ImageVerifierCode 换一换
格式:PDF , 页数:8 ,大小:422.33KB ,
资源ID:214566      下载积分:30 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-214566.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题及答案)为本站会员(笑涵****))主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题及答案

1、2022 年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题 (说明:本试卷满分 150 分,共 15 题, 10 道填空题,5 道解答题。所有题目的答案填写在答题纸上。 ) 一、填空题(每题填空题(每题 6 6 分,共分,共 6 60 0 分分) 1 1. 设,(0,)2 , 且22610sinsinsinsin1022+ =, 则+=_。 答案 2 解 由已知配方得22610(sin)(sin)044+=,解得610sin,sin44=,所以sin()1+=,所以2+=。 2. 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中, E是AB的中点,F是 1CC的中点,则D到过1D、E、F三点的平面的距离为

2、_。 答案 4 2929 解 以D为原点, 分别以,DA DC D1D为, ,x y z轴建立空间直接坐标系,求得过1D、E、F平面的法向量为(3,2,4)n =。又1(0,0,1)DD =。所以D到过1D、E、F三点的平面的距离为14 2929DDnn=。 3. 若单位复数, a b满足3abab+=(z表示复数z的共轭),则ab= _。 答案 23 解 ()()21123ababababab= + =,所以23ab= 4. 已知数列121,(2)1nnaann=,则121()_nkka aa=。 答案 22(1)!n+ 解 由于12112()(2)!(1)!ka aakkk=+,所以 12

3、12()2(1)!nkka aan=+ 5. 掷一枚不均匀的硬币 5 次。若恰有 1 次正面与恰有 2 次正面的概率相等且不为零,则恰好出现 3 次正面的概率为_。 答案 40243 解 设出现正面的概率为p,依题意得1422355(1)(1)C ppC pp=,解得1,3p =所以恰好出现 3 次正面的概率为332540(1)243C pp=。 6. 平面向量, ,a b c满足1,1,aabbc=2 2abc+,则ac的最大值为_。 答案 2 解 设(1,0),(1, ),(1, )( ,abs cst t s t=),由已知得, 222222(1)()( )4( )42abcststst

4、ststststst+=+=+ 当20( )21802 21stststst+ +, 当20( )61810stststst+ , 所以当12 212 212stacst + = 。 所以ac的最大值为 2。 7. 设126,a aa是1,2,6的任意排列。若任意相邻三数之和都不能被 3 整除,则这样的排列有_个。 答案 96 解 把集合中的数模 3,得两个 0,两个 1,两个 2,使得任何三个相邻数之和不被 3 整除的排列有 002211,001122,112200,110022,220011,221100,011220,022110,100221,122001, 211002,200112

5、。所以满足条件的排列为2222221296A A A=。 8. 已知OAB的顶点坐标(0,0), (4,4 3), (8,0)OAB,它的内切圆圆心为I。设圆C经过,A B两点,且与圆I交于,P Q两点。若过,P Q点所做两圆的切线垂直,则圆C的半径为_。 答案 2 7 解 设圆I切,BO AB AO于,D E F。由于OAB为正三角形,所以,D E F的坐标分别为(4,0),(6,2 3),(2,2 3)DEF。由已知以及圆幂性质,可知圆C经过,DE EF的中点(5, 3),(4,2 3)GH。又圆C经过,A B两点,求得圆C的半径为2 7。 9. 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排

6、列成一个数列,则该数列的第 2022 项为_。 答案 2410 解 从 1 到 143 中与 143 互质的数共有 120 个,120172040=。考虑长度为 143 的正整数段,143 172431=, 从 1 到 2431 中与 143 互质最大的一个数为 2410, 再往前 18 个与 143互质的数为 2410 即为所求。 或解 设数列中的第 2022 个数为n, 则 12020221113143nnnn +=, 解得n =2410。 1010. 已知( )p x为 5 次多项式。若0 x =为( )10p x + =的三重根,1x =为( )10p x =三重根,则( )p x的表

7、达式为_。 答案 5431230201xxx+ 解 令3232( )1(), ( )1(1) (),p xx axbxcp xxlxmxn+ =+ =+对上述两式分别求一阶、二阶导数,分别令0 x =,比较相应的两式的系数,解得12,6,2lmn=。所以543( )1230201p xxxx=+。 二、解答题(共五题,11-12 各 15 分,13、14、15 各 20 分,合计 90 分) 11. 已知椭圆1:C2221(02 6)24xybb+=的右焦点1F, 与抛物线22:4()Cypx p+=的 焦 点 重 合 , 过1F且 斜 率 为 正 整 数 的 直 线l交1C于,A B, 交2

8、C于,C D。 若136ABCD=,求 , b p的值。 解 设直线l的方程为()()yk xp k+=,联立方程组 2()4yk xpypx=得到222222 (2)0k xp kxk p+=。设,C D的坐标分别为11(,)x y,22(,)xy,则有22121222 (2),p kxxx xpk+= =,3 分 所以2222416(1)pkCDk+=。6 分 又联立222()124yk xpxyb=+=得到2222222(24)4824()0bkxpk xk pb+=。设,A B的坐标分别为33(,)xy,44(,)xy,则有2222343422224824(),2424pkk pbxx

9、x xbkbk+= =+,9 分 所以222222222296(1)(24)(24)bkbkp kABbk+=+。 12 分 由136ABCD=以及2224bp=得到222213(24)(2424)kpppk=+。 由于224,pp为正整数,只有4p =符合题意,此时2 2b =。15 分 12. 设1,2,10,:XfXX=的映射满足 (1),XffI=其中ff是复合映射,XI为X上恒等映射; (2)( )2,f ii对任意iX。 求映射f的数目。 解答:由(1)知, ()( ),f xx=()( )(),( )f xy xyf yx=。3 分 设1,2, nSn=时满足要求的映射数为nf,

10、 则()当(1)1f=时,则映射数为射1nf; ()当(1)2f=时,此时(2)1f=,则映射数为射2nf; ()当(1)3f=时,此时(3)1f=,6 分 若(2)2f=,则映射数为射3nf; 若(2)4f=时,此时(4)2f=,则映射数为射4nf。9 分 因此1234nnnnnfffff=+,计算得12 分 1234101,2,4,8,401fffff=。15 分 13. 设m为大于 1 的正整数,函数22( )()1mxf xx=+。 (1)当10,mxm,求( )f x的最大值; (2)证明对任意10,mxm,有12e( )1mf x ,即22( )1xg xx=+为单调递增,所以2m

11、ax222( )221mmg xmm=+,即有 2maxmax2221( )( )()(1)2212 (1)mmmmmf xg xmmm m=+5 分 (2)要使得12e( )1mf x ,即证 121(1)2 (1)mmem m+,即证11ln(1)2 (1)2mm mm+。10 分 令1( )ln(1)ml xxxm=+,求导得/11( )1ml xxm=+。 因此当101xm, 即在区间1(0,)1m上( )l x为严格单调递增函数。 15 分 由(0)0l=以及1102 (1)1m mm,即有211ln(1)2 (1)2m mm+。20 分 14. 设数列na满足110,(1)nnnn

12、aaana+=+,证明 (1)数列(2)nann为单调递减; (2)存在一个常数c使得1,21nkkakc nk=+。 解答 (1) 令100,aa=则21112aaa=+。 假设(1)nan n,由于 11(1)1(1)()0nnnnnnanananaa+=+ =,5 分 因此有11(1)nann+,且当2n 时, 1(1)nnanan+,即nan单调递减。10 分 (2)令)(nanxnn=(对11a =,则nan=,结论显然) ,则 ) 1)(1() 1)(1(11+=+=+nanannanxnnnn nnnnxananan)11)(11 ()11)()(1(+=+= nnnnnnxRx

13、nanana)1 ()11 (+=+=,其中=nR) 1(11=nananananannnnn, =nR221|)2|1 (1nanananannn+(2n)221) 1(na =15 分 又 nnnxRx)1 (1+=+ 22222222ln(1 |)2222211|(1)(1)(1)12222(1)(1 |)nkknnnkkkknnRkkkkRaak kkaxRxRx ex ex ex ex e=+=+= 又 2122122(2),2(2)anxaxae+=,并记为2122(2)aae= 所以,,(2)1(1)nnanannnnn n+,于是, 11112211111()1212(1)22

14、1nnnkkkkkakaakaakkk kn=+=+ 1122a + 1,j, = 0,1,2,,(或取 + | + + |1| + |0| + 1), 则对 = 1,2,., 1均有() + ( ) 0(), 从而() + () 0()。 由于对满足 + | + + |1| + |0| + 1 的质数p都成立, 即 () + ()有无穷多个质因数(或考虑拉格朗日定理), 所以() + () =0。由此任意项的次数为奇数5 分 (2) 构造满足条件,并且() ( )的映射即可。 引理引理. 设为正整数,则同余方程组 1(mod 1)2(mod 2).(mod )? 有解当且仅当,| (1 ).

15、10 分 引理证明. 对归纳. 当 = 2时,方程组等价于1 + 1= 2 + 2有解,这又等价于(1,2)|1 2,得证。设 1时已证,往证时也成立。首先 (mod ), (mod )有解, 再考虑方程组: 1mod(1,)2mod(2,).1mod(1,)? 此时(,), = , 由 (mod ), (mod )得| , 由 (mod ), mod 得,|( ) . 所以(,),| , 由归纳假设有解,从而原同余方程组有解。 15 分 下面用归纳法构造()满足 + |() + (), |() ()(1 )的映射. 设(1),.( 1)已构造好,考虑同余方程组 ()(mod + )(1 1)()(mod )(1 1)? 因为( , )| |() (),( , )| + |()+ (), 由引理知存在大于的解,取为()即可。20 分