1、20222022 年高考数学复习专题（二）年高考数学复习专题（二）第第 3 3 讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 【要点提炼】 考点一考点一 三角恒等变换三角恒等变换 1三角求值“三大类型” “给角求值” “给值求值” “给值求角” 2三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45等 (2)项的拆分与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化 【热点突破】 【典例】1 (1)(2020全国)已知(0，)，且 3cos 28cos
2、5，则 sin 等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59 (2)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则等于( ) A.512 B.3 C.4 D.6 【方法总结】 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况 (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解 【拓展训练】1 (1)已知0，2，0，2，tan cos 21sin 2，则( ) A2 B4 C4 D22 (2)(tan 10 3)cos 10sin 50_. 【要点提炼】 考点二考点二 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理
3、 1正弦定理：在ABC 中，asin Absin Bcsin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R，abcsin Asin Bsin C等 2余弦定理：在ABC 中，a2b2c22bccos A. 变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc. 3三角形的面积公式：S12absin C12acsin B12bcsin A. 【热点突破】 考向 1 求解三角形中的角、边 【典例】2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asin C1cos A
4、3c. (1)求角 A 的大小； (2)若 bc10，ABC 的面积 SABC4 3，求 a 的值 考向 2 求解三角形中的最值与范围问题 【典例】3 (2020新高考测评联盟联考)在：a 3csin Aacos C，(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答 已知ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c 3，而且_ (1)求角 C； (2)求ABC 周长的最大值 【拓展训练】2 (1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面积为 S，且 a1,4Sb2c21，则ABC 外接圆的面积为(
5、) A4 B2 C D.2 (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A3B，则ab的取值范围是( ) A(0,3) B(1,3) C(0,1 D(1,2 (3)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 tan C125，ab 13，BC 边上的中点为 D，则 sinBAC_，AD_. 专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)在ABC 中，cos C23，AC4，BC3，则 cos B 等于( ) A.19 B.13 C.12 D.23 2(2020全国)已知 sin sin31，则 sin6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22
6、 3在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2，sin 2C1cos 2C1，B6，则 a 的值为( ) A. 31 B2 32 C2 32 D. 2 6 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，acos Bbcos A2ccos C，c 7，且ABC 的面积为3 32，则ABC 的周长为( ) A1 7 B2 7 C4 7 D5 7 5若，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于( ) A.2 525 B.2 55 C.2 525或2 55 D.55或525 6在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 A120，a1
7、，则 2b3c 的最大值为( ) A3 B.2 213 C3 2 D.3 52 二、多项选择题 7(2020临沂模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2 3，c3，A3C，则下列结论正确的是( ) Acos C33 Bsin B23 Ca3 DSABC 2 8已知 0A； 条件：cos B2 55. 20222022 年高考数学复习专题（二）年高考数学复习专题（二）第第 3 3 讲讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 【要点提炼】 考点一考点一 三角恒等变换三角恒等变换 1三角求值“三大类型” “给角求值” “给值求值” “给值求角” 2三角恒等变换“
8、四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45等 (2)项的拆分与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化 【热点突破】 【典例】1 (1)(2020全国)已知(0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin 等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59 【答案】 A 【解析】 由 3cos 28cos 5， 得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 23或 cos 2(舍去) 又因为(0，)，所以 sin 0
9、， 所以 sin 1cos2123253. (2)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则等于( ) A.512 B.3 C.4 D.6 【答案】 C 【解析】 因为，均为锐角，所以22. 又 sin()1010，所以 cos()3 1010. 又 sin 55，所以 cos 2 55， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 553 10102 55101022. 所以4. 【方法总结】 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况 (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避
10、免产生增解 【拓展训练】1 (1)已知0，2，0，2，tan cos 21sin 2，则( ) A2 B4 C4 D22 【答案】 B 【解析】 tan cos 21sin 2cos2sin2cos2sin22sin cos cos sin cos sin cos sin 2 cos sin cos sin 1tan 1tan tan4 ， 因为0，2，0，2， 所以4，即4. (2)(tan 10 3)cos 10sin 50_. 【答案】 2 【 解 析 】 (tan 10 3 ) cos 10sin 50 (tan 10 tan 60 ) cos 10sin 50sin 10cos 10
11、sin 60cos 60cos 10sin 50sin50cos 10cos 60cos 10sin 501cos 602. 【要点提炼】 考点二 正弦定理、余弦定理 1正弦定理：在ABC 中，asin Absin Bcsin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R，abcsin Asin Bsin C等 2余弦定理：在ABC 中，a2b2c22bccos A. 变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc. 3三角形的面积公式：S12absin C12acsin
12、B12bcsin A. 【热点突破】 考向 1 求解三角形中的角、边 【典例】2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且asin C1cos A 3c. (1)求角 A 的大小； (2)若 bc10，ABC 的面积 SABC4 3，求 a 的值 解 (1)由正弦定理及asin C1cos A 3c， 得sin Asin C1cos A 3sin C， sin C0，sin A 3(1cos A)， sin A 3cos A2sinA3 3， sinA332， 又 0A，3A343， A323，A3. (2)SABC12bcsin A34bc4 3，bc16. 由余弦定理，得
13、 a2b2c22bccos 3(bc)22bcbc(bc)23bc， 又 bc10，a210231652，a2 13. 考向 2 求解三角形中的最值与范围问题 【典例】3 (2020新高考测评联盟联考)在：a 3csin Aacos C，(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答 已知ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c 3，而且_ (1)求角 C； (2)求ABC 周长的最大值 解 (1)选：因为 a 3csin Aacos C， 所以 sin A 3sin Csin Asin Acos C， 因为 sin A0，
14、所以 3sin Ccos C1， 即 sinC612， 因为 0C，所以6C656， 所以 C66，即 C3. 选：因为(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C， 所以(2ab)a(2ba)b2c2， 即 a2b2c2ab， 所以 cos Ca2b2c22ab12， 因为 0C，所以 C3. (2)由(1)可知，C3， 在ABC 中，由余弦定理得 a2b22abcos C3，即 a2b2ab3， 所以(ab)233ab3ab24， 所以 ab2 3，当且仅当 ab 时等号成立， 所以 abc3 3，即ABC 周长的最大值为 3 3. 【方法总结】 (1)利用余弦定理求边，一般是已
15、知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性 (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围 【拓展训练】2 (1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面积为 S，且 a1,4Sb2c21，则ABC 外接圆的面积为( ) A4 B2 C D.2 【答案】 D 【解析】 由余弦定理得，b2c2a22bccos A，a1， 所以 b2c212bccos A， 又 S12bcs
16、in A,4Sb2c21， 所以 412bcsin A2bccos A， 即 sin Acos A，所以 A4， 由正弦定理得，1sin42R，得 R22， 所以ABC 外接圆的面积为2. (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A3B，则ab的取值范围是( ) A(0,3) B(1,3) C(0,1 D(1,2 【答案】 B 【 解 析 】 A 3Bsin Asin Bsin 3Bsin Bsin2BBsin Bsin 2Bcos Bcos 2Bsin Bsin B2sin Bcos2Bcos 2Bsin Bsin B2cos2Bcos 2B2cos 2B1，即a
17、bsin Asin B2cos 2B1， 又 AB(0，)，即 4B(0，)2B0，2cos 2B(0,1)，ab(1,3) (3)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 tan C125，ab 13，BC 边上的中点为 D，则 sinBAC_，AD_. 【答案】 3 1313 3 52 【解析】 因为 tan C125，所以 sin C1213，cos C513， 又 ab 13，所以 c2a2b22abcos C13132 13 1351316，所以 c4. 由asinBACcsin C，得13sinBAC41213， 解得 sinBAC3 1313. 因为 BC
18、边上的中点为 D，所以 CDa2， 所以在ACD 中，AD2b2a222ba2cos C454，所以 AD3 52. 专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)在ABC 中，cos C23，AC4，BC3，则 cos B 等于( ) A.19 B.13 C.12 D.23 【答案】 A 【解析】 由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C4232243239，所以 AB3， 所以 cos BAB2BC2AC22ABBC991623319. 2(2020全国)已知 sin sin31，则 sin6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22 【答案】 B 【解析】 因为 sin
19、 sin3 sin66sin66 sin6cos 6cos6sin 6 sin6cos 6cos6sin 6 2sin6cos 6 3sin61. 所以 sin633. 3在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2，sin 2C1cos 2C1，B6，则 a 的值为( ) A. 31 B2 32 C2 32 D. 2 6 【答案】 D 【解析】 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2，sin 2C1cos 2C1， 所以2sin Ccos C2sin2C1，所以 tan C1，C4. 因为 B6，所以 ABC712， 所以 sin Asin4
20、3sin 4cos 3cos 4sin 32 64. 由正弦定理可得a2 642sin 6，则 a 2 6. 4在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，acos Bbcos A2ccos C，c 7，且ABC 的面积为3 32，则ABC 的周长为( ) A1 7 B2 7 C4 7 D5 7 【答案】 D 【解析】 在ABC 中，acos Bbcos A2ccos C， 则 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C， 即 sin(AB)2sin Ccos C， sin(AB)sin C0，cos C12，C3， 由余弦定理可得，a2b2c2ab， 即(ab
21、)23abc27， 又 S12absin C34ab3 32，ab6， (ab)273ab25，即 ab5， ABC 的周长为 abc5 7. 5若，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于( ) A.2 525 B.2 55 C.2 525或2 55 D.55或525 【答案】 A 【解析】 因为，都是锐角，且 cos 5512， 所以32， 又 sin()35，而123522， 所以3456， 所以 cos() 1sin245， 又 sin 1cos22 55， 所以 cos cos()cos()cos sin()sin 2 525. 6在ABC 中，A，B，C 的对边
22、分别是 a，b，c.若 A120，a1，则 2b3c 的最大值为( ) A3 B.2 213 C3 2 D.3 52 【答案】 B 【解析】 因为 A120，a1，所以由正弦定理可得 bsin Bcsin Casin A1sin 1202 33， 所以 b2 33sin B，c2 33sin C， 故 2b3c4 33sin B2 3sin C 4 33sin()60C 2 3sin C 4 33sin C2cos C2 213sin(C) 其中 sin 217，cos 2 77， 所以 2b3c 的最大值为2 213. 二、多项选择题 7(2020临沂模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对
23、边分别为 a，b，c，若 b2 3，c3，A3C，则下列结论正确的是( ) Acos C33 Bsin B23 Ca3 DSABC 2 【答案】 AD 【解析】 因为 A3C，ABC，所以 B2C.由正弦定理bsin Bcsin C，得2 3sin 2C3sin C，即2 32sin Ccos C3sin C，所以 cos C33，故 A 正确；因为 cos C33，所以 sin C63，所以 sin Bsin 2C2sin Ccos C263332 23，故 B 错误；因为 cos Bcos 2C2cos2C113，所以 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2 2
24、333136369，则 cos A5 39，所以 a2b2c22bccos A(2 3)23222 335 391，所以 a1，故 C 错误；SABC12bcsin A122 3369 2，故D 正确 8已知 04，若 sin 2m，cos 2n 且 mn，则下列选项中与 tan4 恒相等的有( ) A.n1m B.m1n C.1nm D.1mn 【答案】 AD 【解析】 sin 2m，cos 2n， m2n21，1mnn1m， tan4 1tan 1tan cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1sin 2cos 21mnn1m. 三
25、、填空题 9(2020保定模拟)已知 tan4 12，则sin 2cos21cos 2_. 【答案】 56 【解析】 因为 tan4 12，所以tan 4tan 1tan 4tan 12， 即1tan 1tan 12，解得 tan 13， 所以sin 2cos21cos 22sin cos cos22cos2tan 1256. 10在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且basin C2asin Bcsin Bsin A，则 A_. 【答案】 4 【解析】 由正弦定理asin Absin Bcsin C， 得bac2asin Bcba， 整理得 b2a22acsin Bc2
26、， 即 b2c2a22acsin B2bcsin A， 由余弦定理得，b2c2a22bccos A， 2bccos A2bcsin A，即 cos Asin A， tan A1，A4. 11(2020全国)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1，ABAD 3，ABAC，ABAD，CAE30，则 cosFCB_. 【答案】 14 【解析】 在ABD 中，ABAD，ABAD 3，BD 6，FBBD 6. 在ACE 中，AEAD 3，AC1，CAE30， EC32122 31cos 301， CFCE1. 又BC AC2AB212322， 在FCB 中，由余弦定理得 cosFCBCF2BC
27、2FB22CFBC12226221214. 12(2020山东省师范大学附中月考)在ABC 中，设角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，记ABC 的面积为 S，且 4a2b22c2，则Sa2的最大值为_ 【答案】 106 【解析】 由题意知，4a2b22c2b24a22c2a2c22accos B， 整理，得 2accos B3a23c2cos B3c2a22ac， 因为Sa2212acsin Ba22csin B2a2c21cos2B4a2， 代入 cos B3c2a22ac，整理得 Sa221169c4a422c2a29 ， 令 tc2a2，则Sa22116(9t222t9) 116
28、3t11321036， 所以Sa221036，所以Sa2106，故Sa2的最大值为106. 四、解答题 13(2020全国)ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C. (1)求 A； (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值 解 (1)由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2ACAB. 由余弦定理得 BC2AC2AB22ACABcos A 由得 cos A12. 因为 0A，所以 A23. (2)由正弦定理及(1)得ACsin BABsin CBCsin A2 3， 从而 AC2 3sin B， AB2 3sin(AB)3cos B 3sin B. 故 BCACAB3
29、3sin B3cos B 32 3sinB3. 又 0BA； 条件：cos B2 55. 解 (1)在ABC 中，由余弦定理知， b2c2a22bccos A， 所以 2b22bccos A(1tan A)， 所以 bc(cos Asin A)， 又由正弦定理知，bcsin Bsin C， 得 sin Bsin C(cos Asin A)， 所以 sin(AC)sin C(cos Asin A)， 即 sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A， 所以 sin Acos Csin Csin A， 因为 sin A0，所以 cos Csin C， 所以 tan C1， 又因为 0C，所以 C34. (2)选择条件，cos B2 55， 因为 cos B2 55，且 0B，所以 sin B55， 因为 sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B 5522222 551010， 由正弦定理知csin Casin A， 所以 acsin Asin C2 101010222 2， 在ABD 中，由余弦定理知 AD2AB2BD22ABBDcos B (2 10)2( 2)222 10 22 5526， 所以 AD 26. (【答案】不唯一)