1、2021年江苏省苏州市姑苏区二校联考中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2021的倒数是（）A. 2021B. 2021C. D. 2. 2020年1月起，新冠疫情席卷全球，截止2021年4月6日18时，累计确诊病例达133000000例，133000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 球4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 已知，那么代数式的值是（ ）A. B. 0
2、C. 23D. 36. 如图，为的直径，点在上若，则的长为（ ）A. B. C. D. 7. 定义运算：例如：，则方程的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根8. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线表示两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的函数关系根
3、据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两地之间的距离为B. 快车从甲地驶到丙地共用了C. 快车速度是慢车速度的1.5倍D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有10. 如图，点是反比例函数上一个动点，点分别在轴、轴上当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 计算：_12. 因式分解：=_13. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上若，则_14. 已知，且，则的值为_15. 圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为_cm216. 如图，把绕着点顺时针方向旋转角度，得到，若三点在同一
4、条直线上，则_17. 如图，在四边形中，连接，则_18. 在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）绕着原点旋转，所得图像的顶点坐标为，当时，代数式的最小值为_三、解答题（本大题共10小题，共76分）19. 计算：20. 解不等式组：21. 先化简，再求值：，其中22. “清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”小明同学带了4个青团子（除馅不同外，其他均相同），其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给他同学小玲（1）用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果：（2）请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率23. 为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞
5、赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了_名学生；（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为_；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数24. 如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，A=D（1）求证：ACDE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长 25. 如图，函数与函数的图像相交于点点在函数的图像上，过点作轴，
6、与轴相交于点，且（1）求的值；（2）求直线的函数表达式26. 在平面直角坐标系中，点坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图（1）已知点，当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_，_；点是点关于点“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围_27. 如图，矩形中，点分别在上，把绕点旋转，得到，点落在线段上（1）求证：；（2）若点在的平分线上，求的长；（3）若与重叠部分图形的周长为，求的值2
7、8. 如图1，抛物线（为常数）与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点（1）下列说法：抛物线开口向上，点在轴正半轴上；抛物线顶点在直线上，其中正确是_；（2）如图2，若直线与该抛物线交于两点（点在点下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线与轴交于点，连接，当时，求此时的值，判断与是否相似，并说明理由2021年江苏省苏州市姑苏区二校联考中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2021的倒数是（）A. 2021B. 2021C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义求解即可，乘积为1的两个数互为倒数【详解】2021的
8、倒数是故选C【点睛】本题考查了倒数的定义，理解乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键2. 2020年1月起，新冠疫情席卷全球，截止2021年4月6日18时，累计确诊病例达133000000例，133000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：将数133000000用科学记数法表示为1.33108故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n
9、为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 球【答案】A【解析】【详解】分析：综合该物体的三种视图，分析得出该立体图形是圆柱体详解：A、圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆，正确；B、圆锥体的三视图分别是等腰三角形，等腰三角形，圆及一点，错误；C、长方体的三视图都是矩形，错误；D、球的三视图都是圆形，错误；故选A点睛：本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是A. 平均数B. 中位数
10、C. 众数D. 方差【答案】D【解析】【详解】解：A原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D原来数据的方差=，添加数字2后的方差=，故方差发生了变化故选D5. 已知，那么代数式的值是（ ）A. B. 0C. 23D. 3【答案】A【解析】【分析】将8-3x+6y变形为8-3（x-2y），然后代入数值进行计算即可【详解】解：x-2y=5，8-3x+6y=8-3（x-2y）=8-35=-7；故选A【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，将x-2y=
11、5整体代入是解题的关键6. 如图，为的直径，点在上若，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用等腰三角形的性质得出A的度数，再利用圆周角定理得出BOC的度数，再利用弧长公式求出答案【详解】解：OCA=55，OA=OC，A=55，BOC=2A=110，AB=6，BO=3，的长为：=，故选B【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出BOC的度数是解题关键7. 定义运算：例如：，则方程的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根【答案】B【解析】【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案【详解】
12、解：由题意可知：4x=4x2-4x+1=0，=16-441=0，有两个相等的实数根，故选：B【点睛】本题考查根判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型8. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，实际每天植树（x+0.3x）万棵，需要天完成，提前2天完成任务，-=2，故选：A【点睛】本题考查分式方程的应用
13、，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型9. 如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线表示两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的函数关系根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两地之间的距离为B. 快车从甲地驶到丙地共用了C. 快车速度是慢车速度的1.5倍D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有【答案】B【解析】【分析】分析图像，可得甲、乙两地的距离，分别计算出慢车和快车速度，得到快车从甲地到丙地的时间，从而计算出此时慢车到丙地的距离【详解】解：点A（0，100），甲、乙两地之间的距离为100km；故
14、A选项正确；慢车速度：（400-100）3=100km/h，快车速度：（1002+100）2=150km/h，快车速度是慢车速度的1.5倍；故C选项正确；快车速度：150km/h，快车从甲地驶到丙地共用了=h；故B选项错误；当快车到达丙地时，行驶了h，慢车距丙地的距离为：300-100=km；故D选项正确；故选：B【点睛】此题考查动点问题的函数图像，解答问题的关键是看清图象表示的意义，利用路程、时间、速度三者之间的关系解决问题10. 如图，点是反比例函数上的一个动点，点分别在轴、轴上当点到所在直线距离最大时，点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点M作MBAP，垂
15、足为B，分析得出当AB最小时，MB最大，过点P作PNx轴，垂足为N，证明PANAMO，得到AN=4PN，设PN=x，表示出点P坐标，代入反比例函数表达式，求出x值即可【详解】解：过点M作MBAP，垂足为B，可知AMB直角三角形，AM固定不变，则当AB最小时，MB最大，此时点B与点A重合，过点P作PNx轴，垂足为N，MAP=90，PAN+MAO=90，又PAN+APN=90，MAO=APN，又PNA=MOA=90，PANAMO，即，AN=4PN，ON=AO+AN=2+4PN，设PN=x，P（-2-4x，x），代入中，得：，解得：x=1或x=（舍），P（-6，1），故选A【点睛】本题考查了反比例函
16、数综合，相似三角形的判定和性质，最短距离，解题的关键是分析出MB最小时的位置情况，从而构造相似三角形得到线段的关系二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 计算：_【答案】【解析】【分析】根据单项式乘单项式法则计算【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握运算法则12. 因式分解：=_【答案】3（x+3）（x3）【解析】【详解】解：原式=3（x+3）（x3），故答案为3（x+3）（x3）13. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上若，则_【答案】117【解析】【分析】依据ABCD，即可
17、得出2=ABC=1+CBE【详解】解：如图，ABCD，2=ABC=1+CBE=27+90=117，故答案为：117【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等14. 已知，且，则的值为_【答案】12【解析】【详解】分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案详解：，设a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案为12点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键15. 圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为_cm2【答案】65【解析】【分析】先根据勾股
18、定理求出圆锥的母线的长度，再根据圆锥的侧面积公式：S=rl.将r和l的值代入即可求出圆锥的侧面积.【详解】由圆锥底面半径r5cm，高h12cm，根据勾股定理得到母线长l13cm，根据圆锥的侧面积公式：rl51365，故答案：65【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算公式.能考虑到用勾股定理求出该圆锥母线的长度是解决此题的关键.16. 如图，把绕着点顺时针方向旋转角度，得到，若三点在同一条直线上，则_【答案】48【解析】【分析】利用旋转的性质得出AC=AC，再利用等腰三角形的性质得出CAC的度数，则可求出答案【详解】解：由题意可得：AC=AC，C=ACB，ACC=C，把ABC绕着点A顺时针方向旋转，得
19、到ABC，点C刚好落在边BC上，BCB+ACB=C+CAC，BCB=CAC=48=48，故答案为：48【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC=AC是解题关键17. 如图，在四边形中，连接，则_【答案】【解析】【分析】过点A作AECD，交CD延长线于E，过点B作BFCD，垂足为F，根据正弦的定义得到=，设AE=3x，AD=5x，得到DE，证明BCD为等边三角形，求出CD，利用正切的定义计算即可【详解】解：如图，过点A作AECD，交CD延长线于E，过点B作BFCD，垂足为F，sinBAD=，ABCD，sinADE=，设AE=3x，AD=5x，则DE=4x，CD
20、=CB，BCD=60，BCD为等边三角形，CBD=BCD=60，BF=3x，CF=x，CD=x，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的定义求解18. 在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）绕着原点旋转，所得图像的顶点坐标为，当时，代数式的最小值为_【答案】-12【解析】【分析】首先得到的顶点坐标，根据旋转得到新的顶点坐标，根据题意得出2t+s=，再根据二次函数的性质求得即可详解】解：=顶点坐标为（2m-2，），抛物线绕原点旋转180后，顶点坐标关于原点对称，旋转后顶点坐标为（-2m+2，），又顶点为（s
21、，t），2t+s=对称轴为直线m=3，开口向上，m4，当m=4时，2t+s最小，且为=-12故答案为-12【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得代数式2t+s关于m的关系式是解题的关键三、解答题（本大题共10小题，共76分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：【答案】【解析】【分析】根据绝对值，算术平方根，负指数幂和特殊角的三角函数值分别计算，再作加减法【详解】解：=【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则20. 解不等式组：【答案】-1x【解析】【分析】分别求出每一个不等
22、式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】解：，解不等式，得x-1，解不等式，得x所以不等式组的解集：-1x【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键21. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】原式利用分式的混合运算法则计算并化简，再将x值代入计算即可【详解】解：=将代入，原式=【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键22. “清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”小明同学带了4个青团子（除馅不同外，其
23、他均相同），其中有2个豆沙青团、1个芝麻青团和1个肉松青团，他准备从中拿出两个给他的同学小玲（1）用画树状图或列表的方法列出小玲拿到2个青团的所有等可能的结果：（2）请你计算小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；（2）根据（1）中的树状图可以得到小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率【详解】解：（1）豆沙青团记为A、芝麻青团记为B、肉松青团记为C，由题意可得，（2）由（1）可得：共有12种等可能的结果，其中小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的有2种，小玲拿到的2个青团都是豆沙馅的概率为=【点睛】本题考查列表法与树状图
24、法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图23. 为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩（百分制），并对数据（x分）进行了整理，“优秀：；良好：；合格不合格：”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了_名学生；（2）扇形统计图中所在扇形的圆心角度数为_；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数【答案】（1）120；（2）54；（3）见解析；（4）375人【解析】【分析】（1）用B等级的人
25、数除以对应百分比可得结果；（2）用D等级的人数除以样本人数，再乘以360即可；（3）求出A等级和C等级的人数，从而补全统计图；（4）用样本中A等级的人数除以样本人数，再乘以该校总人数【详解】解：（1）（25+23）40%=120人，此次共调查了120名学生；（2）（10+8）120360=54，D所在扇形的圆心角度数为54；（3）12020%=24，24-12=12，120-16-25-23-12-12-10-8=14，补全统计图如下：（4）（14+16）1201500=375人，估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数有375人【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是
26、读懂统计图，掌握各部分数据的意义和求法24. 如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，A=D（1）求证：ACDE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长 【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】(1)首先证明ABCDFE可得ACE=DEF，进而可得ACDE；(2)根据ABCDFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案【详解】解：(1)在ABC和DFE中， ABCDFE（SAS）， ACE=DEF， ACDE；(2)ABCDFE， BC=EF， CBEC=EFEC， EB=CF， BF=13，EC
27、=5，EB=4， CB=4+5=9【点睛】考点：全等三角形的判定与性质25. 如图，函数与函数的图像相交于点点在函数的图像上，过点作轴，与轴相交于点，且（1）求的值；（2）求直线的函数表达式【答案】（1）m=12，n=3；（2）y=x+6【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而即可求出反比例函数系数m的值；（2）过点A作ADBC于D，由AC=AB可得出BC=2CD，由点A的坐标可得出CD、BC的长度，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式【详解】解：（1）函数与函数的图象相交于点，解得：
28、，（2）过点作于，如图所示，轴，轴，当时，设直线的函数表达式为，将、代入中，解得：，直线的函数表达式为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的函数表达式26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图（1）已知点，当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_，_；
29、点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围_【答案】（1）（6，2），（3，-1）；y=x-4；（2）5m9【解析】【分析】（1）作A1Mx轴于M，构造ABOBA1M，可得OA=BM，OB=A1M，再分别求解；取N（4，0），则OA=ON，作A1Mx轴于M，首先说明A1的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题；（2）利用（1）的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与C有交点时
30、，在C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和C相切时的m的值，即可解决问题【详解】解：（1）如图，作A1Mx轴于MABA1=90，ABO+A1BM=A1BM+A1，ABO=A1，AB=BA1，AOB=A1MB=90，ABOBA1M（AAS），OA=BM，OB=A1M，当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，A1M=2，OM=6，A1（6，2），当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A1（3，-1）故答案为（6，2），（3，-1）取N（4，0），则OA=ON，作A1Mx轴于M同理可证：ABOBA1M，OA=BM=ON，OB=A1M，OB=MN=A1M，A1MN是等腰直角三角形，A
31、1NM=45，点A1在经过点N，与x轴的夹角为45的直线上，设A1N的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入，则0=4+b，解得：b=-4，这条直线的解析式为y=x-4，A1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4；（2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与C有交点时，在C上存在点A关于点B的“伴随点”，当直线y=x-m与C相切时，如图，C（4，-3），C的半径为，F为C的切点，过C作CEx轴，点E在CD上，在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m，
32、则C（0，-m），D（m，0），OCD为等腰直角三角形，OD=OC，OFEF，CEx轴，ECF=45，即CEF为等腰直角三角形，CF=，EF=，CE=2，又C（4，-3），E（2，-3），代入y=x-m中，解得：m=5，同理，当直线y=x-m与C相切于另一点时，同理可得：m=9，综上：满足条件的m的范围为：5m9【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题27. 如图，矩形中，点分别在上，把绕点旋
33、转，得到，点落在线段上（1）求证：；（2）若点在的平分线上，求的长；（3）若与重叠部分图形的周长为，求的值【答案】（1）见解析；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）证明BMNBAC得到BMN=BAC，即可证明；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到BCE=NEC，可得NE=NC=4-4x，得到MN，根据MN的长列出方程，解之即可；（3）首先计算点F在AC上时重叠部分的周长，判断出点F在ABC外部，过H作HGMN，垂足为G，分别表示出此时重叠部分各线段的长，列出方程，求出x值即可【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD=3，AD=BC=4，BM=3x，BN=4x，又MBN=ABC
34、，BMNBAC，BMN=BAC，MNAC；（2）CE平分BCA，BCE=ACE，MNAC，ACE=NEC，BCE=NEC，NE=NC，NC=BC-BN=4-4x，NE=4-4x，由旋转可得：ME=MB=3x，MN=ME+NE=3x+4-4x=4-x，MN=5x，4-x=5x，解得：x=，BM=3x=2；（3）当点F在ABC内部时，重叠部分图形的周长即MEF的周长，随x的增大而增大，当点F在AC上时，MNAC，BMN=A，NMF=AFM，由旋转可知：BMN=EMF，MF=MN=5x，MFA=A，MA=MF=5x，3x+5x=3，x=，此时，重叠部分图形的周长，即MEF的周长=12x=，重叠部分图
35、形周长为时，F必然在ABC外；当F在ABC外时，过H作HGMN，垂足为G，MNAC，BAC=BMN，AHM=HMN，由旋转可知：BMN=EMF，BAC=AHM，MH=MA=3-3x，HGMN，EFMN，HGEF，MHGMFE，PE=GH=（3-3x），MG=（3-3x），HP=GE=ME-MG=3x-（3-3x），此时重叠部分图形的周长为PH+PE+ME+MH=，23x-（3-3x）+（3-3x）+（3-3x）+3-3x=，解得：x=；综上：的值为【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，知识点较多，前两问难度不大，（3）中的难点在于判
36、断出点F在ABC的外部28. 如图1，抛物线（为常数）与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点（1）下列说法：抛物线开口向上，点在轴正半轴上；抛物线顶点在直线上，其中正确的是_；（2）如图2，若直线与该抛物线交于两点（点在点下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线与轴交于点，连接，当时，求此时的值，判断与是否相似，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）m=3，相似；m=1，不相似【解析】【分析】（1）根据抛物线表达式，判断开口方向，令x=0，根据y值判断点C的位置，根据图像与x轴交点，结合根的判别式，得到0，可得m的范围，求出顶点坐标，可判断在y=
37、-2x+1上；（2）联立抛物线表达式和直线表达式，解之得到M和N坐标，利用勾股定理求出MN值即可；（3）分点D在线段MN的延长线上，点D在线段MN上，两种情况，结合DN和MN的比值，画出图像，分类讨论求解【详解】解：（1），10，开口向上，故正确；当x=0时，点C在y轴正半轴或原点，故错误；由题意可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，解得：，故正确；由可得顶点坐标为（m，），顶点在y=-2x+1上，故正确；正确的是；（2）联立得：，解得：，代入可得：，M（m，-2m+1），N（m-2，-2m+5），MN=，为定值；（3）当点D在线段MN的延长线上时，DM：MN=1：2，DM=，即，解得：m=3或m=-3（舍），此时，M（3，-5），令，解得：或，又点B在点A右侧，B（，0），BM=，BMN是公共角，且，MBN与MDB相似；当D在线段MN上时，DN：MN=1：2，点D是MN的中点，解得：m=1，此时BDMBND，BDMDBM，此时MBN与MDB不相似【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程，相似三角形的判定，解题的关键是结合二次函数的性质画出图像，分类讨论，有一定难度