1、广东省2022届高三二模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知随机变量，若，则（ ）A. 0.7B. 0.4C. 0.3D. 0.24. 某校安排高一年级（1）（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ）A. 24B. 36C. 60D. 2405. 若函数与图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数（ ）A. B.
2、1C. D. 6. 赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角，另一对直角三角形含有锐角（位置如图2所示）借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）A. B. C. D. 7. 已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则FAB的周长可能
3、为（ ）A 4B. 5C. 6D. 78. 存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 9. 已知复数z的共轭复数是，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的虚部是0C. D. 在复平面内对应的点在第四象限10. 吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）A B. C. D. 存，使得11. 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ）A. B.
4、C. D. 12. 如图，已知扇形OAB的半径为1，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小值为0B. 的最小值为C. 的最大值为1D. 的最小值为0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则它的离心率为_14. 若直线和直线将圆的周长四等分，则_15. 若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_16. 十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构
5、成的几何体的内切球的体积为_四、解答题；本题共6小题17. 已知递增等比数列前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式（2）若数列满足，求数列的前15项和19. 小李下班后驾车回家的路线有两条路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪
6、条路线？请说明理由21 如图，已知ABC内有一点P，满足（1）证明：（2）若，求PC23. 如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F（1）证明：平面ABC（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值25. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，（1）求椭圆C的标准方程（2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形27. 已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧（1）求点P处的切线方程，
7、并证明：时，（2）若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：广东省2022届高三二模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】分别求出集合M和集合N，然后取交集即可.【详解】集合，则，故选：C2. 定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案.【详解】A. ,由正弦函数的性质可知在上不为增函数，故排除；B.在上单调递减，故排除；C. ，故函数在上为偶函数
8、，故排除；D. ，故函数在上为奇函数，且由幂函数性质知在上单调递增，则在上单调递增，满足题意；故选：D3. 已知随机变量，若，则（ ）A. 0.7B. 0.4C. 0.3D. 0.2【3题答案】【答案】A【解析】【分析】由正态分布的对称性求概率【详解】由已知，所以，故选：A4. 某校安排高一年级（1）（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ）A. 24B. 36C. 60D. 240【4题答案】【答案】C【解析】【分析】按两种情况分类计算，一种是只有高一（1）班被安排到A基地。另一种是还
9、有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，两类排法数相加可得答案.【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，故高一（1）班被安排到A基地的排法总数为 种，故选：C5. 若函数与图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数（ ）A. B. 1C. D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】作出图形，利用数形结合的数学思想可得函数的最小正周期，结合计算即可.【详解】由题意知，作出函数和的图象，设两图象相
10、邻的3个交点分别为A、B、C，如图所示，则，为等边三角形，由图可知，函数的最小正周期，又，所以.故选：C.6. 赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角，另一对直角三角形含有锐角（位置如图2所示）借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】表
11、示出直角三角形的边长，继而表示出面积，求得中间矩形的面积，根据菱形面积等于四个直角三角形面积加上中间矩形面积，化简可得答案.【详解】由图形可知：含锐角的直角三角形两直角边长为 ，含锐角的直角三角形两直角边长为 ，故菱形的面积为 ，不妨假设 ，中间长方形的面积为 ，故 ，即，故选：B7. 已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则FAB的周长可能为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【7题答案】【答案】B【解析】【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得FAB的周长为，又知，即可求解.【详解】由题意知：抛物
12、线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，由抛物线定义知：，又，故FAB的周长为，由图知，故，结合选项知：FAB的周长可能为5.故选：B.8. 存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】先判断出必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案.【详解】因为对于都有，且为偶函数，所以必为偶函数.对于A：为奇函数.故A错误；对于B：为非奇非偶函数.故B错误；对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确；故选：D二、选择题：本题共
13、4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知复数z的共轭复数是，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的虚部是0C. D. 在复平面内对应的点在第四象限【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】由复数除法求得，得共轭复数，然后再由复数的运算，复数的定义、几何意义判断各选项【详解】由题意，A错；，虚部是0；B正确；C正确，对应点为，在第一象限，D错；故选：BC10. 吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）A
14、. B. C. D. 存在，使得【10题答案】【答案】BD【解析】【分析】A：设，由图得，所以该选项错误；B:根据图象和导数的几何意义得，所以该选项正确；C:设 ，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解：A：设，由图得，所以所以，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项正确；C:设，因为所以，所以该选项错误；D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确.故选：BD11. 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下
15、列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得的坐标，计算，即可判断A,B,C,D的正误.【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：对于A， ,故 ,则，故，即，故A正确；对于B， ,故 ,则，故不垂直，故B不正确；对于C， ,故 ,则，故，即，故C正确；对于D， ,故 ,则，故不垂直，故D不正确；故选：AC12. 如图，已知扇形OAB的半径为1，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E
16、为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小值为0B. 的最小值为C. 的最大值为1D. 的最小值为0【12题答案】【答案】BCD【解析】【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，设，则，求出，利用的范围可判断A； 求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用 、，的范围可判断CD.【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，设，则，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为，故A错误；，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为，故B正确；设，又，所以，可得，所以，其中，又，所以，所以，所以，的最小值为0，故CD正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每
17、小题5分，共20分13. 已知双曲线1(a0，b0)渐近线方程为yx，则它的离心率为_【13题答案】【答案】2【解析】【详解】由题意，得e2.14. 若直线和直线将圆的周长四等分，则_【14题答案】【答案】2【解析】【分析】由条件可得直线和直线间的距离为，由此可求的值.【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且,所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线的距离为，同理可得圆心为到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，所以，故答案为：2.15. 若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_【15题答案】【答案】（答案不唯一，取，
18、均可）【解析】【分析】依题意，知与同时取到最大值1，进而可得，令可得符合题意的的值详解】函数的最大值为1，可取与同时取到最大值1，又时，时，也取到1，不妨取，此时的最大值为1，符合题意，故常数的一个取值为，故答案为：（不唯一）16. 十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】分析该几何体的结构特征，作出该几何体的草图，该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，利用等体积法求出其内切
19、球的半径，即可代入球的体积公式，即可求出结果.【详解】该几何体的直观图如图所示，这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥和组成；由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设内切球的半径为R，设的中点为，连接，可知即为四棱锥的高，在中，又，又，由八个侧面的面积均为，得，故几何体的内切球的体积为故答案为：四、解答题；本题共6小题，共170分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知递增等比数列的前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式（2）若数列满足，求数列的前15项和【17题答案】【答案】（1） （2）92【解析】【分析】（1）设的公比为q，由等比
20、数列的通项公式进行基本量的运算即可求得通项；（2）（方法一）利用已知条件列举出数列各项，然后分组求和即可；（方法二）写出数列的通项，然后分组求和即可.【小问1详解】设的公比为q，则由，得整理得又，得联立得，消去，得解得或又因为为递增等比数列，所以，所以【小问2详解】（方法一）当时，则，同理，列举得，记的前n项和为，则所以数列的前15项和为92（方法二）由，得，记的前n项和为，则所以数列的前15项和为9219. 小李下班后驾车回家的路线有两条路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是假设两条路线全程绿灯时
21、的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由【19题答案】【答案】（1） （2）小李应选择路线1；理由见解析【解析】【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，由对立事件概率公式计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得期望，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，
22、1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望，比较可得【小问1详解】设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，所以至少遇到一个红灯的事件为，由对立事件概率公式，得，所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为【小问2详解】设路线1累计增加时间的随机变量为，则，所以，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则，所以因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线121. 如图，已知ABC内有一点P，满足（1）证明：（2）若，求PC【21题答案】【答案】（1）证明
23、见解析 （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；（2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.【小问1详解】证明：在ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在ABP中，在ABC中，所以，所以，所以【小问2详解】由（1）知，又因，所以，由已知得ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在PBC中，由正弦定理得，即，即由余弦定理得，由题意知，故解得，所以23. 如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F（1）证明：平面ABC（2）若，二面角D-AC-
24、E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值【23题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定定理证明平面ABC, 从而得到平面ABC.（2）（方法一）过点E作，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得长，然后利用线面角的向量公式求解即可；（方法二）连接DG，可证得，可得长，过点F作，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得平面ACD，连接AI，则FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.【小问1详解】如图，取AC中点G，连接FG和EG，
25、由已知得，且因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且所以，且所以四边形DEGF是平行四边形所以因为翻折的，易知所以翻折后，又因为，EA，平面AEC，所以平面AEC因为，所以平面AEC因为平面AEC，所以因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以又因为，AC，平面ABC所以平面ABC因为，所以平面ABC【小问2详解】（方法一）如图，过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，则，因为平面AEC所以是平面AEC的法向量，设面ACD的法向量为，则，即，解得取，得因为二面角D-AC-E为，所以，解得，所以，记直线AB与平面ACD所成角为，
26、则，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为（方法二）如图，连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以又因为，DE，平面DEG所以平面DEC因为EG，平面DEG，所以，所以DGE是二面角D-AC-E的平面角，故由ACE是边长为2的等边三角形，得，在RtDGE中，所以，过点F作，垂足为I，因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD又因为平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD连接AI，则FAI即为直线AB与平面ACD所成的角在RtDFG中，得，由等面积法得，解得在RtAFG中，所以在RtFAI中，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为25. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率
27、不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，（1）求椭圆C的标准方程（2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形【25题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和联立可得答案；（2）设的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线的方程、直线的方程，再由求出、，可证得可得答案【小问1详解】由题可知当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】设的方程为，联立得消去x，得，易知恒成立，由韦达定理得，由直线的斜率为，得直线的方程为，当时，由直线的斜率为，得直线的方程为，当
28、时，若四边形菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证，因为，代入韦达定理得，所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形27. 已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧（1）求点P处的切线方程，并证明：时，（2）若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：【27题答案】【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）确定的零点，得点坐标，由导数几何意义可得，在时作差，证明即可；（2）是正根，因此只要考虑时情形，不妨设，仿照（1）求出在另一个零点处的切线方程，并证明时，设的解为，的解为，利用的单调性可得，这样有，然后证明，并利用导数研究的单调性与极值（需要二次
29、求导）确定，最后利用不等式的性质可得结论成立【小问1详解】令，得所以或即或因为点P在点Q的左侧，所以，因为，所以，得点P处的切线方程为，即当时，因为，且，所以，所以，即所以，所以【小问2详解】不妨设，且只考虑的情形因为，所以所以点Q处的切线方程为，记，令，设，则所以单调递增又因为，所以，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以在时有极小值，也是最小值，即，所以当时，设方程的根为，则易知单调递增，由，所以对于（1）中，设方程的根为，则易知单调递减，由（1）知，所以所以因为，易知时，故；当时，所以，所以，所以记，则恒成立所以单调递增，因为，所以存在使得所以，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增因为，由函数图象知当方程（t为实数）有两个正实根时，所以所以，即【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，解题难点是转化问题，利用导数几何意义求出函数在零点处的切线方程，和，并利用导数证明，设，同时设与和的交点横坐标分别是，这里，可心由函数式求出来，且得出，于是差，回过头来利用导数证明，然后由不等式的性质证明结论这个解题过程思路比较明确，但是计算量、思维量都很大对学生的逻辑思维能力，转化与化归能力、运算求解能力要求较高，属于困难题