1、2020-2021学年北京市丰台区八年级下期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 函数中自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 下列多边形中，内角和为360的图形是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，一束平行光线中，插入一张对边平行纸版，如果光线与纸版右下方所成的1是110，那么光线与纸版左上方所成的2的度数是（）A. 110B. 100C. 90D. 704. 下列运算正确是（）A. B. C. D. 5. 如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么
2、绿地B，C两点间的距离是（）A. 4mB. 8mC. 16mD. 20m6. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC6，BD8，那么菱形ABCD的面积是（）A. 6B. 12C. 24D. 487. 下列各曲线中，不表示y是x函数的是（ ）A. B. C. D. 8. 在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，直线ykx+b与x轴的交点的坐标是（3，0），那么关于x的不等式kx+b0的解集是（）A. x3B. x3C. x0D. x010. A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额yA（元），yB（元），yC
3、（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如图所示以下有四个推断：月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱；月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱；对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费0.05元所有合理推断的序号是（）A. B. C. D. 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 计算：_12. 如果一次函数的图象经过第二、三、四象限， 请你写出一组满足条件的，的值：_，_13. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，
4、那么s甲2_s乙2（填“”，“”或“”）14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_15. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 _16. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，ABCD的面积为10，且边AB在x轴上如果将直线yx沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 _，b的值是 _三、解答题（本题共
5、52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）17. 下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程已知：如图，在RtABC中，ABC90，O为AC的中点求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形作法：作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；连接AD，CD四边形ABCD是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点O为AC的中点，AOCO又BO ，四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理的依据）ABC90，ABCD是矩形（
6、）（填推理的依据）18. 计算：19. 如图，在ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BFDE求证：AFCE20. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象经过点A（1，1），B（0，3）（1）求这个一次函数的解析式；（2）若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求BOC的面积21. 如图，在ABC中，ACB90，D，E分别是边AB，AC的中点，BCBD，点F在ED的延长线上，且BF/CD（1）求证：四边形CBFD为菱形；（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF4，求AC的长22. 某学校在A，B两个校区各有八年级学生200人，为了解这两个校区八年级学生对垃圾分类有关知识
7、的掌握程度，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整收集数据从A，B两个校区八年级各随机抽取20名学生，进行了垃圾分类有关知识测试，测试成绩（百分制）如下：A校区 87 75 79 82 77 76 86 71 76 91 76 80 82 68 73 81 88 69 84 78B校区 80 73 70 82 71 82 83 93 77 80 81 93 81 73 88 79 81 70 55 83整理、描述数据（1）按如下表分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数校区50x5960x6970x7980x8990x100A02981B72（说明：成绩80分及以上为掌握程度优秀，7079分为
8、掌握程度良好，6069分为掌握程度合格，60分以下为掌握程度不合格）分析数据（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：校区平均数中位数众数A78.9576B78.7580.5得出结论估计B校区八年级对垃圾分类有关知识的掌握程度优秀的学生人数为 ；可以推断出 校区的八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度较好，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y2x+2和直线l2：ykx+b（k0）相交于点A（0，b）（1）求b的值；（2）直线l1与x轴交点为B，直线l2与x轴的交点为C，若线段BC的长度大于2，结合函数图象，求k的取值范围24.
9、如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），过点C作CFAE，交AE的延长线于点F，过点D作DGFC，交FC的延长线于点G，连接FB，FD（1）依题意补全图形；（2）求AFD的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明25. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2给出如下定义：如果线段PQ是某个周长为t的矩形的一条对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么称点P和点Q互为“t阶矩形点”如图，点P（1，1）和点Q（3，2）互为“6阶矩形点”（1）在点A（1，3），B（2，2），C（3，2
10、）中，与点O互为“8阶矩形点”的点是 ；（2）若第一象限内有一点N与点O互为“8阶矩形点”，求线段ON长度最小值；（3）若点M在直线yx上，且与点M互为“10阶矩形点”的点中恰有2个点与点O互为“8阶矩形点”，记点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围2020-2021学年北京市丰台区八年级下期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 函数中自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解【详解】解：由题意得，解得故选：B【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键2. 下列多边形中，内角和为3
11、60的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若多边形的边数是n，则其内角和计算公式为（n2）180，据此进行解答即可.【详解】解：由多边形内角和公式可得，（n2）180=360，解得n=4，是四边形，故选择B.【点睛】本题考查了多边形的内角和计算，牢记其公式是解题关键.3. 如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的1是110，那么光线与纸版左上方所成的2的度数是（）A. 110B. 100C. 90D. 70【答案】A【解析】【分析】根据ABCD，BCAD，分别得到1+ADC180，2+ADC180，因此12，即可求解【详解】解：如图：A
12、BCD，1+ADC180，BCAD，2+ADC180，121110，2110故选：A【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算【详解】A、原式3 ，所以A选项不符合题意；B、原式 ，所以B选项不符合题意；C、 与 不能合并，所以C选项不符合题意；D、原式 ，所以D选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键5. 如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间距离，可以在绿地的一侧选定一点A
13、，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（）A. 4mB. 8mC. 16mD. 20m【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线定理即可求出【详解】解：中，、分别是、的中点，为三角形的中位线，故选：C【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半6. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC6，BD8，那么菱形ABCD的面积是（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解【详解】解：菱形ABCD的面积24，故选：C【点睛】本题考
14、查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半7. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，y就是x的函数，否则不是函数【详解】如图，D选项的图中x一个确定的值对应两个y的值，不符合函数的定义故选：D【点睛】本题考差了函数定义，对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，y就是x的函数，牢固掌握定义是做出本题的关键8. 在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别
15、对各个选项进行判断即可；【详解】四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意；四边形ABCD平行四边形，平行四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；四边形ABCD是平行四边形，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断是解题的关键9. 如图，直线ykx+b与x轴的交点的坐标是（3，0），那么关于x的不等式kx+b0的解集是（）A. x3B. x3C. x0D. x0【答案】A【解析】【分析】根据图象直接解答即可【详解
16、】直线ykx+b与x轴交点坐标为（3，0），由图象可知，当x3时，y0，不等式kx+b0的解集是x3故选：A【点睛】此题考查了一次函数图象与不等式的关系，不等式的解集即为一次函数的函数值大于零、等于零或小于零，正确理解二者之间的关系是解题的关键10. A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额yA（元），yB（元），yC（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如图所示以下有四个推断：月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱；月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱；对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每
17、分钟收费0.05元所有合理推断的序号是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额yA（元），yB（元），yC（元）与月上网时间x（小时）的图象逐一判断即可【详解】由图象可知：月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，说法正确；月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式B最省钱，故原说法错误；对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，说法正确；对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费为：（6030）（3525）600.05（元），原说法正确；所以所有合理推断的序号是故选：C【点睛】本题考查了
18、函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 计算：_【答案】3【解析】【详解】分析：12. 如果一次函数的图象经过第二、三、四象限， 请你写出一组满足条件的，的值：_，_【答案】 . -1 . -1【解析】【分析】根据直线过第二、三、四象限可知k，b的取值，即可写出【详解】直线过第二、三、四象限，k0，b0，故k=-1，b=-1【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的性质13. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2_s乙2（填“”，“”或“”）【答
19、案】【解析】【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算【详解】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，甲的方差，乙的方差，故答案为：【点睛】本题考查方差的定义与意义，解题的关键是熟记方差的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_【答案】（，0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的
20、半径相等即可求解【详解】由题意可得：OPOB，OCAB2，BCOA1，OB，OP，点P的坐标为（，0）故答案为：（，0）【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方15. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 _【答案】13【解析】【分析】先设设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，然后根据图2和图3列出关于a、b的方程组，再根据勾股定理即可求出图2中阴影部分的边长，然后求出面积【详解】由题意知图2中阴影部分为正方形，设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，则由图2得：a+b5，由
21、图3得：ba1，联立得：，阴影部分的边长为，故答案为：13【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能求出图中阴影部分的边长，既用直角三角形的直角边求出斜边，要牢记勾股定理的公式a2+b2=c216. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，ABCD的面积为10，且边AB在x轴上如果将直线yx沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是 _，b的值是 _【答案】 . 7 . 【解析】【分析】在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线yx平行，交x轴于点E，F，过D作DGx轴于G，在图2中，
22、取A（2，0），E（5，b），B（a，b），F（10，0），求出OAm2，OEm5，DEnb，则AE3，OFm10，OBma，根据ABCD的面积为10，求出DG2，得到DE即为b值【详解】解：在图1中，过点D，B，C作直线与已知直线yx平行，交x轴于点E，F，过D作DGx轴于G，在图2中，取A（2，0），E（5，b），B（a，b），F（10，0），图1中点A对应图2中的点A，得出OAm2，图1中点E对应图2中的点E，得出OEm5，DEnb，则AE3，图1中点F对应图2中的点F，得出OFm10，图1中点B对应图2中的点B，得出OBma，aOBOFBF，BFAE3，OF10a7，ABCD的面积为1
23、0，ABOBOA725，DG2，在RtDGE中，DEG45，DE=，故答案是：7，【点睛】此题考查了平行四边形与函数图象的结合，正确掌握平行四边形的性质，直线yx与坐标轴夹角45度的性质，一次函数图象平行的性质，勾股定理，正确理解函数图象得到相关信息是解题的关键三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）17. 下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程已知：如图，在RtABC中，ABC90，O为AC的中点求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形作法：作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交
24、射线BO于点D；连接AD，CD四边形ABCD是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点O为AC的中点，AOCO又BO ，四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理的依据）ABC90，ABCD是矩形（ ）（填推理的依据）【答案】（1）补全图形见解析 （2）OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形ABCD是矩形，再结合一个角是直角，即可得证【小问1详解】解：如图，四边形ABCD即为所求【小问
25、2详解】证明：点O为AC的中点，AOCO又BOOD，四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），ABC90，ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形18. 计算：【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算【详解】解：原式，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质19. 如图，在A
26、BCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BFDE求证：AFCE【答案】见解析【解析】【分析】首先由平行四边形的性质得出ADBC，AD=BC，然后判定四边形AECF为平行四边形，即可得解.【详解】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BCBF=DE，AECF，AE=CF四边形AECF为平行四边形AF=CE【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握，即可解题20. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象经过点A（1，1），B（0，3）（1）求这个一次函数的解析式；（2）若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求BOC的面积【答案】（1）y2x+3 （2）SBOC
27、【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）利用直线解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得BOC的面积【小问1详解】解：一次函数ykx+b（k0）的图象经过点A（1，1），B（0，3），解得：，这个一次函数的解析式为：y2x+3【小问2详解】解：令y0，则2x+30，解得x，C（，0），B（0，3）SBOC【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键21. 如图，在ABC中，ACB90，D，E分别是边AB，AC的中点，BCBD，点F在ED的延
28、长线上，且BF/CD（1）求证：四边形CBFD为菱形；（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF4，求AC的长【答案】（1）见解析 （2）AC的长为【解析】【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证出，即可得出结论；（2）由菱形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由含角的直角三角形的性质得，进而得出【小问1详解】解：证明：，分别是边，的中点，是的中位线，四边形是平行四边形，是边的中点，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：连接，交于于，如图，由（1）得：四边形为菱形，是等边三角形，【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理
29、、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出22. 某学校在A，B两个校区各有八年级学生200人，为了解这两个校区八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整收集数据从A，B两个校区八年级各随机抽取20名学生，进行了垃圾分类有关知识测试，测试成绩（百分制）如下：A校区 87 75 79 82 77 76 86 71 76 91 76 80 82 68 73 81 88 69 84 78B校区 80 73 70 82 71 82 83 93 77 80 81 93 81 73 88 79 81 70 55 83
30、整理、描述数据（1）按如下表分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数校区50x5960x6970x7980x8990x100A02981B72（说明：成绩80分及以上为掌握程度优秀，7079分为掌握程度良好，6069分为掌握程度合格，60分以下为掌握程度不合格）分析数据（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：校区平均数中位数众数A78.9576B78.7580.5得出结论估计B校区八年级对垃圾分类有关知识的掌握程度优秀的学生人数为 ；可以推断出 校区的八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度较好，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】（1）（1）1、0、10 （2）
31、78.5、81；120人；B，理由见析【解析】【分析】（1）整理、描述数据：将A、B校区学生成绩重新排列，据此可补全表格；（2）分析数据：根据中位数和众数的定义求解即可；得出结论：用B校区总人数乘以样本中成绩优秀人数所占比例即可；根据平均数、中位数和众数的意义求解即可【小问1详解】整理、描述数据将A、B校区成绩重新排列为：A校区：68、69、71、73、75、76、76、76、77、78、79、80、81、82、82、84、86、87、88、91，B校区：55、70、70、71、73、73、77、79、80、80、81、81、81、82、82、83、83、88、93、93，按如下表分数段整理、
32、描述这两组样本数据：成绩x人数校区50x5960x6970x7980x8990x100A02981B107102【小问2详解】分析数据A校区学生成绩的中位数为78.5（分），B校区学生成绩的众数为81分，两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：校区平均数中位数众数A78.9578.576B78.7580.581得出结论估计B校区八年级对垃圾分类有关知识的掌握程度优秀的学生人数为200120（人）；可以推断出B校区的八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度较好，理由为：B校区中位数比A校区大，众数比A校区大，可见B校区半数学生分数在80.5分以上，而A校区半数学生分数在78.5分以上，B校区8
33、1分的最多，A校区76分最多故答案为：a120人；B，理由：B校区中位数比A校区大，众数比A校区大，可见B校区半数学生分数在80.5分以上，而A校区半数学生分数在78.5分以上，B校区81分最多，A校区76分最多【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y2x+2和直线l2：ykx+b（k0）相交于点A（0，b）（1）求b的值；（2）直线l1与x轴的交点为B，
34、直线l2与x轴的交点为C，若线段BC的长度大于2，结合函数图象，求k的取值范围【答案】（1）b2 （2）2k0或0k【解析】【分析】（1）将（0，b）代入y2x+2中计算即可；（2）先计算出B点坐标，再由B点坐标与l2解析式计算出点C坐标，点C坐标有两种情况，根据两种情况计算出k的取值范围并分类讨论【小问1详解】解：将（0，b）代入y2x+2得b2【小问2详解】解：把y0代入y2x+2得x1，点B坐标（1，0）由（1）得直线l2解析式为ykx+2，当BC2时，点C坐标为（3，0）或（1，0）如图，当点C坐标为（3，0）时，03k+2，解得k ，当0k时满足题意，把（1，0）代入ykx+2得0k
35、+2，解得k2，2k0满足题意，综上所述，2k0或0k【点睛】本题考查一次函数的解析式与图象，应用分类讨论思想是解决本题的关键24. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），过点C作CFAE，交AE的延长线于点F，过点D作DGFC，交FC的延长线于点G，连接FB，FD（1）依题意补全图形；（2）求AFD的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明【答案】（1）补全图形见解析 （2）AFD45 （3）线段AF，BF，DF之间的数量关系是BF+DFAF证明见解析【解析】【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）过点D作DHAF于点H，证明ADHCDG（
36、AAS），由全等三角形的性质得出DHDG，由角平分线的性质得出结论；（3）过点A作AMAF交FD的延长线于点M，证明ABFADM（SAS），由全等三角形的性质得出BFDM，由等腰直角三角形的性质可得出结论【小问1详解】解：补全图形如下：【小问2详解】解：过点D作DHAF于点H，DHF90，CFAE，交AE的延长线于点F，DGFG，HFGG90，在四边形DHFG中，HDG360-DHF -HFG-G =90，在正方形ABCD中，ADDC，ADC90，ADHCDG，ADHCDG（AAS），DHDG，FD平分AFG，AFD45；【小问3详解】解：线段AF，BF，DF之间的数量关系是BF+DFAF证明
37、：过点A作AMAF交FD的延长线于点M，AFM45，M45，AFAM，BAD90，BAFDAM，ABAD，ABFADM（SAS），BFDM，AF=AM，在RtAMF中，MF=AF，BF+DFDM +DF =MF=AF【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键25. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1y2给出如下定义：如果线段PQ是某个周长为t的矩形的一条对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么称点P和点Q互为“t阶矩
38、形点”如图，点P（1，1）和点Q（3，2）互为“6阶矩形点”（1）在点A（1，3），B（2，2），C（3，2）中，与点O互为“8阶矩形点”的点是 ；（2）若第一象限内有一点N与点O互为“8阶矩形点”，求线段ON长度的最小值；（3）若点M在直线yx上，且与点M互为“10阶矩形点”的点中恰有2个点与点O互为“8阶矩形点”，记点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围【答案】（1）A，B （2）当a2时，线段ON的长度的最小值为 （3）满足条件的m的取值范围为4.5m0.5或0.5m4.5【解析】【分析】（1）设与点O（0，0）互为“8阶矩形点”的点的坐标为（x，y），得出|x|+|y|=4，再将x=
39、1，x=2，x=3代入上式，计算判断即可得出结论；（2）设N（a，b）（a0，b0），得出ON，即可求出结果；（3）设与点O互为“8阶矩形点”的点的坐标为H（c，d），进而得出与点O互为“8阶矩形点”的点H在正方形DEFG的边上，当点M在第一象限时，再分四种情况讨论得出答案；当点M在第三象限时，同的方法即可得出答案【小问1详解】设与点O（0，0）互为“8阶矩形点”的点的坐标为（x，y），2|x|+2|y|8，|x|+|y|4，当x1时，y3，点A（1，3）与点O互为“8阶矩形点”，当x2时，y2，点B（2，2）与点O互为“8阶矩形点”，当x3时，y1，点C（3，2）与点O不互为“8阶矩形点”，
40、故答案为A，B；【小问2详解】设N（a，b）（a0，b0），ON点N与点O互为“8阶矩形点”，2a+2b8，a+b4，b4a，ON；当a2时，线段ON的长度的最小值为2；【小问3详解】设与点O互为“8阶矩形点”的点的坐标为H（c，d），2|c|+2|d|8，|c|+|d|4，dc4，与点O互为“8阶矩形点”的点H在正方形DEFG的边上，点M在直线yx上，设点M（m，m），当点M在第一象限时，、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段DG（解析式为yx+4）上，设其坐标为（e，e+4）（0e4），2|me|+|m+e4|10，me+m+e45，m4.5，即点M（4.5，4.5）线段DG上的任意一点都与点M互为“10阶矩形点”，、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段EF（解析式为yx4）上，设其坐标为（e，e+4）（4e0），2|me|+|me+4|10，me+m+e+45，m0.5，即点M（0.5，0.5）线段EF上的任意一点都与点M互为“10阶矩形点”，、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段DE（解析式为yx+4）上，设其坐标为（e，e+4）（4e0），2|me|+|me4|10，me+