1、八年级下数学期末难点特训（二）与分式根式有关的压轴题1已知实数x，y，z满足+，且11，则x+y+z的值为（）A12B14CD92若，则a，b，c的大小关系是（）ABCD3端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天
2、的总利润率是50% 第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为_4“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（）方程的整数解称之为“暖根”：（）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”（1）已知一元一次方程与分式方程：方程有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是
3、“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值5以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍求种笔记本的单价；根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费6阅读下列解题过程：，请回答下
4、列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出 = ；（2）利用上面的解法，请化简：7直线：交x轴于A，交y轴于B（1）求的长；（2）如图1，直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线：经过点C，点D、T分别在直线、上若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）如图2，平行y轴的直线交x轴于点E，将直线向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线于点P点在四边形内部，直线交于G，直线交于H，求的值8小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则_，_；（2）
5、已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_9在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：.善于动脑的小明继续探究：当为正整数时，若，则有，所以，.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；（2）填空：= - ；（3）若，且为正整数，求的值.10某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计兴趣小组成员重点探
6、究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度(1)请直接写出：当x20时，y的值为_；当x40时，y的值为_；(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）请直接写出：a_；分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距
7、离为z个单位长度若z不超过40，则x的取值范围是_（直接写出结果）八年级下数学期末难点特训（二）与分式根式有关的压轴题1已知实数x，y，z满足+，且11，则x+y+z的值为（）A12B14CD9【答案】A【解析】【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值【详解】解：，即，而，故选：A【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出2若，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根
8、式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论【详解】解：a=20192021-20192020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）2020=20202-1-20202+2020=2019；20222-42021=（2021+1）2-42021=20212+22021+1-42021=20212-22021+1=（2021-1）2=20202，b=2020；，cba故选：A【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点变形20192021-20192020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键3端午节前后，人们除了
9、吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50% 第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为_【答案】【解析】【分析】设艾叶成本价为a元
10、，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，先根据利润倍数关系可求出，再根据端午节当天的总利润率可得，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得【详解】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，整理得：，端午节当天的总利润率是，即，整理得：，第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产
11、品的销量分别与前一天相同，第二天总利润率为，故答案为：【点睛】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键4“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（）方程的整数解称之为“暖根”：（）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”（1）已知一元一次方程与分式方程：方程有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”
12、吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值【答案】（1）有；没有；不是；（2）当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）k=【解析】【分析】（1）根据求出两个方程的解，然后根据“暖根”的定义和“同源方程”的定义即可得出结论；（2）联立方程组，变形整理后对m的值分类讨论，分别求出方程的解即可；（3）分别求出两个方程的解，然后由题意可得和都为整数，且0且-1，设=（n为整数且n0），根据方程的解为整数求出n的值，即可求出k的值【详解】解：（1）解得：方程有“暖根”；解得：经检验，是增根，原方程无解
13、，方程没有“暖根”；根据“同源方程”的定义，它们不是“同源方程”故答案为：有；没有；不是；（2）是，联立，得整理，得当=0且=0时，方程有无数个解即，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，即时，将代入，得y=此时公共解为综上：当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）整理，得当k=2时，此方程无解，即无“暖根”；当k2时，解得：；整理，得当k=1时，此方程无解，即无“暖根”；当k1时，解得：；由题意可得和都为整数，且0且-1设=（n为整数且n0），此时=-1n为整数则k=2=为整数n1=1或-1解得n=2或0（不符合前提，舍去）k=2=，此时0且-1综上：k=【点睛
14、】此题考查的是一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，掌握相关概念及各个方程的解法是解题关键5以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍求种笔记本的单价；根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费【答案】（1）种笔记本的单价为6元（2）所需经费最少为702元【解析
15、】【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元根据题意列出分式方程，求解即可；由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元解得；经检验：是原方程的解，且符合题意答：种笔记本的单价为元由知种笔记本的单价为元，又W随的增大而减小又A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍；解得：；m为正整数当时，取得最小值，最小值为702元答：所需最少经费为702元【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式
16、方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值6阅读下列解题过程：，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出 = ；（2）利用上面的解法，请化简：【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）观察上面解题过程，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果【详解】（1）；归纳总结得：（n1）故答案为；（2）=-1+10=9【点睛】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键7直线：交x轴于A，交y轴于B（1）求的长；（2）如图1，直线关于y轴对
17、称的直线交x轴于点C，直线：经过点C，点D、T分别在直线、上若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）如图2，平行y轴的直线交x轴于点E，将直线向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线于点P点在四边形内部，直线交于G，直线交于H，求的值【答案】（1）；（2）点D的坐标为或或；（3）【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出其与x轴的交点A和与y轴的交点B的坐标，进而求出OA与OB的长度，再使用勾股定理即可求出AB的长度；（2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，再求出直线的解析式，根据点D在直线上，可设点，然后分类讨论点D是在线段BC上，还是在线段B
18、C的延长线上，或者在线段CB的延长线上，在每一种情况下结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点D的坐标；（3）根据平移的性质求出直线MN的解析式，再结合直线x=2求出点，点和点，进而求出ME的长度，然后再结合点求出直线和直线，进而求出点和，即可得到GE与HE的长度，最后再代入计算即可【详解】解：（1）直线交x轴于A，交y轴于B，（2）直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线交x轴与点，点A与点C关于y轴对称点在y轴上，直线经过点B设直线直线经过点，解得：直线直线经过点，解得：直线点D在直线上，设点如下图所示，当点D在线段上时四边
19、形ABDT是平行四边形，BD经过平移之后到达AT点T在直线上，解得；如下图所示，当点D在线段的延长线上时四边形ABTD是平行四边形，AD经过平移之后到达BT点T在直线上，解得；如下图所示，当点D在线段的延长线上时四边形ADBT是平行四边形，BD经过平移之后到达TA点T在直线上，解得综上所述，点D的坐标为或或（3）直线向上平移5个单位长度得到的直线解析式为直线x=2与x轴交于点E，与直线MN交于点P，直线MN交x轴于点M，设直线的解析式为，直线PF经过点与，解得直线的解析式为直线PF与x轴交于点G，解得：设直线OF的解析式为y=cx，直线OF经过点，解得：直线的解析式为直线OF与直线交于点H【点
20、睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键8小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则_，_；（2）已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_【答案】（1）2，1；（2）2018；（3）2【解析】【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可；（2）根据题意结合所给方法求出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；（3）根据题目所给方法，将写成的形式，然
21、后根据二次根式的性质化简即可【详解】解：（1），a2，b1；故答案为：2,1（2）是的算术平方根，；（3），故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中所给方法，将根号内的式子变形为完全平方式的形式9在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：.善于动脑的小明继续探究：当为正整数时，若，则有，所以，.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；（2）填空：= - ；（3）若，且为正整数，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）或46.【解析】【详解】试题分析：（1）把等式右边
22、展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得： ，结合都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：；（3）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可.试题解析：（1），；（2）由（1）中结论可得： ，都为正整数， 或 ，当m=1，n=2时，而当m=2，n=1时，m=2，n=1，；（3）， ，又为正整数， 或者，当时，；当，即的值为：46或14.10某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间他们到
23、达端点后立即转身折返，用时忽略不计兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度(1)请直接写出：当x20时，y的值为_；当x40时，y的值为_；(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）请直接写出：a_；分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单
24、位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度若z不超过40，则x的取值范围是_（直接写出结果）【答案】(1)60，80(2)；，补全函数图像见解析，标出N（50，50）(3)0x8或32x48【解析】【分析】（1）根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得；解法与方法类似，求解即可；（2）当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得；当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将
25、点M代入可确定此段的函数解析式；当时，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可；（3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得(1)解：相遇点与点A相距20个单位长度，相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，则，甲从相遇点到B所用的时间为：，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇
26、点距离点A为y个单位长度，根据题意可得：，解得：；相遇点与点A相距40个单位长度，相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，则，甲从相遇点到B所用的时间为：，乙从相遇点到点A所用的时间为：，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度，根据题意可得：，解得：；故答案为：60；80；(2)解：结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意可得：，解得：，经检验：是分式方程的解，故答案为：；当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代
27、入可得：，解得：，当时，；当时，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意可得：，化简得：，当时，经过点，描点，连接即可得出函数图象，综上可得：，函数图象如图所示：(3)解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况：如图所示：由题意可得：，化简得：，第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度，且，解得：；如图所示：根据题意可得：，化简得：，解得：，如图所示：根据题意可得：，化简得：，解得：，综合可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或，故答案为：或【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键