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北京市西城区2022届高三二模数学试卷(含答案解析)

1、北京市西城区2022届高三二模数学试题一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合,则( )A B. C. D. 2. 已知双曲线的焦点分别为,双曲线上一点满足,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 33. 已知为等差数列,首项,公差,若,则( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列函数中,与函数的奇偶性相同,且在上有相同单调性的是( )A. B. C. D. 5. 已知直线与圆:交于,两点,且,则的值为( )A. B. C. D. 26. 已知是单位向量,向量满足,则的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知函数,那么“”是“在上是增函数”的( )

2、A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知,记关于方程的所有实数根的乘积为,则( )A. 有最大值,无最小值B. 有最小值,无最大值C. 既有最大值,也有最小值D. 既无最大值,也无最小值9. 若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数的取值范围是( )A. B. C. D. 10. 如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图,已知商品卖出一件盈利20元,商品卖出一件盈利10元.图中点、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量,点、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息,下列四个结论中正确的是(

3、)2月、两种商品的总销售量最多;3月、两种商品的总销售量最多;1月、两种商品的总利润最多;2月、两种商品的总利润最多.A. B. C. D. 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 二项式的展开式中的系数为21,则_.12. 已知复数在复平面内所对应的点的坐标为,则为_.13. 已知抛物线焦点为,准线为,则焦点到准线的距离为_;直线与抛物线分别交于、两点(点在轴上方),过点作直线的垂线交准线于点,则_.14. 已知数列是首项为16,公比为的等比数列,是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素,则符合题意的的一个取值为_.15. 已知四棱锥的高为1,和均是边长为的等边三角形,给出下列四

4、个结论:四棱锥可能正四棱锥;空间中一定存在到,距离都相等的点;可能有平面平面;四棱锥的体积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题,共85分.16. 在中,.(1)求的大小;(2)若,证明:.18. 2021年12月9日,北京市义务教育体育与健康考核评价方案发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分,总分值70分.其中过程性考核40分,现场考试30分.该评价方案从公布之日施行,分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式,把内容划分了四类,必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查,其

5、中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和,选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生,估计该学生选考乒乓球的概率;(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率;(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中,样本中选考乒乓球男生有60人得8分,40人得7.5分,其余男生得7分;样本中选考乒乓球的女生有40人得8分,其余女生得7分.记这次模拟考试中,选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为,其中男生的乒乓球平均分的估计值为,试比较与的大小.(结论不需要

6、证明)20. 如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的菱形,点为棱上动点(不与,重合),平面与棱交于点.(1)求证:;(2)若,从条件、条件、条件这三个条件中选择两个条件作为已知,求直线与平面所成角的正弦值.条件:平面平面;条件:;条件:.22. 已知函数.(1)若,求的值;(2)当时,求证:有唯一的极值点;记的零点为,是否存在使得?说明理由.24. 已知椭圆:的左顶点为,圆:经过椭圆的上、下顶点.(1)求椭圆的方程和焦距;(2)已知,分别是椭圆和圆上的动点(,不在坐标轴上),且直线与轴平行,线段的垂直平分线与轴交于点,圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.26. 已知数列:,其中是给定的

7、正整数,且.令,.这里,表示括号中各数的最大值,表示括号中各数的最小值.(1)若数列:2,0,2,1,-4,2,求,的值;(2)若数列是首项为1,公比为的等比数列,且,求的值;(3)若数列是公差的等差数列,数列是数列中所有项的一个排列,求的所有可能值(用表示).北京市西城区2022届高三二模数学试题一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】先求,再求并集即可【详解】易得,故故选:A2. 已知双曲线的焦点分别为,双曲线上一点满足,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2D. 3【2题答案】【答案】C【解

8、析】【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值,进而可求离心率.【详解】因为,所以,又因为,所以由双曲线的定义可知,解得,则双曲线的离心率,故选:.3. 已知为等差数列,首项,公差,若,则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【3题答案】【答案】D【解析】【分析】首先求出通项公式,再代入得到方程,解得即可;【详解】解:因首项,公差,所以,因为,所以,解得故选:D4. 下列函数中,与函数的奇偶性相同,且在上有相同单调性的是( )A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A、B,由正弦函数性质判断C,对于D有,即可判断奇偶性和单调性.【详解】由为奇函数且在

9、上递增,A、B:、非奇非偶函数,排除;C:为奇函数,但在上不单调,排除;D:,显然且定义域关于原点对称,在上递增,满足.故选:D5. 已知直线与圆:交于,两点,且,则的值为( )A B. C. D. 2【5题答案】【答案】B【解析】【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系,以及点线距离公式列方程求k值.【详解】由题设且半径,弦长,所以到的距离,即,可得.故选:B6. 已知是单位向量,向量满足,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可求解.【详解】依题意, , , , ,又 , ,故选:C.7. 已知函数,那么“”是“在上是增函数”

10、的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】A【解析】【分析】求得当时,是增函数,进而判断时,函数的单调性,即可得出结果.【详解】当,, 单调递增.则当时,是增函数,当时, 在单调递增,可得在上是增函数;当时, 在单调递增,可得在上是增函数;反之,当在上是增函数时,由,可知,此时,即不成立.所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.故选:A.8. 已知,记关于的方程的所有实数根的乘积为,则( )A. 有最大值,无最小值B. 有最小值,无最大值C. 既有最大值,也有最小值D. 既无最大值,也无最小值【8题答案】【答案】D

11、【解析】【分析】求出方程的实数根,从而可得,再根据指数函数的性质即可得解.【详解】解:由,得,所以或,故,所以函数既无最大值,也无最小值.故选:D.9. 若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数的取值范围是( )A. B. C. D. 【9题答案】【答案】B【解析】【分析】首先得到函数的定义域,再分析当时的取值,即可得到,再对时分和两种情况讨论,求出此时的取值,即可得到的值域,从而得到不等式,解得即可;【详解】解:因为,所以的定义域为,当时,则在上单调递增,所以;要使定义域和值域的交集为空集,显然,当时,若则,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集,若时在上单调递减,此时,则,所以,解得,即故

12、选:B10. 如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图,已知商品卖出一件盈利20元,商品卖出一件盈利10元.图中点、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量,点、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息,下列四个结论中正确的是( )2月、两种商品的总销售量最多;3月、两种商品的总销售量最多;1月、两种商品的总利润最多;2月、两种商品的总利润最多.A. B. C. D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】对,根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可;对,根据利润是的两倍,根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对,根据统计图可得,的纵坐标之和显然最

13、大,故3月、两种商品的总销售量最多;故正确;对,因为商品卖出一件盈利20元,商品卖出一件盈利10元,根据统计图,若用对应的点表示对应点的纵坐标,则易得,故正确综上正确故选:C.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 二项式的展开式中的系数为21,则_.【11题答案】【答案】7【解析】【分析】写出二项式展开式通项,根据已知条件有,即可求n值.【详解】由题设,展开式通项为,而的系数为21,所以,即且,可得.故答案为:712. 已知复数在复平面内所对应的点的坐标为,则为_.【12题答案】【答案】【解析】【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.【详解】由题意, ,则 , ;故答案为: .

14、13. 已知抛物线的焦点为,准线为,则焦点到准线的距离为_;直线与抛物线分别交于、两点(点在轴上方),过点作直线的垂线交准线于点,则_.【13题答案】【答案】 . 2 . 【解析】【分析】求出焦点及准线方程,从而可得焦点到准线的距离,作交准线于点,易得直线过焦点,则从而可得出答案.【详解】解:抛物线的焦点,准线为,所以焦点到准线的距离为2,如图,作交准线于点,因为直线过焦点,则,因为,所以轴,又直线的倾斜角为,所以,所以,则.故答案为:2;14. 已知数列是首项为16,公比为的等比数列,是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素,则符合题意的的一个取值为_.【14题答案】【答案】(答案不唯一)

15、【解析】【分析】易得数列逐项递减,可先确定集合中的3项再列式求的范围即可【详解】易得数列逐项递减,逐项递增,故可考虑,此时只需即可,即,解得,故符合题意的的一个取值为(答案不唯一)故答案为:(答案不唯一)15. 已知四棱锥的高为1,和均是边长为的等边三角形,给出下列四个结论:四棱锥可能正四棱锥;空间中一定存在到,距离都相等的点;可能有平面平面;四棱锥的体积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】对,分析当四棱锥为正四棱锥时是否满足条件即可;对,设四棱锥的高为,分析可得点满足;对,假设平面平面,再推导得出矛盾即可判断;对,设,得出四棱锥的体积表达式再求解即

16、可【详解】根据题意,设,则,又因为和均是边长为的等边三角形,易得,且对,当时,底面为正方形,且为底面中心,此时四棱锥可能为正四棱锥,故正确;对,故一定存在到,距离都相等的点,故正确;对,当平面平面时,因为,故平面,此时,又因为,此时重合,不满足题意,错误;对,设,则,因为,故,所以,故正确故答案为:三、解答题共6小题,共85分.16. 在中,.(1)求的大小;(2)若,证明:.【16题答案】【答案】(1); (2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件,求出tanB即可求出B;(2)结合余弦定理和已知条件即可证明【小问1详解】在中,;【小问2详解】,由余弦定理得,将代入,得

17、,整理得,18. 2021年12月9日,北京市义务教育体育与健康考核评价方案发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分,总分值70分.其中过程性考核40分,现场考试30分.该评价方案从公布之日施行,分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式,把内容划分了四类,必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查,其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和,选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生,估计该学生选考乒乓球的概率;(2)从该区九年级

18、全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率;(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中,样本中选考乒乓球的男生有60人得8分,40人得7.5分,其余男生得7分;样本中选考乒乓球的女生有40人得8分,其余女生得7分.记这次模拟考试中,选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为,其中男生的乒乓球平均分的估计值为,试比较与的大小.(结论不需要证明)【18题答案】【答案】(1) (2)0.32 (3)【解析】【分析】(1)分别求出样本中男生和女生的人数,再由频率估计概率即可得解;(2)根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九

19、年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率,再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解; (3)根据平均数公式分别求出,即可得解.【小问1详解】解:样本中男生的人数为人,样本中女生的人数为人,设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生,该学生选考乒乓球为事件,则该学生选考乒乓球的概率;【小问2详解】解:设从该区九年级全体男生中随机抽取1人,选考跳绳为事件,从该区九年级全体女生中随机抽取1人,选考跳绳为事件,由题意,则从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为;【小问3详解】解:,所以.20. 如图,在三

20、棱柱中,四边形是边长为4的菱形,点为棱上动点(不与,重合),平面与棱交于点.(1)求证:;(2)若,从条件、条件、条件这三个条件中选择两个条件作为已知,求直线与平面所成角的正弦值.条件:平面平面;条件:;条件:.【20题答案】【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)由棱柱的性质可得,即可得到平面,再根据线面平行的性质证明即可;(2)选条件,连接,取中点,连接,即可得到,根据面面垂直的性质得到平面,即可得到,再由,即可建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角的正弦值;选条件,连接,取中点,连接,依题意可得,再由勾股定理逆定理得到,即可得到平面,接下来同;选条件,取中点,连接,即

21、可得到,由面面垂直的性质得到平面,从而得到,再由勾股定理逆定理得到接下来同;【小问1详解】证明:在三棱柱中,又平面,平面,所以平面,又因为平面平面,所以.【小问2详解】解:选条件.连接,取中点,连接,.在菱形中,所以为等边三角形.又因为为中点,所以,又因为平面平面,平面平面, 平面,且,所以平面,平面,所以.又因为,所以.以为原点,以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.所以,.设平面的一个法向量为,则,所以令,则,故.又因为,设直线与平面所成角为,所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.选条件.连接,取中点,连接,.菱形中,所以为等边三角形.又为中点,故,且.又因为,.所以,所以.又因为,所

22、以平面.以下同选.选条件取中点,连接,.在中,因为,所以,且,.又因为平面平面,平面平面,所以平面.因为平面,所以.在中,.又因为,所以,所以.以下同选.22. 已知函数.(1)若,求的值;(2)当时,求证:有唯一的极值点;记的零点为,是否存在使得?说明理由.【22题答案】【答案】(1) (2)证明见解析,不存在,详细见解析.【解析】【分析】(1)求得导函数,由,代入计算即可.(2) 求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由,可得有有唯一解,进而利用导数可判断有唯一的极值点.由题意,可得假设存在a,使,进而可知由在单调递减,则,求得,与已知矛盾,则假设错误.【小问1详解】因为,所以因为,所

23、以【小问2详解】的定义域是,令,则.设,因为在上单调递减,所以在上单调递减.因为,所以在上有唯一的零点,|所以有有唯一解,不妨设为.与的情况如下,+0-增极大值减所以有唯一的极值点.由题意,则若存在a,使,则,所以因为在单调递减,则需,即,与已知矛盾.所以,不存在,使得.24. 已知椭圆:的左顶点为,圆:经过椭圆的上、下顶点.(1)求椭圆的方程和焦距;(2)已知,分别是椭圆和圆上的动点(,不在坐标轴上),且直线与轴平行,线段的垂直平分线与轴交于点,圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.【24题答案】【答案】(1),; (2).【解析】【分析】(1)根据给定条件,求出,写出椭圆C的方程并

24、计算焦距作答.(2)设出点P,Q坐标,求线段AP中垂线方程得点M,求圆O在点Q处的切线方程得点N,再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意,由,得,所以椭圆C的方程为:,焦距为.【小问2详解】设,则,依题意,设,且,因,则线段AP中点为,直线AP的斜率,则线段AP的中垂线方程为:, 令得点M的纵坐标,而,则,即,直线OQ的斜率,因此,圆O在点Q处的切线斜率为,切线方程为,令得点N的纵坐标,即,则有,当且仅当,即时取“=”,所以线段长度的最小值为.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的最值问题,可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量,建立函数关系求解作答.26. 已知数列:

25、,其中是给定的正整数,且.令,.这里,表示括号中各数的最大值,表示括号中各数的最小值.(1)若数列:2,0,2,1,-4,2,求,的值;(2)若数列是首项为1,公比为的等比数列,且,求的值;(3)若数列是公差的等差数列,数列是数列中所有项的一个排列,求的所有可能值(用表示).【26题答案】【答案】(1),; (2); (3)所有可能值为.【解析】【分析】(1)根据函数定义写出,即可.(2)讨论数列A的项各不相等或存在相等项,当各项都不相等,根据题设定义判断,当存在相等项,由等比数列通项公式求q,进而确定的值;(3)利用数列A的单调性结合(2)的结论求的取值范围,估计所有可能取值,再应用分类讨论

26、求证对应所有可能值均可取到,即可得结果.【小问1详解】由题设,则,则,所以,.【小问2详解】若数列任意两项均不相等,当时;当且时,又,此时;综上,故,不合要求;要使,即存在且使,即,又,则,当,则,不合要求;当,则,满足题设;综上,.【小问3详解】由题设数列单调递增且,由(2)知:,根据题设定义,存在且,则,由比数列中个项大,同理,所以;又至少比数列中一项小,同理,所以;综上,.令数列,下证各值均可取到,、当,而数列递增,且,此时,则;、当时,则,当且时,令,则,所以,此时;、给定,令()且(),则(),(),又数列递增,(),(),所以,此时且,故,综上,.【点睛】关键点点睛:第三问,首先根据数列的单调性和定义求的取值范围,再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.