1、20212022 学年广东省佛山市禅城区九年级学年广东省佛山市禅城区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36分）分） 1. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF被 l1，l2，l3所截，AB4，BC6，EF9，则 DE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 一元二次方程 x28x50配方后可化为（ ） A. （x4）19 B. （x4）19 C. （x4）211 D. （x4）216 4. 如图，D是 BC上的点，ADCB
2、AC，则下列结论正确的是（ ） A. ABCDAB B. ABCDAC C. ABDACD D. 以上都对 5. 菱形、矩形同时具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 6. 已知 y是 x 的反比例函数，如表给出了 x与 y的一些值，表中“”处的数为（ ） x 2 2 3 y 3 3 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 7. 六张朴克牌中 2张“方块”，3张“梅花”，1 张“红桃”将这六张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率为（ ） A. 16 B. 23 C. 12 D. 13 8. 下列命题正确的是（ ） A. 有
3、一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 9. 如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和 BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离 BC1 米，已知某一时刻 BC 在地面的影长 CN1.5米，AC在地面的影长 CM4.5 米，则 AB 高为（ ） A. 3.5 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 10. 若一元二次方程 x2mx40有两个相等的实数根，则 m 的值是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 22 11. 如图，一次函数 y=-3x+4的图象交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点
4、 P 在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，过点 P分别作 OA和 OB 的垂线，垂足为 C，D若矩形 OCPD 的面积为 1 时，则点 P的坐标为（ ） A. （13，3） B. （12，2） C. （12，2）和（1，1） D. （13，3）和（1，1） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 在函数 y2x（x0）的图象上从左向右运动，PAy轴，交函数 y6x（x0）的图象于点 A，ABx轴交 PO的延长线于点 B，则 PAB 的面积（ ） A. 逐渐变大或变小 B. 等于定值 16 C. 等于定值 8 D. 另有答案 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每
5、小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AB的长为 10km，则 M，C之间的距离是_km 14. 已知 x1 是一元二次方程 x2mx20 的一个解，则 x 的值_ 15. 如图，在矩形 ABCD中，AD13，AB5，E为 BC上一点，DE 平分AEC，则 CE长为_ 16. 如图， 点 A是反比例函数 ykx（x0） 图象上的一点， AB 垂直于 x 轴， 垂足为 B， OAB 的面积为 6 若点 P（a，4）也在此函数的图象上，则 a_ 17. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的
6、球共 20 只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率mn 0.58 0 64 0.58 0.59 0.605 0.601 根据数据，估计袋中黑球有_个 18. 例求 12222322008的值 解：可设 S12222322008，则 2S222232422009 因此 2SS220091，所以 12222322008220091 请仿照以上过程计算出：13323332022_ 三、解答
7、题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 2 题，每题题，每题 8 分，共分，共 16 分）分） 19. （1）如图，在 86的网格图中，每个小正方形边长均为 1，原点 O 和ABC 的顶点均为格点点 C坐标为（2，4） ，以 O为位似中心，在网格图中作ABC，使ABC与ABC位似，且位似比为12， （保留作图痕迹） ，则点 C的坐标为 ，周长比 CABCCABC （2）如图，AB和 DE是直立在地面上的两根立柱AB6m，某一时刻 AB在阳光下的投影 BC4m，DE在阳光下的投影长为 6cm请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影 EF根据题中信息，求得立柱 DE的长为 m 20. 在
8、一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球 2 个，蓝球 1 个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为14 （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回） ，第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄球）概率 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 2 题，每题题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F为线段 DE上一点，且AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 A
9、E6，AD8，AB7，求 AF的长 22. 某种商品的标价为 75元/件，经过两次降价后的价格为 48 元/件，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）商场将进货价这 30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600个，调查表明：售价在 4060元（包含 40 元和 60 元） ，这种台灯的售价每上涨 1元，其销售量就将减少 10 个为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？ （3）当台灯的售价为多少时，获得的利润最大？ 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 题，每题题，每题 12分，共分，共 24 分）分）
10、23. 如图矩形 OABC 中，点 B 的坐标（a，b） ；点 P为线段 BC上的一动点（与点 B，点 C不重合） ，过动点P 的反比例函数 ykx的图象交 AB于 Q，延长 PQ交 x轴于 D （1）求证：四边形 ADPC为平行四边形； （2）若 a，b是方程 3x228x640根（ab） ，点 F在 AC上，若四边形 AQPF 为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点 F的坐标 24. 如图，四边形 ABCD是正方形，E是 BC 延长线一动点，连 AC，BD，连 AE 交 DC于 F，交 BD于 G （1）若 ACEC时，求DAE大小； （2）求证：AG2GFGE； （3）连 DE，
11、求DEAE的最小值 20212022 学年广东省佛山市禅城区九年级上期末数学试卷学年广东省佛山市禅城区九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36分）分） 1. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解 【详解】解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A 错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C 正确； 选项 D：俯视图是三角
12、形，主视图是长方形，故选项 D 错误 故答案为：C 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 2. 如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF被 l1，l2，l3所截，AB4，BC6，EF9，则 DE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，可得ABDEBCEF，即可求解 【详解】解：直线 l1l2l3， ABDEBCEF， 4 966AB EFDEBC， 故选：D 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握平行线分
13、线段成比例的性质 3. 一元二次方程 x28x50配方后可化为（ ） A. （x4）19 B. （x4）19 C. （x4）211 D. （x4）216 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法求解即可 【详解】解：2850 xx 281611xx 2411x 故选 C 【点睛】本题考查了配方法解题的关键在于熟练使用配方法 4. 如图，D是 BC上的点，ADCBAC，则下列结论正确的是（ ） A. ABCDAB B. ABCDAC C. ABDACD D. 以上都对 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定解答即可 【详解】解：ADCBAC，C=C， ABCDAC， 选项 B 正确，
14、选项 A、C、D 错误， 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键 5. 菱形、矩形同时具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形的性质，对选项逐个判断即可 【详解】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不相互垂直，不符合题意； B、矩形对角线相等，菱形对角线不相等，不符合题意； C、矩形和菱形的对角线互相平分，符合题意； D、矩形的四个角都为90，菱形的对角相等，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了矩形、菱形性质的理解，解题的关键是熟记矩形和菱形的
15、性质 6. 已知 y是 x 的反比例函数，如表给出了 x与 y的一些值，表中“”处的数为（ ） x 2 2 3 y 3 3 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为kyx，将( 2,3)代入求得解析式，再将3x 代入，求解即可 【详解】解：由题意可得，设反比例函数解析式为kyx 将( 2,3)代入，可得6k ，解析式6yx 将3x 代入得，623y 故选：B 【点睛】此题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题关键是掌握反比例函数的性质以及待定系数法 7. 六张朴克牌中 2张“方块”，3张“梅花”，1 张“红桃”将这六张牌背面朝上，从中任意抽
16、取 1 张，是“红桃”的概率为（ ） A. 16 B. 23 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式求得任意抽取 1张的结果总数以及是“红桃”的结果数，即可求解 【详解】解：将这六张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，结果总数为 6， 结果为“红桃”的数为 1，则由概率公式可得，是“红桃”的概率为16， 故选：A 【点睛】此题考查了概率的计算，解题的关键是根据概率公式正确求得结果总数以及随机事件发生的结果数 8. 下列命题正确是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边
17、形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案. 【详解】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B 四条边都相等的四边形是菱形，故 B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则 D错误；因此答案为 A. 【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形. 9. 如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和 BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离 BC1 米
18、，已知某一时刻 BC 在地面的影长 CN1.5米，AC在地面的影长 CM4.5 米，则 AB 高为（ ） A. 3.5 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得BNAM， 根据平行线分线段成比例的性质可得CNBCCMCA， 求得AC， 即可求解 【详解】解：由题意可得BNAM， 根据平行线分线段成比例的性质可得CNBCCMCA， 即1.514.5CA， 解得：3AC ， 2ABACBC， 故选：B 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质 10. 若一元二次方程 x2mx40有两个相等的实数根，则 m 的值
19、是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当=0 时，方程有两个相等的实数根解答即可 【详解】解：一元二次方程 x2mx40 有两个相等的实数根， =m244=0， 解得：m=4， 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根的判别式与根的关系：当0时，方程有两个不相等的实数根，当=0 时，方程有两个相等的实数根，当当0 时，方程无实数根 11. 如图，一次函数 y=-3x+4的图象交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P 在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，过点
20、 P分别作 OA和 OB 的垂线，垂足为 C，D若矩形 OCPD 的面积为 1 时，则点 P的坐标为（ ） A. （13，3） B. （12，2） C. （12，2）和（1，1） D. （13，3）和（1，1） 【答案】D 【解析】 【分析】 由点 P在线段 AB上可设点 P的坐标为 （m， -3m+4） （0m43） ， 进而可得出 OC=m， OD=-3m+4，结合矩形 OCPD的面积为 1，即可得出关于 m的一元二次方程，解之即可得出 m的值，再将其代入点 P的坐标中即可求出结论 【详解】解：点 P在线段 AB上（不与点 A，B 重合） ，且直线 AB的解析式为 y=-3x+4， 设点
21、P 的坐标为（m，-3m+4） （0m43） ， OC=m，OD=-3m+4 矩形 OCPD 的面积为 1， m（-3m+4）=1， m1=13，m2=1， 点 P的坐标为（13，3）或（1，1） 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于 m 的一元二次方程是解题的关键 12. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 在函数 y2x（x0）的图象上从左向右运动，PAy轴，交函数 y6x（x0）的图象于点 A，ABx轴交 PO的延长线于点 B，则 PAB 的面积（ ） A. 逐渐变大或变小 B. 等于定值 16 C. 等于定值
22、 8 D. 另有答案 【答案】B 【解析】 【分析】 如图， 反比例函数系数 k的几何意义可得出 SPCO=1， S矩形ACOD=6， 进而得出13PCAC=， 即14PCPA=，证明PCOPAB，得出2116（）=PCOPABSPCSPA=即可做出判断 【详解】解：如图，由题意，SPCO=122=1，S矩形ACOD=6， 1126矩形=PCOACODOCPCSSOCAC=， 13PCAC=，即14PCPA=， ABx 轴， POC=PBA，PCO=PAB， PCOPAB， 2116（）=PCOPABSPCSPA=， SPAB=16SPCO=16，即 PAB的面积等于定值 16， 故选：B 【
23、点睛】本题考查反比例函数的系数 k的几何意义、相似三角形的判定与性质、三角形的面积、矩形的面积等知识，熟练掌握反比例函数的系数 k的几何意义和相似三角形的判定与性质是解答的关键 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AB的长为 10km，则 M，C之间的距离是_km 【答案】5 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得12MCAB，即可求解 【详解】解：由题意可得，ABC为直角三角形，90ACB， 点M为 AB 的中点
24、，所以15km2CMAB， 故答案为：5 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质 14. 已知 x1 是一元二次方程 x2mx20 的一个解，则 x 的值_ 【答案】1或2 【解析】 【分析】设一元二次方程220 xmx的另一个解为1x，根据根与系数的关系可得，1( 1)2x ，即可求解 【详解】解：设一元二次方程220 xmx的另一个解为1x， 根据根与系数的关系可得，1( 1)2x ，解得12x ， 则 x的值为1或2， 故答案为：1或2 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系 15
25、. 如图，在矩形 ABCD中，AD13，AB5，E为 BC上一点，DE 平分AEC，则 CE的长为_ 【答案】1 【解析】 【分析】由矩形的性质可得：13BCAD，BCAD， 则ADECED，再根据角平分线可得：AEDCED，所以AEDADE ，根据等边对等角可得，13ADAE，勾股定理求得BE，即可求解 【详解】解：在矩形 ABCD中，13BCAD，BCAD，90B ADECED， DE平分AEC， AEDCED AEDADE ， 13ADAE， 由勾股定理可得：2212BEAEAB， 1CEBCBE， 故答案为：1 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵
26、活运用相关性质进行求解 16. 如图， 点 A是反比例函数 ykx（x0） 图象上的一点， AB 垂直于 x 轴， 垂足为 B， OAB 的面积为 6 若点 P（a，4）也在此函数的图象上，则 a_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，可得12OABSk，从而得到12k ，再将点 P（a，4）代入解析式，即可求解 【详解】解：点 A是反比例函数 ykx（x0）图象上的一点，AB 垂直于 x轴， 12OABSk， OAB的面积为 6 162k ，即12k ， 反比例函数的解析式为12yx， 点 P（a，4）也在此函数的图象上， 124a，解得：3a 故答案为：3 【点睛】本题
27、主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键 17. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如下表： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率mn 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 根据数据，估计袋中黑球有_个 【答案】8 【解析】 【分析】
28、 根据利用频率估计概率， 由于摸到白球的频率稳定在 0.6 左右， 由此可估计摸到白球的概率为 0.6，进而可估计口袋中白球的个数，从而得到黑球的个数 【详解】解：根据表格，摸到白球的频率稳定在 0.6 左右，所以摸一次，摸到白球的概率为 0.6，则可估计口袋中白球的个数约为20 0.6=12(个)， 估计袋中黑球有 20-12=8 个 故答案为：8 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率的方法， 大量重复实验时事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值,随
29、实验次数的增多,值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键 18. 例求 12222322008的值 解：可设 S12222322008，则 2S222232422009 因此 2SS220091，所以 12222322008220091 请仿照以上过程计算出：13323332022_ 【答案】2023312- 【解析】 【分析】利用类比方法和有理数的混合运算法则求解即可 【详解】解：设 S=13323332022， 则 3S=3323332023， 3SS=（3323332023）（13323332022）=320231， S=2023312-， 即 133233320222023312-，
30、 故答案为：2023312- 【点睛】本题考查有理数的混合运算、合并同类项，利用类比方法求解是解答的关键 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 2 题，每题题，每题 8 分，共分，共 16 分）分） 19. （1）如图，在 86的网格图中，每个小正方形边长均为 1，原点 O 和ABC 的顶点均为格点点 C坐标为（2，4） ，以 O为位似中心，在网格图中作ABC，使ABC与ABC位似，且位似比为12， （保留作图痕迹） ，则点 C的坐标为 ，周长比 CABCCABC （2）如图，AB和 DE是直立在地面上的两根立柱AB6m，某一时刻 AB在阳光下的投影 BC4m，DE在阳光下
31、的投影长为 6cm请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影 EF根据题中信息，求得立柱 DE的长为 m 【答案】 （1） （1，2） ，1：2； （2）9 【解析】 【分析】（1） 利用位似变换的性质得出 A、 B、 C的坐标和周长比， 顺次连接 A、 B、 C即可得到ABC； （2）连接 AC，根据太阳光线是平行光线，过 D 作 DFAC交 BC 延长线于 F，即可得 DE 在阳光下的投影EF，再根据相似三角形的判定与性质求解 DE即可 【详解】解： （1）由图知：A(2，0)，B（4，0） ， ABC与 ABC 位似，且位似比为 12，O为位似中心， A（1，0） ，B（2，0） ，C（1
32、，2） ，CABCCABC1：2， 顺次连接 A、B、C，如图ABC即为所求作： 故答案为： （1，2） ，1：2； （2）连接 AC，过 D 作 DFAC 交 BC 延长线于 F，如图，EF即为 DE在阳光下的投影： ACDF， ACB=DFE，又ABC=DEF=90 ， ABCDEF， ABDEBCEF， AB=6m，BC=4m，EF=6m， 646DE=， 解得：DE=9， 故答案为：9 【点睛】本题考查坐标与位似图形、相似三角形的实际应用，利用位似变换的性质得出对应点的坐标和位置是解答的关键 20. 在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球
33、2 个，蓝球 1 个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为14 （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回） ，第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄球）概率 【答案】 （1）1 个； （2）13 【解析】 【分析】 （1）设袋中黄球 x 个，利用概率公式列出方程求解即可； （2）画树状图，得出全部的可能结果总数和符合条件的结果数，利用概率公式求解即可 【小问 1 详解】 解：设袋中黄球个数是 x个，根据题意，得：134xx=+， 解得：x=1， 经检验，x=1是所列方程的解， 答：袋中黄球的个数是 1个； 【小问
34、2 详解】 解：画树状图为： 由图可知，一共有 12种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的有 4 种， 两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的概率为41123 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率、简单的概率计算，理解题意，正确画出树状图是解答的关键 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 2 题，每题题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F为线段 DE上一点，且AFEB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AE6，AD8，AB7，求 AF的长 【答
35、案】 （1）见解析； （2）285 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形 ABCD，可得ADF=CED（平行线的内错角） ，由AFEB，结合B+C180 可得AFD=C，由此可判定两个三角形相似； （2）在 RtABE中，由勾股定理易求得 DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 AF的长 【详解】解： （1）证明：平行四边形 ABCD，AFEB， ABCD，ADBC，ADBC， B+C180 ，ADFCED， AFD+AFE180 ， CAFD， ADFDEC （2）解：AEBC， AEAD， DE22226810AEAD， 由上可得ADFDEC，CDAB7， AFADCDDE，
36、8710AF， AF285 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用是解题关键 22. 某种商品的标价为 75元/件，经过两次降价后的价格为 48 元/件，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）商场将进货价这 30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600个，调查表明：售价在 4060元（包含 40 元和 60 元） ，这种台灯的售价每上涨 1元，其销售量就将减少 10 个为了实现平均每月 10000元的销售利润，这种台灯的售价定为多少？这时应进台灯多少个？ （3）当台灯
37、的售价为多少时，获得的利润最大？ 【答案】 （1）20% （2）售价定为 50元，应进台灯 500 个 （3）60元 【解析】 【分析】 （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据“商品的标价为 75元/件，经过两次降价后的价格为48 元/件，并且两次降价的百分率相同”列出方程，即可求解； （2）设这种台灯的售价定为a元，则台灯的销售量为600 10401000 10aa个，根据题意列出方程，即可求解； （3） 设台灯的售价定为m元， 获得的利润为w元， 根据题意， 列出函数关系式， 再根据二次函数的增减性，即可求解 【小问 1 详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意得： 275
38、 148x， 解得：10.2x ，21.8x （不合题意，舍去） ， 答：该种商品每次降价的百分率为20%； 【小问 2 详解】 解：设这种台灯的售价定为a元，则台灯的销售量为600 10401000 10aa个，根据题意得： 30 1000 1010000aa， 解得：150a ，280a ， 售价在 4060元， 280a 不合题意，舍去， 台灯的销售量为1000 10500a个， 答：这种台灯的售价定为 50 元，这时应进台灯 500个； 【小问 3 详解】 解：设台灯的售价定为m元，获得的利润为w元，根据题意得： 2230600 104010130030000106512250wmmm
39、mm， 100 ， 当65m时，w随m的增大而增大， 根据题意得：060m， 当60m时，w的值最大， 答：当台灯的售价为 60 元时，获得的利润最大 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 题，每题题，每题 12分，共分，共 24 分）分） 23. 如图矩形 OABC 中，点 B 的坐标（a，b） ；点 P为线段 BC上的一动点（与点 B，点 C不重合） ，过动点P 的反比例函数 ykx的图象交 AB于 Q，延长 PQ交 x轴于 D （1）求证：四边形 ADPC为平行四边形； （2）若 a
40、，b是方程 3x228x640 的根（ab） ，点 F 在 AC 上，若四边形 AQPF 为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点 F 的坐标 【答案】 （1）见解析； （2）y403x， F（103，32） 【解析】 【分析】（1） 根据矩形性质和坐标与图形求得点 P、 Q坐标， 进而求得 CP、 BP、 BQ、 AQ， 证明 QBPQAD，利用相似三角形的性质求得 AD，证得 AD=CP即可证得结论； （2）解一元二次方程求得 a、b，利用菱形的性质得到 PF=PQ=AQ，进而得到关于 k的方程，解方程求得 k值即可解答 【小问 1 详解】 解：四边形 OABC是矩形，点 B 的坐标
41、（a，b） ， BCOA，ABOC， C（0，b） ，A（a，0） ， 点 P为线段 BC上，点 P 的反比例函数 ykx的图象交 AB于 Q， P（kb，b） ，Q（a，ka） ，kab， CP=kb，BP=akb，BQ=bka，AQ=ka， BCOA， BPQ=ADQ,PBQ=DAQ, QBPQAD， AQADBQBP=，即kADakkbaab=-， 解得：AD=kb， AD=CP，又 CPAD， 四边形 ADPC是平行四边形； 【小问 2 详解】 解：解方程 3x228x640得x1=4，x2=163， a，b 是方程 3x228x640的根（ab） ， a= 163，b=4， BP=
42、1634k，BQ=4316k，AQ=316k， 四边形 AQPF 为菱形， PFAQOC，PF=PQ=AQ，即 PQ2=AQ2， （1634k）2+（4316k）2=（316k）2， 解得：k=403或 k=1603， kab=643， k=403， 反比例函数的解析式为 y403x， PF=AQ=316k=52，P（103，4） ， F（103，32） 【点睛】本题考查矩形性质、坐标与图形、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、解一元二次方程、菱形的性质、求反比例函数解析式等知识，是反比例函数与几何的综合题，熟练掌握相关知识的联系与运算，利用数形结合思想求解
43、是解答的关键 24. 如图，四边形 ABCD是正方形，E是 BC 延长线一动点，连 AC，BD，连 AE 交 DC于 F，交 BD于 G （1）若 ACEC时，求DAE 的大小； （2）求证：AG2GFGE； （3）连 DE，求DEAE的最小值 【答案】 （1）22.5 ； （2）见解析； （3）512 【解析】 【分析】（1） 根据正方形的性质DAC=45 ， ADBC， 再根据平行线的性质和等边对等角证得DAE=CAE即可求解； （2）根据平行线分线段成比例和比例性质即可证得结论； （3） 如图， 作ADP=CDE， 过点 A作 APDP于 P， 根据相似三角形的判定与性质证明PDACDE
44、，PDCADE， 证得DEDCAEPC， 取 AD 的中点 O， 连接 PO、 CO， 则 PO=12AD， 设 PO=x， 则 AD=DC=2x，CO=5x，根据两点之间线段最短求得 PC 的最大值即可求解 【小问 1 详解】 解：四边形 ABCD是正方形， DAC=45 ，ADBC，CDAB，AD=CD，ADC=DCB=DCE=90 ， DAE=E， AC=EC， CAE=E， DAE=CAE， DAE=12DAC=22.5 ； 【小问 2 详解】 证明：ADBC，CDAB， AGDGGEGB=，DGGFGBAG=， AGGFGEAG=， AG2GF GE； 【小问 3 详解】 解：如图，
45、作ADP=CDE，过点 A作 APDP于 P， APD=DCE=90 ，又ADP=CDE， PDACDE， PDADCDDE=，即PDCDADDE=， ADP+ADC=CDE+ADC， PDC=ADE， PDCADE， DEAEDCPC，即DEDCAEPC， 取 AD的中点 O，连接 PO、CO，则 PO=DO=12AD， 设 PO=x，则 AD=DC=2x， CO= 22DODC+=5x， PCPO+CO=(1+5)x， PC最大值为(1+5)x， DEAE的最小值为512(15)xx 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边的中线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当辅助线构造相似三角形求解是解答的关键