1、 20222022 年天津年天津市市中考模拟中考模拟数学数学试卷试卷（三三） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2019 秋横县期中）计算：2（3）的结果是（ ） A5 B1 C6 D6 2 （3 分） （2018 秋沧州期末）已知A 为锐角，且 cosA，则A 的度数（ ） A小于 45 B大于 45 C大于 30 D小于 30 3 （3 分） （2021平谷区二模）2022 年冬奥会张家口主场馆的设计方案日前正式对外公布，场馆主题为“活力冰雪，激情四射” ，占地面积 50 公顷，规划总建筑面积为 270000
2、平方米将 270000 用科学记数法表示为（ ） A27105 B2.7105 C27104 D0.27106 4 （3 分） （2021宝安区模拟）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分） （2021 秋朝阳区校级期末）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A B C D 6 （3 分） （2021 秋龙口市期末）设 m，则 m 的取值范围为（ ） A1m2 B2m3 C3m4 D0m1 7 （3 分） （2021 春青山区期末）方程组的解为（ ） A B C D 8 （
3、3 分） （2018 秋宁晋县期中）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，O 为坐标原点，若点 A 的坐标为（3，4） ，则点 C 的坐标为（ ） A （4，3） B （3，4） C （3，4） D （3，4） 9 （3 分） （2019 秋汉阳区期末）已知 a，b 为实数且满足 a1，b1，设 M+，N+ 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 a+b0，则 MN0 则上述四个结论正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 10 （3 分） （2020 秋莱州市期中）点（1，2）在反比例函数 y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（
4、） A （2，1） B （，1） C （2，1） D （，2） 11（3 分）（2019 春江岸区校级月考） 如图， P 在等边ABC 内且APC120， 则的最小值是 （ ） A B C D 12 （3 分） （2021黑龙江模拟）对称轴为 x1 的抛物线 yax2+bx+c（a0）如图所示，与 y 轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点） ，下列五个结论：abc0；若点（， y1）Q（，y2）均在抛物线上，则 y1y2；（a+c）2b2；方程 ax2+bx+c+0 没有实数根；a，其中结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满
5、分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分） （2021 秋如皋市期中）合并同类项：3a2+5a2a2 14 （3 分） （2019 春东湖区校级月考）计算 15 （3 分） （2021宁波）一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黑球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 16 （3 分） （2021 春仓山区校级期中）直线 y2x3 向上平移 2 个单位后的解析式为 17 （3 分） （2021 春邗江区期中）如图，边长为 2 的正方形 EFGH 在边长为 6 的正方形 ABCD 所在平面上移动，始终保持 EFAB线段 CF 的中点为 M
6、，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长为 18 （3 分）如图，在O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，连接 BD，若D30，BD2，则弦 CD 的长为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （8 分） （2019 春衡阳期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上 20 （8 分） （2021 春黄石港区期末）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先 进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表： 五项素质考评得分表（单位：分） 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 甲班 10 10 7 10 6 乙班 1
7、0 8 8 9 8 丙班 9 10 9 6 9 根据统计表中的信息解答下列问题： （1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据： 五项成绩考评分析表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 8.6 10 乙班 8.6 8 丙班 9 9 （2）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照 3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为区级先进班集体？ 21 （10 分） （2021 秋通州区期末）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点
8、 D，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AD6，求线段 AE 的长 22 （10 分） （2021抚顺）某景区 A、B 两个景点位于湖泊两侧，游客从景点 A 到景点 B 必须经过 C 处才能到达观测得景点 B 在景点 A 的北偏东 30，从景点 A 出发向正北方向步行 600 米到达 C 处，测得景点 B 在 C 的北偏东 75方向 （1）求景点 B 和 C 处之间的距离； （结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点 A 到景点 B 的笔直的跨湖大桥大桥修建后，从景点 A 到景点 B 比原来少走多少米？（结果保留
9、整数参考数据：1.414，1.732） 23 （10 分） （2021雁塔区校级模拟）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计） 一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有 4 分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计） 小明与家的距离 s（单位：米）与他所用的时间 t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发 7 分钟时与家的距离为 1200 米，从上公交车到他到达学校共用 10 分钟 （1）求小明在公交车上时，s 与 t 之间的函数表达式； （2）小
10、明上课是否迟到？请说明理由 24 （10 分） （2021 春渝中区校级月考）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线过点 A、B 和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BC，若点 P 在线段 AB 上方的抛物线上移动，过点 P 作 PQBC 交 AB 于 Q 点，求4PQ+BQ 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将该抛物线沿射线 CB 的方向平移 5 个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线交于点 R，M 点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点 N，使得以点 A、R、M、N 为顶
11、点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （10 分） （2020 秋江岸区期中）已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0） ，顶点为（0，0） （1）求 b，c 的值； （2）如图 1，若 a1，P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，过 P 作直线 PNx 轴交 x 轴于点 N，交直线：yx+2 于 M 点，设 P 点的横坐标为 m，当 2PMPN 时，求 m 的值； （3）如图 2，点 P（0，y0）为 y 轴正半轴上一定点，点 A，B 均为 y 轴右侧抛物线 C 上两动点，若APOBPy，求证：直线 AB 经过一个定点 参考答案解析参考答案解析 一
12、选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2019 秋横县期中）计算：2（3）的结果是（ ） A5 B1 C6 D6 【考点】有理数的乘法 【专题】计算题；实数；运算能力 【分析】先确定符号，然后把绝对值相乘 【解答】解：2（3）236， 故选：D 【点评】本题考查有理数的乘法，理解两个有理数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘是解题关键 2 （3 分） （2018 秋沧州期末）已知A 为锐角，且 cosA，则A 的度数（ ） A小于 45 B大于 45 C大于 30 D小于 30 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】实
13、数；符号意识 【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数增减性得出答案 【解答】解：当 cosA时，A45， A 为锐角，且 cosA， A 的度数小于 45 故选：A 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数增减性，正确掌握余弦函数的增减性是解题关键 3 （3 分） （2021平谷区二模）2022 年冬奥会张家口主场馆的设计方案日前正式对外公布，场馆主题为“活力冰雪，激情四射” ，占地面积 50 公顷，规划总建筑面积为 270000 平方米将 270000 用科学记数法表示为（ ） A27105 B2.7105 C27104 D0.27106 【考点】科学记数法表示较大
14、的数 【专题】实数；数感 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：2700002.7105， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，表示时关键要确定a 的值以及 n 的值 4 （3 分） （2021宝安区模拟）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图
15、形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：B 【点评】 本题考查了轴对称图形的概念， 轴对称图形是针对一个图形而言的， 是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条 5 （3 分） （2021 秋朝阳区校级期末）如图是由 5
16、个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；空间观念 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可 【解答】解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐 故选：D 【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形 6 （3 分） （2021 秋龙口市期末）设 m，则 m 的取值范围为（ ） A1m2 B2m3 C3m4 D0m1 【考点】估算无理数的大小 【专题】实数；运算能力 【分析】估算出的值即可判断 【解答】解：459，
17、23， 112， 11， 设 m，则 m 的取值范围为：0m1， 故选：D 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键 7 （3 分） （2021 春青山区期末）方程组的解为（ ） A B C D 【考点】解二元一次方程组 【专题】计算题；运算能力 【分析】用加减消元法解二元一次方程组 【解答】解：， +，得：3x6， 解得：x2， 把 x2 代入，得：2+y1， 解得：y1， 方程组的解为， 故选：B 【点评】本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤是解题关键 8 （3 分） （2018 秋宁晋县期中）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点
18、 O，O 为坐标原点，若点 A 的坐标为（3，4） ，则点 C 的坐标为（ ） A （4，3） B （3，4） C （3，4） D （3，4） 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质 【专题】多边形与平行四边形；推理能力 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知点 A、C 关于点 O 对称，再根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于坐标原点 O， 点 A、C 关于原点 O 对称， 点 A 的坐标为（3，4） ， 点 C 的坐标为（3，4） 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，关于原点对称的点的
19、坐标特征，比较简单 9 （3 分） （2019 秋汉阳区期末）已知 a，b 为实数且满足 a1，b1，设 M+，N+ 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 a+b0，则 MN0 则上述四个结论正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【考点】分式的加减法 【专题】分式；运算能力；推理能力 【分析】根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据分式的加法法则计算即可得结论； 根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论 【解答】解：M+，N+， MN+ （+） +， 当 ab1 时，MN0， MN，故正确； 当 ab1 时，2
20、ab2， 2ab20， 当 a0 时，b0， （a+1） （b+1）0 或（a+1） （b+1）0， MN0 或 MN0， MN 或 MN，故错误； 当 ab1 时，a 和 b 可能同号，也可能异号， （a+1） （b+1）0 或（a+1） （b+1）0，而 2ab20， MN 或 MN，故错误； MN（+） （+） +， a+b0， 原式+， a1，b1， （a+1）2（b+1）20， a+b0 ab0，MN0，故正确 故选：B 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用 10 （3 分） （2020 秋莱州市期中）点（1，2）在反比例函数 y的图象上，则下列各点在此
21、函数图象上的是（ ） A （2，1） B （，1） C （2，1） D （，2） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力 【分析】将点（1，2）代入 y即可求出 k 的值，再根据 kxy 解答即可 【解答】解：点（1，2）在反比例函数 y的图象上， k122，四个选项中只有 A 符合 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上 11（3 分）（2019 春江岸区校级月考） 如图， P 在等边ABC 内且APC120， 则的最小值是 （ ） A B
22、 C D 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；应用意识 【分析】将APC 旋转 60到ADB，连接 DP，则ADP 的等边三角形，ADBAPC120，根据垂线段最短，解决问题即可 【解答】 解： 将APC 旋转 60到ADB， 连接 DP， 则ADP 的等边三角形， ADBAPC120， PDPA，PDB60，过点 P 作 PEBD 于 E，则 PEPDPA， PBPEPA，即 故选：D 【点评】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造全等三角形解决问题，
23、属于中考选择题中压轴题 12 （3 分） （2021黑龙江模拟）对称轴为 x1 的抛物线 yax2+bx+c（a0）如图所示，与 y 轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点） ，下列五个结论：abc0；若点（，y1）Q（，y2）均在抛物线上，则 y1y2；（a+c）2b2；方程 ax2+bx+c+0 没有实数根；a，其中结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点；根的判别式 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力 【分析】根据二次函数图象和性质依次判断即可 【解答】解：抛物线开口向下，
24、 a0， 抛物线的对称轴是直线 x1， x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点） ， c abc0， 正确 （，y1）到对称轴的距离为：（1）， （，y2）到对称轴的距离为：1（）， 抛物线开口向下， y1y2 正确 x1 时，y0，x1 时，y0， a+b+c0，ab+c0， （a+b+c） （ab+c）0， （a+c）2b2 错误 2，对称轴 x1， 抛物线的顶点（1，2） 抛物线与直线 y有两个交点 方程 ax2+bx+c+0 有两个实数根 错误 抛物线的顶点为（1，2） ab+c2， a2a+c2 ac2 c a 故正确 正确 故选：C 【点评】本
25、题考查二次函数的图象和性质，抓住二次函数的顶点，对称轴，最值是求解本题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分） （2021 秋如皋市期中）合并同类项：3a2+5a2a2 7a2 【考点】合并同类项 【专题】整式；运算能力 【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案 【解答】解：3a2+5a2a2（3+51）a27a2 故答案为：7a2 【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项的法则，本题属于基础题型 14 （3 分） （2019 春东湖区校级月考）计算 2 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式 【专
26、题】二次根式；运算能力 【分析】利用平方差公式计算 【解答】解：原式（）222 64 2 故答案为 2 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 15 （3 分） （2021宁波）一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黑球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 【考点】概率公式 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率 【解答】解：一个不透
27、明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黑球， 共有 8 个球， 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 故答案为： 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 16 （3 分） （2021 春仓山区校级期中）直线 y2x3 向上平移 2 个单位后的解析式为 y2x1 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【分析】根据上加下减法则可得出答案 【解答】解：将直线 y2x3 向上平移 2 个单位长度后，所得的直线的解析式为：y2x3+2， 即 y2x1， 故答案为 y2x1 【点评】本题考查一次函数的图象变换，规律是上加下减，左加右减 17 （3
28、 分） （2021 春邗江区期中）如图，边长为 2 的正方形 EFGH 在边长为 6 的正方形 ABCD 所在平面上移动，始终保持 EFAB线段 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长为 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】连接 HM 并延长至点 P，使 MPMH，作 PQCD 于点 Q，连接 PC、FH、PD，由FHMCPM，求出 PCFH，根据等腰直角三角形的性质求出 PQCQ2，再运用勾股定理求出 PD，根据三角形中位线性质定理可求出 MN 的长 【解答】解：连接 HM 并
29、延长至点 P，使 MPMH，作 PQCD 于点 Q，连接 PC、FH、PD， M 是线段 CF 的中点， MFMC， 在FHM 和CPM 中， ， FHMCPM（SAS） ， FHPC，HFMPCM， EFEH2， FHPC2， FGBC， GFMBCM， HFGPCB45， PCQ45， PQQC2， DQCD+CQ8， PD2， 线段 HP 的中点为 M，DH 的中点为 N， MNPD 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键 18 （3 分）
30、如图，在O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，连接 BD，若D30，BD2，则弦 CD 的长为 2 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理 【专题】与圆有关的计算；推理能力 【分析】由垂径定理可知 ABCD，解直角三角形求出 DE，可得结论 【解答】解：CD 不是直径，DEEC，AB 是直径， ABCD， 在 RtDBE 中，DEB90，BDE30，BD2， DEBDcos302， CD2DE2， 故答案为：2 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理解决问题，属于中考常考题型 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 66 分）分） 1
31、9 （8 分） （2019 春衡阳期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集表示在数 轴上即可 【解答】解：由得：x1， 由得：x3， 不等式组的解集为1x3， 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （8 分） （2021 春黄石港区期末）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表
32、： 五项素质考评得分表（单位：分） 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 甲班 10 10 7 10 6 乙班 10 8 8 9 8 丙班 9 10 9 6 9 根据统计表中的信息解答下列问题： （1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据： 五项成绩考评分析表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 8.6 10 10 乙班 8.6 8 8 丙班 8.6 9 9 （2）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照 3：2：1：1：3 的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为
33、区级先进班集体？ 【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力 【分析】 （1）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法即可得出答案； （2）求出丙班的平均成绩，即可补全统计图，并得出优胜班级； 【解答】解： （1）甲班五项成绩出现次数最多的是 10 分，因此众数是 10， 将乙班五项成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是 8 分，因此中位数是 8， 丙班五项成绩的平均数为8.6（分） ， 故答案为：10，8，8.6； （2）丙班的平均分为8.9（分） ， 补全统计图如下： 由于 8.98.78.5， 所以丙班的成绩较好 【点评】本
34、题考查条形统计图，加权平均数，中位数、众数，理解加权平均数、中位数、众数的意义和计算方法是解决问题的关键 21 （10 分） （2021 秋通州区期末）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45，连接 AO 并延长交O 于点 D，过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AD6，求线段 AE 的长 【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质得到OCE90，根据圆周角定理得到AOC90，根据平行线的判定定理证明结论； （2） 过点 A 作 AF
35、EC 交 EC 于 F， 根据正方形的性质求出 AF3， 根据正弦的定义计算即可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， CE 是O 的切线， OCE90， ，ABC45， AOC2ABC90， AOC+OCE180， ADEC； （2）解：过点 A 作 AFEC 交 EC 于点 F， AOC90，OAOC， OAC45， BAC75， BADBACOAC754530， ADEC， EBAD30， OCE90，AOC90，OAOC， 四边形 OAFC 是正方形， AFOA， AD6， AFAD3， 在 RtAFE 中， sinE， AE6 【点评】本题考查的是切线的性质，正方形的性质，锐角
36、三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解此题的关键 22 （10 分） （2021抚顺）某景区 A、B 两个景点位于湖泊两侧，游客从景点 A 到景点 B 必须经过 C 处才能到达观测得景点 B 在景点 A 的北偏东 30，从景点 A 出发向正北方向步行 600 米到达 C 处，测得景点 B 在 C 的北偏东 75方向 （1）求景点 B 和 C 处之间的距离； （结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点 A 到景点 B 的笔直的跨湖大桥大桥修建后，从景点 A 到景点 B 比原来少走多少米？（结果保留整数参考数据：1.414，1.732） 【考点】解直角三角形
37、的应用方向角问题 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想 【分析】 （1）通过作辅助线，构造直角三角形，在 RtACD 中，可求出 CD、AD，根据外角的性质可求出B 的度数，在 RtBCD 中求出 BC 即可； （2）计算 AC+BC 和 AB 的长，计算可得答案 【解答】解： （1）过点 C 作 CDAB 于点 D， 由题意得，A30，BCE75，AC600m， 在 RtACD 中，A30，AC600， CDAC300（m） ， ADAC300（m） ， BCE75A+B， B75A45， CDBD300（m） ， BCCD300（m） ， 答：景点 B 和 C 处之间
38、的距离为 300m； （2）由题意得 AC+BC（600+300）m， ABAD+BD（300+300）m， AC+BCAB（600+300）（300+300） 204.6 205（m） ， 答：大桥修建后，从景点 A 到景点 B 比原来少走约 205m 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键 23 （10 分） （2021雁塔区校级模拟）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计） 一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时
39、发现还有 4 分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计） 小明与家的距离 s（单位：米）与他所用的时间 t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发 7 分钟时与家的距离为 1200 米，从上公交车到他到达学校共用 10 分钟 （1）求小明在公交车上时，s 与 t 之间的函数表达式； （2）小明上课是否迟到？请说明理由 【考点】一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得小明坐公交车时间是多少和下车到学校所用的时间 【解答】解： （1）如图，设线段 AB 所在直线的解析式为 skt+b， 由题意
40、和图知，点（7，1200） ，B（12，3200）在线段 AB 上， 即， 解得， 所以小明在公交车上时，s 与 t 之间的函数表达式为 s400t1600； （2）公交车的速度为（32001200）（127）400（米/分钟） ， 坐公交车时间是： （3200400）4007（分钟） ， 下车到学校所用的时间：1073， 因为 43， 故小明上课没有迟到 【点评】本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键 24 （10 分） （2021 春渝中区校级月考）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线过点 A、B
41、 和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BC，若点 P 在线段 AB 上方的抛物线上移动，过点 P 作 PQBC 交 AB 于 Q 点，求4PQ+BQ 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将该抛物线沿射线 CB 的方向平移 5 个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线交于点 R，M 点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点 N，使得以点 A、R、M、N 为顶点的四 边 形 为 矩 形 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点N的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题；分类讨论；方程思想；
42、函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识 【分析】 （1）根据分别求出 A（6，0） ，B（0，3） ，再把点 A、B、C 坐标代入 yax2+bx+c，求出抛物线解析式即可； （2）设 P（x0，y0） ，则 0 x06，推出 Q 点坐标，用含 x0的代数式表示出 BQ，从而用含 x0的代数式表示出，根据二次函数性质即可求出最大值以及对应的 P 点坐标； （3）由沿射线 CB 方向平移 5 个单位，即将 A，B，C 三点沿此 x 轴向右方向平移 4 个单位，向上平移 3个单位， 得到 A （10， 3） ， B （4， 6） ， C （0， 3） ， 求出平移后的抛物线解析式为
43、，从而求得 R 坐标，设 M（5，t） ，N（a，b） ，则 AR245，MR225+（t3）2，AM2t2+1，以点 A、R、M、N 为顶点的四边形为矩形则需要分类讨论：以 AR 为对角线时，t2+1+25+（t3）245，且，可解得 N 坐标；同理可求出以 AR、RM 为边时，以 AR、AM 为边时，N 的坐标 【解答】解： （1）由题意直线， 令 y0，x6，令 x0，y3， A（6，0） ，B（0，3） ， 把 A（6，0） ，B（0，3） ，C（4，0）代入 yax2+bx+c， 得， 解得， 抛物线解析式为； （2）延长 PQ 交 x 轴于 M，过 P 作 y 轴的平行线，过 Q
44、作 x 轴的平行线交于 N，如图： 设 P（x1，y1） ，则 0 x16， 点 Q 在 AB 上， Q， BQ， PQBC， BCOPMA， QNx 轴， PQNPMA， BCOPQN， RtBOC 中，cosBCO，tanBCO， cosPQN，即， 而 QNx1x0， PQ（x1x0） ， 4PQ+BQ5（x1x0）+x05x14x0， tanPQNtanBCO， ， 即 ，即 x0 4PQ+BQ5x14x05x1（x1）2+， 当 x1时，4PQ+BQ 有最大值， 此时 P（，） ； （3）存在 A、R、M、N 为顶点的四边形为矩形，理由如下： 由沿射线 CB 方向平移 5 个单位，即
45、将 A，B，C 三点沿此 x 轴向右方向平移 4 个单位，向上平移 3 个单位， A（10，3） ，B（4，6） ，C（0，3） ， 设， 把 A（10，3） ，B（4，6） ，C（0，3）代入上式得， 解得， ， 抛物线对称轴为 x5， 联立和， 解得， R（0，3） ， 设 M（5，t） ，N（a，b） ，而 A（6，0） ， AR2（60）2+（03）245，MR225+（t3）2，AM2t2+1， 以 AR 为对角线时，如图： 四边形 AMRN 是矩形，需满足 AR、MN 互相平分且AMR90， AM2+RM2AB2，即 t2+1+25+（t3）245， 解得 t或 t， 当 t时，M
46、（5，） ， AR、MN 互相平分，即 AR 中点是 MN 中点， ， ，即 N（1，） ， 当 t时，M（5，） ， 同理可得 N（1，） ； 以 AR、RM 为边时，如图： 四边形 ANMR 是矩形，需满足 AM、RN 互相平分且ARM90， AR2+RM2AM2，即 45+25+（t3）2t2+1， 解得 t13， M（5，13） ， AM、RN 互相平分，即 AM 中点是 RN 中点， ， 解得， N（11，10） ； 以 AR、AM 为边，如图： 四边形 AMNR 是矩形，需满足 AN、RM 互相平分且MAR90， AM2+AR2MR2，即 t2+1+4525+（t3）2， 解得 t
47、2， M（5，2） ， AN、RM 互相平分， ， 解得， N（1，1） ， 综上所述，N（1，）或 N（1，）或 N（1，1）或 N（11，10） 【点评】本题主要是考察了二次函数综合应用，涉及二次函数解析式、二次函数图象上点坐标特征、矩形性质及判定等知识，设点的坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长度是解决此问题的关键 25 （10 分） （2020 秋江岸区期中）已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0） ，顶点为（0，0） （1）求 b，c 的值； （2）如图 1，若 a1，P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，过 P 作直线 PNx 轴交 x 轴于点 N，交直线：yx+2 于 M
48、点，设 P 点的横坐标为 m，当 2PMPN 时，求 m 的值； （3）如图 2，点 P（0，y0）为 y 轴正半轴上一定点，点 A，B 均为 y 轴右侧抛物线 C 上两动点，若APOBPy，求证：直线 AB 经过一个定点 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；数形结合；数据分析观念 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 ya（xh）2+kax2，即可求解； （2）PMPN，则|m+2m2|m2，即可求解； （3）抛物线关于 y 轴对称，故点 M 在抛物线上，连接 MP，MPOOPABPy，故 M、P、B 三点共线，进而求解 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xh）2+ka
49、x2， 故 b0，c0； （2）a1 时，抛物线的表达式为 yx2， 设点 P 的坐标为 P（m，m2） ，则点 M（m，m+2） ， 2PMPN，则|m+2m2|m2， 解得 m（舍去）或或 或1（舍去） ， 故 m或 ； （3）作点 A 关于 y 轴的对称轴 M， 抛物线关于 y 轴对称，故点 M 在抛物线上，连接 MP， MPOOPABPy，故 M、P、B 三点共线， 设点 A（p，ap2） ，则点 M（p，ap2） ， 设直线 PM 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 PM 的表达式为 y+y0， 联立并整理得：ax2xy00， 则 xB+xM， 即 xBp，则 xB， 将 xB 的值代入 yax2得，y，故点 B 的坐标为（，） ， 由点 B、A 的坐标得，直线 AB 的表达式为 yxy0， 当 x0 时，yy0， 故直线 AB 恒过点（0，y0）