1、2022年全国高中数学联赛 （四川预赛） 试题（考试时间： 2022年5月22日14:3016:30）一、 填空题： 本大题共8小题， 每小题8分， 满分64分1. 已知正实数a、 b满足ab= 8a9b， 则a4a2log值为2.已知平面向量 a a、 b b 满足：a a= 1，b b= 2， a a b b = 1， 记向量 a a + 2b b 与向量 2a a - b b 的夹角为 ，则cos的值为3.已知数列 an满足： a1=1， a2=2， a2k+1=a22ka2k-1， 且a2k+2=2a2k+1-a2kkN N*， 则a2022的末两位数字为4.已知实数x、 y满足x x
2、+y y3=1， 则3x+y-4的取值范围为5.已知函数 f : 1， 2， ， 10 1， 2， 3， 4， 5， 且对一切 k = 1， 2， ， 9， 有 f k+1- f k 3则符合条件的函数 f的个数为6.若ABC的三边a、 b、 c满足a2+b2+3c2=7， 则ABC面积的最大值为7.已知函数 f x在 0， +上严格单调递减， 对任意 x 0， +， 均有 f x f f x+2x=13，记g x= f x+4x2， x 0， +， 则函数g x的最小值为8.至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为二、 解答题： 本大题共3小题， 满分56分解答应写出文字说明、 证明过程或
3、演算步骤9. （本题满分16分） 如图所示， ABCD是一个矩形， AB=8， BC=4， M、 N分别是AB、 CD的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折， 使得每次翻折后点M都落在边CD上， 记为M过M作MP垂直于CD交直线l于点P设点P的轨迹是曲线E（1） 建立恰当的直角坐标系， 求曲线E的方程；（2） F是MN上一点， FN =-3FM ， 过点F的直线交曲线 E于S、 T两点， 且SF=FT ， 求实数的取值范围10. （本题满分20分） 已知各项均为正整数的数列 an满足： 对于任意的正整数m、 k， 都有am2=a2m及am2+k2=amak， 求数列 an的通项公式
4、11. (本题满分20分)对任意正实数a、 b、 c及任意正实数r1， 求证：ab+c+bc+a+ca+barbr+cr+brcr+ar+crar+brABCDMNMPFl参考答案及评分标准 （第 1 页，共 4 页） 2022 年年全国全国高中数学联赛高中数学联赛（四川四川预预赛赛）试题试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明说明： 1、本试卷满分本试卷满分 120，其中填空题其中填空题 64 分分，解答题解答题 56 分分. . 2、 评阅试卷时评阅试卷时， 请依据评分标准请依据评分标准. .填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档分两档； 第第 9 题题 4 分一个档次分一
5、个档次、第第 10 题和第题和第 11 题均为题均为 5 分分一个档次一个档次. .请严格按照评分标准规定的评分档次给分请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增不要再增加其它中间档次加其它中间档次. . 3、如果考生的解答题方法和本解答不同如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理只要思路合理，步骤正确步骤正确，在评阅时可参考在评阅时可参考本评分标准评分本评分标准评分. . 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1、3827 2、2114 3、32 4、46 4)， 、288 6、74 7、3 8、81. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤 9、 （本题满分 16 分）如图所示，ABCD 是一个矩形，AB=8，BC=4，M、N 分别是 AB、CD 的中点，以某动直线 l 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 M 都落在边 CD 上，记为 M过 M作 MP 垂直于 CD 交直线 l 于点 P设点 P 的轨迹是曲线 E （1）建立恰当的直角坐标系，求曲线 E 的方程； （2）F 是 MN 上一点，3FNFM ，过点 F 的直线交曲线 E 于 S、T 两点，且SFFT ，求实数的取值范围 解： （1）以 M 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 设 M(2t，4)，则直线 MM的方程为2yxt，MM
7、的中点坐标为(t，2)， 直线 l 是线段 MM的垂直平分线为2()2tyxt ， 将2xt代入上式，得222ty ， 所以，P 点的坐标是(2t，222t)， 4 分 即方程为2222xtty， 消去参数 t，得228xy 因此，点 P 的轨迹方程是228xy (44x ) 8 分 参考答案及评分标准 （第 2 页，共 4 页） （2）因为3FNFM ，可得 F 点坐标为(0，1)，设 S(x1，y1)，T(x2，y2)， 则(x1，y1)，(x2，y2)是方程组2281xyykx，的解 消元，得2880 xkx， 所以，128xxk ，128x x 因为方程在 4 4 ，上有两个不同的实根
8、， 所以，222( 4)8( 4)8 04848 0( 8 )320444kkkk ， ，解得1144k 12 分 由SFFT ，得1122(1)(1)xyxy，12xx 代入，得2(1)8xk ，228x ，消去2x，得 2218k，结合1144k 可得21102，解得122 16 分 10、（本题满分20分） 已知正整数数列na满足： 对任意的正整数mk、， 都有22mmaa，且22mkmkaa a， 求数列na的通项公式. 解：下面用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有1na . 5 分 当1n 时，由条件知：22111aaa，解得11a ，故结论对1n 成立； 当2n 时，2221 1
9、111aaa a，故结论对2n 成立. 假设结论(3)nk k时均成立，下面考察nk的情形： （1）若k为偶数，令2km(2)m， 注意到恒等式：22222(2 )(1)(1)mmm， 一方面，22222(2)(1)1mmmmaa a； 另一方面，2222221(1)1()mmmmaaa aa， 于是有22211mmma aa， 参考答案及评分标准 （第 3 页，共 4 页） 从而2211mmaa，即1ka . 10 分 （2）若k为奇数，令*21()kmmN， 注意到恒等式：22 2222 2(1)(2 (1)(1) )mmm mmm， 一方面，22 22222(1)212(1)(1)(2(
10、1)(1)m mmm mmmm mmmaaaaa 15 分 另一方面，22 222221(1)(1)()()mmmmmmaaaa 于是 22212(1)1()(1 1)1mm mmmaaaa， 从而212(1)1mm maa，即1ka . 由（1） 、 （2）知，1ka ，即结论对k也成立. 由归纳原理知，对任意的正整数n，都有1na . 所以，所求数列na的通项公式为：*1()nanN. 20 分 注注：能够猜出答案*1()nanN可得 5 分. 11、 （本题满分 20 分）对任意正实数abc、 、，及任意正实数1r ， 求证：rrrrrrrrrabcabcbccaabbccaab. 证明
11、：先证一个引理： 引理：1( )11axf xaxxa，这里 a 0 是参数. （1）若1a ，则( )f x在(0,1上单减； （2）若1a ，则( )f x在1,)上单增； 引理的证明：注意到2211( )1()(1)afxaaxx，( )fx在(0,)上显然是单调增加的. （1）(0,1x时，221111( )(1)()1(1)4(1)4afxfaaaa 注意到1a ，所以211( )()0(1)4fxaa 从而( )f x在(0,1上单减； 5 分 参考答案及评分标准 （第 4 页，共 4 页） （2）1,)x时，221111( )(1)()1(1)4(1)4afxfaaaa， 注意到
12、1a ，所以211( )()0(1)4fxaa. 从而( )f x在1,)上单增； 10 分 引理证毕. 回到原题. 注意到这个三元不等式是对称的，所以不妨设abc. 注意到这是齐次的，所以不妨设1b . 从而1ac ，因为1r ，所以1rraacc 注意到1b ，左边看成关于c的一元函数，即( )af cbc， 右边看成关于rc的一元函数，即()rrrraF cbc 由引理可知，()()rrf cF c， 15 分 即111111rrrrrrrrracaccacacaca （这里把rc视作参数，a 和ra视作变量的两个取值） 于是( )()()rrrrraaf cf cF cbcbc 这里( )()rf cf c用到的是( )f x的单减性质； 从证明过程可知，取等号当且仅当abc. 20 分