1、2022 年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题 （说明：本试卷满分 150 分，共 15 题， 10 道填空题，5 道解答题。所有题目的答案填写在答题纸上。 ） 一、填空题（每题填空题（每题 6 6 分，共分，共 6 60 0 分分） 1 1. 设,(0,)2 ， 且22610sinsinsinsin1022+ =， 则+=_。 答案 2 解 由已知配方得22610(sin)(sin)044+=，解得610sin,sin44=，所以sin()1+=，所以2+=。 2. 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中, E是AB的中点,F是 1CC的中点，则D到过1D、E、F三点的平面的距离为
2、_。 答案 4 2929 解 以D为原点， 分别以,DA DC D1D为, ,x y z轴建立空间直接坐标系，求得过1D、E、F平面的法向量为(3,2,4)n =。又1(0,0,1)DD =。所以D到过1D、E、F三点的平面的距离为14 2929DDnn=。 3. 若单位复数, a b满足3abab+=(z表示复数z的共轭)，则ab= _。 答案 23 解 ()()21123ababababab= + =，所以23ab= 4. 已知数列121,(2)1nnaann=，则121()_nkka aa=。 答案 22(1)!n+ 解 由于12112()(2)!(1)!ka aakkk=+，所以 12
3、12()2(1)!nkka aan=+ 5. 掷一枚不均匀的硬币 5 次。若恰有 1 次正面与恰有 2 次正面的概率相等且不为零，则恰好出现 3 次正面的概率为_。 答案 40243 解 设出现正面的概率为p，依题意得1422355(1)(1)C ppC pp=，解得1,3p =所以恰好出现 3 次正面的概率为332540(1)243C pp=。 6. 平面向量, ,a b c满足1,1,aabbc=2 2abc+，则ac的最大值为_。 答案 2 解 设(1,0),(1, ),(1, )( ,abs cst t s t=)，由已知得， 222222(1)()( )4( )42abcststst
4、ststststst+=+=+ 当20( )21802 21stststst+ +， 当20( )61810stststst+ ， 所以当12 212 212stacst + = 。 所以ac的最大值为 2。 7. 设126,a aa是1,2,6的任意排列。若任意相邻三数之和都不能被 3 整除，则这样的排列有_个。 答案 96 解 把集合中的数模 3，得两个 0，两个 1，两个 2，使得任何三个相邻数之和不被 3 整除的排列有 002211,001122,112200,110022,220011,221100,011220，022110,100221,122001, 211002,200112
5、。所以满足条件的排列为2222221296A A A=。 8. 已知OAB的顶点坐标(0,0), (4,4 3), (8,0)OAB，它的内切圆圆心为I。设圆C经过,A B两点，且与圆I交于,P Q两点。若过,P Q点所做两圆的切线垂直，则圆C的半径为_。 答案 2 7 解 设圆I切,BO AB AO于,D E F。由于OAB为正三角形，所以,D E F的坐标分别为(4,0),(6,2 3),(2,2 3)DEF。由已知以及圆幂性质，可知圆C经过,DE EF的中点(5, 3),(4,2 3)GH。又圆C经过,A B两点，求得圆C的半径为2 7。 9. 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排
6、列成一个数列，则该数列的第 2022 项为_。 答案 2410 解 从 1 到 143 中与 143 互质的数共有 120 个，120172040=。考虑长度为 143 的正整数段，143 172431=， 从 1 到 2431 中与 143 互质最大的一个数为 2410， 再往前 18 个与 143互质的数为 2410 即为所求。 或解 设数列中的第 2022 个数为n， 则 12020221113143nnnn +=， 解得n =2410。 1010. 已知( )p x为 5 次多项式。若0 x =为( )10p x + =的三重根，1x =为( )10p x =三重根，则( )p x的表
7、达式为_。 答案 5431230201xxx+ 解 令3232( )1(), ( )1(1) (),p xx axbxcp xxlxmxn+ =+ =+对上述两式分别求一阶、二阶导数，分别令0 x =，比较相应的两式的系数，解得12,6,2lmn=。所以543( )1230201p xxxx=+。 二、解答题（共五题，11-12 各 15 分，13、14、15 各 20 分，合计 90 分） 11. 已知椭圆1:C2221(02 6)24xybb+=的右焦点1F， 与抛物线22:4()Cypx p+=的 焦 点 重 合 ， 过1F且 斜 率 为 正 整 数 的 直 线l交1C于,A B, 交2
8、C于,C D。 若136ABCD=，求 , b p的值。 解 设直线l的方程为()()yk xp k+=，联立方程组 2()4yk xpypx=得到222222 (2)0k xp kxk p+=。设,C D的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，则有22121222 (2),p kxxx xpk+= =，3 分 所以2222416(1)pkCDk+=。6 分 又联立222()124yk xpxyb=+=得到2222222(24)4824()0bkxpk xk pb+=。设,A B的坐标分别为33(,)xy，44(,)xy，则有2222343422224824(),2424pkk pbxx
9、x xbkbk+= =+，9 分 所以222222222296(1)(24)(24)bkbkp kABbk+=+。 12 分 由136ABCD=以及2224bp=得到222213(24)(2424)kpppk=+。 由于224,pp为正整数，只有4p =符合题意，此时2 2b =。15 分 12. 设1,2,10,:XfXX=的映射满足 （1）,XffI=其中ff是复合映射，XI为X上恒等映射； （2）( )2,f ii对任意iX。 求映射f的数目。 解答：由（1）知， （）( ),f xx=（）( )(),( )f xy xyf yx=。3 分 设1,2, nSn=时满足要求的映射数为nf，
10、 则（）当(1)1f=时，则映射数为射1nf； （）当(1)2f=时，此时(2)1f=，则映射数为射2nf； （）当(1)3f=时，此时(3)1f=，6 分 若(2)2f=，则映射数为射3nf； 若(2)4f=时，此时(4)2f=，则映射数为射4nf。9 分 因此1234nnnnnfffff=+，计算得12 分 1234101,2,4,8,401fffff=。15 分 13. 设m为大于 1 的正整数，函数22( )()1mxf xx=+。 （1）当10,mxm，求( )f x的最大值； （2）证明对任意10,mxm，有12e( )1mf x ，即22( )1xg xx=+为单调递增，所以2m
11、ax222( )221mmg xmm=+，即有 2maxmax2221( )( )()(1)2212 (1)mmmmmf xg xmmm m=+5 分 （2）要使得12e( )1mf x ，即证 121(1)2 (1)mmem m+，即证11ln(1)2 (1)2mm mm+。10 分 令1( )ln(1)ml xxxm=+，求导得/11( )1ml xxm=+。 因此当101xm， 即在区间1(0,)1m上( )l x为严格单调递增函数。 15 分 由(0)0l=以及1102 (1)1m mm，即有211ln(1)2 (1)2m mm+。20 分 14. 设数列na满足110,(1)nnnn
12、aaana+=+，证明 （1）数列(2)nann为单调递减； （2）存在一个常数c使得1,21nkkakc nk=+。 解答 （1） 令100,aa=则21112aaa=+。 假设(1)nan n，由于 11(1)1(1)()0nnnnnnanananaa+=+ =，5 分 因此有11(1)nann+，且当2n 时， 1(1)nnanan+，即nan单调递减。10 分 （2）令)(nanxnn=（对11a =，则nan=，结论显然） ，则 ) 1)(1() 1)(1(11+=+=+nanannanxnnnn nnnnxananan)11)(11 ()11)()(1(+=+= nnnnnnxRx
13、nanana)1 ()11 (+=+=，其中=nR) 1(11=nananananannnnn， =nR221|)2|1 (1nanananannn+（2n）221) 1(na =15 分 又 nnnxRx)1 (1+=+ 22222222ln(1 |)2222211|(1)(1)(1)12222(1)(1 |)nkknnnkkkknnRkkkkRaak kkaxRxRx ex ex ex ex e=+=+= 又 2122122(2),2(2)anxaxae+=，并记为2122(2)aae= 所以，,(2)1(1)nnanannnnn n+,于是， 11112211111()1212(1)22
14、1nnnkkkkkakaakaakkk kn=+=+ 1122a + 1，j, = 0,1,2,，(或取 + | + + |1| + |0| + 1)， 则对 = 1,2,., 1均有() + ( ) 0(), 从而() + () 0()。 由于对满足 + | + + |1| + |0| + 1 的质数p都成立， 即 () + ()有无穷多个质因数（或考虑拉格朗日定理）， 所以() + () =0。由此任意项的次数为奇数5 分 （2) 构造满足条件，并且() ( )的映射即可。 引理引理. 设为正整数，则同余方程组 1(mod 1)2(mod 2).(mod )? 有解当且仅当,| (1 ).
15、10 分 引理证明. 对归纳. 当 = 2时，方程组等价于1 + 1= 2 + 2有解，这又等价于(1,2)|1 2，得证。设 1时已证，往证时也成立。首先 (mod ), (mod )有解， 再考虑方程组： 1mod(1,)2mod(2,).1mod(1,)? 此时(,), = , 由 (mod ), (mod )得| , 由 (mod ), mod 得,|( ) . 所以(,),| , 由归纳假设有解，从而原同余方程组有解。 15 分 下面用归纳法构造()满足 + |() + ()， |() ()(1 )的映射. 设(1),.( 1)已构造好，考虑同余方程组 ()(mod + )(1 1)()(mod )(1 1)? 因为( , )| |() (),( , )| + |()+ (), 由引理知存在大于的解，取为()即可。20 分