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2022年高考数学复习专题(二)第2讲:三角函数的图象与性质(含答案解析)

1、20222022 年高考数学复习专题(二)年高考数学复习专题(二)第第 2 2 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1同角关系:sin2cos21,sin cos tan 2k,kZ Z . 2诱导公式:在k2,kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限” 【热点突破】 【典例】1 (1)已知角的终边上一点的坐标为sin 56,cos 56,则角的最小正值为( ) A.56 B.116 C.53 D.23 (2)(2020山东师范大学附中模拟)若 sin 5cos(2),则 tan 2等于( ) A53 B.53 C52

2、 D.52 【拓展训练】1 (1)(2020全国)已知 2tan tan47,则 tan 等于( ) A2 B1 C1 D2 (2)已知(0,),且 cos 1517,则 sin2 tan()等于( ) A1517 B.1517 C817 D.817 【要点提炼】 考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换 【热点突破】 【典例】2 (1)已知函数 f(x)Asin(x)(A0,0,|0)向左平移5个单位长度得到函数 f(x),已知 f(x)在0,2上有且只有 5个零点,则下列结论正确的是_ f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点,2 个极小值点; f(x)在0,10上单调

3、递增; 的取值范围是125,2910. 【拓展训练】2 (1)(2020全国)设函数 f(x)cosx6在,上的图象大致如图,则 f(x)的最小正周期为( ) A.109 B.76 C.43 D.32 (2)已知函数 f(x)sin(x)|0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P6,1 ,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q512,0 ,则 f 3的值为( ) A1 B.12 C.22 D.32 【要点提炼】 考点三 三角函数的性质 函数 yAsin(x)(A0,0)的性质 (1)奇偶性:k(kZ Z)时,函数 yAsin(x)为奇函数;k2(kZ Z)时,函数 yAsin(x)为偶函数

4、 (2)三角函数的周期性:f(x)Asin(x)和 f(x)Acos(x)的最小正周期为2;yAtan(x)的最小正周期为. (3)根据 ysin t 的性质研究 ysin(x)(0)的性质: 由22kx22k(kZ Z)可得增区间,由22kx322k(kZ Z)可得减区间;由xk(kZ Z)可得对称中心;由xk2(kZ Z)可得对称轴 【热点突破】 【典例】3 (1)已知函数 f(x)cos62x ,把 yf(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列说法正确的是( ) Ag332 Bg(x)的图象关于直线 x2对称 Cg(x)的一个零点为3,0 Dg(x)的一个单调递减

5、区间为12,512 (2)设函数 f(x) 3sin xcos x(0),其图象的一条对称轴在区间6,3内,且 f(x)的最小正周期大于,则的取值范围是( ) A.12,1 B(0,2) C(1,2) D1,2) 【拓展训练】 3 (1)(多选)(2020 武汉模拟)已知函数 f(x)|cos x|sin|x|, 下列说法正确的是( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是周期为的函数 Cf(x)在区间,32上单调递减 Df(x)的最大值为 2 (2)(2020北京海淀区模拟)已知函数 f(x) 2sin x,g(x) 2cos x,其中0,A,B,C 是这两个函数图象的交点,且不共线 当1 时,

6、ABC 的面积的最小值为_; 若存在ABC 是等腰直角三角形,则的最小值为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1已知角的终边过点 P(3,8m),且 sin 45,则 m 的值为( ) A12 B.12 C32 D.32 2已知直线 3xy10 的倾斜角为,则cos 2sin sin cos 的值为( ) A1110 B12 C114 D54 3若 f(x)sin x 3cos x 在m,m(m0)上是增函数,则 m 的最大值为( ) A.56 B.23 C.6 D.3 4已知曲线 C1:ycos x,C2:ysin2x23,则下面结论正确的是( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2

7、 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移712个单位长度,得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移712个单位长度,得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移6个单位长度,得到曲线 C2 5已知函数 f(x)sin(x)0,00 在0, 内的值域为1,12, 则的取值范围为( ) A.23,43 B.0,43 C.0,23 D.(0,1 8已知函数 f(x)tan(x)0,02的相

8、邻两个对称中心的距离为32,且 f(1) 3,则函数 yf(x)的图象与函数 y1x2(5x0),已知 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点,则( ) Af(x)在(0,2)上有且仅有 5 个零点 Bf(x)在(0,2)上有且仅有 2 个极大值点 Cf(x)在0,6上单调递减 D的取值范围是73,103 三、填空题 13(2017全国)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0,2的最大值是_ 14已知函数 f(x) 3sin xcos x12cos 2x,若将其图象向右平移(0)个单位长度后所得的图象关于原点对称,则的最小值为_ 15. (2020北京市八一中学调研)已知函数 f(

9、x)1sinx其中0,|0,|2, f 80, f(x)f 38恒成立,且 f(x)在区间12,24上单调,则下列说法正确的是_(填序号) 存在,使得 f(x)是偶函数;f(0)f 34; 是奇数;的最大值为 3. 20222022 年高考数学复习专题(二)第年高考数学复习专题(二)第 2 2 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1同角关系:sin2cos21,sin cos tan 2k,kZ Z . 2诱导公式:在k2,kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限” 【热点突破】 【典例】1 (1)已知角的终边上一点的

10、坐标为sin 56,cos 56,则角的最小正值为( ) A.56 B.116 C.53 D.23 【答案】 C 【解析】 角的终边上一点的坐标为sin 56,cos 56, 即为点12,32, 在第四象限, 且满足 cos 12,sin 32,故的最小正值为53,故选 C. (2)(2020山东师范大学附中模拟)若 sin 5cos(2),则 tan 2等于( ) A53 B.53 C52 D.52 【答案】 C 【解析】 sin 5cos(2), sin 5cos ,得 tan 5, tan 22tan 1tan22 515252. 二级结论 (1)若0,2,则 sin 0,0,|)是奇函

11、数,且 f(x)的最小正周期为, 将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 所得图象对应的函数为 g(x)若g4 2,则 f 38等于( ) A2 B 2 C. 2 D2 【答案】 C 【解析】 f(x)的最小正周期为,2. 又 f(x)Asin(2x)是奇函数, k(kZ Z),|0)向左平移5个单位长度得到函数 f(x),已知 f(x)在0,2上有且只有 5个零点,则下列结论正确的是_ f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点,2 个极小值点; f(x)在0,10上单调递增; 的取值范围是125,2910. 【答案】 【解析】 依题意得 f(x)sin

12、x5sinx5, T2,如图: 对于,根据图象可知,xA2xB,f(x)在(0,2)上有 3 个极大值点,f(x)在(0,2)上有 2 个或 3 个极小值点,故不正确; 对于,因为 xA552T5522245,xB53T532295,所以2452295,解得1252910,所以正确; 对于,因为514T5142310,由图可知 f(x)在0,310上单调递增,因为29103,所以1031010130,所以 f(x)在0,10上单调递增,故正确故正确 易错提醒 (1)根据零点求值时注意是在增区间上还是在减区间上 (2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别 【拓展训练】2 (1)(2

13、020全国)设函数 f(x)cosx6在,上的图象大致如图,则 f(x)的最小正周期为( ) A.109 B.76 C.43 D.32 【答案】 C 【解析】 由图象知T2, 即2|2,所以 1|2. 因为图象过点49,0 , 所以 cos4960, 所以496k2,kZ Z, 所以94k34,kZ Z. 因为 1|2,故 k1,得32. 故 f(x)的最小正周期为 T243. (2)已知函数 f(x)sin(x)|0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P6,1 ,在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q512,0 ,则 f 3的值为( ) A1 B.12 C.22 D.32 【答案】 B

14、【解析】 T4|PxQx|4(Px,Qx分别为 P,Q 的横坐标),T2,2;点 P 为最高点,代入 P 的坐标得32k2, kZ Z, 2k6, kZ Z, 又|0,0)的性质 (1)奇偶性:k(kZ Z)时,函数 yAsin(x)为奇函数;k2(kZ Z)时,函数 yAsin(x)为偶函数 (2)三角函数的周期性:f(x)Asin(x)和 f(x)Acos(x)的最小正周期为2;yAtan(x)的最小正周期为. (3)根据 ysin t 的性质研究 ysin(x)(0)的性质: 由22kx22k(kZ Z)可得增区间,由22kx322k(kZ Z)可得减区间;由xk(kZ Z)可得对称中心

15、;由xk2(kZ Z)可得对称轴 【热点突破】 【典例】3 (1)已知函数 f(x)cos62x ,把 yf(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数 g(x)的图象,则下列说法正确的是( ) Ag332 Bg(x)的图象关于直线 x2对称 Cg(x)的一个零点为3,0 Dg(x)的一个单调递减区间为12,512 【答案】 D 【解析】 因为 f(x)cos62x cos2x6, 所以 g(x)cos2x66cos2x6, 所以 g3cos 5632,故 A 错误; 令 2x6k,kZ Z,得对称轴方程为 xk212,kZ Z,故 B 错误; 令 2x6k2,kZ Z,得对称中心的横坐标为 xk

16、26,kZ Z,故 C 错误; 因为 x12,512, 故2x60, , 因为 ycos 在0, 上是减函数, 故 g(x)cos2x6在12,512上是减函数,故 D 正确 (2)设函数 f(x) 3sin xcos x(0),其图象的一条对称轴在区间6,3内,且 f(x)的最小正周期大于,则的取值范围是( ) A.12,1 B(0,2) C(1,2) D1,2) 【答案】 C 【解析】 由题意得 f(x) 3sin xcos x2sinx6(0)令x62k,kZ Z,得 x3k,kZ Z,因为 f(x)的图象的一条对称轴在区间6,3内,所以63k3,所以 3k1, 解得 00,A,B,C

17、是这两个函数图象的交点,且不共线 当1 时,ABC 的面积的最小值为_; 若存在ABC 是等腰直角三角形,则的最小值为_ 【答案】 2 2 【解析】 函数 f(x) 2sin x,g(x) 2cos x,其中0,A,B,C 是这两个函数图象的交点 当1 时,f(x) 2sin x,g(x) 2cos x,如图所示, 所以 AB2,高为 22222 22, 所以 SABC12222. 若存在ABC 是等腰直角三角形,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,则22222 222,解得的最小值为2. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1已知角的终边过点 P(3,8m),且 sin 45,则 m 的值

18、为( ) A12 B.12 C32 D.32 【答案】 A 【解析】 因为角的终边过点 P()3,8m , 所以 sin 8m98m2450)上是增函数,则 m 的最大值为( ) A.56 B.23 C.6 D.3 【答案】 C 【解析】 f(x)sin x 3cos x 212sin x32cos x 2sinx3在m,m(m0)上是增函数, m32,且 m32. 求得 m56,且 m6,m6,00,02,f( )x11,f( )x20,若|x1x2min12,且 f 1212,则 f(x)的单调递增区间为( ) A.162k,562k ,kZ Z B.562k,162k ,kZ Z C.5

19、62k,162k ,kZ Z D.162k,762k ,kZ Z 【答案】 B 【解析】 设 f(x)的周期为 T,由 f( )x11,f( )x20,|x1x2min12,得T412T222, 由 f 1212,得 sin12 12,即 cos 12, 又 00 在0, 内的值域为1,12, 则的取值范围为( ) A.23,43 B.0,43 C.0,23 D.(0,1 【答案】 A 【解析】 函数 f(x)12cos x32sin x cosx3(0), 当 x0, 时,f(x)1,12, 1cosx312,则353, 解得2343,故的取值范围为23,43. 8已知函数 f(x)tan(

20、x)0,02的相邻两个对称中心的距离为32,且 f(1) 3,则函数 yf(x)的图象与函数 y1x2(5x9 且 x2)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A16 B4 C8 D12 【答案】 D 【解析】 依题意得,函数 f(x)tan(x)的最小正周期为 3,即3,得3,则 f(x)tan3x , 又 f(1) 3,即 tan3 3, 所以323k,kZ Z, 因为 00),已知 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点,则( ) Af(x)在(0,2)上有且仅有 5 个零点 Bf(x)在(0,2)上有且仅有 2 个极大值点 Cf(x)在0,6上单调递减 D的取值范围是73,103 【

21、答案】 CD 【解析】 因为 x0,2,所以x33,23.设 tx33,23,画出 ycos t 的图象如图所示 由图象可知,若 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点,则 5237,故 f(x)在(0,2)上可能有 5,6 或 7 个零点, 故 A 错误; f(x)在(0,2)上可能有 2 或 3 个极大值点, 故 B 错误; 由 5237,可得73103,故 D 正确;当 x0,6时,x33,63.因为73103,所以13180)个单位长度后所得的图象关于原点对称,则的最小值为_ 【答案】 12 【解析】 f(x) 3sin xcos x12cos 2x32sin 2x12cos 2x

22、sin2x6, 将其图象向右平移(0)个单位长度后所得的图象的函数【解析】式为 g(x)sin2x26,由于函数 yg(x)的图象关于原点对称 则 g(0)sin62 0, 62k(kZ Z), 12k2(kZ Z), 由于0, 当 k0 时,取得最小值12. 15. (2020北京市八一中学调研)已知函数 f(x)1sinx其中0,|2的部分图象如图所示,则_,_. 【答案】 2 3 【解析】 由题图知函数的周期是7662,2, 又知 f 5121sin51221, 所以562k2(kZ Z) 又|0,|2, f 80, f(x)f 38恒成立,且 f(x)在区间12,24上单调,则下列说法

23、正确的是_(填序号) 存在,使得 f(x)是偶函数;f(0)f 34; 是奇数;的最大值为 3. 【答案】 【解析】 f 80,f(x)f 38, 则388214k2T,kN N, 故 T22k1,2k1,kN N, 由 f 80,得 f(x)sin8 0, 故8k,kZ Z,8k,kZ Z, 当 x12,24时,x24k,6k ,kZ Z, f(x)在区间12,24上单调, 故24128T2,故 T4, 即8,0243,故62,故3, 综上所述,1 或3,故正确; 1 或3,故8k或38k,kZ Z, f(x)不可能为偶函数,错误; 又 f(x)f 38恒成立,所以 x38为函数的一个对称轴,而3438380,f(0),f 34是关于 x38对称的两点的函数值,所以 f(0)f 34.