1、2021-2022 学年广东省深圳市九年级学年广东省深圳市九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 深圳湾“春笋”大楼顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+mx30 的一个根，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 3. 如图，已知ABCDEF，若A35，B65，则F 的度数是（ ） A. 30 B. 35 C. 80 D. 100 4. 一元二次方程 x2+x10的根的情况是（ ） A.
2、 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法判断 5. 已知菱形的两条对角线的长分别为 6cm和 8cm，则菱形的面积为（ ） A. 202cm B. 242cm C. 262cm D. 248cm 6. 为庆祝中国共产党成立 100周年，某学校开展学习“四史”（ 党史 、 新中国史 、 改革开放史 、 社会主义发展史 ）交流活动，小亮从这四本书中随机选择 1 本进行学习心得体会分享，则他恰好选到新中国史这本书的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1 7. 如图，已知ABC与ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，若 A是 OA的中点，则AB
3、C与ABC的面积比是（ ） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 8. 下列命题中，是真命题是（ ） A. 一条线段上只有一个黄金分割点 B. 各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 D. 若 2x3y，则23xy 9. 文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话 小张：该工艺品的进价是每个 22元； 小李：当销售价为每个 38元时，每天可售出 160个；当销售价降低 3元时，平均每天将能多售出 120个 经理：为了实现平均每天 3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？ 设这种工艺
4、品的销售价每个应降低 x 元，由题意可列方程为（ ） A. （38x） （160+3x120）3640 B. （38x22） （160+120 x）3640 C. （38x22） （160+3x120）3640 D. （38x22） （160+3x120）3640 10. 如图， 矩形 ABCD中， 点 E， 点 F分别是 BC， CD的中点， AE 交对角线 BD于点 G， BF交 AE于点 H 则GHHE的值是（ ） A. 12 B. 23 C. 22 D. 32 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 若12ab，
5、则abb=_ 12. 深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共 10个，这些球除颜色外都相同凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物据统计，参与这种游戏的顾客共有 5000 人，商场共发放了吉祥物 1500个则该纸箱中红球的数量约有 _个 13. 如图，矩形 ABCD中，AC的垂直平分线 MN与 AB 交于点 E，连接 CE若CAD70，则DCE_ 14. 如图，已知一次函数 y2x+4的图象与反比例函数kyx的图象交于 A，B两点，点 B 的横坐标是 1，过点 A作 ACy 轴于点 C，连接
6、BC，则ABC的面积是 _ 15. 如图， 已知ABC与ADE均是等腰直角三角形， BACADE90， ABAC1， ADDE5，点 D 在直线 BC上，EA 的延长线交直线 BC 于点 F，则 FB的长是 _ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，共小题，共 55分）分） 16. 解方程：2430 xx 17. 小明为探究反比例函数 ykx的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到 （1）他列出 y与 x 的几组对应值如表： x 4 3 2 1 0.5 0.5 1 b 3 4 y 1 43 a 4 8 8 4 2 43 1 表格中，a ，b ； （2）结合表，在如图所示的平面
7、直角坐标系 xOy 中，画出当 x0时的函数 y的图象； （3）若（6，m） ， （10，n）在该函数的图象上，则 m n（填“”，“”或“”） ； 若（x1，y1） ， （x2，y2）在该函数的图象上，且 x1x20，则 y1 y2（填“”，“”或“”） 18. 深圳某地铁站入口有 A， B， C三个安全检查口， 假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同 张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁 （1）张红选择 A安全检查口通过的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率 19. 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BA延长线上一点，连接 ED
8、，EC，EC 交 AD于点 G，作 CFED交 AB于点 F，DCDE （1）求证：四边形 CDEF是菱形； （2）若 BC3，CD5，求 AG 的长 20. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了 4m，另一边减少了 5m，剩余部分面积为 650m2 （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成 1m宽的画廊， 再在余下地方建成宽度相等的两条小道后， 其余地方栽种鲜花， 如果栽种鲜花区域的面积为 812m2，求小道的宽度 21. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测
9、量物体的高度已知榕树 CD，FG和灯柱 AB如图所示，在灯柱 AB 上有一盏路灯 P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： 根据光源确定榕树在地面上的影子； 测量出相关数据，如高度，影长等； 利用相似三角形相关知识，可求出所需要的数据 根据上述内容，解答下列问题： （1）已知榕树 CD在路灯下的影子为 DE，请画出榕树 FG 在路灯下的影子 GH； （2）如图，若榕树 CD的高度为 3.6米，其离路灯的距离 BD 为 6米，两棵榕树的影长 DE，GH 均为 4米，两棵树之间的距离 DG为 6 米，求榕树 FG
10、 的高度； （3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题如图，建筑物 CD 高为 50米，建筑物 MF 上有一个广告牌 EM，合计总高度 EF为 70 米，两座建筑物之间的直线距离 FD为 30 米一个观测者（身高不计）先站在 A 处观测，发现能看见广告牌 EM 的底端 M 处，观测者沿着直线 AF向前走了 5米到 B处观测，发现刚好看到广告牌 EM 的顶端 E 处则广告牌 EM的高度为 米 22. 【探究发现】 （1）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 E为 CD 边上一点（不与端点重合） ，连接 BE，作点 D关于BE 的对称点 D，DD的
11、延长线与 BC的延长线交于点 F，连接 BD，DE 小明探究发现：当点 E在 CD 上移动时，BCEDCF并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整 证明：延长 BE交 DF于点 G 进一步探究发现，当点 D与点 F重合时，CDF 【类比迁移】 （2）如图，四边形 ABCD为矩形，点 E 为 CD边上一点，连接 BE，作点 D关于 BE 的对称点 D，DD的延长线与 BC的延长线交于点 F，连接 BD，CD，DE当 CDDF，AB2，BC3 时，求 CD的长； 【拓展应用】 （3）如图，已知四边形 ABCD 为菱形，AD3，AC2，点 F 为线段 BD 上一动点，将线段 AD绕点 A按顺时针方
12、向旋转，当点 D旋转后的对应点 E 落在菱形的边上（顶点除外）时，如果 DFEF，请直接写出此时 OF的长 2021-2022 学年广东省深圳市九年级上期末数学试卷学年广东省深圳市九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可 【详解】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下： 故选：A 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视
13、图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键 2. 若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+mx30 的一个根，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把 x=1代入方程 x2+mx-3=0，得出一个关于 m的方程，解方程即可 【详解】解：把 x=1代入方程 x2+mx-3=0得：1+m-3=0， 解得：m=2 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于 m 的方程 3. 如图，已知ABCDEF，若A35，B65，则F 的度数是（ ） A. 30 B. 35 C. 80 D. 100
14、 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题 【详解】解：ABC中，A=35 ，B=65 ， C=180 -A-B=180 -35 -65 =80 ， 又ABCDEF， F=C=80 ， 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键也考查了三角形内角和定理 4. 一元二次方程 x2+x10的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式24bac的值的符号就可以了 【详
15、解】解：1a ，1b，1c ， 22414 1150bac ， 方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点睛】 本题考查了根的判别式， 熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根与的关系是解答此题的关键 总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： 10方程有两个不相等的实数根； 20方程有两个相等的实数根； 30方程没有实数根 5. 已知菱形的两条对角线的长分别为 6cm和 8cm，则菱形的面积为（ ） A. 202cm B. 242cm C. 262cm D. 248cm 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解 【详解】解：菱形的面积=12 6 8=2
16、4（cm2） ， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键 6. 为庆祝中国共产党成立 100周年，某学校开展学习“四史”（ 党史 、 新中国史 、 改革开放史 、 社会主义发展史 ）交流活动，小亮从这四本书中随机选择 1 本进行学习心得体会分享，则他恰好选到新中国史这本书的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可 【详解】解：由题意得，他恰好选到新中国史这本书的概率为14， 故选：A 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 7. 如图，已知ABC与ABC
17、 是位似图形，点 O 是位似中心，若 A是 OA的中点，则ABC与ABC的面积比是（ ） A. 1：4 B. 1：2 C. 2：1 D. 4：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到ABCABC，ABAB，根据OABOAB，求出A BAB ，根据相似三角形的性质计算，得到答案 【详解】解：ABC与ABC 是位似图形， ABCABC，ABAB， OABOAB， 12A BOAABOA ， ABC与ABC 的面积比为 1：4， 故选：A 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A
18、. 一条线段上只有一个黄金分割点 B. 各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 C. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 D. 若 2x3y，则23xy 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义对 A 选项进行判断；根据相似多边形的定义对 B 选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对 C 选项进行判断；根据比例的性质对 D 选项进行判断 【详解】解：A一条线段上有两个黄金分割点，所以 A选项不符合题意； B各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以 B选项符合题意； C两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以 C 选项不符合题意； D若 2x=3y，则32x
19、y，所以 D选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 9. 文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话 小张：该工艺品的进价是每个 22元； 小李：当销售价为每个 38元时，每天可售出 160个；当销售价降低 3元时，平均每天将能多售出 120个 经理：为了实现平均每天 3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？ 设这种工艺品的销售价每个应降低 x 元，由题意可列方程为（ ） A. （38x） （16
20、0+3x120）3640 B. （38x22） （160+120 x）3640 C. （38x22） （160+3x120）3640 D. （38x22） （160+3x120）3640 【答案】D 【解析】 【分析】由这种工艺品的销售价每个降低 x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38-x-22）元，销售量为（160+3x 120）个，利用销售总利润=每个的销售利润 销售量，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解 【详解】解：这种工艺品的销售价每个降低 x元， 每个工艺品的销售利润为（38-x-22）元，销售量为（160+3x 120）个 依题意得： （38-x-22） （160+3x 1
21、20）=3640 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键 10. 如图， 矩形 ABCD中， 点 E， 点 F分别是 BC， CD的中点， AE 交对角线 BD于点 G， BF交 AE于点 H 则GHHE的值是（ ） A. 12 B. 23 C. 22 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 取BD的中点M， 连接EM， 交BF于点N， 则12E MD C，/ /EMDC， 由B E NB C F，得1124ENCFDC，由/EMAB，得EMGABG，ENHABH，则13EGAE，15EHAE，从而解决问题 【详解】解：矩形A
22、BCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点， 12BEBC，/ABCD，1122CFDFDCAB， 取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图， 则EM是BCD的中位线， 12EMDC，/ /EMDC， 12EMAB，/EMAB， BENBCF， 12ENBECFBC， 1124ENCFDC， 14ENAB， / /EMAB， EMGABG，ENHABH， 12EGEMAGAB，14EHENAHAB， 13EGAE，15EHAE， 1123515GHEGEHAEAEAE， 2215135AEGHHEAE， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质， 相似三角形的判定与性质， 利用相似三角
23、形的性质表示出GH和HE的长是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 若12ab，则abb=_ 【答案】32. 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：原式=ab+1=13122 . 考点：比的性质 12. 深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共 10个，这些球除颜色外都相同凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物据统计，参与这种游戏的顾客共有 5000 人，商场共发放了吉祥物 1500个则该纸箱中红球的数
24、量约有 _个 【答案】3 【解析】 【分析】先求出得到吉祥物的频率，再设纸箱中红球的数量为 x个，根据题意列出方程，解之即可 【详解】解：由题意可得： 参与该游戏可免费得到吉祥物的频率为15005000=310， 设纸箱中红球的数量为 x个， 则31010 x， 解得：x=3， 所以估计纸箱中红球的数量约为 3个， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 13. 如图，矩形 ABCD中，AC的垂直平分线 MN与 A
25、B 交于点 E，连接 CE若CAD70，则DCE_ 【答案】40 【解析】 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到 EC=EA， 根据矩形的性质得到DCA=EAC=20 ， 结合图形计算，得到答案 【详解】解：MN 是 AC的垂直平分线， EC=EA， ECA=EAC， 四边形 ABCD是矩形， ABCD，D=90 ， DCA=EAC=90 -70 =20 ， DCE=DCA+ECA=20 +20 =40 ， 故答案为：40 【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 14. 如图，已知一次函数 y2x+4的图象与反
26、比例函数kyx的图象交于 A，B两点，点 B 的横坐标是 1，过点 A作 ACy 轴于点 C，连接 BC，则ABC的面积是 _ 【答案】12 【解析】 【分析】由一次函数解析式求得 B 的坐标，代入kyx求得 k，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得 A 的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可 【详解】解：一次函数 y=2x+4的图象与反比例函数kyx的图象交于 A，B两点，点 B 的横坐标是 1， 把 x=1 代入 y=2x+4得，y=6， B（1，6） ， 6=1k，解得 k=6， 反比例函数的解析式为6yx， 解624yxyx得：16xy或32xy ， A（-3，-2） ， ACy
27、轴于点 C， AC=3， SABC=12 3 (6+2)=12 故答案为：12 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键 15. 如图， 已知ABC与ADE均是等腰直角三角形， BACADE90， ABAC1， ADDE5，点 D 在直线 BC上，EA 的延长线交直线 BC 于点 F，则 FB的长是 _ 【答案】22 【解析】 【分析】过点 A作 AHBC于点 H，根据等腰直角三角形的性质可得 DH=3 22，CD=2，再证明ABFDCA，进而对应边成比例即可求出 FB 的长 【详解】解：如图
28、，过点 A作 AHBC于点 H， BAC=90 ，AB=AC=1， BC=2， AHBC， BH=CH=22， AH=22， AD=DE=5， DH=2213 2522ADAH， CD=DH-CH=2， ABC=ACB=45 ， ABF=ACD=135 ， DAE=45 ， DAF=135 ， BAC=90 ， BAF+DAC=45 ， BAF+F=45 ， F=DAC， ABFDCA， ABBFCDAC， 112BF， BF=22， 故答案为：22 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是得到ABFDAC 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，共小
29、题，共 55分）分） 16. 解方程：2430 xx 【答案】121,3xx 【解析】 【分析】方法一：利用配方法解一元二次方程即可得；方法二：利用因式分解法解一元二次方程即可得 【详解】解：方法一：2430 xx， 244 10 xx ， 221x， 21x， 121,3xx 方法二：2430 xx， 130 xx， 10 x 或30 x ， 1x 或3x ， 即121,3xx 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的各种解法是解题关键 17. 小明为探究反比例函数 ykx的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到 （1）他列出 y与 x 的几组对应值如表： x 4 3 2 1
30、 0.5 0.5 1 b 3 4 y 1 43 a 4 8 8 4 2 43 1 表格中，a ，b ； （2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0时的函数 y的图象； （3）若（6，m） ， （10，n）在该函数的图象上，则 m n（填“”，“”或“”） ； 若（x1，y1） ， （x2，y2）在该函数的图象上，且 x1x20，则 y1 y2（填“”，“”或“”） 【答案】 （1）-2，2 （2）见解析 （3）； 【解析】 【分析】 （1）把（-4，-1）代入 ykx解方程得到反比例函数的解析式为 y4x，把 x=-2，把 y=2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答
31、案； （2）根据题意画出图象即可； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论 【小问 1 详解】 解：把（-4，-1）代入 ykx得，-14k， k=4， 反比例函数的解析式为 y4x， 当 x=-2 时，y=42=-2，即 a=-2； 当 y=2时，2=4x，则 x=2，即 b=2； 故答案为：-2，2； 【小问 2 详解】 如图所示， 【小问 3 详解】 反比例函数的解析式为 y4x， k=40， 在每个象限内 y随 x的增大而减小， 若（6，m） ， （10，n）在该函数的图象上， 610， mn； 故答案：； 若（x1，y1） ， （x2，y2）在该函数的图象上， x1x20， y1y2
32、， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键 18. 深圳某地铁站入口有 A， B， C三个安全检查口， 假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同 张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁 （1）张红选择 A安全检查口通过的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率 【答案】 （1）13 （2）13 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式求解即可； （2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【18 题详解
33、】 解： （1）有 AB、C 三个闸口， 张红选择 A 安全检查口通过的概率是13， 故答案为：13； 【19 题详解】 根据题意画图如下： 共有 9 种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有 3 种， 则她俩选择相同安全检查口通过的概率是3193 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图 19. 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BA延长线上一点，连接 ED，EC，EC 交 AD于点 G，作 CFED交 AB于点 F，DCDE （1）求证：四边形 CDEF是菱形； （2）若 BC3，CD5，求 AG 的长 【答案】 （1）见解析 （2）43 【解析】
34、【分析】 （1）根据矩形性质先证明四边形 CDEF 是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题； （2）连接 GF，根据菱形的性质证明CDGCFG，然后根据勾股定理即可解决问题 【19 题详解】 解：证明：四边形 ABCD是矩形， ABCD，AB=CD， CFED， 四边形 CDEF是平行四边形， DC=DE 四边形 CDEF是菱形； 【20 题详解】 如图，连接 GF， 四边形 CDEF是菱形， CF=CD=5， BC=3， BF=2222534CFBC， AF=AB-BF=5-4=1， 在CDG 和CFG 中， CDCFDCGFCGCGCG ， CDGCFG（SAS）
35、 ， FG=GD， FG=GD=AD-AG=3-AG， RtFGA中，根据勾股定理，得 FG2=AF2+AG2， （3-AG）2=12+AG2， 解得 AG=43 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质 20. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了 4m，另一边减少了 5m，剩余部分面积为 650m2 （1）求原正方形空地的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成 1m宽的画廊， 再在余下地方建成宽度相等的两条小
36、道后， 其余地方栽种鲜花， 如果栽种鲜花区域的面积为 812m2，求小道的宽度 【答案】 （1）30m （2）1m 【解析】 【分析】 （1）设原正方形空地的边长为 x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设小道的宽度为 y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m 的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为 812m2，即可得出关于 y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论 【20 题详解】 解：设原正方形空地的边长为 x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-
37、5）m， 依题意得： （x-4） （x-5）=650， 整理得：x2-9x-630=0， 解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去） 答：原正方形空地的边长为 30m 【21 题详解】 设小道的宽度为 y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m 的矩形， 依题意得： （30-y） （30-1-y）=812， 整理得：y2-59y+58=0， 解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去） 答：小道的宽度为 1m 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 21. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度已
38、知榕树 CD，FG和灯柱 AB如图所示，在灯柱 AB 上有一盏路灯 P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： 根据光源确定榕树在地面上的影子； 测量出相关数据，如高度，影长等； 利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据 根据上述内容，解答下列问题： （1）已知榕树 CD在路灯下的影子为 DE，请画出榕树 FG 在路灯下的影子 GH； （2）如图，若榕树 CD的高度为 3.6米，其离路灯的距离 BD 为 6米，两棵榕树的影长 DE，GH 均为 4米，两棵树之间的距离 DG为 6 米，求榕树 FG 的高度；
39、（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题如图，建筑物 CD 高为 50米，建筑物 MF 上有一个广告牌 EM，合计总高度 EF为 70 米，两座建筑物之间的直线距离 FD为 30 米一个观测者（身高不计）先站在 A 处观测，发现能看见广告牌 EM 的底端 M 处，观测者沿着直线 AF向前走了 5米到 B处观测，发现刚好看到广告牌 EM 的顶端 E 处则广告牌 EM的高度为 米 【答案】 （1）见解析 （2）94 （3）54 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出图形； （2）证明ECDEPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可
40、； （3）根据BCDBEF求出 BD，再根据ACDAMF求出 MF，进而求出 EM 【21 题详解】 解：图中 GH即为所求； 【22 题详解】 CDPB， ECDEPB， CDEDPBEB，即3.6446PB， 解得：PB=9， FGPB， HFGHPB， FGHGPBHB，即49466FG， 解得：FG=94， 答：榕树 FG 的高度为94米； 【23 题详解】 CDEF， BCDBEF， CDBDEFBF，即507030BDBD， 解得：BD=75， CDEF， ACDAMF， CDADMFAF，即5057557530MF， 解得：MF=2754， EM=EF-MF=70-2754=54
41、（米） ， 故答案为：54 【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 22. 【探究发现】 （1）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 E为 CD 边上一点（不与端点重合） ，连接 BE，作点 D关于BE 的对称点 D，DD的延长线与 BC的延长线交于点 F，连接 BD，DE 小明探究发现：当点 E在 CD 上移动时，BCEDCF并给出如下不完整证明过程，请帮他补充完整 证明：延长 BE交 DF于点 G 进一步探究发现，当点 D与点 F重合时，CDF 【类比迁移】 （2）如图，四边形 ABCD为矩形，点 E 为 CD边上一点，连接 BE
42、，作点 D关于 BE 的对称点 D，DD的延长线与 BC的延长线交于点 F，连接 BD，CD，DE当 CDDF，AB2，BC3 时，求 CD的长； 【拓展应用】 （3）如图，已知四边形 ABCD 为菱形，AD3，AC2，点 F 为线段 BD 上一动点，将线段 AD绕点 A按顺时针方向旋转，当点 D旋转后的对应点 E 落在菱形的边上（顶点除外）时，如果 DFEF，请直接写出此时 OF的长 【答案】 （1）见解析；22.5 （2）105 （3）22或24 【解析】 【分析】 （1）延长 BE交 DF于点 G，则由对称可知EGD=EGD=90 ，结合DEG=BEC得到EBC=EDF，由正方形的性质得
43、到BCE=DCF、BC=DC，从而证明BCEDCF； 当点 D与点 F 重合时，由对称可知DBG=DBG=22.5 ，然后由得到EDF=EBC=22.5 ； （2） 延长BE交DF于点G， 由对称可知点G是DD的中点、 EGD=EGD=90 ， 结合CDDF得到CDBG，从而有 EG是DCD的中位线，得到点 E是 CD的中点，从而求得 CE=DE=1，再由勾股定理求得 BE 的长；由（1）得EBC=FDC，ECB=EGD=90 得到ECBEGD，进而借助相似三角形的性质求得 EG的长，然后由中位线的性质求得 CD的长； （3）以点 A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与 CD和 BC的交点即为点
44、E，然后分点 E在 CD上和点 E 在BC 上讨论，延长 AF交 DE 于点 G，然后借助（1） （2）的思路求解 【小问 1 详解】 解：证明：如图，延长由对称可知，EGD=EGD=90 ， DEG=BEC， EBC=EDF， 四边形 ABCD是正方形， BCE=DCF=90 ，BC=DC， 在BCE和DCF 中， EBCEDFBCCDBCEDCF ， BCEDCF（ASA） 解：如图 1，当点 D与点 F 重合时，由对称可知DBE=DBE， 四边形 ABCD是正方形， DBC=45 ， DBE=DBE=22.5 ， 由得到CDF=EBD， CDF=22.5 ， 故答案为：22.5 【小问
45、2 详解】 解：如图 2，延长 BE交 DF 于点 G， 由对称可知，点 G 是 DD的中点，EGD=EGD=90 ， CDDF， CDBG， EG是DCD的中位线， 点 E是 CD的中点， CE=DE=12CD=12 2=1， BE=2210BCCE， 由（1）得，EBC=FDC，ECB=EGD=90 ， ECBEGD， ECBCBEEGDGED， 13101EGDG， EG=1010， BG=BE+EG=1011 10101010， EG是DCD的中位线， CD=2EG=21010=105； 【小问 3 详解】 以点 A为圆心，AD 的长为半径作圆弧，与 CD和 BC的交点即为点 E， 如
46、图 3，当点 E在 CD 上时，延长 AF 交 DE 于点 G， 由（1）可得，GDF=OAF， 四边形 ABCD为菱形， ACBD，AO=CO，ODC=ODA， OAF=ODA， AC=2， OA=1， AD=3， OD=2， tanOAF=tanODA=12OAOD， 112OFOFOA, OF=22； 如图 4，当点 E在 BC 上时，延长 AF 交 DE 于点 G，则AGD=90 ，DAG=EAG=12DAE， AD=AB=AE， AEB=ABE， 四边形 ABCD是菱形， ABO=12ABE，ADBC， DAE=AEB， ABO=DAG， 在AGD 和BOA中， AGDBOADAGA
47、BOADAB ， AGDBOA（AAS） ， DG=AO=1，AG=BO=2， DG=AO， FAO=FDG，FOA=FGD， FOAFGD（ASA） ， OF=FG， 设 OF=FG=x，则 DF=2x， 在 RtDFG中，DF2=GF2+DG2， （2x）2=x2+12， 解得：x=24， OF=24， 综上所述，OF的长为22或24 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到EBC=EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型