1、广东省惠州市惠城区广东省惠州市惠城区 20212021- -20222022 学年九年级上期末数学试学年九年级上期末数学试卷卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. m1 B. m1 C. m1 D. m1 3. 对于二次函数 y=2（x2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为 1 C. 图象的对称
2、轴为直线 x=2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为 30%，估计袋中黑球有（ ）个 A. 8 B. 9 C. 14 D. 15 5. 如图，在Rt ABC中， 90 ,30 ,1,CABCACcm 将Rt ABC绕点A逆时针旋转得到RtAB C ，使点C落在AB边上，连接BB，则BB长度是（ ） A 1cm B. 2cm C. 3cm D. 2 3cm 6. 若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（ ） A. 3 3 B. 2 3 3 C. 3 3 3 D. 4 3 3 7.
3、 若点1231,2,3,AyByCy在反比例函数6yx 的图像上，则123,y yy的大小关系为（ ） A. 123yyy B. 231yyy C. 132yyy D. 321yyy 8. 如图， ABC内切圆O与 AB， BC， CA分别相切于点 D， E， F， 若DEF52 ， 则A 的度数是( ) A. 52 B. 76 C. 26 D. 128 9. 定义：如果一元二次方程20(a0)axbxc满足0a b c ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程 已知20(a0)axbxc是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. a=c B. a=b C. b=c D.
4、abc 10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，其对称轴是直线 x=1，直线 y=3 恰好经过顶点有下列判断：当 x2 时，y随 x 增大而减小； ac0； ab+c0； 方程 ax2+bx+c=0的两个根是 x1=2，x2=4；当 m3 时，方程 ax2+bx+c=m有实数根其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 28 分）分） 11. 已知点 A（a，1）与点 B（4，b）关于原点对称，则 a-b=_ 12. 二次函数 y=（x+4）2+1 的图象向右平移
5、2 个单位长度后，再向上平移 5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_ 13. 若关于 x的一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a0）的解是 x=1，则 20122a2b的值_ 14. 点 P（1，m3）在第三象限，则反比例函数 y=4mx的图象在第_象限 15. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式20.21.52yxx ，则最佳加工时间为_min 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴平行，P(2a，a)是反比例函数 y2x的图象与正方形的边的一个
6、交点，则图中阴影部分的面积是_ 17. 如图，在扇形BOC中，60 ,BOCOD平分BOC交弧BC于点D点E为半径OB上一动点若2OB ，则阴影部分周长的最小值为_ 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18. 解方程：22530 xx 19. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有 3张卡片，卡片上分别写着 3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有 4张卡片，卡片上分别写着 2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着 5cm的卡片所有卡片的形状、大小都完全相同现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒
7、子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度 （1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率； （2）求这三条线段能组成直角三角形的概率 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上 （1）画出ABC 关于原点对称的111ABC； （2）画出ABC向上平移 5 个单位后的222A B C，并求出平移过程中线段AC扫过的面积 四解答题（二） （本大题共四解答题（二） （本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. 某汽车销售公司 2017年 10 月份销售一种新
8、型低能耗汽车 20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达 45辆 （1）求 11月份和 12 月份的平均增长率； （2）该型号汽车每辆的进价为 10万元，且销售 a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利 0.03a 万元，该公司这种型号汽车的售价为 11万元/辆，若使 2018 年 1月份每辆汽车盈利不低于 2.6 万元，那么该公司 1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利销售利润+返利） 22. 如图，在正方形 ABCD内有一点 P，且 PA=5，BP=2，PC=1若将PBC绕点B逆时针旋转 90后，得到PBA （1）求PP的长；
9、（2）BPC 度数 23. 如图在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过点0, 4A、2,0B交反比例函数myx0 x 的图像于点3,Ca， 点P在反比例函数的图像上， 横坐标为n03n，/ /PQy轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQV面积的最大值 五解答题（三） （本大题共五解答题（三） （本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图，ABC内接于O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，且MACABC （1）求证：MN 是O的切线 （2）设 D是弧 AC 的中点
10、，连结 BD交 AC 于点 G，过点 D作 DEAB于点 E，交 AC 于点 F 求证：FDFG 若 BC3，AB5，试求 AE长 25. 如图， 已知抛物线20yaxbxc a的顶点坐标为 Q(2, 1)， 且与 y轴交于点 C0,3， 与 x轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的右侧） ， 点 P是该抛物线上一动点， 从点 C沿抛物线向点 A 运动 （点 P与 A 不重合） ，过点 P作 PDy 轴，交 AC于点 D （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当ADP 是直角三角形时，求点 P坐标； 广东省惠州市惠城区广东省惠州市惠城区 20212021- -20222022 学年九年级
11、上期末数学试学年九年级上期末数学试卷卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； 故选 B 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌
12、握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键 2. 若关于 x一元二次方程 x22x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. m1 B. m1 C. m1 D. m1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出=4-4m0，解之即可得出结论 【详解】关于 x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个不相等的实数根， =（-2）2-4m=4-4m0， 解得：m1 故选 B 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当0 时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键 3. 对于二次函数 y=2（x2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A.
13、 图象开口向下 B. 函数的最小值为 1 C. 图象的对称轴为直线 x=2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：二次函数 y=2（x-2）2+1，a=20， 该函数的图象开口向上，故选项 A错误， 函数的最小值是 y=1，故选项 B正确， 图象的对称轴是直线 x=2，故选项 C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1） ，故选项 D 错误， 故选：B 【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 6个白球和若
14、干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为 30%，估计袋中黑球有（ ）个 A. 8 B. 9 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据摸到白球的频率约为 30%，用 6 除以 30%得到总球数，再计算求解即可 【详解】解：摸到白球的频率约为 30%， 不透明的袋子中一共有球为：630%=20（个） ， 黑球有 20-6=14（个） ， 故选：C 【点睛】本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球 5. 如图，在Rt ABC中， 90 ,30 ,1,CABCACcm 将Rt ABC绕点A逆时针旋转得到RtAB C ，使点C落在AB边上，连接B
15、B，则BB的长度是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 2 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，=60CABBAB，进而得出BAB为等边三角形，进而求出=2BBAB 【详解】解： 90 ,30 ,1,CABCACcm 由直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半可知， =2=2ABACcm， 又CAB=90 -ABC=90 -30 =60 ， 由旋转的性质可知：=60CABBAB，且=AB AB， BAB为等边三角形， =2BBAB 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题
16、的关键 6. 若正三角形的周长为12，则这个正三角形的边心距为（ ） A. 3 3 B. 2 3 3 C. 3 3 3 D. 4 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三角形的边长，作出正三角形，再根据勾股定理求出正三角形的边心距 【详解】如图， 连接 OC，作 ODBC, ACB=60 ，CO平分ACB， OCD=60 12=30 ， 在 RtODC中，OD=OC， 设 OD=x，则 OC=2x 又正三角形的周长为 12， BC=1213=4， CD=412=2， 根据勾股定理， （2x）2+x2=22， 解得 x=2 33 【点睛】解答此题要注意以下几点：弄清题意并根据题意画出正三角
17、形，作出其半径和边心距，构造直角三角形；设出未知数，利用勾股定理列出方程解答 7. 若点1231,2,3,AyByCy在反比例函数6yx 的图像上，则123,y yy的大小关系为（ ） A. 123yyy B. 231yyy C. 132yyy D. 321yyy 【答案】C 【解析】 【分析】根据点1131,2,3,AyByCy在反比例函数6yx 的图象上，可以求得123,y yy的值，从而可以比较出123,y yy的大小关系 【详解】解：点1131,2,3,AyByCy在反比例函数6yx 的图象上， 1661y ，2632y ，3623y ， 32 6， 132yyy， 故选：C 【点睛】
18、本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答 8. 如图， ABC 的内切圆O 与 AB， BC， CA 分别相切于点 D， E， F， 若DEF52 ， 则A 的度数是( ) A. 52 B. 76 C. 26 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】 如图， 连接 OD、 OF， 由圆周角定理可求得DOF 的度数； 根据切线的性质可得， ODA=OFA=90 ，根据四边形内角和可得A 和DOF 互补，由此可求出A的度数 【详解】如图，连接 OD，OF， ABC的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，
19、 ADO=AFO=90 ； A+DOF=180 ， DEF=52 ，DOF 和DEF 分别为DF所对的圆心角和圆周角， DOF=2DEF=104 ； A=180 DOF=76 故选：B 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质及多边形内角和，圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键 9. 定义：如果一元二次方程20(a0)axbxc满足0a b c ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程 已知20(a0)axbxc是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. a=c B. a=b
20、C. b=c D. abc 【答案】A 【解析】 【分析】 因为方程有两个相等的实数根， 所以根的判别式=b2-4ac=0， 又 a+b+c=0， 即 b=-a-c， 代入 b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到 a 与 c 的关系 【详解】解：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根， =b24ac=0， 又 a+b+c=0，即 b=ac， 代入 b24ac=0 得(ac)24ac=0， 即(a+c)24ac=a2+2ac+c24ac=a22ac+c2=(ac)2=0， a=c， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况
21、确定方程中字母系数之间的关系是解题关键 10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，其对称轴是直线 x=1，直线 y=3 恰好经过顶点有下列判断：当 x2 时，y随 x增大而减小； ac0； ab+c0； 方程 ax2+bx+c=0的两个根是 x1=2，x2=4；当 m3 时，方程 ax2+bx+c=m有实数根其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】由图象知，
22、当 x-2 时，y随 x增大而增大，故错误； 抛物线开口方向向下，则 a0， 抛物线与 y轴交于正半轴，则 c0， 所以 ac0，故正确； 由题意知，当 x=-1时，y=30， 所以 a-b+c0，故错误； 由题意知，抛物线与 x轴的另一交点与点（2，0）关于直线 x=-1对称，则该抛物线与 x轴的另一交点坐标是（-4，0） ，所以方程 ax2+bx+c=0的两个根是 x1=2，x2=-4，故正确； 由题意知， 当 m3 时， 直线 y=m与抛物线 y=ax2+bx+c （a0） 有交点， 所以， 方程 ax2+bx+c=m有实数根，故正确 综上所述，正确的结论是： 故选 C 【点睛】 主要考
23、查图象与二次函数系数之间的关系， 会利用对称轴的范围求抛物线与 x 轴的两个交点坐标，以及二次函数与方程之间的转换 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 28 分）分） 11. 已知点 A（a，1）与点 B（4，b）关于原点对称，则 a-b=_ 【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b的值，进而得出答案 【详解】解：点 A（a，1）与点 B（4，b）关于原点对称， a=-4，b=-1， a-b 的值为：-4-（-1）=-3 故答案为：-3 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系
24、是解题关键 12. 二次函数 y=（x+4）2+1 的图象向右平移 2 个单位长度后，再向上平移 5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_ 【答案】2(2)6yx 【解析】 【分析】 先把抛物线化为顶点坐标式， 再按照“左加右减， 上加下减”的规律， 即可求出平移后的函数表达式 【详解】解：y (x+4)21把其图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 5个单位长度， 得抛物线 y (x+4-2)2+15， 即为 y (x+2)26 故答案为：y (x+2)26 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换， ，要求熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减 13. 若关于 x的一元二次方程为
25、 ax2+bx+5=0（a0）的解是 x=1，则 20122a2b的值_ 【答案】2022 【解析】 【分析】将1x 代入方程可得ab的值，整体代入代数式，计算求解即可 【详解】解：由题意知50ab 5ab 201222201222012252022abab 故答案为：2022 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值解题的关键在于求解ab的值 14. 点 P（1，m3）在第三象限，则反比例函数 y=4mx的图象在第_象限 【答案】二、四 【解析】 【分析】先根据点 P（1，m3）在第三象限，列不等式求出 m 的取值范围，再根据反比例函数图像的性质判断 y=4mx所在的象限即可 【详解】
26、解：点 P（1，m3）在第三象限， 30m ， 解得 m3， m40， 反比例函数 y=4mx的图象在第二、四象限 故答案为二、四 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，不等式组的解法，反比例函数的图像与性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质 15. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式20.21.52yxx ，则最佳加工时间为_min 【答案】3.75 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式2bxa 直接计算即可 【详解】解：20.21.52yxx 的对称轴为1.53.75220.
27、2bxa （min） ， 故：最佳加工时间为 3.75min， 故答案为：3.75 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴平行，P(2a，a)是反比例函数 y2x的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是_ 【答案】4 【解析】 【分析】先利用反比例函数解析式 y2x确定 P 点坐标为（2，1） ，由于正方形的中心在原点 O，则正方形的面积为 16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的14. 【详解】解
28、：把 P(2a，a)代入 y2x得: 2aa=2，解得 a=1 或-1， 点 P 在第一象限，a=1， P 点坐标为(2，1)， 正方形的面积=4 4=16， 图中阴影部分的面积=14正方形的面积=4 故答案为 4 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的14是关键. 17. 如图，在扇形BOC中，60 ,BOCOD平分BOC交弧BC于点D点E为半径OB上一动点若2OB ，则阴影部分周长的最小值为_ 【答案】2 2.3 【解析】 【分析】如图，先作扇形OCB关于OB对称的扇形,OAB 连接AD交OB于E，再
29、分别求解,AD CD的长即可得到答案 【详解】解：C阴影,CEDECD C阴影最短，则CEDE最短， 如图，作扇形OCB关于OB对称的扇形,OAB 连接AD交OB于E， 则,CEAE ,CEDEAEDEAD 此时E点满足CEDE最短， 60 ,COBAOBOD 平分,CB 30 ,90 ,DOBDOA 2,OBOAOD 22222 2,AD 而CD长为：302,1803 C阴影最短为2 2.3 故答案为：2 2.3 【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共
30、 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18. 解方程：22530 xx 【答案】11x ，232x 【解析】 【分析】利用因式分解法求解可得 【详解】解：22530 xx， 1 230 xx 则10 x 或230 x ， 解得11x ，232x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键 19. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有 3张卡片，卡片上分别写着 3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有 4张卡片，卡片上分别写着 2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着 5cm的卡片所有卡片的形状、大小都完全相同
31、现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度 （1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率； （2）求这三条线段能组成直角三角形的概率 【答案】(1) 712;(2) 112. 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三条线段能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【详解】解：(1)画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有 7种情况， 这三条
32、线段能组成三角形的概率为：712； (2)这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm； 这三条线段能组成直角三角形概率为：112. 【点睛】本题考查了树状图法与列表法 求概率的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上 （1）画出ABC 关于原点对称的111ABC； （2）画出ABC向上平移 5 个单位后的222A B C，并求出平移过程中线段AC扫过的面积 【答案】 （1）答案见解析 （2）15 【解析】 【分析】 （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写
33、出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出 A、B、C的对应点 A2、B2、C2，然后计算一个矩形的面积加上ABC的面积得到ABC 扫过的面积 【详解】 （1）如图 （2）如图，扫描过的区域为平行四边形形 AA2C2C， 故 S=3 5=15. 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换： 根据旋转的性质可知， 对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点， 顺次连接得出旋转后的图形 四解答题（二） （本大题共四解答题（二） （本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）
34、分） 21. 某汽车销售公司 2017年 10 月份销售一种新型低能耗汽车 20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达 45辆 （1）求 11月份和 12 月份的平均增长率； （2）该型号汽车每辆的进价为 10万元，且销售 a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利 0.03a 万元，该公司这种型号汽车的售价为 11万元/辆，若使 2018 年 1月份每辆汽车盈利不低于 2.6 万元，那么该公司 1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利销售利润+返利） 【答案】 （1）50%； （2）54 辆，此时总盈利至少是 141.48 万元 【解
35、析】 【分析】 （1）设 11月份和 12 月份的平均增长率为 x，根据该销售公司 10月份及 12 月份的销售数量，可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据盈利=销售利润+返利结合盈利不低于 2.6 万元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a的取值范围，结合 a为整数即可得出 a的最小值，再代入盈利=销售利润+返利可求出总盈利的最少值 【详解】解： （1）设 11 月份和 12月份的平均增长率为 x， 根据题意得：20（1+x）245， 解得：x10.550%，x22.5（舍去） 答：11月份和 12 月份的平均增长率为 50% （2）根据题意得：
36、1110+0.03a2.6， 解得：a5313 a为整数， a54 此时总盈利为 54 （1110+0.03 54）141.48（万元） 答：该公司 1月份至少需要销售该型号汽车 54辆，此时总盈利至少是 141.48万元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）根据各数量间的关系，列出一元一次不等式 22. 如图，在正方形 ABCD内有一点 P，且 PA=5，BP=2，PC=1若将PBC绕点B逆时针旋转 90后，得到PBA （1）求PP的长； （2）BPC 度数 【答案】 （1）2 （2）135 【解析】
37、 【分析】 （1）将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 ，得PBA，则PBCPBA；得到 AP=PC=1，BP=BP=2，PBP=90 ，再利用勾股定理求出PP的长； （2）在APP中， AP=1，P P=2，AP=5，根据勾股定理的逆定理得到APP是直角三角形，再利用BPC=APB=BPP +A P P即可求解 【小问 1 详解】 解：如图，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90 ，得PBA，则PBCPBA AP=PC=1，BP=BP=2，PBP=90 连接 P P， 在 RtBPP中， BP=BP=2，PBP=90 ， P P2=BP2 + BP2=4， P P=2，BPP=45 【小问 2
38、 详解】 解：在APP 中， AP=1，P P=2，AP=5， 222)12( 5，即 AP2 + PP2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90 APB=BPP +A P P =135 BPC=APB=135 【点睛】本题考查旋转的性质，涉及全等三角形的性质、直角三角形的判定（勾股定理）和性质正确作出旋转后的三角形是本题解题的关键 23. 如图在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过点0, 4A、2,0B交反比例函数myx0 x 的图像于点3,Ca， 点P在反比例函数的图像上， 横坐标为n03n，/ /PQy轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD （1）求一
39、次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQV面积的最大值 【答案】 （1）624,yxyx； （2）4. 【解析】 【分析】 （1）利用点0, 4A、2,0B求解一次函数的解析式，再求C的坐标，再求反比例函数解析式； （2）设6,P nn 则,24 ,Q nn再表示PQ的长度，列出三角形面积与n的函数关系式，利用函数的性质可得答案 【详解】解： （1）设直线 AB 为,ykxb 把点0, 4A、2,0B代入解析式得： 420bkb 解得：24kb 直线AB为24,yx 把3,Ca代入得：2 342,a 3,2 ,C 把3,2C代入：,myx 2 36m ， 6,yx （2）设6,P nn /
40、 /PQy轴， 则,24 ,Q nn 由0n3， 666242424,PQnnnnnn 16242DPQSnnn 222314,nnn 即当1n 时，4.DPQS最大 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键 五解答题（三） （本大题共五解答题（三） （本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图，ABC内接于O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，且MACABC （1）求证：MN 是O的切线 （2）设 D是弧 AC 的中点，连结 BD交 AC 于点 G，
41、过点 D作 DEAB于点 E，交 AC 于点 F 求证：FDFG 若 BC3，AB5，试求 AE的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析；AE1 【解析】 【分析】 （1）由 AB 为直径知ACB90 ，ABC+CAB90 由MACABC 可证得MAC+CAB90 ，则结论得证； （2）证明BDEDGF 即可BDE90 ABD；DGFCGB90 CBD因为 D 是弧AC 的中点，所以ABDCBD则问题得证； 连接 AD、CD，作 DHBC，交 BC 的延长线于 H点证明 RtADERtCDH，可得 AECH根据 ABBH可求出答案 【详解】 （1）证明：AB是直径， ACB90 ， CAB
42、+ABC90 ； MACABC， MAC+CAB90 ，即 MAAB， MN 是O的切线； （2）证明：D 是弧 AC的中点， DBCABD， AB是直径， CBG+CGB90 ， DEAB， FDG+ABD90 ， DBCABD， FDGCGBFGD， FDFG； 解：连接 AD、CD，作 DHBC，交 BC的延长线于 H 点 DBCABD，DHBC，DEAB， DEDH， 在 RtBDE与 RtBDH中， DHDEBDBD， RtBDERtBDH（HL） ， BEBH， D 是弧 AC 的中点， ADDC， 在 RtADE与 RtCDH中， DEDHADCD， RtADERtCDH（HL）
43、 AECH BEABAEBC+CHBH，即 5AE3+AE， AE1 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键 25. 如图， 已知抛物线20yaxbxc a的顶点坐标为 Q(2, 1)， 且与 y轴交于点 C0,3， 与 x轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的右侧） ， 点 P是该抛物线上一动点， 从点 C沿抛物线向点 A 运动 （点 P与 A 不重合） ，过点 P作 PDy 轴，交 AC于点 D （1）求该抛物线的函数关系式； （2）当ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 【答
44、案】 （1）243yxx （2）P点坐标为 P1（1，0） ，P2（2，1） 【解析】 【分析】 （1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的 C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式； （2）由于 PDy 轴，所以ADP90，若ADP 是直角三角形，可考虑两种情况： 以点 P 为直角顶点，此时 APDP，此时 P点位于 x轴上（即与 B 点重合） ，由此可求出 P点的坐标； 以点 A 为直角顶点， 易知 OA=OC， 则OAC=45， 所以 OA平分CAP， 那么此时 D、 P 关于 x轴对称，可求出直线 AC的解析式，然后设 D、P的横坐标，根据抛物线
45、和直线 AC的解析式表示出 D、P的纵坐标，由于两点关于 x 轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出 P点的坐标； 【小问 1 详解】 解：抛物线的顶点为 Q（2，1） 设221ya x 将 C（0，3）代入上式，得23021a 解得1a 221yx， 即243yxx 【小问 2 详解】 解：分两种情况： 当点 P1为直角顶点时，点 P1与点 B重合（如图） 令y=0， 得2430 xx 解之得11x ， 23x 点 A在点 B的右边， B（1，0） ， A（3，0） P1（1，0） 解:当点 A 为APD2的直角顶点时（如图） OA=OC， AOC=90， OAD2=45 当D2AP2=90
46、时， OAP2=45， AO平分D2AP2 又P2D2y轴， P2D2AO， P2、D2关于x轴对称 设直线 AC的函数关系式为ykxb 将 A（3，0） ， C（0，3）代入上式得 033kbb， 13kb 3yx D2在3yx 上， P2在243yxx上， 设 D2（x，3x ） ， P2（x，243xx） （3x ）+（243xx）=0 即2560 xx， 12x ， 23x （舍） 当x=2时， 243yxx=224 23 =1 P2的坐标为 P2（2，1） （即为抛物线顶点） P点坐标为 P1（1，0） ， P2（2，1） 【点睛】 此题主要考查了二次函数解析式的确定、 直角三角形的判定，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大