1、20222022 年高考数学复习专题（二）年高考数学复习专题（二）第第 2 2 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1同角关系：sin2cos21，sin cos tan 2k，kZ Z . 2诱导公式：在k2，kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” 【热点突破】 【典例】1 (1)已知角的终边上一点的坐标为sin 56，cos 56，则角的最小正值为( ) A.56 B.116 C.53 D.23 (2)(2020山东师范大学附中模拟)若 sin 5cos(2)，则 tan 2等于( ) A53 B.53 C52
2、 D.52 【拓展训练】1 (1)(2020全国)已知 2tan tan47，则 tan 等于( ) A2 B1 C1 D2 (2)已知(0，)，且 cos 1517，则 sin2 tan()等于( ) A1517 B.1517 C817 D.817 【要点提炼】 考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换 【热点突破】 【典例】2 (1)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|0)向左平移5个单位长度得到函数 f(x)，已知 f(x)在0,2上有且只有 5个零点，则下列结论正确的是_ f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点，2 个极小值点； f(x)在0，10上单调
3、递增； 的取值范围是125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020全国)设函数 f(x)cosx6在，上的图象大致如图，则 f(x)的最小正周期为( ) A.109 B.76 C.43 D.32 (2)已知函数 f(x)sin(x)|0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P6，1 ，在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q512，0 ，则 f 3的值为( ) A1 B.12 C.22 D.32 【要点提炼】 考点三 三角函数的性质 函数 yAsin(x)(A0，0)的性质 (1)奇偶性：k(kZ Z)时，函数 yAsin(x)为奇函数；k2(kZ Z)时，函数 yAsin(x)为偶函数
4、 (2)三角函数的周期性：f(x)Asin(x)和 f(x)Acos(x)的最小正周期为2；yAtan(x)的最小正周期为. (3)根据 ysin t 的性质研究 ysin(x)(0)的性质： 由22kx22k(kZ Z)可得增区间，由22kx322k(kZ Z)可得减区间；由xk(kZ Z)可得对称中心；由xk2(kZ Z)可得对称轴 【热点突破】 【典例】3 (1)已知函数 f(x)cos62x ，把 yf(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) Ag332 Bg(x)的图象关于直线 x2对称 Cg(x)的一个零点为3，0 Dg(x)的一个单调递减
5、区间为12，512 (2)设函数 f(x) 3sin xcos x(0)，其图象的一条对称轴在区间6，3内，且 f(x)的最小正周期大于，则的取值范围是( ) A.12，1 B(0,2) C(1,2) D1,2) 【拓展训练】 3 (1)(多选)(2020 武汉模拟)已知函数 f(x)|cos x|sin|x|， 下列说法正确的是( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是周期为的函数 Cf(x)在区间，32上单调递减 Df(x)的最大值为 2 (2)(2020北京海淀区模拟)已知函数 f(x) 2sin x，g(x) 2cos x，其中0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线 当1 时，
6、ABC 的面积的最小值为_； 若存在ABC 是等腰直角三角形，则的最小值为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1已知角的终边过点 P(3,8m)，且 sin 45，则 m 的值为( ) A12 B.12 C32 D.32 2已知直线 3xy10 的倾斜角为，则cos 2sin sin cos 的值为( ) A1110 B12 C114 D54 3若 f(x)sin x 3cos x 在m，m(m0)上是增函数，则 m 的最大值为( ) A.56 B.23 C.6 D.3 4已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2
7、 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移712个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移712个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到曲线 C2 5已知函数 f(x)sin(x)0，00 在0， 内的值域为1，12， 则的取值范围为( ) A.23，43 B.0，43 C.0，23 D.(0，1 8已知函数 f(x)tan(x)0，02的相
8、邻两个对称中心的距离为32，且 f(1) 3，则函数 yf(x)的图象与函数 y1x2(5x0)，已知 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点，则( ) Af(x)在(0,2)上有且仅有 5 个零点 Bf(x)在(0,2)上有且仅有 2 个极大值点 Cf(x)在0，6上单调递减 D的取值范围是73，103 三、填空题 13(2017全国)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_ 14已知函数 f(x) 3sin xcos x12cos 2x，若将其图象向右平移(0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_ 15. (2020北京市八一中学调研)已知函数 f(
9、x)1sinx其中0，|0，|2， f 80， f(x)f 38恒成立，且 f(x)在区间12，24上单调，则下列说法正确的是_(填序号) 存在，使得 f(x)是偶函数；f(0)f 34； 是奇数；的最大值为 3. 20222022 年高考数学复习专题（二）第年高考数学复习专题（二）第 2 2 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1同角关系：sin2cos21，sin cos tan 2k，kZ Z . 2诱导公式：在k2，kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” 【热点突破】 【典例】1 (1)已知角的终边上一点的
10、坐标为sin 56，cos 56，则角的最小正值为( ) A.56 B.116 C.53 D.23 【答案】 C 【解析】 角的终边上一点的坐标为sin 56，cos 56， 即为点12，32， 在第四象限， 且满足 cos 12，sin 32，故的最小正值为53，故选 C. (2)(2020山东师范大学附中模拟)若 sin 5cos(2)，则 tan 2等于( ) A53 B.53 C52 D.52 【答案】 C 【解析】 sin 5cos(2)， sin 5cos ，得 tan 5， tan 22tan 1tan22 515252. 二级结论 (1)若0，2，则 sin 0，0，|)是奇函
11、数，且 f(x)的最小正周期为， 将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为 g(x)若g4 2，则 f 38等于( ) A2 B 2 C. 2 D2 【答案】 C 【解析】 f(x)的最小正周期为，2. 又 f(x)Asin(2x)是奇函数， k(kZ Z)，|0)向左平移5个单位长度得到函数 f(x)，已知 f(x)在0,2上有且只有 5个零点，则下列结论正确的是_ f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点，2 个极小值点； f(x)在0，10上单调递增； 的取值范围是125，2910. 【答案】 【解析】 依题意得 f(x)sin
12、x5sinx5， T2，如图： 对于，根据图象可知，xA2xB，f(x)在(0,2)上有 3 个极大值点，f(x)在(0,2)上有 2 个或 3 个极小值点，故不正确； 对于，因为 xA552T5522245，xB53T532295，所以2452295，解得1252910，所以正确； 对于，因为514T5142310，由图可知 f(x)在0，310上单调递增，因为29103，所以1031010130，所以 f(x)在0，10上单调递增，故正确故正确 易错提醒 (1)根据零点求值时注意是在增区间上还是在减区间上 (2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别 【拓展训练】2 (1)(2
13、020全国)设函数 f(x)cosx6在，上的图象大致如图，则 f(x)的最小正周期为( ) A.109 B.76 C.43 D.32 【答案】 C 【解析】 由图象知T2， 即2|2，所以 1|2. 因为图象过点49，0 ， 所以 cos4960， 所以496k2，kZ Z， 所以94k34，kZ Z. 因为 1|2，故 k1，得32. 故 f(x)的最小正周期为 T243. (2)已知函数 f(x)sin(x)|0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 P6，1 ，在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q512，0 ，则 f 3的值为( ) A1 B.12 C.22 D.32 【答案】 B
14、【解析】 T4|PxQx|4(Px，Qx分别为 P，Q 的横坐标)，T2，2；点 P 为最高点，代入 P 的坐标得32k2， kZ Z， 2k6， kZ Z， 又|0，0)的性质 (1)奇偶性：k(kZ Z)时，函数 yAsin(x)为奇函数；k2(kZ Z)时，函数 yAsin(x)为偶函数 (2)三角函数的周期性：f(x)Asin(x)和 f(x)Acos(x)的最小正周期为2；yAtan(x)的最小正周期为. (3)根据 ysin t 的性质研究 ysin(x)(0)的性质： 由22kx22k(kZ Z)可得增区间，由22kx322k(kZ Z)可得减区间；由xk(kZ Z)可得对称中心
15、；由xk2(kZ Z)可得对称轴 【热点突破】 【典例】3 (1)已知函数 f(x)cos62x ，把 yf(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) Ag332 Bg(x)的图象关于直线 x2对称 Cg(x)的一个零点为3，0 Dg(x)的一个单调递减区间为12，512 【答案】 D 【解析】 因为 f(x)cos62x cos2x6， 所以 g(x)cos2x66cos2x6， 所以 g3cos 5632，故 A 错误； 令 2x6k，kZ Z，得对称轴方程为 xk212，kZ Z，故 B 错误； 令 2x6k2，kZ Z，得对称中心的横坐标为 xk
16、26，kZ Z，故 C 错误； 因为 x12，512， 故2x60， ， 因为 ycos 在0， 上是减函数， 故 g(x)cos2x6在12，512上是减函数，故 D 正确 (2)设函数 f(x) 3sin xcos x(0)，其图象的一条对称轴在区间6，3内，且 f(x)的最小正周期大于，则的取值范围是( ) A.12，1 B(0,2) C(1,2) D1,2) 【答案】 C 【解析】 由题意得 f(x) 3sin xcos x2sinx6(0)令x62k，kZ Z，得 x3k，kZ Z，因为 f(x)的图象的一条对称轴在区间6，3内，所以63k3，所以 3k1， 解得 00，A，B，C
17、是这两个函数图象的交点，且不共线 当1 时，ABC 的面积的最小值为_； 若存在ABC 是等腰直角三角形，则的最小值为_ 【答案】 2 2 【解析】 函数 f(x) 2sin x，g(x) 2cos x，其中0，A，B，C 是这两个函数图象的交点 当1 时，f(x) 2sin x，g(x) 2cos x，如图所示， 所以 AB2，高为 22222 22， 所以 SABC12222. 若存在ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22222 222，解得的最小值为2. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1已知角的终边过点 P(3,8m)，且 sin 45，则 m 的值
18、为( ) A12 B.12 C32 D.32 【答案】 A 【解析】 因为角的终边过点 P()3，8m ， 所以 sin 8m98m2450)上是增函数，则 m 的最大值为( ) A.56 B.23 C.6 D.3 【答案】 C 【解析】 f(x)sin x 3cos x 212sin x32cos x 2sinx3在m，m(m0)上是增函数， m32，且 m32. 求得 m56，且 m6，m6，00，02，f( )x11，f( )x20，若|x1x2min12，且 f 1212，则 f(x)的单调递增区间为( ) A.162k，562k ，kZ Z B.562k，162k ，kZ Z C.5
19、62k，162k ，kZ Z D.162k，762k ，kZ Z 【答案】 B 【解析】 设 f(x)的周期为 T，由 f( )x11，f( )x20，|x1x2min12，得T412T222， 由 f 1212，得 sin12 12，即 cos 12， 又 00 在0， 内的值域为1，12， 则的取值范围为( ) A.23，43 B.0，43 C.0，23 D.(0，1 【答案】 A 【解析】 函数 f(x)12cos x32sin x cosx3(0)， 当 x0， 时，f(x)1，12， 1cosx312，则353， 解得2343，故的取值范围为23，43. 8已知函数 f(x)tan(
20、x)0，02的相邻两个对称中心的距离为32，且 f(1) 3，则函数 yf(x)的图象与函数 y1x2(5x9 且 x2)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A16 B4 C8 D12 【答案】 D 【解析】 依题意得，函数 f(x)tan(x)的最小正周期为 3，即3，得3，则 f(x)tan3x ， 又 f(1) 3，即 tan3 3， 所以323k，kZ Z， 因为 00)，已知 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点，则( ) Af(x)在(0,2)上有且仅有 5 个零点 Bf(x)在(0,2)上有且仅有 2 个极大值点 Cf(x)在0，6上单调递减 D的取值范围是73，103 【
21、答案】 CD 【解析】 因为 x0,2，所以x33，23.设 tx33，23，画出 ycos t 的图象如图所示 由图象可知，若 f(x)在0,2上有且仅有 3 个极小值点，则 5237，故 f(x)在(0,2)上可能有 5,6 或 7 个零点， 故 A 错误； f(x)在(0,2)上可能有 2 或 3 个极大值点， 故 B 错误； 由 5237，可得73103，故 D 正确；当 x0，6时，x33，63.因为73103，所以13180)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_ 【答案】 12 【解析】 f(x) 3sin xcos x12cos 2x32sin 2x12cos 2x
22、sin2x6， 将其图象向右平移(0)个单位长度后所得的图象的函数【解析】式为 g(x)sin2x26，由于函数 yg(x)的图象关于原点对称 则 g(0)sin62 0， 62k(kZ Z)， 12k2(kZ Z)， 由于0， 当 k0 时，取得最小值12. 15. (2020北京市八一中学调研)已知函数 f(x)1sinx其中0，|2的部分图象如图所示，则_，_. 【答案】 2 3 【解析】 由题图知函数的周期是7662，2， 又知 f 5121sin51221， 所以562k2(kZ Z) 又|0，|2， f 80， f(x)f 38恒成立，且 f(x)在区间12，24上单调，则下列说法
23、正确的是_(填序号) 存在，使得 f(x)是偶函数；f(0)f 34； 是奇数；的最大值为 3. 【答案】 【解析】 f 80，f(x)f 38， 则388214k2T，kN N， 故 T22k1，2k1，kN N， 由 f 80，得 f(x)sin8 0， 故8k，kZ Z，8k，kZ Z， 当 x12，24时，x24k，6k ，kZ Z， f(x)在区间12，24上单调， 故24128T2，故 T4， 即8,0243，故62，故3， 综上所述，1 或3，故正确； 1 或3，故8k或38k，kZ Z， f(x)不可能为偶函数，错误； 又 f(x)f 38恒成立，所以 x38为函数的一个对称轴，而3438380，f(0)，f 34是关于 x38对称的两点的函数值，所以 f(0)f 34.