1、2022 年哈尔滨中考数学押题年哈尔滨中考数学押题试试卷卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2017德州）2 的倒数是（ ） A12 B12 C2 D2 2 （3 分） （2022南岗区模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分） （2011哈尔滨）如图，在 RtABC 中，BAC90，B60，ABC可以由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 （点 B与点 B 是对应点， 点 C与点 C 是对应点） ， 连接 CC， 则CCB的度数是（ ） A45 B30 C25
2、D15 4 （3 分） （2022松北区一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A B C D 5 （3 分） （2022道外区一模）已知反比例函数 y=1，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 6 （3 分） （2022道外区一模）将二次函数 y3（x4）2+5 的图象向上平移 6 个单位后得到的函数解析式为（ ） Ay3（x10）2+5 By3（x+2）2+5 Cy3（x4）2+11 Dy3（x4）21 7 （3 分） （2022哈尔滨模拟）下列计算正确的是（ ） A （x8y） （xy）x2+8y2
3、 B （a1）2a21 Cx（x2+x1）x3+x2x D （6xy+18x）x6y+18 8 （3 分） （2022哈尔滨模拟）如图，如果 D、E 分别在ABC 的两边 AB、AC 上，由下列条件中可以推出DEBC 的有（ ） A= B= C= D= 9 （3 分） （2022松北区一模）一个不透明的袋子中装有 7 个小球，其中 4 个红球，3 个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A37 B47 C34 D12 10 （3 分） （2022哈尔滨模拟）将 y（x+4）2+1 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得函
4、数最大值为（ ） Ay2 By2 Cy3 Dy3 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （2022道外区一模）计算2713= 12 （3 分） （2022南岗区模拟）将 129000000 用科学记数法表示为 13 （3 分） （2022松北区一模）在函数 y=5中，自变量 x 的取值范围是 14 （3 分） （2022松北区一模）二次函数 y（x2）23 的最大值是 15 （3 分） （2022哈尔滨模拟）不等式组 1 22 + 51的解集是 16 （3 分） （2022南岗区模拟）反比例函数 y=+3的图象经过点（
5、1，2） ，则 k 的值是 17 （3 分） （2021饶平县校级模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 18 （3 分） （2022哈尔滨模拟）已知 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点 D 处， 折痕交另一直角边于 E，交斜边于 F，则CDE 的周长为 19 （3 分） （2022松北区一模）如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，ADAC，若 tanCAD=43，ABC 的面积为 20，则线段 AB 的长为 20 （3 分） （2022南岗区模拟）在ABC 中，AB6，AC8，ABC 的面积为 123，则A 三解答题（
6、共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 60 分）分） 21 （7 分） （2022道外区一模）先化简，再求值 21（1+11） ，其中 a2cos30tan45 22 （7 分） （2022道外区一模）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品 1 件、乙种纪念品 2 件，需 170 元，若购进甲种纪念品 2 件、乙种纪念品 1 件，需 295 元， （1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用 45 元，且购进两种纪念品的总资金不超过 8355 元，则最多购进甲种纪念品多少件？ 23 （8 分） （2022哈尔滨
7、模拟）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中有线段 AB 和 CD，点 A、B、C、D 均在小正方形的顶点上 （1）画出一个以 AB 为一直角边的 RtABE，点 E 在小正方形的顶点上，且BAE45； （2）画出一个以 CD 为一边的菱形 CDMN，点 M、N 均在小正方形的顶点上，且菱形 CDMN 的面积是ABE 面积的 4 倍，连接 EN，请直接写出线段 EN 的长 24 （8 分） （2022南岗区模拟）为了解某校九年级学生数学期末考试情况，随机抽取了部分学生的数学成绩（分数都为整数）为样本，分为 A（120108 分） 、B（10796 分） 、C（9572 分） 、D（71
8、0 分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题： （1）这次随机抽取的学生共有多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）该校九年级共有学生 300 人，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为 A 等级的学生人数有多少人？ 25 （10 分） （2022松北区一模）已知，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 为 BC 的中点，连接 AC，DE交于点 F，ABAC，AFCF （1）如图 1，求证：四边形 AECD 是矩形； （2）如图 2，连接 BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中与BEF 面积相等的三角形 26 （10 分） （20
9、22南岗区模拟）已知：四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC、BD 交于点 E，AC 平分BAD （1）如图 1，求证：BCCD； （2）如图 2，连接 OC 交 BD 于点 F，点 G 为上一点，AGBC，求证：GABACO+90； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 A 作O 的切线交 DG 的延长线于点 H，若HAB135，EF1，GH= 10，求线段 BD 的长 27 （10 分） （2022南岗区模拟）已知：在平面直角坐标系中，直线 ykx+5 分别交 x 轴负半轴、y 轴于点A、B，且 OAOB （1）如图 1，求直线 AB 的解析式； （2）如图 2，点 C 为点 A 关于
10、 y 轴的对称点，点 E 是BAC 的内部一点，四边形 BECD 为平行四边形，且点 D 在线段 AE 的延长线上，求CAD 的正切值； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 AEEDCD，求点 D 的坐标 2022 年哈尔滨中考数学终极押题密卷年哈尔滨中考数学终极押题密卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2017德州）2 的倒数是（ ） A12 B12 C2 D2 【考点】倒数 【专题】常规题型 【分析】根据倒数的定义即可求解 【解答】解：2 的倒数是12 故选：A 【点评
11、】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2 （3 分） （2022南岗区模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【专题】平移、旋转与对称 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形：如果一个图形沿着一条
12、直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 3 （3 分） （2011哈尔滨）如图，在 RtABC 中，BAC90，B60，ABC可以由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 （点 B与点 B 是对应点， 点 C与点 C 是对应点） ， 连接 CC， 则CCB的度数是（ ） A45 B30 C25 D15 【考点】旋转的性质 【专题】计算题 【分析】旋转中心为点 A，C、C为对应点，可知 ACAC，又CAC90，根据CAC的特性解题 【解答】解：由旋转的性质
13、可知，ACAC， 又CAC90，可知CAC为等腰直角三角形， 所以，CCA45 CCB+ACCABCB60， CCB15 故选：D 【点评】本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角 4 （3 分） （2022松北区一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；空间观念 【分析】根据简单组合体三视图的画法，画出这个组合体的左视图即可 【解答】解：这个组合体的左视图如下： 故选：B 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的前提
14、5 （3 分） （2022道外区一模）已知反比例函数 y=1，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【考点】反比例函数的性质 【专题】反比例函数及其应用 【分析】根据当 x0 时，y 随 x 的增大而减小得出关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：反比例函数 y=1中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， k10， 解得 k1 故选：D 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数 y=（k0）中，当 k0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小是解答此题的关键
15、6 （3 分） （2022道外区一模）将二次函数 y3（x4）2+5 的图象向上平移 6 个单位后得到的函数解析式为（ ） Ay3（x10）2+5 By3（x+2）2+5 Cy3（x4）2+11 Dy3（x4）21 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【分析】根据图象的平移规律，可得答案 【解答】解：将二次函数 y3（x4）2+5 的图象向上平移 6 个单位后得到的函数解析式为 y3（x4）2+5+6，即：y3（x4）2+11 故选：C 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数
16、解析式 7 （3 分） （2022哈尔滨模拟）下列计算正确的是（ ） A （x8y） （xy）x2+8y2 B （a1）2a21 Cx（x2+x1）x3+x2x D （6xy+18x）x6y+18 【考点】整式的混合运算 【专题】整式；运算能力 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决 【解答】解：（x8y） （xy）x29xy+8y2，故选项 A 错误； （a1）2a22a+1，故选项 B 错误； x（x2+x1）x3x2+x，故选项 C 错误； （6xy+18x）x6y+18，故选项 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运
17、算的计算方法 8 （3 分） （2022哈尔滨模拟）如图，如果 D、E 分别在ABC 的两边 AB、AC 上，由下列条件中可以推出DEBC 的有（ ） A= B= C= D= 【考点】平行线分线段成比例 【专题】图形的相似；推理能力 【分析】 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边 根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可 【解答】解：A、由=，不能得到 DEBC，故本选项不合题意； B由=不能得到 DEBC，故本选项不合题意； C由=，能得到 DEBC，故本选项合题意； D由=，能得到 DEBC，故本选项符不合题意； 故选：C 【点评】 本
18、题考查了平行线分线段成比例定理的应用， 如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 9 （3 分） （2022松北区一模）一个不透明的袋子中装有 7 个小球，其中 4 个红球，3 个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A37 B47 C34 D12 【考点】概率公式 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】从袋中任意摸出一个球，共有 7 种等可能结果，其中是红球的有 4 种结果，再根据概率公式求解即可 【解答】解：从袋中任意摸出一个球，共有 6 种等可能结果，其中是红球的有
19、4 种结果， 从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为47， 故选：B 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 10 （3 分） （2022哈尔滨模拟）将 y（x+4）2+1 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得函数最大值为（ ） Ay2 By2 Cy3 Dy3 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力 【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案 【解答】解；将 y（x+4）2+1 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图
20、象的函数表达式是 y（x+42）2+13，即 y（x+2）22 所以其顶点坐标是（2，2） 由于该函数图象开口方向向下， 所以，所得函数的最大值是2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （2022道外区一模）计算2713= 833 【考点】二次根式的加减法 【分析】先进行二次根式的化简，然后合并 【解答】解：原式33 33=833 故答案为：833 【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类
21、二次根式的合并 12 （3 分） （2022南岗区模拟）将 129000000 用科学记数法表示为 1.29108 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：1290000001.29108 故答案为：1.29108 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定 a 的值以及 n 的值 13 （3 分） （2022松北区一模）在函数 y=5中，自变量 x 的取值范围是 x5 【考点】函数自变量的
22、取值范围 【专题】函数及其图象；运算能力 【分析】根据分式的分母不等于 0 即可得出答案 【解答】解：x50， x5 故答案为：x5 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于 0 是解题的关键 14 （3 分） （2022松北区一模）二次函数 y（x2）23 的最大值是 3 【考点】二次函数的最值 【专题】二次函数图象及其性质 【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（2，3） ，也就是当 x2 时，函数有最大值3 【解答】解：y（x2）23， 此函数的顶点坐标是（2，3） ，且抛物线开口方向向下，即当 x2 时，函数有最大值3 故答案是：3 【点评】本题考查了
23、二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值 15 （3 分） （2022哈尔滨模拟）不等式组 1 22 + 51的解集是 2x3 【考点】解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： 1 22 + 51 解不等式得：x3， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是2x3， 故答案为：2x3 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键 16 （3 分） （2022南岗区模拟）反比例函数 y=+3的图象经过点（1，2） ，则 k 的值是 5
24、【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；运算能力 【分析】将点（1，2）代入 y=+3，即可求出 k 的值 【解答】解：将点（1，2）代入 y=+3得，k+31（2） ， 解得 k5 故答案为5 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数 17 （3 分） （2021饶平县校级模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 14 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共
25、有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 恰好均为正面向上的概率是14， 故答案为：14 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 18 （3 分） （2022哈尔滨模拟）已知 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点 D 处，折痕交另一直角边于 E，交斜边于 F，则CDE 的周长为 11 或10 【考点】翻折变换（折叠问题） 【
26、专题】压轴题 【分析】解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变 【解答】解：当角 B 翻折时，B 点与 D 点重合，DE 与 EC 的和就是 BC，也就是说等于 8，CD 为 AC 的一半，故CDE 的周长为 8+311； 当 A 翻折时，A 点与 D 点重合同理 DE 与 EC 的和为 AC6，CD 为 BC 的一半，所以 CDE 的周长为6+410故CDE 的周长为 10 或 11 【点评】本题考查图形的翻折变换 19 （3 分） （2022松北区一模）如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，ADAC，若 tanCAD=43，
27、ABC 的面积为 20，则线段 AB 的长为 65 【考点】解直角三角形；三角形的面积 【专题】解直角三角形及其应用 【分析】过点 C 作 CHAD 于点 H，过点 A 作 AGBC 于点 G，根据已知条件求出 AD，AH 和 CH 的值，再根据勾股定理求出 CD 的长，根据三角形的面积求出 AG，再根据勾股定理求 AB 即可 【解答】解：过点 C 作 CHAD 于点 H，过点 A 作 AGBC 于点 G，如图所示： 则有AHCAGD90， tanCAD=43， CH：AH4：3， 设 CH4x，AH3x， 根据勾股定理得 AC5x， ABC 的面积为 20，且 AD 为 BC 边上的中线，
28、ADC 的面积为 10， ADAC5x， =12 5 4 =10， 解得 x1， CH4，AH3，ADAC5， DH532， 根据勾股定理得 CD= 25， ADAC， DG= 5， BG35， 又ADC 的面积=12 ， AG= 25， 根据勾股定理，得 AB= 65， 故答案为：65 【点评】本题考查了解直角三角形，涉及三角形的面积公式，勾股定理以及三角函数，三角形中线的性质等，本题综合性较强 20 （3 分） （2022南岗区模拟）在ABC 中，AB6，AC8，ABC 的面积为 123，则A 60或120 【考点】解直角三角形；三角形的面积 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力 【分析
29、】分两种情形：A 的锐角或钝角，分别求解 【解答】解：如图 1 中，当A 是锐角时，过点 B 作 BHAC 于 H SABC=12ACBH， BH=2438=33， sinA=336=32， A60， 如图 2 中，当A 是锐角时，过点 B 作 BHAC 交 CA 的延长线于 H 同法可得 sinBAH=32， BAC18060120， 故答案为：60或 120 【点评】 本题考查解直角三角形， 三角形的面积等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 60 分）分） 21 （7 分） （2022道外区一模）先化简，再
30、求值 21（1+11） ，其中 a2cos30tan45 【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值 【专题】分式；运算能力 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 a 的值代入化简后的式子进行计算即可解答 【解答】解：21（1+11） =(+1)(1)1+11 =(+1)(1)1 =1+1， a2cos30tan45 2321 = 3 1， 当 a= 3 1 时，原式=131+1=13=33 【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键 22 （7 分） （2022道外区一模）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品 1 件、乙种纪念品 2 件，需
31、170 元，若购进甲种纪念品 2 件、乙种纪念品 1 件，需 295 元， （1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用 45 元，且购进两种纪念品的总资金不超过 8355 元，则最多购进甲种纪念品多少件？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用 【分析】 （1）设甲种纪念品每件需要 x 元，乙种纪念品每件需要 y 元，根据“若购进甲种纪念品 1 件、乙种纪念品 2 件，需 170 元，若购进甲种纪念品 2 件、乙种纪念品 1 件，需 295 元” ，
32、列出关于 x 和 y 的二元一次方程组，解之即可， （2）设购进甲种纪念品 a 件，花了 140a 元，则购进乙种纪念品1404515件，乙种纪念品花了（140a45）元，根据“两种纪念品的总资金不超过 8355 元” ，列出关于 a 的一元一次不等式，解之，取最大值，再代入1404515，如果为整数，即为所求答案 【解答】解： （1）设甲种纪念品每件需要 x 元，乙种纪念品每件需要 y 元， 根据题意得： + 2 = 1702 + = 295， 解得： = 140 = 15， 答：甲种纪念品每件需要 140 元，乙种纪念品每件需要 15 元， （2）设购进甲种纪念品 a 件，花了 140a
33、元，则购进乙种纪念品1404515件， 乙种纪念品花了（140a45）元， 根据题意得： 140a+（140a45）8355， 解得：a30， a 为整数， a 最大为 30， 当 a30 时，乙种纪念品的件数为：140304515=277，是整数， a 最大为 30， 答：最多购进甲种纪念品 30 件 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键： （1）正确找出等量关系，列出二元一次方程组， （2）正确找出不等关系，列出一元一次不等式 23 （8 分） （2022哈尔滨模拟）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中有线段 AB 和 CD，点 A、B、C、D
34、 均在小正方形的顶点上 （1）画出一个以 AB 为一直角边的 RtABE，点 E 在小正方形的顶点上，且BAE45； （2）画出一个以 CD 为一边的菱形 CDMN，点 M、N 均在小正方形的顶点上，且菱形 CDMN 的面积是ABE 面积的 4 倍，连接 EN，请直接写出线段 EN 的长 【考点】作图应用与设计作图；勾股定理；勾股定理的逆定理 【专题】作图题；尺规作图；推理能力 【分析】 （1）画出一个以 AB 为一直角边的 RtABE，点 E 在小正方形的顶点上，且BAE45即可； （2）画出一个以 CD 为一边的菱形 CDMN，点 M、N 均在小正方形的顶点上，且菱形 CDMN 的面积是A
35、BE 面积的 4 倍即可根据勾股定理即可直接写出线段 EN 的长 【解答】 解：如图所示： （1）RtABE 即为所求作的图形，且BAE45； （2）菱形 CDMN 即为所求作的图形，且菱形 CDMN 的面积是ABE 面积的 4 倍 连接 EN，线段 EN 的长为 5 【点评】本题考查了作图应用与设计作图、勾股定理及其逆定理解决本题的关键是菱形 CDMN 的面积是ABE 面积的 4 倍 24 （8 分） （2022南岗区模拟）为了解某校九年级学生数学期末考试情况，随机抽取了部分学生的数学成绩（分数都为整数）为样本，分为 A（120108 分） 、B（10796 分） 、C（9572 分） 、D
36、（710 分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题： （1）这次随机抽取的学生共有多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）该校九年级共有学生 300 人，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为 A 等级的学生人数有多少人？ 【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】 （1）根据 C 等级的人数是 20，所占的百分比是 50%，即可求得总人数； （2）利用总人数减去其它各组的人数，即可求得 B 级的人数，从而补全统计图； （3）利用总人数 300 乘以对应的百分比即可 【解答】解： （1
37、）这次随机抽取的学生共有人数是：2050%40（人） ； （2）B 等级人数：40620410（人） ， 补图如下： ； （3）根据题意得： 300640=45（人） 答：这次九年级学生期末数学考试成绩为 A 等级的学生有 45 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 25 （10 分） （2022松北区一模）已知，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 为 BC 的中点，连接 AC，DE交于点 F，ABAC，AFCF （1）如图 1，
38、求证：四边形 AECD 是矩形； （2）如图 2，连接 BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中与BEF 面积相等的三角形 【考点】矩形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】 （1）证明ADFCEF（AAS） ，得 ADCE，再证四边形 AECD 为平行四边形，然后由等腰三角形的性质得 AEBC，则AEC90，即可得出结论； （2）先证 SCEFSBEF，再证 SAEFSCEF，SADFSCDF，然后由矩形的性质得 EFDF，则 SAEFSADF，进而得出结论
39、【解答】 （1）证明：ADBC， FADFCE，FDAFEC， 在ADF 和CEF 中， = = = ， ADFCEF（AAS） ， ADCE， ADCE， 四边形 AECD 为平行四边形， ABAC，点 E 为 BC 的中点， AEBC， AEC90， 平行四边形 AECD 为矩形； （2）解：图 2 中与BEF 面积相等的三角形为AEF，ADF，CDF，CEF理由如下： 点 E 为 BC 的中点， SCEFSBEF， AFCF， SAEFSCEF，SADFSCDF， 由（1）可知，四边形 AECD 是矩形， EFDF， SAEFSADF， SCEFSBEFSAEFSADFSCDF， 即与B
40、EF 面积相等的三角形为AEF，ADF，CDF，CEF 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 26 （10 分） （2022南岗区模拟）已知：四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC、BD 交于点 E，AC 平分BAD （1）如图 1，求证：BCCD； （2）如图 2，连接 OC 交 BD 于点 F，点 G 为上一点，AGBC，求证：GABACO+90； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 A 作O 的切线交 DG 的延长线于点 H，若HAB135，EF1，GH= 10
41、，求线段 BD 的长 【考点】圆的综合题 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力 【分析】 （1）利用圆周角定理证明即可； （2）连接 DG，OD，过点 O 作 OHCD 于点 H，利用圆周角定理和平行线的判定定理可得 ACDG，再利用等腰梯形的性质和直角三角形的性质即可得出结论； （3） 通过证明AGHDCE 可得 CEHG= 10， 利用勾股定理可得 CF； 利用切线的性质定理和 （2）的结论通过计算可得OAB45 ，利用圆周角定理可得ACB45，设 BEx，则 BFx+1，BM= 2 2= 2 5， 则 BCBM+CM= 2 5 + 5， 利用勾股定理列出方程
42、即可求得 x 值，最后利用垂径定理可得 BD2BF 【解答】 （1）证明：AC 平分BAD BACDAC = BCCD （2）证明：连接 DG，OD，过点 O 作 OHCD 于点 H，如图， OCOD，OHCD， COH=12COD CAD=12COD， COHCAD AGBC，BCCD， BCCDAG = = BACCADADGCOH CADADG， ACDG AGCD， 四边形 ACDG 为等腰梯形 GACDCA， DCAACO+OCD， GACACO+OCD OHCD， COH+OCD90 OCD+BAC90 BAGBAC+CAGBAC+ACO+OCD90+ACO （3）解：连接 OA，
43、OB，过点 E 作 EMBC 于点 M，如图， AH 是O 的切线， HAGADG AGBC， ADGBDC HAGBDC AGD+ACD180，AGH+AGD180， AGHACD 在AGH 和DCE 中， = = = ， AGHDCE（ASA） GHEC= 10 = ， OFCD CF= 2 2= 10 1 =3 AH 是O 的切线， OAAH OAH90 OAOC， OACOCA HACHAO+CAO90+ACO GABACO+90， HACGAB BACHAG HAB135， OAB+OAH135 OAB45 OAOB， OBAOAB45 AOB90， ACBAOB45 EMBC， E
44、MMC=22CE=22 10 = 5 设 BEx，则 BFx+1，BM= 2 2= 2 5 BCBM+CM= 2 5 + 5 在 RtBCF 中， BF2+CF2BC2， ( + 1)2+ 32= (2 5 + 5)2 解得：x5 或52 经检验它们都是原方程的根，但 x= 52不合题意舍去， x5 BFBE+EF6 OFBD， BFFD=12BD BD2BF12 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰梯形的判定与性质连接圆的半径，利用同圆的半径相等是解决此类问题常添
45、加的辅助线 27 （10 分） （2022南岗区模拟）已知：在平面直角坐标系中，直线 ykx+5 分别交 x 轴负半轴、y 轴于点A、B，且 OAOB （1）如图 1，求直线 AB 的解析式； （2）如图 2，点 C 为点 A 关于 y 轴的对称点，点 E 是BAC 的内部一点，四边形 BECD 为平行四边形，且点 D 在线段 AE 的延长线上，求CAD 的正切值； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 AEEDCD，求点 D 的坐标 【考点】一次函数综合题 【专题】待定系数法；一次函数及其应用；几何直观；推理能力；应用意识 【分析】 （1）首先求出 A 点坐标，运用待定系数法求解即可； （2
46、）连接 BC，由四边形 BECD 为平行四边形可得 ED 和 BC 互相平分，所以直线 AD 经过 BC 的重点，接着求出直线 AD 的解析式即可求出CAD 的正切值； （3）利用辅助线证明BAF 和BCD 全等，然后再利用AGD 和DGC 相似，利用对应边成比例表示出相关的边即可求解 【解答】解： （1）直线 ykx+5 分别交 x 轴负半轴、y 轴于点 A、B， B 点坐标为（0，5） ， OAOB， A（5，0） ， 将 A（5，0）代入， 得 05k+5， 解得 k1， 直线 AB 的解析式为 yx+5； （2）如图，连接 BC，与 ED 交点 K，过点 K 作 KLx 轴于 L， 四
47、边形 BECD 为平行四边形，点 C 为点 A 关于 y 轴的对称点， ED 与 BC 互相平分，点 C 的坐标为（5，0） ， K 为 BC 中点， KL 为 RtBOC 的边 BO 的中位线， KL=12 =52，OL=12 =52， ALAO+OL=152， tanCAD=13； （3）如图，在 AD 的延长线取一点 H 使 DHCD，连接 OE，过点 O 作 OMAD 于点 M，作 ONBE于点 N，过点 D 作 DKAC 于点 K， AEEDCD， AEEH， AOOC， OECH， AEOAHC， AENADC2AHC， AEOOEN， OMEONE（AAS） ， OMON， OAOB，AMOBNO90， AMOBNO（HL） ， OAMOBN， AEBAOB90， ADC90， 由（2）可知： BK=12BC=12AB，BACBCA45， ABC90 tanBAE=12， AB52， BE= 10， CDBE= 10， CAD+ADKCDK+ADK90， tanCDKtanCAD=13， CK1，DK3， AK9， OK4， D（4，3） 【点评】本题考查一次函数相关知识点，涉及平行四边形，全等三角形以及锐角三角函数，综合性比较强，解题的关键是利用辅助线推导出ADC90，属于中考必考题型