2CD3R2解：牟合方盖的内切球距底面处平行于底面的截面圆的半径为，截面面积为，设帐篷距底面处平行于底面的截面面积为S2，则由题意可得，RS2：RS14：，即，解得故选：D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9设i为虚数单位，复数z（a+i）（1+2i），aR，则下列命题正确的是（）A若z为纯虚数，则a的值为2B若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（，2）C实数a是z（为z的共轭复数）的充分不必要条件D若|z|5，则实数a的值为2
14、解：i为虚数单位，复数z（a+i）（1+2i）a+2ai+i2（a2）+（2a+1）i，对于A：当z为纯虚数时，a20，所以a2，故A正确；对于B：z在复平面内对应的点在第三象限时，故a的取值范围为a，故B错误；对于C：当a时，z（为z的共轭复数），当z时，则a，故实数a是z（为z的共轭复数）成立的充分必要条件，故C错误；对于D：当|z|5时，解得a2，故D正确故选：AD10中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10
15、）从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）A成绩是49分或100分的职工人数是0B成绩优良的人数是35人C众数是75D平均分约为75.5分解：成绩49分不属于50，100内，成绩是49分的职工人数是0，故A选项正确，由题意可得，a0.1（0.005+0.01+0.015+0.04）0.03，成绩优良的人数为（0.03+0.005）1010035，故B选项正确，由于频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，不能判断众数是75，故C选项错误，由图可知平均分0.1+650.15+750.4+850.3+950.0575.5，故D选项正确故选：ABD11已知O是ABC所在平面内一
16、点，则下列说法正确的是（）A若，则O是ABC的重心B若向量，且，则ABC是正三角形C若O是ABC的外心，AB3，AC5，则的值为8D若，则SOAB：SOBC：SOAC4：1：2解：对于选项A，因为，所以（）0，即，同理，则O是ABC的垂心，故A错误；对于选项B，设AB的中点为D，即，|2|，O为ABC的重心，又，O为ABC的外心故ABC的形状是等边三角形，故B正确；对于选项C，如图，过O作OSAB，OTAC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则（）|cosOAB|cosOAC358；故C正确；对于选项D，延长OB至B，使OB2OB；延长OC至C，使OC4OC，则，O为ABC的重心
17、，SAOCSBOCSAOBSABC，SOACSAOCSABC，SOBCSBOCSABC，SOABSAOBSABC，SOAB：SOBC：SAOC：4：1：2，故D正确则故选：BCD12已知边长为a的菱形ABCD中，ADC60，将ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（）A在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，）B在翻折的过程中，三棱锥DABC体积最大值为C在翻折过程中，三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为D在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D，E为棱CD上的一个动点，ED的最小值为解：对于A，由题意可得ABC和ADC为等边三角形，将ADC沿AC翻折取AC的中点O，连接PO，
18、BO，由于四边形ABCD是菱形，则PAPC，POAC，DC5，AC6，OC3，POOB4，PB4，PO2+OB2PB2，即POOB，又BOACO，BO平面ABC，AC平面ABC，PO平面ABC，又PO平面PAC，平面PAC平面ABC；对于A：由题意可得ABC和ADC为等边三角形，翻折后，当ABC和ADC重合时，直线AD，BC所成角为120，故A错误；对于B：当ADC与底面垂直时，三棱锥DABC的体积最大，此时hmax，Vmaxa2，故B正确；对于C：设AC中点为O，当平面ACD平面ABC时，三棱锥DABC表面积最大，根据三棱锥内切球公式，可得r，所以r，内切球表面积为4r2（148）a2，故C
19、正确；对于D：在翻折过程中，当D与E重合时，最小值为0，故D错误故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为解：甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少有1人去北京旅游的对立事件是这段时间内没有人去北京旅游，这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为：P1（1）（1）（1）故答案为：14若cos（），则sin（）解：cos（），故答案为：15海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为
20、“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD45m，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则AB两点的距离为 45m解：如图所示：BCD中，CD45，BDC15，BCDACB+DCA120+15135，CBD30，由正弦定理，得，解得BD45，ACD中，CD45，DCA15，ADCADB+BDC135+15150，CAD15，ADCD45，ABD中，由余弦定理，得AB2AD2+BD22ADBDcosADB452+（45）224545cos1354525，AB45，即A，B两点间的
21、距离为45，故答案为：4516某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R3，正三棱柱的底面棱长a，且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 12解：设圆锥的高为h，母线长为l在侧面展开图中，由及R3，得l5；所以圆锥的高为，体积为；设正三棱柱的高为d，上底面的外接圆半径为r在上底面中，由正弦定理有，解得r1；在圆锥的轴截面中，由相似比有，代入数据得所以正三棱柱的体积为；所以该几何体的体积为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量（3，
22、1），（2，4）（1）求向量与夹角；（2）若（）（），求实数的值解：（1）向量（3，1），（2，4），设向量与夹角为，故cos，（2）（）（），（）（）+（21）210+（21）10400，求得18已知复数z满足|z|，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限（1）求复数；（2）设向量表示复数z对应的向量，（cos+isin）z（0）的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数利用该几何意义，若OAB是等边三角形，求向量对应的复数解：（1）设za+bi，（a，bR），z2a2b2+2abi，|z|，z2 的虚部为2，可得，z所对应的点A在第一象限，a0，b0，即a1，
23、b1，z1+i，（2）等边三角形OAB可以看作向量绕旋转，设向量对应的复数为z，zi，或1+i，即z，向量对应的复数为 或19已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，其中条件f（x）h2（x）+g2（x）；条件：f（x）h（x）g（x）；条件：f（x）h（x）g（x）求：（1）f（x）的单调递减区间；（2）f（x）在区间0，的取值范围解：若选：f（x）h2（x）+g2（x），（1）令，解得，所以f（x）的单调递减区间为；（2）当时，则2x0，3，所以sin2x1，1，故，所以f（x）在区间0，的取值范围为若选：f（x）h（x）g（x），（1）令，解得x2k+，kZ，所以f（
24、x）的单调递减区间为；（2）当时，所以，故f（x），所以f（x）在区间0，的取值范围为若选：f（x）h（x）g（x），（1）令，解得，所以f（x）的单调递减区间为；（2）当时，则2x0，3，所以sin2x1，1，故f（x），所以f（x）在区间0，的取值范围为20某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成
25、绩的方差s2；（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在7080分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率解：（1）由频率分布直方图，可得得分不小于70分的概率为（0.045+0.02+0.005）100.7（2）40同学考试分数的平均值为550.1+650.2+750.45+850.2+950.0574，s2（5574）20.1+（6574）20.2+（7574）20.45+（8574）20.2+（9574）20.0599（3）由频率分布直方图，可得分数
26、在5060，6070，7080的概率分别为0.1，0.2，0.45，即三者比例为，2：4：9，本次抽样方式为分层抽样，且样本容量为15，分数在5060，6070，7080的个数为2，4，9，设抽到成绩在7080分的个体为a1，a2，a9，抽到成绩在6070分的个体为b1，b2，b9，第一次抽到成绩在7080分之间的情况下，第二次分数在6070分之间有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a9，b1），（a9，b2），（a9，b3），（a9，b4），共4936，总的基本事件数为1514210，第一次抽到
27、成绩在7080分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率P21如图，在四棱锥中PABCD，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA（1）求证：ABPC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由解：（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，ADCD2，BC4，AC，AB，ABC是等腰直角三角形，即ABAC，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，又PAACA，AB平面PAC，又PC平面PAC，ABPC（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MNAD于N，则MNPA，MN平面
28、ABCD，MNAC过点M作MGAC于G，连接NG，则ACNG，MGN是二面角MACD的平面角若MGN45，则NGMN，又ANNGMN，设MNx，则AN，ND2，MD，由，解得x，MN，即M是线段PD的中点存在点M使得二面角MACD的大小为45在三棱锥MABC中，VMABCSABCMN42，设点B到平面MAC的距离是h，则VBMACSMACh，MGMN1，SMACACMG1，h，解得h2在ABN中，AB2，AN1，BAN135，BN，BM，BM与平面MAC所成角的正弦值为22已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a6，P，Q为边BC上两点，2，CAQ（1）求AQ的长；（2）过线段AP
29、中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy0），求x+y的最小值解：（1）在ABD与AQC中分别有正弦定理可得：和，两式相除可得：，又因为2，所以可得sinBAQsinCAQ，因为CAQ，BAQ（0，），所以BAQ或，因为2，所以CP2BP，AB2AC，又a6，在ABC中，由余弦定理可得a2b2+c22bccosBAC，可得b2，在ABQ和ACQ中由余弦定理可得：，即，可得AQ22b2828，所以AQ；（2）因为2，所以CP2BP，得2，得2（），所以+，同理：设，0，得+，因为E为AP中点，所以+，所以可得：，可得：+1，x+y（x+y）（+）+2+，当且仅当：时取等号，即x，y，所以x+y的最小值