1、广东省江门台山市广东省江门台山市 20212021- -20222022 学年九年级上期末考试数学试题学年九年级上期末考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列交通标志是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. a是实数，0a 3. 若关于 x 的一元二次方程210axbx （0a）的一个解是1x ，则2020 a b 的值是（ ） A. 2021 B.
2、 2020 C. 2019 D. 2018 4. 将抛物线 y12x2向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. y12x2+1 B. y12x21 C. y12（x+1）2 D. y12（x1）2 5. 已知现有的 10瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从这 10瓶饮料中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A. 110 B. 910 C. 15 D. 45 6. 圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 7. 台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全
3、宿舍其他同学各送一张表示留念， 全宿舍共送 56 张照片，设该宿舍共有 x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. (1)56x x B. (1)56x x C. 2 (1)56x x D. (1)56 2x x 8. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD 为O的直径，弦ABCD，垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”，依题意得 CD 的长为（ ） A 12 寸 B. 13 寸 C. 24 寸 D. 26 寸 9. 如图，将矩形 ABCD绕点 B
4、 顺时针旋转 90 至矩形 EBGF的位置，连接 AC、EG，取 AC、EG的中点 M、N，连接 MN，若 AB=8，BC=6，则 MN=（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 5 2 10. 如图，抛物线2(0)yaxbxc a与 x轴交于点（3，0） ，对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论：0abc；420ab c ；一元二次方程20axbxc的两根分别为1231xx ，；20ac 其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案写在答题卡分）请
5、将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上相应的位置上 11. 已知点 A（a，1）与点 A（5，b）是关于原点对称，则 a+b =_ 12. 若某扇形花坛的面积为 6m2，半径为 3m，则该扇形花坛的弧长为_m 13. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000 成活的棵数187 446 730 1790 4510 10836 m 成活的频率mn 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_（精确到 0.1） 14. 已知正六边形的边长为 2，则它
6、的内切圆的半径为_ 15. 如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，若B50 ，则EDF_度 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线 yax2的图象与正方形的边有公共点，则实数 a的取值范围是_ 17. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90 ，CD4，BC9，以 A为旋转中心将腰 AB顺时针旋转 90 至 AE，连接 DE，若 DE=DB，则ADE 的面积等于_ 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 18 分）分） 18. 解方程：243(2)xx
7、 19. 如图，OPQ是边长为 2等边三角形，若反比例函数kyx（k 为常数且0k ）的图象经过点 P，求该反比例函数的解析式 20. 如图，已知抛物线2yxbxc经过 A（-3，0） 、C（0，-3）两点 （1）求 b，c的值； （2）求抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标，并结合图象，写出当0y 时，x的取值范围 四、解答题（二） （共四、解答题（二） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 24 分）分） 21. 甲、乙两人分别从 A、B、C 这 3个景点随机选择 2个景点游览 （1）求甲选择的 2 个景点是 A、B的概率 （2）甲、乙两人选择2 个景点恰好相同的概
8、率是 22. 如图，ABC中，90C ，8ACcm，4BCcm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm s的速度运动， 另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm s的速度运动，P，Q两点同时出发， 运动时间为 t s （1）若PCQ的面积是ABC面积的14，求t的值？ （2）PCQ的面积能否为ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由 23. 如图，D、E、F 是 RtABC 三边上的点，且四边形 CDEF为矩形，BC=6，60B （1）求 AB的长； （2）设AEx，则 DE=_EF=_（用含 x的表达式表示） （3）求矩形 CDEF 的面积的最大值 五、解答题（三） （共五、解答题（
9、三） （共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 24. 如图，已知 AB 是O直径，C，D 是O上的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AEED； （2）若 AB6，ABC30 ，求图中阴影部分的面积 25. 如图，二次函数2142yxx 的图象与 x轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的右侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B、C的坐标； （2）若点 M 在抛物线的对称轴上，且MAC的周长最小，求点 M 的坐标； （3）若点 P在 x 轴上，且PBC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点 P的坐标 广东省江门台山市广东省江
10、门台山市 20212021- -20222022 学年九年级上期末考试数学试题学年九年级上期末考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义可得答案 【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.是中心对称图形，故此选项符合题意； C.不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转
11、 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. a是实数，0a 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项 【详解】解：A. 小明买彩票中奖，是随机事件； B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件； C. 等腰三角形的两个底角相等，是必然事件； D. a是实数，0a ，是不可能事件； 故选 C. 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的
12、概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3. 若关于 x 的一元二次方程210axbx （0a）的一个解是1x ，则2020 a b 的值是（ ） A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018 【答案】A 【解析】 【分析】把 x=1代入方程计算求出 a+b 的值，代入原式计算即可得到结果 【详解】解：把 x=1代入方程210axbx 得：a+b+1=0，即 a+b=-1， 2020 a b =2020()ab =2020-（-1） =2021 故选：A 【点睛】
13、此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 4. 将抛物线 y12x2向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. y12x2+1 B. y12x21 C. y12（x+1）2 D. y12（x1）2 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律 【详解】解：将抛物线 y12x2向左平移 1 个单位，得 y12（x+1）2； 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的化规律：左加右减，上加下减 5. 已知现有的 10瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从这 10瓶饮料中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ） A.
14、 110 B. 910 C. 15 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解 【详解】10瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期， 从这 10 瓶饮料中任取 1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是21105. 故选 C. 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件 A的概率 P（A）=事件 A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数 6. 圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可. 【详解】圆
15、的直径是 13cm，故半径为 6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于 6.5cm也可能小于 6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选 D. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为 6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于 6.5cm也可能小于 6.5cm. 7. 台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念， 全宿舍共送 56 张照片，设该宿舍共有 x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A (1)56x x B. (1)56x x C. 2 (1)56x x D.
16、 (1)56 2x x 【答案】B 【解析】 【分析】如果宿舍有 x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是 x（x-1）张，即可列出方程 【详解】解：宿舍有 x名同学， 每名同学要送出（x-1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x-1）=56 故选 B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算宿舍共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键 8. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD 为O的直径，弦AB
17、CD，垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”，依题意得 CD 的长为（ ） A. 12 寸 B. 13 寸 C. 24 寸 D. 26 寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接 AO，设直径 CD 的长为2x寸，则半径 OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出 AE，最后根据勾股定理进一步求解即可. 【详解】 如图，连接 AO， 设直径 CD的长为2x寸，则半径 OA=OC=x寸， CD为O的直径，弦ABCD，垂足为 E，AB=10 寸， AE=BE=1 2AB=5寸， 根据勾股定理可知， 在 RtAOE中，222AOAEOE， 22251xx， 解得：13x ， 226x
18、， 即 CD长为 26 寸. 【点睛】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 9. 如图，将矩形 ABCD绕点 B 顺时针旋转 90 至矩形 EBGF的位置，连接 AC、EG，取 AC、EG的中点 M、N，连接 MN，若 AB=8，BC=6，则 MN=（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接 BD，BF，DF，由矩形的性质可以得到 MN 是BDF的中位线，即12MNDF，由旋转的性质可以得到 BF=BD，DBF=90 ，利用勾股定理求出 DF 的长即可得到答案 【详解】解：如图所示，连接 BD，BF，DF， 四边形
19、 ABCD和四边形 BGFE 都是矩形，M，N 分别是 AC 和 EG的中点， M和 N 分别也是 BD和 BF 的中点， MN是BDF的中位线， 12MNDF AB=8，BC=6，ABC=90 ， 2210BDACABBC， 将矩形 ABCD绕点 B顺时针旋转 90 至矩形 EBGF的位置， BF=BD=10，DBF=90 ， 2210 2DFBDBF， 15 22MNDF， 故选 D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 10. 如图，抛物线2(0)yaxbxc a与 x轴交于点（3，0） ，对称轴为直线 x1
20、结合图象分析下列结论：0abc；420ab c ；一元二次方程20axbxc的两根分别为1231xx ，；20ac 其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可 【详解】解：抛物线开口向下，因此 a0，对称轴为 x10，因此 a、b异号，所以 b0，抛物线与 y 轴交点在正半轴，因此 c0，所以 abc0，故不正确； 当 x2 时，y4a2bc0，故正确； 抛物线与 x 轴交点（3，0） ，对称轴为 x1因此另一个交点坐标为（1，0） ，即方程
21、ax2bxc0的两根为 x13，x21，故正确； 抛物线与 x 轴交点（1，0） ，所以 abc0，又 x2ba1，有 2ab0，所以 3ac0，而 a0，因此 2ac0，故不正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的 a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案写在答题卡分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上相应的位置上 11. 已知点 A（a，1）与点 A（5，b）是关于原点对称，则 a+b =_ 【答案】-6 【解析】 【详解
22、】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知 a5，b1， 所以 ab(5)(1)=6， 故答案为6 12. 若某扇形花坛的面积为 6m2，半径为 3m，则该扇形花坛的弧长为_m 【答案】4 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可 【详解】解：设弧长为l， 扇形的半径为 3m，面积是 6m2， 1362l ， l4 （m） 故答案为 4 【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键 13. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活情况： 移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000 成活的棵数m 187 446 730
23、 1790 4510 10836 成活的频率mn 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_（精确到 0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， 这种苹果树苗移植成活率的概率约为 0.9. 故答案为：0.9. 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即概率 14. 已知正六边形的边长为 2，
24、则它的内切圆的半径为_ 【答案】3 【解析】 【详解】如图，连接 OA、OB，OG； 六边形 ABCDEF是边长为 2的正六边形， OAB 是等边三角形， OA=AB=2， OG=OAsin60=232=3， 边长为 2 的正六边形的内切圆的半径为3， 故答案为3 15. 如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，若B50 ，则EDF_度 【答案】65 【解析】 【分析】设ABC的内切圆圆心为 O，连接 OE，OF，根据ABC的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，可得 OEAB，OFBC，再根据四边形内角和可得EOF的度数，再根据圆周角定理即可得结论 【详解】解：如图，设ABC
25、的内切圆圆心为 O，连接 OE，OF， ABC的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F， OEAB，OFBC， OEBOFB90 ， B50 ， EOF180 50 130 ， EDF12EOF65 故答案为：65 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和是解题关键 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线 yax2的图象与正方形的边有公共点，则实数 a的取值范围是_ 【答案】19a3 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的 a的值即可解决问题 【详解】解：设
26、抛物线的解析式为 yax2， 当抛物线经过（1，3）时，a3， 当抛物线经过（3，1）时，a19， 观察图象可知19a3， 故答案为：19a3 【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时 a 的值与张口最大时 a 的值是解题关键 17. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90 ，CD4，BC9，以 A为旋转中心将腰 AB顺时针旋转 90 至 AE，连接 DE，若 DE=DB，则ADE 的面积等于_ 【答案】10 【解析】 【分析】 连接 BE， 延长 DA， 由旋转的性质可得 AE=AB， BAE=90 ， 可证 AD垂直平分
27、 BE， 可得 AMBE，BM=ME=AM，则可证四边形 DCBM是矩形，可得 BC=MD=9，BM=CD=4，即可求解 【详解】解：如图，连接 BE，延长 DA， 以 A为旋转中心将腰 AB 顺时针旋转 90 至 AE， AE=AB，BAE=90 ， ABE=AEB=45 ， DE=DB，AE=AB， AD垂直平分 BE， AMBE，BM=ME=AM， ADBC，C=90 ， ADC=90 ，BCBE， 四边形 DCBM 是矩形， BC=MD=9，BM=CD=4， AM=BM=4=EM， AD=MD-AM=5， ADE的面积=12 AD EM=12 5 4=10， 故答案为：10 【点睛】本
28、题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 18 分）分） 18. 解方程：243(2)xx 【答案】12x 25x 【解析】 详解】试题分析：移项，然后提公因式（x+2） ，利用因式分解法解方程即可 试题解析：243(2)xx， (2)(2)3(2)0 xxx， (2)(23)xx0， 20,50 xx， 所以12x 25x 考点：解一元二次方程 19. 如图，OPQ 是边长为 2的等边三角形，若反比例函数kyx（k为常数且0k ）的图象经
29、过点 P，求该反比例函数的解析式 【答案】所求反比例函数的解析式为3yx 【解析】 【分析】过点 P作PMOQ，垂足为点 M；过点 P 作轴PHy，垂足为点 H，再分别求解,PM PH，从而可得答案. 【详解】解：过点 P作PMOQ，垂足为点 M；过点 P 作轴PHy，垂足为点 H OPQ是边长为 2的等边三角形 332322PMOP，112122PHOMOQ 即点 P的坐标为1, 3 又反比例函数kyx的图象经过点1, 3P 133k 所求反比例函数的解析式为3yx 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，求解,PM PH是解本题的关键. 20. 如图，已
30、知抛物线2yxbxc经过 A（-3，0） 、C（0，-3）两点 （1）求 b，c的值； （2）求抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标，并结合图象，写出当0y 时，x的取值范围 【答案】 （1）23bc ； （2）31x 【解析】 【分析】 （1）运用待定系数法将 A（-3，0） 、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出 b，c的值； （2） 根据 x 轴上的点的纵坐标为零， 令0y ， 求出x的值即可得出 B 的坐标， 结合图像， 直接写出当0y 时，x 的取值范围即可 【详解】解： （1）将（-3，0） ， （0，-3）代入2yxbxc得： 9-303bcc ， 解得：23bc
31、， b，c 的值分别为 2，-3； （2）由（1）可知抛物线的解析式为22 -3yxx， 当0y 时，22 -30 xx， 解得：1213xx ， 抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标为（1，0） ， 由图象可知当0y 时，31x 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题 四、解答题（二） （共四、解答题（二） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 24 分）分） 21. 甲、乙两人分别从 A、B、C 这 3个景点随机选择 2个景点游览 （1）求甲选择的 2 个景点是 A、B的概率 （
32、2）甲、乙两人选择的 2个景点恰好相同的概率是 【答案】 （1）13； （2）13 【解析】 【分析】 （1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可； （2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可 【详解】 （1）甲的选择可以有：AB，AC，BC共有 3 种，其中选择 A、B的有 2种， P（A、B）=13； （2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中选择景点相同的有 3 种， P（景点相同）=31=93 故答案为：13 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键
33、22. 如图，ABC中，90C ，8ACcm，4BCcm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm s的速度运动， 另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm s的速度运动，P，Q两点同时出发， 运动时间为 t s （1）若PCQ的面积是ABC面积的14，求t的值？ （2）PCQ的面积能否为ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由 【答案】 （1）2t ； （2）不可能；理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角形的面积公式可以得出ABC面积为14 8162 ，PCQ的面积为1822tt，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系12PCQABCSS列方程求出t的值，再根据根的判别式判
34、断方程有没有解即可 【详解】解： （1）1822PCQSttV，14 8162ABCS ， 111824 8242tt ， 2440tt， 解得：2t 答：当2ts时，PCQ的面积为ABC面积的14 （2）PCQ的面积不可能是ABC面积的一半理由如下： 当12PCQABCSS时， 111824 8222tt ， 整理得：2480tt， 22444 1 8160bac ， 此方程没有实数根， PCQ的面积不可能是ABC面积的一半 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 23.
35、 如图，D、E、F 是 RtABC 三边上的点，且四边形 CDEF为矩形，BC=6，60B （1）求 AB的长； （2）设AEx，则 DE=_EF=_（用含 x的表达式表示） （3）求矩形 CDEF 的面积的最大值 【答案】 （1）12 （2）2x，36 32x （3）9 3 【解析】 【分析】（1） 根据直角三角形两锐角互余可得=30A， 再由30角所对的直角边等于斜边的一半求得 AB； （2）由四边形 CDEF 是矩形可得=90CDE，DE/BC，EF=CD，可得60AED，再由30角所对的直角边等于斜边的一半求得 DE，再根据勾股定理可求出 AD，ACVCSK; （3）根据矩形的面积公式
36、列出函数关系式，由函数的性质可得结论 【小问 1 详解】 四边形 CDEF为矩形， 90C 在 RtABC中，60B ，BC=6， A=90 -9060B 30 ， 22 612ABBC ； 【小问 2 详解】 四边形 CDEF为矩形， = C=90CDE，DE/BC，EF=CD， 60AEDB ，90ADE， A=30 ， 2xDE， 又222ADDEAE， 22223( )22xADAEDExx， 在 RtABC中，12,6ABBC， 222ACBCAB， 22221266 3ACABBC， 36 32CDACADx， 36 32EFx， 故答案为：2x；36 32x； 【小问 3 详解】
37、 136 322CDEFSDE EFxx矩形2369 34x ， 当6x时，矩形 CDEF的面积取得最大值，为9 3 【点睛】 本题考查了矩形的性质， 勾股定理以及二次函数的性质，正确求出矩形的边长是解答本题的关键 五、解答题（三） （共五、解答题（三） （共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 24. 如图，已知 AB 是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交 AD于点 E，连结 BC （1）求证：AEED； （2）若 AB6，ABC30 ，求图中阴影部分的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）39 34 【解析】 【分析】 （1）根据圆周角定理得
38、到ADB=90 ，根据平行线的性质得到AEO=ADB=90 ，即 OCAD，于是得到结论； （2） 连接 CD， OD， 根据等腰三角形的性质得到OCB=ABC=30 ， 即可求得AOC=OCB+ABC=60 ，根据垂径定理得出ACCD，从而得出COD=AOC=60 ，求得AOD=120 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论 【详解】 （1）证明：AB是O的直径， ADB90 ， OCBD， AEOADB90 ，即 OCAD， 又OC 为半径， AEED， （2）解：连接 CD，OD， OCOB， OCBABC30 ， AOCOCB+ABC60 ， OCAD， ACCD， CODAOC60
39、 ， AOD120 ， AB6， BD3，AD33， OAOB，AEED， OE12BD32， S阴影S扇形AODSAOD2120336013 323239 34 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 25. 如图，二次函数2142yxx 图象与 x轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的右侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B、C的坐标； （2）若点 M 在抛物线的对称轴上，且MAC的周长最小，求点 M 的坐标； （3）若点 P在 x 轴上，且PBC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点 P的坐标 【答案】 （1）点
40、A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为点( 4,0)，点 C的坐标为(0,4) （2）点 M坐标为( 1,3) （3）P点的坐标为(0,0)或(4,0)或44 2,0 或44 2,0 【解析】 【分析】 （1）令21402xx，求解可得,A B的坐标，令0 x，可求得C的坐标； （2）如图，过点 C 作CE 对称轴 l，与抛物线交于点 E，连接 AE 交 l于点 M，由对称的性质可知当且仅当 E、M、A 三点共线时，MAC的周长最小，待定系数法求直线 AE 的解析式2yx ，令1x，得3y ，可得M的坐标； （3）设 P 点的坐标为( ,0)m，由( 4,0)B ，(0,4)C，可得4 2B
41、C ，22(4)BPm，2216CPm，当PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：当BPCP时，由题意可得22(4)16mm，计算求出满足题意的解即可；当BPBC时，由题意可得2244 2m，计算求出满足题意的解即可；当CPCB时，由题意可得22164 2m ，计算求出满足题意的解即可 【小问 1 详解】 解：令21402xx 解得12x ，24x A (2,0)， B ( 4,0) 令0 x，得4y ， C (0,4) 点 A的坐标为(2,0)，点 B的坐标为( 4,0)，点 C 的坐标为(0,4) 【小问 2 详解】 解：如图，过点 C 作CE 对称轴 l，与抛物线交于点 E，连接 AE 交
42、 l于点 M 点 C与点 E关于直线 l对称，点 M 在对称轴 l上 MCME，( 2,4)E MAC周长MAACMCMAACMEEAAC 当且仅当 E、M、A三点共线时，MAC的周长最小 设直线 AE的解析式为ykxb， 将,A E坐标代入得4202kbkb 解得12kb 直线 AE的解析式为2yx 令1x，得3y 点 M 坐标为( 1,3) 【小问 3 详解】 解：设 P 点的坐标为( ,0)m ( 4,0)B ，(0,4)C 4 2BC ，22(4)BPm，2216CPm 当PBC是等腰三角形时，分三种情况求解： 当BPCP时，由题意可得22(4)16mm 解得0m P的坐标为(0,0)； 当BPBC时，由题意可得2244 2m 解得44 2m 或44 2m P的坐标为44 2,0 或44 2,0 ； 当CPCB时，由题意可得22164 2m 解得4m或4m （不合题意，舍去） P的坐标为(4,0)； 综上所述，P点的坐标为(0,0) 或 (4,0) 或44 2,0 或44 2,0 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用