1、2022 年四川省成都市成华区中考二诊年四川省成都市成华区中考二诊数学数学试卷试卷 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分） 1 （4 分）实数 2 的相反数是（ ） A2 B2 C2 D 2 （4 分）如图所示的几何体是由 6 个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ） A B C D 3 （4 分）2021 年 5 月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为 1412000000其中数据1412000000 用科学记数法表示为（ ） A14.12108 B0.14121010 C1.412109 D1.412108
2、4 （4 分）下列运算中，正确的是（ ） Aa2a3a6 B （3a3）29a6 C （ab）2a2b2 D3a2b2a2b1 5 （4 分）关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm4 Dm4 6 （4 分）杂交水稻之父袁隆平说： “粮食安全要掌握在自己手里” ，为了考察杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A23，24 B23，23 C24，25 D24，24 7 （4 分）如图，正方形 ABCD
3、内接于O，点 P 在劣弧上，则P 的度数为（ ） A15 B30 C45 D60 8 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（4，0） ，其部分图象如图所示则下列结论错误的是（ ） A抛物线过原点 Babc0 C4a+b0 Dab+c0 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 9 （4 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 10 （4 分）分解因式：5x25y2 11 （4 分）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 DE，点 F 是 CE 的中点
4、，连接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，若 BC4，则 CG 的长为 12 （4 分）某校举办了“碳中和、碳达峰”知识竞赛活动，在获得一等奖的 4 名学生（两男两女）中，随机抽取 2 名学生担任“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，则抽到的 2 名学生恰好是一男一女的概率是 13 （4 分）如图，在ABCD 中，AD4，BD8分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧交于点E和点F； 作直线EF， 交BD于点G， 连接GA 若GA与AD恰好垂直， 则GA的长为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 48 分）分） 14 （12 分） （1）计
5、算： （）1+（3）02cos30+|3|； （2）化简： 15 （8 分）北京 2022 年冬奥会的成功举办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项 根据调查结果， 绘制了如下两幅不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题： （1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数； （2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数； （3）该校共有 1200 名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数 16 （8 分）高楼 AB 和斜坡 CD 的
6、纵截面如图所示，斜坡 CD 的底部点 C 与高楼 AB 的水平距离 CB 为 150米，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE50 米，在点 D 处测得高楼楼顶点 A 的仰角为 50，求高楼的高度 AB（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192） 17 （10 分）如图，AB 是O 的直径，在半径 OA 上取点 C（不与点 A，O 重合） ，在O 上取点 D，使 BDBC，过点 A 作O 的切线交 DC 的延长线于点 E （1）求证：ADAE； （2）若 tanE，OC1，求O 的半径 18
7、（10 分）如图，直线 y2x 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A（m，6） ，以 OA 为边作 RtABO，使点 B 在第二象限，AOB90，AO2BO （1）求反比例函数 y（x0）的表达式； （2）求直线 AB 的表达式； （3）过点 B 的反比例函数 y（x0）与直线 AB 的另一个交点为 C，求BOC 的面积 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 19 （4 分）比较大小：2 5（选填“” 、 “”或“” ） 20 （4 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x+20 的两根，则+的值为 21 （4 分）
8、若关于 x 的方程+3 的解是正数，则 m 的取值范围为 22 （4 分）如图，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到菱形 ABCD的位置，使点 B落在 BC 上，BC与 CD 交于点 E，若 AB5，BB3，则 CE 的长为 23 （4 分）如图，在ABC 中，C90，B30，AC2，若点 D 为平面上一个动点，且满足ADC60，则线段 BD 长度的最小值为 ，最大值为 二二.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 24 （8 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 A 型消毒液的单价比 B 型消毒液的单价低2 元，用 140 元购买 A 型消
9、毒液与用 180 元购买 B 型消毒液的瓶数相等 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的瓶数不少于 A 型消毒液瓶数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 25 （10 分）如图，直线 yx+3 分别交 x，y 轴于点 B，C，经过点 B，C 的抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴的另一交点为点 A （1）求抛物线的解析式； （2） 若点 P 为第一象限内抛物线上一动点， 连接 AP， 交 BC 于点 D， 求的最大值及此时点 P 的坐标； （3）若点 F 在 x 轴上，点 G 在抛物线的对称轴上，以点 B，C，F，G 为顶
10、点的四边形为平行四边形，请直接写出点 F 的坐标 26 （12 分）在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为斜边 AB 上一动点，将BCP 沿直线 CP 折叠，使得点 B 的对应点为 B （1）如图 1，若 PBAC，求证：PBBC； （2）如图 2，若 PB2PA，求 tanACB的值； （3）连接 AB，是否存在点 P，使 ABBC，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要分，每小题均有四个选项，其中只有一
11、项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 求，答案涂在答题卡上） 1 （4 分）实数 2 的相反数是（ ） A2 B2 C2 D 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解决此题 【解答】解：根据相反数的表示的方法，实数 2 的相反数为2 故选：A 【点评】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的表示方法是解决本题的关键 2 （4 分）如图所示的几何体是由 6 个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ） A B C D 【分析】根据简单组合体的三视图的意义画出相应的图形即可 【解答】解：该组合体的三视图如图， 故选：D 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提 3 （4
12、 分）2021 年 5 月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为 1412000000其中数据1412000000 用科学记数法表示为（ ） A14.12108 B0.14121010 C1.412109 D1.412108 【分析】根据把一个大于 10 的数记成 a10n的形式的方法进行求解，即可得出答案 【解答】解：14120000001.412109 故选：C 【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键 4 （4 分）下列运算中，正确的是（ ） Aa2a3a6 B （3a3）29a6 C （ab）2a2b2 D3a2b2a2b1 【
13、分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项运算，然后选择正确选项 【解答】解：A、a2a3a5，故本选项不符合题意； B、 （3a3）29a6，故本选项符合题意； C、 （ab）2a22ab+b2，故本选项不符合题意； D、3a2b2a2ba2b，故本选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项知识，掌握运算法则是解答本题的关键 5 （4 分）关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm4 Dm4 【分析】利用判别式的意义得到（4）24
14、m0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得（4）24m0， 解得 m4 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 6 （4 分）杂交水稻之父袁隆平说： “粮食安全要掌握在自己手里” ，为了考察杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A23，24 B23，23 C24，25 D24，24 【分析】将这组数
15、据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可 【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为 22，23，23，23，24，24，25，25，26， 这组数据的众数为 23cm，中位数为 24cm， 故选：A 【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大 （或从大到小） 的顺序排列， 如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 7 （4 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在劣弧上，则P 的度数为（ ） A15 B30 C45 D60 【分析】
16、连接 OB、OC，如图，先利用正方形的性质得BOC90，然后根据圆周角定理求解 【解答】解：连接 OB、OC，如图， 四边形 ABCD 为正方形， BOC90， BPCBOC45 故选 C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了正方形的性质 8 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（4，0） ，其部分图象如图所示则下列结论错误的是（ ） A抛物线过原点 Babc0 C4a+b0 Dab+c0 【分析】由
17、抛物线对称轴为直线 x2 及抛物线的对称性可判断选项 A，C，由 c0 可判断选项 B，由 x1 时 y0 可判断选项 D 【解答】解：抛物线经过（4，0） ，对称轴为直线 x2， 抛物线经过（0，0） ，选项 A 正确 将（0，0）代入 yax2+bx+c 得 c0， abc0，选项 B 正确 抛物线对称轴为直线 x2， b4a， 4a+b0，选项 C 正确 x1 时，yab+c0， 选项 D 错误 故选：D 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4
18、分，共分，共 20 分）分） 9 （4 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解 【解答】解：依题意，得 x20， 解得：x2， 故答案为：x2 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 10 （4 分）分解因式：5x25y2 5（x+y） （xy） 【分析】提公因式后再利用平方差公式即可 【解答】解：原式5（x2y2）5（x+y） （xy） ， 故答案为：5（x+y） （xy） 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提 11 （4 分）如图
19、，在ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 DE，点 F 是 CE 的中点，连接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，若 BC4，则 CG 的长为 2 【分析】根据三角形中位线定理得到 DEBC2，DECG，证明DFEGFC，根据相似三角形的性质计算即可 【解答】解：D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，BC4， DEBC2，DECG， DFEGFC， ， 点 F 是 CE 的中点， EFCF， CGDE2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 12 （4 分）某校举办了“碳中和、
20、碳达峰”知识竞赛活动，在获得一等奖的 4 名学生（两男两女）中，随机抽取 2 名学生担任“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，则抽到的 2 名学生恰好是一男一女的概率是 【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中抽到的 2 名学生恰好是一男一女的结果为 8 种，再根据概率公式求解即可 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中抽到的 2 名学生恰好是一男一女的结果为 8 种， 则抽到的 2 名学生恰好是一男一女的概率是 故答案为： 【点评】此题考查的是树状图法求概率以及概率公式树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件正确画出树状图是解题的
21、关键 13 （4 分）如图，在ABCD 中，AD4，BD8分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧交于点 E 和点 F； 作直线 EF， 交 BD 于点 G， 连接 GA 若 GA 与 AD 恰好垂直， 则 GA 的长为 3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AGBG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 【解答】解：设 BGx，则 DG8x， 由作图可知：EF 是线段 AB 的垂直平分线， AGBGx， 在 RtDAG 中，AD2+AG2DG2，即 42+x2（8x）2， 解得：x3，即 AG3， 故答案为：3 【点评】本题考查的是平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质
22、，根据线段垂直平分线的性质求出 AGBG 是解题的关键 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 48 分）分） 14 （12 分） （1）计算： （）1+（3）02cos30+|3|； （2）化简： 【分析】 （1）先算负整数指数幂、零指数幂，将特殊角三角函数值代入，去绝对值，再算乘法，最后算加减； （2）先将括号内通分计算，再分子、分母分解因式约分即可 【解答】解： （1）原式2+12+23 2+1+23 ； （2）原式 【点评】 本题考查实数及分式的运算， 解题的关键是掌握实数、 分式混合运算的顺序及相关运算的法则 15 （8 分）北京 2022 年冬奥会的成功举
23、办，激起了同学们对冰雪运动的广泛兴趣某校对部分学生进行了“我最喜欢的冰雪运动项目”的问卷调查，要求参加问卷调查的学生在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四项冰雪运动项目中选且只选一项 根据调查结果， 绘制了如下两幅不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题： （1）求参加这次调查的学生总人数和选择“冰壶”的学生人数； （2）求扇形统计图中“高山滑雪”对应扇形的圆心角度数； （3）该校共有 1200 名学生，请你估算其中最喜欢“短道速滑”的学生人数 【分析】 （1）用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数，再根据喜欢冰壶的学生所占的百分比可得喜欢冰壶的学生人数； （2）先算出喜
24、欢“高山滑雪”的人数所占的百分比，再用 360乘百分比可得圆心角； （3）用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查共抽取的学生数有：615%40（名） ，4030%12（名） ， 答：参加这次调查的学生总人数是 40 名，选择“冰壶”的学生人数是 12 名； （2）36036， 答： “高山滑雪”对应扇形的圆心角度数是 36； （3）根据题意得：1200540（名） ， 答：最喜欢“短道速滑”的学生有 540 名 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 16 （8 分）高楼
25、AB 和斜坡 CD 的纵截面如图所示，斜坡 CD 的底部点 C 与高楼 AB 的水平距离 CB 为 150米，斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE50 米，在点 D 处测得高楼楼顶点 A 的仰角为 50，求高楼的高度 AB（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192） 【分析】过点 D 作 DFAB，垂足为 F，根据题意可得 DEBF50 米，DFBE，先利用斜坡 CD 的坡度，求出 CE 的长，从而求出 BE，DF 的长，然后在 RtADF 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，进行计
26、算即可解答 【解答】解：过点 D 作 DFAB，垂足为 F， 则 DEBF50 米，DFBE， 斜坡 CD 的坡度（或坡比）i1：2.4，DE50 米， ， CE2.4DE2.450120（米） ， BC150 米， DFBEBCCE15012030（米） ， 在 RtADF 中，ADF50， AFDFtan50301.19235.76（米） ， ABBF+AF50+35.7685.8（米） ， 高楼的高度 AB 为 85.8 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 17 （10 分）如图，AB 是O 的直径
27、，在半径 OA 上取点 C（不与点 A，O 重合） ，在O 上取点 D，使 BDBC，过点 A 作O 的切线交 DC 的延长线于点 E （1）求证：ADAE； （2）若 tanE，OC1，求O 的半径 【分析】 （1）由圆周角定理及切线的性质证出ADEE，则可得出结论； （2）设 CAx，则 AE2x，由勾股定理得出（2x）2+（x+2）2（2x+2）2，解方程可得出答案 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ADB90， BDC+ADE90， BDBC， BDCBCD， BCDACE， ACE+ADE90， AE 是O 的切线， OAAE， OAE90， ACE+E90， ADEE，
28、ADAE； （2）解：设 CAx，则 AE2x， OAx+1， ADAE， AD2x， BDBC， BDx+2， ADB90， AD2+BD2BA2， （2x）2+（x+2）2（2x+2）2， x0（舍去）或 x4， AC4， OA5， 即O 的半径为 5 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定及利用勾股定理列方程是解题关键 18 （10 分）如图，直线 y2x 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A（m，6） ，以 OA 为边作 RtABO，使点 B 在第二象限，AOB90，AO2BO （1）求反比例函数 y（x0）的表达式；
29、（2）求直线 AB 的表达式； （3）过点 B 的反比例函数 y（x0）与直线 AB 的另一个交点为 C，求BOC 的面积 【分析】 （1）将 A（m，6）代入 y2x 得：2m6，可得点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入 y，可得答案； （2）过点 A 作 ADx 轴于 D，过点 B 作 BEx 轴于 E，利用BOEOAD，可得 BE 和 OE 的长，则得出点 B 的坐标，再利用待定系数法求出直线 AB 的解析式即可； （3）设直线 AB 与 y 轴的交点为 F，可得点 F 的坐标，将 B（3，）代入 y（x0）得 k2的值，联立方程组可得点 C 的坐标，则 SBOCSBOFSCOF，代入
30、即可解决问题 【解答】解： （1）将 A（m，6）代入 y2x 得：2m6， m3， A（3，6） ， 将 A（3，6）代入 y得：k13618， y， 反比例函数 y的表达式为 y（x0） ； （2）如图，过点 A 作 ADx 轴于 D，过点 B 作 BEx 轴于 E， ADx 轴， AD6，OD3，ODA90， BEx 轴， BEOODA90， EBO+BOE90， AOB90， BOE+AOD180AOB90， EBOAOD， BOEOAD， ， AO2BO， ， OE3，BE， 点 B 在第二象限， B（3，） ， 设直线 AB 的表达式为：ymx+n（m0） ，代入 A（3，6） ，
31、B（3，） ，得： ， 解得， y， 直线 AB 的表达式为 y； （3）如图，设直线 AB 与 y 轴的交点为 F， y， 当 x0 时，y0+， F（0，） ， OF， 将 B（3，）代入 y（x0）得： k， y， 联立， 解得（不符合题意，舍去）或， C（2，） ， SBOCSBOFSCOF ， BOC 的面积为 【点评】 本题是反比例函数综合题， 主要考查了函数图象上点的坐标的特征， 待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，构造相似三角形求出点 B 的坐标是解题的关键 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共
32、分，共 20 分）分） 19 （4 分）比较大小：2 5（选填“” 、 “”或“” ） 【分析】先分别求出两个数的平方，根据求出的结果再比较大小即可 【解答】解： （2）24624，5225， 2425， 25， 故答案为： 【点评】本题考查了实数的大小比较法则和算术平方根，能选择适当的方法求解是解此题的关键 20 （4 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x24x+20 的两根，则+的值为 6 【分析】根据根与系数的关系得 x1+x24，x1x22，再通分和利用完全平方公式把+变形为，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据根与系数的关系得 x1+x24，x1x22， 所以+6 故答案为
33、：6 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 21 （4 分）若关于 x 的方程+3 的解是正数，则 m 的取值范围为 m7 且 m3 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出 m 的取值范围 【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x2） ，得：2x+m（x1）3（x2） ， 解得：x， 原方程的解为正数且 x2， ， 解得：m7 且 m3， 故答案为：m7 且 m3 【点评】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟知解分式方程的方法是解题的关键 22 （4 分）如图，将菱形
34、 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到菱形 ABCD的位置，使点 B落在 BC 上，BC与 CD 交于点 E，若 AB5，BB3，则 CE 的长为 【分析】 如图， 过点 C 作 CFCD， 交 BC于点 F， 根据等腰三角形的性质得到BABB，根据平行线的性质得到BCFABB，根据相似三角形的性质得到 FC，由旋转可知 DDBB3 求得 CD2，又由 CFCD，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：如图，过点 C 作 CFCD，交 BC于点 F， 菱形 ABCD中，ABCD， ABCFCD， ABAB， BABB， ABCB， FBCBAB， ABFC， BCFABB， AB5，BB3，
35、 BC2， ABBBCF， ， ， FC， 由旋转可知，ABBADD， DDBB3， CD2， 又由 CFCD， CDEFCE， ， ， ， EC 故答案为： 【点评】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，正确地作出辅助线是解题关键 23 （4 分）如图，在ABC 中，C90，B30，AC2，若点 D 为平面上一个动点，且满足ADC60，则线段 BD 长度的最小值为 22 ，最大值为 2+2 【分析】根据ADC60，AC2，作 RtADC 的外接圆 O，连接 OC，当 O、D、C 三点共线时，CD 的值最小或最大将问题转化为点圆最
36、值可证得COD 为等边三角形，OCODCD2，CEDE1，由勾股定理可求得 OB 的长，最后求得 BD 的最值 【解答】解：如图 1，作 RtADC 的外接圆 O， （因为是求线段 BD 长度的最小值，故圆心 O 在 AC 的右侧） ，连接 OB，当 O、D、B 三点共线时，BD 的值最小 ACD90， AD 是O 的直径， 连接 OC， ADC60，OCOD， COD 是等边三角形， 在 RtACD 中，ADC60，AC2， AD4， ODCDOC2， 作 OECD 于 E， CEDE1， OAOD， OE 是ADC 的中位线， OEAC， 在ABC 中，C90，B30，AC2， BCAC6
37、， BEBCCE615， OB2， 当 O、D、B 三点共线时，BD 最小，为 BDOBOD22 如图 2， 作 RtADC 的外接圆 O，（因为是求线段 BD 长度的最大值， 故圆心 O 在 AC 的左侧） ， 连接 OB，当 D、O、B 三点共线时，BD 的值最大 同理证得 BEBC+CE6+17，OE，OCODCD2， OB2， 当 D、O、B 三点共线时，BD 最大，为 BDOB+OD2+2 故答案为：22；2+2 【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维解题关键在于确定出点 D 的运动轨
38、迹为一段优弧 二二.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 24 （8 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 A 型消毒液的单价比 B 型消毒液的单价低2 元，用 140 元购买 A 型消毒液与用 180 元购买 B 型消毒液的瓶数相等 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的瓶数不少于 A 型消毒液瓶数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 【分析】 （1）用 140 元购买 A 型消毒液与用 180 元购买 B 型消毒液的瓶数相等，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两
39、种消毒液的单价各是多少元； （2）根据题意，可以写出费用和购买 A 型消毒液数量的函数关系，然后根据 B 型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的 ，可以得到 A 型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用 【解答】解： （1）设 A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是（x+2）元， 得， 解得 x7， 经检验，x7 是原分式方程的解，且符合实际意义 x+29， 答：A 型消毒液的单价是 7 元；B 型消毒液的单价是 9 元 （2）设购进 A 型消毒液 a 瓶，则购进 B 型消毒液（90a）瓶，费用为 w 元， 依题意可得：w7a+9（90
40、a）2a+810， k20， w 随 a 的增大而减小 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的 ， 90aa 解得 a67 ， 当 a67 时，w 取得最小值，此时 w267+810676，90a23 答：最省钱的购买方案是购进 A 型消毒液 67 瓶，购进 B 型消毒液 23 瓶；最低费用为 676 元 【点评】本题考查一次函数的应用、方式方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 25 （10 分）如图，直线 yx+3 分别交 x，y 轴于点 B，C，经过点 B，C 的抛物线 yax2+2x+c 与
41、 x 轴的另一交点为点 A （1）求抛物线的解析式； （2） 若点 P 为第一象限内抛物线上一动点， 连接 AP， 交 BC 于点 D， 求的最大值及此时点 P 的坐标； （3）若点 F 在 x 轴上，点 G 在抛物线的对称轴上，以点 B，C，F，G 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 F 的坐标 【分析】 （1）求出点 B、C 的坐标，利用待定系数法，直接求出抛物线的解析式即可； （2）作 AMx 轴交 BC 于 M，作 PNx 轴交 BC 于 N，证明ADMPDN，根据相似三角形的性质得，设 M（1，m） ，可得 M（1，4） ，AM4，设 P（n，n2+2n+3） ，则 N（n，n
42、+3） ，PNn2+2n+3（n+3）n2+3n（n）2+，利用二次函数的最值得当 n时，的最大值为，即可求解； （3）分两种情况：BC 为平行四边形的边时，BC 为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可 【解答】解： （1）直线 yx+3 与 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C， 当 x0 时，y3，当 y0 时，x3， 点 B、C 的坐标分别为（3，0） 、 （0，3） ， 抛物线 yax2+2x+c 过点 B，C， ，解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）作 AMx 轴交 BC 于 M，作 PNx 轴交 BC 于 N， AMPN， AMDPND， CDANDP，
43、 ADMPDN， ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3，直线 BC：yx+3， A（1，0） ，C（0，3） ，B（3，0） ， 设 M（1，m） ， m1+34， M（1，4） ， AM4， 设 P（n，n2+2n+3） ，则 N（n，n+3） ， PNn2+2n+3（n+3）n2+3n（n）2+， （n）2+， 当 n时，的最大值为， n2+2n+3， P（，） ； （3）BC 为平行四边形的边时，如图， 当四边形 CBFG 是平行四边形时， CGBF，CGBF， 点 G 在抛物线 yx2+2x+3 的对称轴上， 对称轴为 x1， C（0，3） ， G（1，3） ， BFCG1， B（3
44、，0） ， 点 F 的坐标为（4，0） ； 当四边形 CBGF是平行四边形时， CBGF，CBGF， 点 G 在抛物线 yx2+2x+3 的对称轴上， 对称轴为 x1， C（0，3） ， B（3，0） ， 点 F 的坐标为（2，0） ； BC 为平行四边形的对角线时，如图， 四边形 CFBG 是平行四边形， CGBF，CGBF， 点 G 在抛物线 yx2+2x+3 的对称轴上， 对称轴为 x1， C（0，3） ， G（1，3） ， BFCG1， B（3，0） ， 点 F 的坐标为（2，0） ； 综上，点 F 的坐标为（4，0）或（2，0）或（2，0） 【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数
45、法、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 26 （12 分）在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为斜边 AB 上一动点，将BCP 沿直线 CP 折叠，使得点 B 的对应点为 B （1）如图 1，若 PBAC，求证：PBBC； （2）如图 2，若 PB2PA，求 tanACB的值； （3）连接 AB，是否存在点 P，使 ABBC，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1） 由ACB90， PBAC， 得 PBBC， 有BPCB
46、CP， 根据BCP 沿直线 CP 折叠，点 B 的对应点为 B，得BPCBPC，即得BCPBPC，BPBC； （2）设 BCACa，AC、PB交于点 D，过点 D 作 DEBC 于点 E，根据 PB2PA，得 PBa，PAa， 由折叠可知， PBCB45， BCBCa， 可CDBPDA 得，设 BDx，则 ADx，有 CDACADax，PDPBBDax，代入，解得 xa，即得 BEDEBDa，CEBCBEa，从而 tanACB； （3）分两种情况：当 B在 AC 左侧时，过 C 作 CHAB 于 H，根据已知可证ABC 是等边三角形，得ABCBAC60，可得ABP15，BAP105，即得APB
47、60，故BPCBPC（180APB）260，设 PHm，则 CP2m，CHm，可得 BHCHAHm，APAHPH（1）m，BPBH+PH（+1）m，故2；当 B在 AC右侧时，过 C 作 CHAB 于 H，同理可得HCPHCBBCP30，设 PHn，则 CP2n，CHn， 可得 APAH+PH （+1） n， BPBHPH （1） n， 从而2+ 【解答】 （1）证明：ACB90，PBAC， PBBC， BPCBCP， BCP 沿直线 CP 折叠，点 B 的对应点为 B， BPCBPC， BCPBPC， BPBC； （2）解：设 BCACa，AC、PB交于点 D，过点 D 作 DEBC 于点
48、E，如图： ACB90，ACBC， ABa，AB45， PB2PA， PBa，PAa， 由折叠可知，PBCB45，BCBCa， 又A45， PBCA， 又CDBPDA， CDBPDA ， 设 BDx，则 ADx， CDACADax， PDPBBDax， ， ， 解答 xa， BDa， DEBC，PBC45， BDE 是等腰直角三角形， BEDEBDa， CEBCBEaaa， tanACB， 答：tanACB的值为； （3）解：存在点 P，使 ABBC，理由如下： 当 B在 AC 左侧时，过 C 作 CHAB 于 H，如图： BCP 沿直线 CP 折叠，点 B 的对应点为 B， BCBC， AB
49、BCAC， ABBCAC， ABC 是等边三角形， ABCBAC60， PBCBBAC45， ABP15，BAP105， APB60， BPCBPC（180APB）260， 在 RtCPH 中，设 PHm，则 CP2m，CHm， ACH、BCH 是等腰直角三角形， BHCHAHm， APAHPH（1）m，BPBH+PH（+1）m， 2； 当 B在 AC 右侧时，过 C 作 CHAB 于 H，如图： 同理可得 ABBCBCAC，ABC 是等边三角形， BCBACBACB30， BCPBCP15， ACH、BCH 是等腰直角三角形， HCPHCBBCP30， 在 RtHCP 中，设 PHn，则 CP2n，CHn， AHCHBHn， APAH+PH（+1）n，BPBHPH（1）n， 2+， 综上所述，的值为 2或 2+ 【点评】 本题考查直角三角形中的翻折问题， 涉及相似三角形判定与性质， 等腰直角三角形性质与应用，含 30角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练应用含 30角的直角三角形三边关系