1、四省八校2022届高三第二学期开学考试数学理科试卷一选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡）1. 若集合，则( )A. B. C. D. 2. 已知，复数（为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 3. 已知，则“”是“存在使得”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设函数，则函数的图象可能为( )A. B. C. D. 5. “烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒
2、放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A 156种B. 168种C. 172种D. 180种6. 已知，则下列关系中成立的是A. B. C. D. 7. 函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图象左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（ ）A. 在上单调递增
3、B. 当时取得最小值为-1C. 对称中心为D. 右移m个单位得到，当时，为偶函数8. 在ABC中，且，其中，则（ ）A. 当时，B. 当时，C 当时，D. 当时，9. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是( )若，则点N的轨迹长度为.若N到平面与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.若N在线段AC上运动，则.若N在线段AC上运动，则.A. 1B. 2C. 3D. 410. 在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )A. B. C. D. 11. 已知函数，若，成立，则
4、a取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 设，分别是椭圆的左右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13. 若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体积最大值为_.14. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为_.15. 在中，已知，则的取值范围为_.16. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与
5、y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是，.以上结论正确的是_.三解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，.（1）设，求证是等差数列；（2）求的通项.18. 如图，多面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，上底面为直角梯形，且，平面ABCD，F为棱上的一个动点，设由点，A，F构成的平面为.（1）当F为的中点时，在多面体中作出平面截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；（2）求当点D到平面的距离取得最大值时直线AD与平面所成角的正弦值.19.
6、 某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草翻地播种浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：（1）在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；（2）记该小组得分为X，求X的期望.20. 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.（1）证明：以为直径的圆经过点；（2）记、的面积分别为、，若，求的取值范围.21
7、. 己知函数.（1）当时，求的单调区间.（2）存在，使得成立，求整数的最小值.22. 在平面直角坐标系中，曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形，其中.（1）请写出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程.（2）已知点在曲线上，延长、分别与曲线交于点、，求的面积.23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为，且，求的最小值.四省八校2022届高三第二学期开学考试数学理科试卷一选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡）1. 若集合，则( )A. B
8、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分式不等式解法解出集合A，根据对数的运算法则计算出集合B，再根据集合交集运算得结果.【详解】，.故选：C.2. 已知，复数（为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出，从而可求出复数，即可得出答案.【详解】解：，因为复数（为虚部单位）为纯虚数，所以，解得，所以，所以，所以z的共轭复数的虚部为.故选：B.3. 已知，则“”是“存在使得”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根
9、据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在使得时，则；即不能推出. (2)当时，或，,所以对第二种情况，不存在时，使得成立，故“”是“存在使得”的既不充分不必要条件.故选：D4. 设函数，则函数的图象可能为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断f(x)的奇偶性和单调性即可判断图像.【详解】，f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD；又，选C.故选：C.5. “烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中
10、的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A. 156种B. 168种C. 172种D. 180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙
11、学校，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有656=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有243=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A6. 已知，则下列关系中成立的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系【详解】由题意知，
12、解得同理可解得，比较x和y：取，比较x和z：取，比较y和z：取，综上所述：，故选C【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程再构造同指数幂比较大小7. 函数对于都有，恒成立，在区间上无最值.将横坐标变为原来的6倍，图象左移个单位，上移3个单位得到，则下列选项正确的是（ ）A. 在上单调递增B. 当时取得最小值为-1C. 的对称中心为D. 右移m个单位得到，当时，为偶函数【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的解析式，然后根据三角函数的的单调性、最值、对称性、三角函数图象变换、三角函数的奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】由题意得，则.，则，在，上
13、单调递增，当k=0时，增区间为，A错误；时，取得最小值为1，B错误：，所以的对称中心为，C错误；，当为偶函数时，D正确.故选：D8. 在ABC中，且，其中，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法运算可判断A;根据数量积的运算法则可求得，从而判断B;先表示出，再根据向量模的计算求得，可判断C;根据向量的夹角公式可求得，判断D.【详解】当时，则,故A错误；当时，则，由于 不定，故B错误；当时，,故由于 不定，故C错误；当时，,故,故 所以 ,由于 ,故，故D正确，故选：D9. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD内一动点，
14、则下列命题正确的个数是( )若，则点N轨迹长度为.若N到平面与直线的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分.若N在线段AC上运动，则.若N在线段AC上运动，则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】连接DN、MN，求出DN，根据圆的定义可求N的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度；根据几何关系可知N到平面的距离即为N到直线BC的距离，N到直线的距离即为NA，根据抛物线的定义即可判断N的轨迹；连接，证明平面即可；连接连接AC和BD交于O，连接MO，则MO，由此即可判断.【详解】连接DN、MN，DM平面ABCD，点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆的，点N轨迹长度为圆的周长的，为，故正
15、确；如图，过N作NEBC与E，连接AN：平面ABCD平面且两平面交于BC，NE平面，NE即为N到平面的距离；平面ABCD，AN，AN就是N到直线的距离；若N到平面与直线的距离相等，即NENA，根据抛物线的定义可知N的轨迹是以A为焦点，BC为准线的抛物线的一部分，故正确；连接：是正方形，平面平面，同理可证平面正确；连接AC和BD交于O，连接MO，ABCD时正方形，OBOD，又M是的中点，在三角形中，MO，若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点O才满足，故错误.正确的命题是：，正确的个数为：3.故选：C.10. 在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M
16、，则点M的横坐标的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F，由题可知，又，根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，此时M恒坐标；当M在第三象限时，如图，同理可得，根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，此时M恒坐标；综上，M点的横坐标的取值范围.故选：A.11. 已知函数，若，成立，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将不等式变形为，再根据函数在
17、上为减函数即可得到，然后分参即可求出【详解】因为，得，同时除以得：，使该不等式成立设，当时，所以在为减函数，所以，由得，即，因为，所以，即a的取值范围是.故选：D.12. 设，分别是椭圆的左右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用列方程，整理得，然后根据的取值范围，求得离心率的取值范围.【详解】设，由椭圆的方程可得，则，即，由P在椭圆上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，可得：.故选：B二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13. 若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体
18、积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2，故底面矩形的边长为，对角线长为，高为x，进而长方体的体积为，在结合导数计算的最值即可.【详解】解：根据三视图可判断该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2；其内接长方体如图，底面矩形的边长为，对角线长为，高为x，根据轴截面图得出：，解得，其中；因为，所以，当且仅当时等号成立，所以长方体的体积为，所以令则，令，解得或，可判断时单调递增，时单调递减，所以的最大值为.所以该长方体的最大值为，当且仅当底面边长为的正方形，高为，故答案为：.14. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开
19、式中二项式系数最大的项的系数为_.【答案】280或560【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式以及已知条件列方程，化简求得的值，进而求得展开式中二项式系数最大项的系数.【详解】因为的展开式通项为，所以，展开式中第4项系数为，倒数第四项系数为，则，即6-n=-1，所以n=7.当k=3或k=4时，二项式系数最大.所以二项式系数最大的项为和；所以二项式系数最大的项的系数为280或560.故答案为：或15. 在中，已知，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式分析得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，令，则，利用函数的单调性可求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为、，故，所
20、以或.因为，故，故.则由正弦定理得，因为，所以，所以，设，则，则，设，则在上单调递增，则，即.所以的取值范围为.故答案为：.16. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是，.以上结论正确的是_.【答案】【解析】【分析】设直线方程，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a,b的关系式，即可判断.【详解】设直线l的方程为，令x=0，可得y=
21、t，设直线l与y轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线y=x+t联立，可得，由三角形的外心重心垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当A，B，C依次为三角形的外心重心垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=2b，；当A，C，B依次为三角形的外心重心垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=2b不成立；当B，A，C依次为三角形的外心重心垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为b=3a，；当C，A，B依次为三角形的外心重心垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为b=3a不成立；当C，B，A依次为三角形的外心重心垂心，且它们
22、依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=5b，；当B，C，A依次为三角形的外心重心垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为a=5b不成立.故答案为：.三解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，.（1）设，求证是等差数列；（2）求的通项.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）式子变形后，可知是首项，公差为1的等差数列.（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论.【小问1详解】解：由已知可得：即即，所以是首项，公差为1的等差数列.【小问2详解】由（1）知则得到，得.18. 如图，多面体中，四边形ABCD是边长为2的
23、正方形，上底面为直角梯形，且，平面ABCD，F为棱上的一个动点，设由点，A，F构成的平面为.（1）当F为中点时，在多面体中作出平面截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；（2）求当点D到平面的距离取得最大值时直线AD与平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，从而可求出截面图形，（2）如图，以D为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设CF=a，（0a2），求出平面的一个法向量，然后表示出点D到平面的距离为，由其最大值可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】取的中点，
24、取的中点，则，连接，由题意可得，因为F为的中点，所以，所以，所以，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，则平面截正方体的截面为五边形，如图所示.因，所以，所以，因为，所以，因为，所以【小问2详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长与z轴交于P点，设CF=a，（0a2），则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设点D到平面的距离为，则，当a=2时，此时，设直线AD与平面所成角为，则所以直线AD与平面所成角的正弦值为.19. 某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草翻地播种浇水四个项
25、目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：（1）在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；（2）记该小组得分为X，求X的期望.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.根据超几何分布原理分别求得，直接利用条件概率的计算公式即可求得；（2）设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，求出Y的分布列和数学期望，由即可求出.【小问1详解】设“至少有一名女生参加劳动学习
26、”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.根据超几何分布原理得：，有条件概率的计算公式得：所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为；【小问2详解】根据题意女生参加劳动学习可获得：（分）；男生参加劳动学习可获得：（分）.设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，则；.所以Y的分布列为：Y012P则有：.又，.20. 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.（1）证明：以为直径圆经过点；（2）记、的面积分别为、，若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）分析可知直线的
27、斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出，可得出，即可证得结论成立；（2）设的斜率为，则的方程为，将直线的方程分别与曲线、的方程联立，可求得点、的坐标，同理可得出点、的坐标，可求得、，进而可得出的表达式，利用基本不等式可求得的取值范围.【小问1详解】证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为.由得，设、，则、是上述方程两个实根，于是，.又因为点，所以，所以，即，所以为直径的圆经过点.【小问2详解】解：由已知，设的斜率为，则的方程为，由解得或，则点的
28、坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.所以，由得，解得或，则点的坐标为，又直线斜率为，同理可得点的坐标，于是，因此，当时，即当时，等号成立，所以，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
29、21. 己知函数.（1）当时，求的单调区间.（2）存在，使得成立，求整数的最小值.【答案】（1）增区间为，无单减区间 （2）【解析】【分析】（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得结果；（2）由题意可知，存在，使得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，求出的取值范围，可求得整数的最小值.【小问1详解】解：当时，该函数的定义域为，则，当且仅当时，等号成立，故函数的增区间为，无单减区间.【小问2详解】解：存在，使得成立，即，令，其中，则，令，则，令，对任意的恒成立，故函数在上为增函数，则，即对任意的恒成立，则函数为增函数.因为，所以存在，使得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递
30、增，所以，设，则，令，则对任意的恒成立，故函数在上为增函数，则，即对任意的恒成立，故函数在为增函数，故，即，即，因为为整数，所以整数的最小值为.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.22. 在平面直角坐标系中，曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形，其中.（1）请写出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程.（2）已知点在曲线上，延长、分别与曲线交于点、，求的面积.【答案】（1），和 （2）【解析】【分析】（1）求出曲线的普通
31、方程，然后由变换可得出曲线的普通方程，求出，可得出曲线的极坐标方程；（2）求出点、的坐标，可求得，直线的方程，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：将曲线的参数方程化为普通方程可得，将曲线经过变换可得到曲线，则，因此，曲线的普通方程为.曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形，其中.则，故曲线的极坐标方程为和.【小问2详解】解：直线的方程为，联立，可得或，即点，同理可得点，则，且直线的方程为，设点，则，可得，即点，所以，点到直线的距离为，因此，.23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为，且，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知可得，在不等式的两边同时平方可得出，解此不等式即可得解；（2）分析函数的单调性，可得出，可得出，利用三元基本不等式可求得的最小值.【小问1详解】解：由可得，两边平方得，整理得，解得，所以，不等式的解集为.【小问2详解】解：当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，故，所以，因为且，则，由三元基本不等式可得，当且仅当，即时取到等号，故的最小值为.