1、江苏省盐城市东台市2021-2022学年九年级上期末数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 一组数据1，1，2，5，3的极差是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 32. 在比例尺为1：38000的城市交通地图上，某条道路的长为5cm，则它的实际长度为( )A. 0.19 kmB. 1.9 kmC. 19 kmD. 190 km3. 如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinACB的值为（）A. 3B. C. D. 4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. B. C. D. 5. 如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，DE=1，BC=3，S
2、ADE=2，则SABC为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 246. 下列叙述：圆内接四边形对角互补；矩形一定有一个外接圆；三角形的外心到三角形三边的距离相等；三角形一定有内切圆，其中真命题的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7. 如图，点E在y轴上，E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，1），则线段AB的长度为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQAB交ABC的直角边于点Q，设AP为x，APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关
3、系的图象大致是（ ）A B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9. 如果sin =，那么锐角 =_.10. 二次函数最大值是_11. 一个暗箱里装有3个黑球，2个白球，1个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是_12. 若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m_n（填大小关系）13. 如图，AC、AB是的两条弦，则_14. 秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为_m（结果保留根号）15. 一个圆锥的底面半径为5cm，母线长为15cm，则该圆锥展开后
4、所得到的扇形的圆心角的度数是_16. 如图，在BDE中，BDE=90，BD=，点D的坐标是(7，0)，BDO=15，将BDE旋转到ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为_ 三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17. （1）计算：（2）解方程：18. 已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根19. 已知二次函数的图象经过，两点（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，？20. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且（1）求证：BAE=CAD；（2）求证：ABEACD
5、21. A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1： （1）请将表和图1中的空缺部分补充完整（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角的度数是_（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选22. 甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4这些球除颜色和数字外完全相同小亮从甲袋中随机摸出
6、一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球（1）用画树状图（树形图）或列表方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；（2）小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜；否则，小刚胜你认为这个游戏公平吗？为什么？23. 如图，在四边形ABCD中，于点E，于点F，（1）求度数；（2）求四边形ABCD的面积24. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？25. 已知：如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，点E在CD的延长上，且EAD
7、ABD（1）求证：AE是O的切线；（2）若BD/AE，AB=6，O的半径为5，求AE的长26. 【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图，在中，D是外一点，且，求的度数若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则_【初步运用】（2）如图，在四边形ABCD中，求的度数；【方法迁移】（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）如图，已知矩形ABCD，M为边CD上点若满足的点M恰好有两个，则
8、m的取值范围为_如图，在中，AD是BC边上的高，且，求AD的长27. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B横坐标为4，P为抛物线上一动点，过点P作PC垂直于AB，垂足为C，作PF垂直于x轴，垂足为F，交AB于E，设P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）求的值；若点P在直线上方抛物线上，用含t的代数式表示线段PC的长，并求线段PC取最大值时点P的坐标（3）若点P是抛物线上任意一点，且满足，请直接写出：点P的横坐标/的取值范围_；纵坐标为整数的点P为“玉点”，“玉点”的个数是_江苏省盐城市东台市2021-2022学年九年级上期末数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题
9、3分，共24分）1. 一组数据1，1，2，5，3的极差是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据极差的定义，最大值减去最小值即可求得【详解】解：由题意可知，极差为5-（-1）=6故选：A【点睛】本题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，解题的关键是掌握求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值注意：极差的单位与原数据单位一致如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确2. 在比例尺为1：38000的城市交通地图上，某条道路的长为5cm，则它的实际长度为( )A. 0.19 kmB. 1.9 kmC. 19 kmD.
10、190 km【答案】B【解析】【详解】设这条道路的实际长度为xcm，则1:38000=5：x，解得x=190000=1.9km故选B3. 如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinACB的值为（）A. 3B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接格点AD，构造直角三角形，先计算AC，再算ACB的正弦即可【详解】连接格点A、D，如图在RtADC中，AD3，CD1，CAsinACB故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出
11、根的判别式的值大于等于0的方程即可【详解】A、这里a=1，b=0，c=1，=b2-4ac=-40，方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，=b2-4ac=1-4=-30，方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=-1，c=1，=b2-4ac=1-4=-30，方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=-1，c=-1，=b2-4ac=1+4=50，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D5. 如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，DE=1，BC=3，SADE=2，则SABC为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C
12、【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方列出比例式解答即可【详解】解：DEBC，ADEABC，SABC=9SADE=92=18故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方列出比例式是解题的关键6. 下列叙述：圆内接四边形对角互补；矩形一定有一个外接圆；三角形的外心到三角形三边的距离相等；三角形一定有内切圆，其中真命题的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质，三角形的外心的性质，内心的性质解决问题即可【详解】解：圆内接四边形对角互补，正确矩形一定有一个外接圆，正确三角形的外
13、心到三角形三边的距离相等，错误，应该是外心到三个顶点的距离相等三角形一定有内切圆，正确故选：B【点睛】本题考查命题与定理，圆内接四边形的性质，三角形的外心，内心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题7. 如图，点E在y轴上，E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，1），则线段AB的长度为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【详解】解：连接EB，如图所示：C（0，9），D（0，1），OD=1，OC=9，CD=10，EB=ED=CD=5，OE=51=4，ABCD，AO=BO=AB，OB=3，AB=2OB=6；故选C【点睛】本题考查垂径定理；坐标
14、与图形性质；勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键8. 如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQAB交ABC的直角边于点Q，设AP为x，APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况结合三角形的面积公式s进行讨论即可【详解】当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，如下图所示AP=x，AB=5，BP=5-x，PQAB，C=90，BPQ=C=90，又B=B，ABCQBP，该函数图象前半部分是抛物线开口朝上，后半部分也为抛物线开口向
15、下故选C【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及相似三角形，二次函数等知识，解题的关键是读懂题意及图形的特征，注意点Q在BC上这种情况二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9. 如果sin =，那么锐角 =_.【答案】30【解析】【详解】sin30= ，=30，故答案为30.10. 二次函数最大值是_【答案】3【解析】【分析】根据抛物线开口向下及顶点坐标求解【详解】解：抛物线y=-（x-1）2+3开口向下，顶点坐标为（1，3），当x=1时，y取最大值为3，故答案为：3【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质11. 一个暗箱里装有3
16、个黑球，2个白球，1个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是_【答案】【解析】【分析】用白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率【详解】解：有3个黑球，2个白球，1个红球一共是6个球，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是故答案为【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比12. 若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m_n（填大小关系）【答案】【解析】【分析】抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定【详解】解：二次函数的解析式为y=-x2+20，该抛物线开口向下，对称轴为y
17、轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，-1-2，mn故答案为：【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键13. 如图，AC、AB是的两条弦，则_【答案】50【解析】【分析】先由平行线的性质求出BAC=ABO=25，再由圆周角定理即可得到BOC=2BAC=50【详解】解：，ABO=25，BAC=ABO=25，BOC=2BAC=50，故答案为：50【点睛】本题主要考查了平行线的性质和圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键14. 秋千
18、吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为_m（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】如图所示，连接AB，过点O作ODAB交AB于D，交弧AB于C，只需要利用勾股定理求出CD的长即可得到答案【详解】解：如图所示，连接AB，过点O作ODAB交AB于D，交弧AB于C，ODA=90，OA=OB，AOB=90，OAB=OBA=45，AOD=45，AD=OD，设，则，解得（不合题意的值已经舍去），秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为，故答案为：【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理15. 一个圆锥的底面半径为5cm
19、，母线长为15cm，则该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是_【答案】120#120度【解析】【分析】设该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是n，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到方程，解方程即可【详解】解：设该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是n，根据题意得：，解得n=120，即该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是120故答案为：120【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长16. 如图，在BDE中，BDE=90，BD=，点D的坐
20、标是(7，0)，BDO=15，将BDE旋转到ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为_ 【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PFx轴于F，再根据点C在BD上确定出PDB=45并求出PD的长，然后求出PDO=60，根据直角三角形两锐角互余求出DPF=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得DF= PD，利用勾股定理列式求出PF，再求出OF，即可得到点P，即旋转中心的坐标【详解】解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PFx轴于F，点C在BD上，点P到AB、BD的距离相等，都是BD，
21、即6 =3，PDB=45，PD=3=6，BDO=15，PDO=45+15=60，DPF=30，DF=PD=6=3，点D的坐标是（7，0），OF=ODDF=73=4，由勾股定理得，PF=3，即P点的坐标为（4，3）故答案为：（4，3）【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30角的直角三角形是解题的关键三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17. （1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值和绝对值的计算法则求解即可；（2）利用因式分解的方法解方程即可【详解】解：（1）；（2）解：，【点睛】本题
22、主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值和绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键18. 已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根【答案】（1）m4 （2）m的值为-5，,方程的另一根为5【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；（2）根据一元二次方程根于系数的关系求解即可【小问1详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，解得；【小问2详解】解：设方程的另一个根为，解得，m的值为-5，方程的另一根为5【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活应用一元二
23、次方程的相关知识点是解答本题的关键19. 已知二次函数的图象经过，两点（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，？【答案】（1）抛物线的解析式为；对称轴为直线 （2）当时【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，然后根据求解对称轴即可；（2）根据二次函数与轴交点坐标与二次函数的图象与性质进行求解即可【小问1详解】解：由题意知，将代入中得， 解得： 对称轴为直线抛物线的解析式为；对称轴为直线【小问2详解】解：令，则解得或 抛物线与x轴交点坐标为：，；由二次函数的图象与性质可得当时，当时，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴，二次函数与轴的交点，二
24、次函数的图象与性质解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质20. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且（1）求证：BAE=CAD；（2）求证：ABEACD【答案】见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到ABCAED，由相似三角形的性质得到BAC=EAD，根据角的和差即可得到结论；（2）由已知条件得到，结合BAE=CAD，即可得到结论【详解】证明：（1）在ABC与AED中，ABCAED，BAC=EAD，BACEAF=EADEAF，即BAE=CAD；（2），在ABE与ACD中，BAE=CAD，ABEACD21. A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他
25、们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1： （1）请将表和图1中空缺部分补充完整（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），则B在扇形统计图中所占的圆心角的度数是_（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选【答案】（1）答案见解析；（2）144；（3）B当选【解析】【分析】（1）见下表,（2）360乘以B占的比重即可解题,（3）根据加权平均数的计算方法即可解题,【详解】解：（1）补充图形如下：；
26、（2）36040%=144；（3）A的投票得分是：30035%=105（分），则A的最后得分是：=92（分）；B的投票得到是：30040%=120（分），则B的最后得分是：=98（分）；C的投票得分是：30025%=75（分），则C的最终得分是：=84（分）所以B当选【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用,加权平均数的计算,综合性较强,中等难度,从不同统计图中得到有用信息是解题关键.22. 甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4这些球除颜色和数字外完全相同小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球（1）用画树状图（树形
27、图）或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；（2）小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜；否则，小刚胜你认为这个游戏公平吗？为什么？【答案】（1）P（两个球上的数字之和为6）=；（2）不公平，理由见解析.【解析】【详解】解：（1）画树状图如下：列表：2341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，2）（2，3）（2，4）3（3，2）（3，3）（3，4）=；（2）不公平理由如下：=，=，这个游戏不公平23. 如图，在四边形ABCD中，于点E，于点F，（1）求度数；（2）求四边形ABCD的面积【答案】（1）150 （2）【解析】【分析】（1）先解直角ABE求出
28、BE=2，证明四边形BEFC是矩形，得到CF=2，再解直角CDF求出DCF=60，即可得到答案；（2）先求出AD的长，然后根据梯形面积公式求解即可【小问1详解】解：BEAD，A=45，CFAD，BCF=EFC=CFD=90，四边形BEFC是矩形，BCF=90，DCF=60，BCD=BCF+DCF=150；【小问2详解】解：四边形BEFC是矩形，BC=EF=1,，【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据特殊角三角函数值求度数，矩形性质与判定，梯形面积，熟知相关知识是解题的关键24. 如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及
29、周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？【答案】人行通道的宽度是2米【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为28平方米列方程求解即可【详解】解：设人行通道的宽度为x米，由题意知：（舍）答：人行通道的宽度是2米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为28平方米得出等式是解题关键25. 已知：如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，点E在CD的延长上，且EADABD（1）求证：AE是O的切线；（2）若BD/AE，AB=6，O的半径为5，求AE的长【答案】（1）见解析 （2）【
30、解析】【分析】(1)由AC为O的直径得到ADC=90，进而DCA+DAC=90，由同弧所对的圆周角相等得到ABD=ACD，结合已知条件EADABD，得到EAD=ACD，进而EAD+ACD=EAC=90即可证明；(2)由BD/AE得到DFC=90，进而由垂径定理得到AD=AB=6，由勾股定理求出CD=8，最后通过CAECDA，对应边成比例即可求解【小问1详解】证明：由同弧所对的圆周角相等可知：ABD=ACD，EADABD，EAD=ACD，AC为O的直径，ADC=90，ACD+DAC=90，EAD+DAC=90，EAC=90，AE是O的切线【小问2详解】解：设DB与直线AC交于点F，如下图所示：B
31、D/AE，DFC=EAC=90，且AC为直径，由垂进定理可知，AD=AB=6，RtACD中，由勾股定理可知，由(1)可知，EAD=ACD，且EAC=ADC=90，CAECDA，代入数据：，解得：【点睛】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理及其推论、垂径定理、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握圆中各定理及判定方法是解决本类题的关键26. 【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图，在中，D是外一点，且，求的度数若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则_【初
32、步运用】（2）如图，在四边形ABCD中，求的度数；【方法迁移】（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）如图，已知矩形ABCD，M为边CD上点若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为_如图，在中，AD是BC边上的高，且，求AD的长【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则；（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；（4）如图所示
33、，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EFAD交AD于E，过点O作OGEF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；如图所示，作ABC的外接圆，过圆心O作OEBC于E，OFAD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形，分别求出AF、DF即可得到答案【详解】解：（1）AB=AC=AD，B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，BAC=90，故答案为：；（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，BAD=BCD=90，E为BD中点，A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，；、（3）如图
34、所示，、即为所求；（4）如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EFAD交AD于E，过点O作OGEF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形四边形ABCD是矩形，ABE=90，B在圆O上，OHEF，即如图所示，作ABC的外接圆，过圆心O作OEBC于E，OFAD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形BAC=45，BOC=90，在直角BOC中BC=BD+CD=8，OEBC，DE=OF=2， 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌
35、握圆的相关知识是解题的关键27. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标为4，P为抛物线上一动点，过点P作PC垂直于AB，垂足为C，作PF垂直于x轴，垂足为F，交AB于E，设P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）求的值；若点P在直线上方的抛物线上，用含t的代数式表示线段PC的长，并求线段PC取最大值时点P的坐标（3）若点P是抛物线上任意一点，且满足，请直接写出：点P的横坐标/的取值范围_；纵坐标为整数的点P为“玉点”，“玉点”的个数是_【答案】（1） （2），P（2，6）； （3）且t4；4【解析】【分析】（1）把A（0，1），B（4，3）代入yx2axb，即可
36、求解析式；（2）设AB与x轴交于G，由CPEOGA，即可求；由，则，可求，则有PC的最大值为，此时P（2，6）；（3）当PABCPE时，由，可求或，又由PAB0，则t4，即可得的取值范围，当时，当时，分别求得的坐标为，根据与之间共有1，2，3，4，5共5个整数，又由当t4时，P（4，3），“玉点”的个数是4个【小问1详解】点A、B在直线上，点A在y轴上，点B的横坐标为4，A（0，1），B（4，3），把A（0，1），B（4，3）代入yx2axb，得，解得抛物线的解析式为【小问2详解】设AB与x轴交于G，G（2，0），AG，由PCAB，PFO90，CPEOGA，cosCPEcosOGA；设，则，cosCPE，4t0，PC的最大值为，此时P（2，6）；【小问3详解】AO1，OG2，tanAGO，CPEAGO，tanPAB，当PABCPE时，tanPAB，或，PAB0，t4，且t4，故答案为：且t4；当时，P当时，P，在1与之间共有1，2，3，4，5共5个整数，当t4时，P（4，3），“玉点”的个数是4个，故答案：4个【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用直角三角形的三角函数值求解是解题的关键