1、20222022 年哈尔滨中考模拟年哈尔滨中考模拟数学数学试卷试卷（二二） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2021 秋西湖区期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A6 和6 B6 和 C6 和 D和 6 2 （3 分） （2021 秋西青区期末）下列计算结果正确的是（ ） A （a3）4a12 Ba3a3a9 C （2a）24a2 D （ab）2ab2 3 （3 分） （2021 秋八公山区期末）下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4
2、个 4（3 分）（2022丘北县一模） 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的， 则这个几何体的俯视图是 （ ） A B C D 5 （3 分） （2021 秋莱芜区期末）如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，ADC105，则ABC（ ） A55 B65 C75 D85 6 （3 分） （2022南岗区校级模拟）方程0 的解为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 D无解 7 （3 分） （2021 秋巢湖市期末）如图，ACBACB，BCB30，则ACA的度数为（ ） A20 B30 C35 D40 8 （3 分） （2021 秋漳州期末）投掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，掷得“1”的概率
3、是（ ） A B C D 9 （3 分） （2021 秋山阴县期末）如图，直线 a，b，c 截直线 e 和 f，abc，则下列结论中，正确的是（ ） A B C D 10 （3 分） （2021 秋柯桥区期末）如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点 O 运动到点 P1（1，1） ，第二次运动到点 P2（2，0） ，第三次运动到 P3（3，2） ，按这样的运动规律，第 2022 次运动后，动点 P2022的坐标是（ ） A （2022，1） B （2022，2） C （2022，2） D （2022，0） 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30
4、 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （2021 秋景县期末） 截止 2021 年 10 月 20 日， 电影 长津湖 的累计票房达到大约 50.36 亿元，数据 50.36 亿用科学记数法表示为 12 （3 分） （2022 春亭湖区校级月考）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点 P分别作 AD、DC 延长线的垂线，垂足分别为点 E、F若ABC120，AB4，则 PEPF 13 （3 分） （2021 秋大冶市期末）对于函数 y，当函数值 y1 时，x 的取值范围是 14 （3 分） （2021 秋孟津县期末）当 a0 时，化简 15 （3
5、 分） （2021 秋长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x 16 （3 分） （2022南关区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+mx+3 过点（4，3） ，着当 0 xa 时，y 有最大值 7，最小值 3，则 a 的取值范围是 17 （3 分） （2021 秋新郑市期末）不等式组的解集为 18 （3 分） （2021 秋桓台县期末）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB2，BC3，ABC60，则图中阴影部分的面积是 19 （3 分） （2021 秋龙江县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为 （1
6、， 1） ，是以点 B 为圆心， BA 为半径的圆弧；是以点 O 为圆心， OA1为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的 “渐开线” ， 那么点 A2021的坐标是 20 （3 分） （2021 秋溧阳市期末）如图，在边长 1 正网格中，A、B、C 都在网格线上，AB 与 CD 相交于点 D，则 sinADC 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 60 分）分） 21 （7 分） （2021 秋思明区校级期末）先化简，再求值：，其中 x2+
7、 22 （7 分） （2022 春浦北县校级月考）如图，在四边形 ABCD 中，A60，BD90，BC6，CD4，求 AB 的长 23 （8 分） （2021 春越城区校级期中）某商贸公司 10 名销售员 3 月份完成的销售额情况如下表： 销售额（万元） 3 4 5 6 7 8 16 销售员人数 1 1 3 2 1 1 1 （1）销售额的中位数是 万元，众数 万元，平均每人完成的销售额 万元 （2）其中有位销售员甲 3 月份的销售额是 8 万元，计划到 5 月份增长到 12.5 万元，求每月的平均增长率 24 （8 分） （2021 秋丰润区期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC
8、 于点 D，E 是 BC 上一点，BECD，EFAD 交 AB 于点 F，交 CA 的延长线于点 P，CHAB 交 AD 的延长线于点 H （1）求证：APF 是等腰三角形； （2）试在图中找出一对全等的三角形，并给予证明 25 （10 分）某商场对顾客购物实行优惠，规定： （1）一次购物不超过 100 元不优惠； （2）一次购物超过 100 元但不超过 300 元，按标价的九折优惠； （3）一次超过 300 元的，300 元内的部分按（2）优惠，超过 300 元的部分按八折优惠老王第一次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠商场告诉他：如果他一次性购买同样多的商品还可少花 19 元
9、；如果商品不打折，他将比现在多花 67 元钱问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱？ 26 （10 分） （2021 秋巴彦县期末）如图 1，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点 A 作 AB的垂线交 BC 延长线于点 D （1）求证：BACD； （2）如图 2，过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E，求证：AD2CE； （3）如图 3，若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点，连接 CF 交 AB 于点 G，且 CE1.5，AG2OG，求CF 的长 27 （10 分） （2022永城市校级一模）我们不妨约定：对于某一自变量为 x 的函数，若当 xm 时，其函数
10、值也为 m，则称点（m，m）为此函数的“不动点” 如：反比例函数 y有两个“不动点” ，坐标分别为（1，1）和（1，1） （1）一次函数 y3x1 的“不动点”坐标为 ； （2）若抛物线 L：yax22ax+2 上只有一个“不动点”A 求抛物线 L 的解析式和这个“不动点”A 的坐标； 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 L 平移后，得到抛物线 L：yax22ax+2+n（n0） ，抛物线L与 y 轴交于点 B，连接 OA，AB，若抛物线 L的顶点落在OAB 内部（不含边界） ，请直接写出 n 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题
11、，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2021 秋西湖区期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A6 和6 B6 和 C6 和 D和 6 【考点】相反数 【专题】实数；运算能力 【分析】相反数定义：数值相反的两个数，其中一个数是另一个数的相反数由此可求解 【解答】解：A.6 和6 互为相反数，符合题意； B6 和互为负倒数，不符合题意； C6 和互为倒数，不符合题意； D.6 和互为倒数，不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键 2 （3 分） （2021 秋西青区期末）下列计算结果正确的是（ ） A （a3）4a12 B
12、a3a3a9 C （2a）24a2 D （ab）2ab2 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 【专题】整式；运算能力 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案 【解答】解：A、原式a12，故 A 符合题意 B、原式a6，故 B 不符合题意 C、原式4a2，故 C 不符合题意 D、原式a2b2，故 D 不符合题意 故选：A 【点评】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型 3 （3 分） （2021 秋八公山区期末）下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】轴对称图形
13、【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形绕一个点旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形 【解答】解：第一个是中心对称图形，但不是轴对称图形，其它三个是轴对称图形故选 C 【点评】 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合， 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4（3 分）（2022丘北县一模） 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的， 则这个几何体的俯视图是 （ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；空间观念 【分析】根据俯视图的定义，从上往下看到的几何图形是俯视图即可判断 【解答】解：从几何体上
14、面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形 故选：D 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提 5 （3 分） （2021 秋莱芜区期末）如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，ADC105，则ABC（ ） A55 B65 C75 D85 【考点】圆周角定理 【专题】与圆有关的计算；几何直观 【分析】连接 BD，先根据圆周角定理得到ADB90，则可计算出BDC15，然后根据圆周角定理得到CAB 的度数进而求出答案 【解答】解：连接 BD，如图， AB 是半圆的直径， ADB90， BDCADCADB1059015， CABBDC1
15、5 ABC90CAB75 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 6 （3 分） （2022南岗区校级模拟）方程0 的解为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 D无解 【考点】解分式方程；分式方程的解 【专题】分式方程及应用；运算能力 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：2xx+10， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 故选：B 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的
16、思想，解分式方程注意要检验 7 （3 分） （2021 秋巢湖市期末）如图，ACBACB，BCB30，则ACA的度数为（ ） A20 B30 C35 D40 【考点】全等三角形的性质 【专题】图形的全等；推理能力 【分析】根据全等三角形的性质得到ACBACB，结合图形计算，得到答案 【解答】解：ACBACB， ACBACB， ACBACBACBACB， ACABCB30， 故选：B 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键 8 （3 分） （2021 秋漳州期末）投掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，掷得“1”的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【
17、专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】用掷到点数是 1 的结果数除以所有可能的结果数即可 【解答】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有 6 种等可能结果，其中向上一面的点数是 1 的只有 1种结果， 所以向上一面的点数是 1 的概率为， 故选：B 【点评】本题考查了概率公式用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 9 （3 分） （2021 秋山阴县期末）如图，直线 a，b，c 截直线 e 和 f，abc，则下列结论中，正确的是（ ） A B C D 【考点】平行线分线段成比例 【专题】图形的相似；推理能力 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题 【解答】解：abc， ， ，故
18、选项 A 正确，符合题意，选项 B、D 不正确，不符合题意； 连接 AF，交 BE 于 H， BECF， ABHACF， ， ， 选项 C 不正确，不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键 10 （3 分） （2021 秋柯桥区期末）如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点 O 运动到点 P1（1，1） ，第二次运动到点 P2（2，0） ，第三次运动到 P3（3，2） ，按这样的运动规律，第 2022 次运动后，动点 P2022的坐标是（ ） A （2022，1） B （2022，2） C （202
19、2，2） D （2022，0） 【考点】规律型：点的坐标 【专题】规律型；平面直角坐标系；应用意识 【分析】观察图象，结合第一次从原点 O 运动到点 P1（1，1） ，第二次运动到点 P2（2，0） ，第三次运动到 P3（3，2） ，运动后的点的坐标特点，分别得出点 P 运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案 【解答】解：观察图象，动点 P 第一次从原点 O 运动到点 P1（1，1） ，第二次运动到点 P2（2，0） ，第三次运动到 P3（3， 2） ， 第四次运动到 P4（4， 0） ， 第五运动到 P5（5， 2） ， 第六次运动到 P6（6， 0） ， ，结合运动后的点的坐标
20、特点， 可知由图象可得纵坐标每 6 次运动组成一个循环：1，0，2，0，2，0； 20226337， 经过第 2022 次运动后，动点 P 的纵坐标是 0， 故选：D 【点评】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每 6 次运动组成一个循环是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分） （2021 秋景县期末） 截止 2021 年 10 月 20 日， 电影 长津湖 的累计票房达到大约 50.36 亿元，数据 50.36 亿用科学记数法表示为 5.036109 【考点】科学记数法表示较大的
21、数 【专题】实数；数感 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：50.36 亿50360000005.036109 故答案为：5.036109 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要确定 a 的值以及 n 的值 12 （3 分） （2022 春亭湖区校级月考）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线
22、 AC 延长线上一点，过点 P分别作 AD、 DC 延长线的垂线， 垂足分别为点 E、 F 若ABC120， AB4， 则 PEPF 2 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】 设 AC 交 BD 于 O， 根据已知可得 AC2， 而 PEPFAPCP （APCP） AC，即可得到答案 【解答】解：设 AC 交 BD 于 O，如图： 在菱形 ABCD 中，ABC120，AB4， BADBCD60，DACDCA30，ADAB4，BDAC， RtAOD 中，ODAD2，OA2， AC2OA4， RtAPE 中，DAC30，
23、PEAP， RtCPF 中，PCFDCA30，PFCP， PEPFAPCP（APCP）AC， PEPF2， 故答案为：2 【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出 AC，把 PEPF 转化为AC 13 （3 分） （2021 秋大冶市期末）对于函数 y，当函数值 y1 时，x 的取值范围是 3x0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质 【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力 【分析】先求出 y1 时 x 的值，再由反比例函数的性质即可得出结论 【解答】解：k30， 函数 y的图象在一、三象限，在每个象限，y 随 x 的增大而减小， 当 y1 时，x
24、3， 当函数值 y1 时，3x0 故答案为：3x0 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键 14 （3 分） （2021 秋孟津县期末）当 a0 时，化简 【考点】二次根式的性质与化简 【专题】二次根式；运算能力 【分析】因为已知 a0，根据二次根式的性质化简即可 【解答】解：a0， 故选： 【点评】本题考查了二次根式的性质，能根据性质得出原式是解此题的关键 15 （3 分） （2021 秋长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x 2x（x+1）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】因式分解；运算能力 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公
25、式分解即可 【解答】解：原式2x（x2+2x+1） 2x（x+1）2 故答案为：2x（x+1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 16 （3 分） （2022南关区校级一模）在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+mx+3 过点（4，3） ，着当 0 xa 时，y 有最大值 7，最小值 3，则 a 的取值范围是 2a4 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力 【分析】先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到 a 的取值范围 【解答】解：二次函数
26、 yx2+mx+3 过点（4，3） ， 316+4m+3， m4， yx2+4x+3， yx2+4x+3（x2）2+7， 抛物线开口向下，对称轴是 x2，顶点为（2，7） ，函数有最大值 7， 把 y3 代入 yx2+4x+3 得 3x2+4x+3，解得 x0 或 x4， 当 0 xa 时，y 有最大值 7，最小值 3， 2a4 故答案为：2a4 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 17 （3 分） （2021 秋新郑市期末）不等式组的解集为 x4 【考点】解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能
27、力 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x8x，得 x， 解不等式 x+22（x1） ，得 x4， 则不等式组的解集为x4， 故答案为：x4 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （3 分） （2021 秋桓台县期末）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB2，BC3，ABC60，则图中阴影部分的面积是 【考点】平行四边形的性质 【专题】
28、图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力 【分析】作 AMBC 于 M，如图所示：根据直角三角形的性质得到 BMAB21，根据勾股定理得到 AM，得到 S平行四边形ABCDBCAM3，根据平行四边形的性质得到 ADBC，BODO，根据全等三角形的性质得到 SBOESDOF，于是得到结论 【解答】解：作 AMBC 于 M，如图所示： 则AMB90， ABC60， BAM30， BMAB21， 在 RtABM 中，AB2AM2+BM2， AM， S平行四边形ABCDBCAM3， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BODO， OBEODF， 在BOE 和DOF 中， ， BOEDOF（AS
29、A） ， SBOESDOF， 图中阴影部分的面积ABCD 的面积， 故答案为： 【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键 19 （3 分） （2021 秋龙江县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为 （1， 1） ，是以点 B 为圆心， BA 为半径的圆弧；是以点 O 为圆心， OA1为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的 “渐
30、开线” ， 那么点 A2021的坐标是 （2022，0） 【考点】弧长的计算；规律型：点的坐标 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】根据题意分别写出 A1A8的坐标，根据规律解答 【解答】解：观察，找规律：A（1，1） ，A1（2，0） ，A2（0，2） ，A3（3，1） ，A4（1，5） ，A5（6，0） ，A6（0，6） ，A7（7，1） ，A8（1，9）， A4n（1，4n+1） ，A4n+1（4n+2，0） ，A4n+2（0，（4n+2） ） ，A4n+3（4n+3） ，1） 20215054+1， A2021的坐标为（2022，0） 故答案为： （2022，0） 【点评】本
31、题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是根据题意找出“A4n（1，4n+1） ，A4n+1（4n+2，0） ，A4n+2（0，（4n+2） ） ，A4n+3（4n+3） ，1） ”这一规律，解决该题型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键 20 （3 分） （2021 秋溧阳市期末）如图，在边长 1 正网格中，A、B、C 都在网格线上，AB 与 CD 相交于点 D，则 sinADC 【考点】解直角三角形 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力 【分析】要求 sinADC 的值，可以转化为和它相等的角，所以想到延长 CD 到点 E，连接 BE，然后证明DEB 是直角三角
32、形，求出 sinEDB 的值即可 【解答】解：如图，延长 CD 到点 E，连接 BE， 由题意得： DE212+122， EB222+228， BD212+3210， DE2+EB2BD2， DEB 是直角三角形， sinEDB， ADCEDB， sinADC， 故答案为： 【点评】 本题考查了解直角三角形， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线， 是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 60 分）分） 21 （7 分） （2021 秋思明区校级期末）先化简，再求值：，其中 x2+ 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题；分式；运算能力 【分析】先将小括号内的
33、式子进行通分计算，然后再算括号外面的乘法，最后代入求值 【解答】解：原式 ， 当 x2+时， 原式2+1 【点评】本题考查分式的化简求值，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键 22 （7 分） （2022 春浦北县校级月考）如图，在四边形 ABCD 中，A60，BD90，BC6，CD4，求 AB 的长 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形 【专题】计算题 【分析】延长 AD，BC，交于点 E，在直角三角形 ABE 中，由 A 的度数求出 E 的度数，在直角三角形DCE 中，利用
34、30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 CE 的长，由 BC+CE 求出 BE 的长，在直角三角形 ABE 中，设 ABx，则 AE2x，根据勾股定理求出 x 的值，即为 AB 的长 【解答】解：延长 AD，BC，交于点 E， 在 RtABC 中，A60，BC6， E30， 在 RtCDE 中，CD4， CE2CD8，BEBC+CE6+814， 设 ABx，则有 AE2x， 根据勾股定理得：x2+142（2x）2， 解得：x， 则 AB 【点评】此题考查了勾股定理，以及含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键 23 （8 分） （2021 春越城区校级期中）某商贸公司 10
35、 名销售员 3 月份完成的销售额情况如下表： 销售额（万元） 3 4 5 6 7 8 16 销售员人数 1 1 3 2 1 1 1 （1）销售额的中位数是 5.5 万元，众数 5 万元，平均每人完成的销售额 6.5 万元 （2）其中有位销售员甲 3 月份的销售额是 8 万元，计划到 5 月份增长到 12.5 万元，求每月的平均增长率 【考点】一元二次方程的应用；中位数；众数 【专题】一元二次方程及应用；应用意识 【分析】 （1）根据中位数以及众数的定义，可找出该组数据的中位数及众数，再利用平均每人完成的销售额销售总额人数，即可求出平均每人完成的销售额； （2）设每月的平均增长率为 x，利用 5
36、 月份的销售额3 月份的销售额（1+每月的平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）销售额的中位数是5.5（万元） ，众数为 5 万元， 平均销售额为（31+41+53+62+71+81+161）（1+1+3+2+1+1+1）6.5（万元） 故答案为：5.5；5；6.5 （2）设每月的平均增长率为 x， 依题意得：8（1+x）212.5， 解得：x10.2525%，x22.25（不合题意，舍去） 答：每月的平均增长率为 25% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、中位数以及众数，解题的关键是： （1）牢记中位数及众数的定义； （2）找准等
37、量关系，正确列出一元二次方程 24 （8 分） （2021 秋丰润区期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，E 是 BC 上一点，BECD，EFAD 交 AB 于点 F，交 CA 的延长线于点 P，CHAB 交 AD 的延长线于点 H （1）求证：APF 是等腰三角形； （2）试在图中找出一对全等的三角形，并给予证明 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定与性质 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等可得14，同位角相等可得2P，再根据角平分线的定义可得12，然后求出4P，根据等角对等边的性质即可得证； （2
38、）根据两直线平行，内错角相等可得5B，再求出H13，然后利用“AAS”证明BEF和CDH 全等 【解答】 （1）证明：如图 EFAD， 14，2P， AD 平分BAC， 12， 4P， AFAP， 即APF 是等腰三角形； （2）解：BEFCDH理由如下： CHAB， 5B，H1， EFAD， 13， H3， 在BEF 和CDH 中， ， BEFCDH（AAS） 【点评】 本题考查了等腰三角形的判定， 全等三角形的判定与性质， 以及平行线的性质， 题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键 25 （10 分）某商场对顾客购物实行优惠，规定： （1）一次购物不超过 100 元不优惠； （2）一次购
39、物超过 100 元但不超过 300 元，按标价的九折优惠； （3）一次超过 300 元的，300 元内的部分按（2）优惠，超过 300 元的部分按八折优惠老王第一次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠商场告诉他：如果他一次性购买同样多的商品还可少花 19 元；如果商品不打折，他将比现在多花 67 元钱问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱？ 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】销售问题 【分析】可以分别设第一次和第二次购物的标价为未知数，根据“他一次性购买同样多的商品还可少花19 元；如果商品不打折，他将比现在多花 67 元钱”可列出两个关于未知数的方程，再根据“老王第一
40、次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠”即可得老王第一次购物、第二次购物实际各支付的钱数 【解答】解：设老王第一次购物的标价为 x 元，实际支付 0.9x 元，第二次购物的标价为 y 元，实际支付3000.9+（y300）0.8 元， （4 分） 依题意，得 0.9x+（y300）0.8+3000.93000.9+（x+y300）0.819 （x+y）0.9x+（y300）0.8+3000.967 （8 分） 由得，0.1x19，x190（元） ； （12 分） 由得，0.1x+0.2y97， 将 x 代入，得 y390（元） 故第一次支付 0.9190171（元） ，第二次支付
41、270+（390300）0.8342（元） 答：老王第一次支付了 171 元，第二次支付了 342 元 （16 分） 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解 26 （10 分） （2021 秋巴彦县期末）如图 1，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点 A 作 AB的垂线交 BC 延长线于点 D （1）求证：BACD； （2）如图 2，过点 C 作O 的切线 CE 交 AD 于点 E，求证：AD2CE； （3）如图 3，若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点，连接 CF 交 AB 于点 G，且
42、 CE1.5，AG2OG，求CF 的长 【考点】圆的综合题 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力 【分析】 （1）由BADACB90得BAC+BD+B90，进而命题得证； （2）根据切线长定理，EAEC，从而EACACE，进而证得DECD，进一步命题得证； （3） 设 OGa， 则 AG2a， OFOBOA3a， AB6a， 可求得 FG， 可证ACGBFG， 求得 CG，证明FOGCHG，从而表示出 CH，HG，进而求得 BH，根据BHCBAD，求得 a1，进而求得结果 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB90， BAC+B90，
43、ADAB， BAD90， D+B90， BACD； （2）证明：ADAB，AB 是直径， AD 是O 的切线， EC 是O 的切线， EAEC， EACACE， ACD90， D+EAC90，D+ACE90， DECD， EDEC， AD2EC； （3）解：如图， 连接 OF，作 CHAB 于 H， 设 OGa，则 AG2a，OFOBOA3a，AB6a， 点 F 是的中点， AOF90， FGa， ， ACFABF， AGCBGF， ACGBFG， ， ， CGa， CHGGOF90，CGHOGF， FOGCHG， ， ， CH，HG， BHBG+HG4a+， CHAD， BHCBAD， ，
44、AD2CE3， ， a1， CFCG+FG+ 【点评】本题考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论等知识，解决问题的关键是利用相似，需求复杂的数量关系 27 （10 分） （2022永城市校级一模）我们不妨约定：对于某一自变量为 x 的函数，若当 xm 时，其函数值也为 m，则称点（m，m）为此函数的“不动点” 如：反比例函数 y有两个“不动点” ，坐标分别为（1，1）和（1，1） （1）一次函数 y3x1 的“不动点”坐标为 （，） ； （2）若抛物线 L：yax22ax+2 上只有一个“不动点”A 求抛物线 L 的解析式和这个“不动点”A 的坐标； 在平面直角坐标系
45、 xOy 中，将抛物线 L 平移后，得到抛物线 L：yax22ax+2+n（n0） ，抛物线L与 y 轴交于点 B，连接 OA，AB，若抛物线 L的顶点落在OAB 内部（不含边界） ，请直接写出 n 的取值范围 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；运算能力 【分析】 （1）由“不动点”的概念可得出答案； （2） 由题意得出关于 x 的方程 ax22ax+2x 有两个相等的实数根， 可求出 a 的值， 解方程x 可求出 A 点的坐标； 先利用配方法求出二次函数的顶点坐标， 利用待定系数法分别求出直线 AB 与直线 OA 的解析式， 将顶点坐标的值分别代入两直线的
46、解析式，求出 n 的取值范围； 【解答】解： （1）xm 时，其函数值也为 m， m3m1， 解得 m， 一次函数 y3x1 的“不动点”坐标为（，） ， 故答案为： （，） ； （2）yax22ax+2 上只有一个“不动点”A， 关于 x 的方程 ax22ax+2x 有两个相等的实数根， 整理方程得 ax2（2a+1）x+20， （2a+1）28a0， 解得 a， 抛物线 L 的解析式为 y， 令x， 解得 x1x22， “不动点”A 的坐标为（2，2） yx2x+2（x1）2+， 抛物线 L 的顶点的坐标为（1，） 平移后的抛物线 L的顶点坐标为（1，+n） ， 设直线 AB 的解析式是 ypx+q， A（2，2） 、B（0，n+2） ， ，解之得：， 直线 AB 的解析式为 yx+n+2 设直线 OA 的解析式是 ykx， 直线 OA 经过 A（2，2） ， 2k2，解之得：k1， 直线 OA 的解析式为 yx 当抛物线 L的顶点过直线 AB 时， ， 解得 n1， 当抛物线 L的顶点过直线 OA 时， 1， n， 抛物线 L的顶点落在OAB 内部（不含边界） ， n1， n 的取值范围是n1 且 n0