1、 学科网（北京）股份有限公司 2022 年甘肃省酒泉市瓜州县二校联考中考数学模拟试卷年甘肃省酒泉市瓜州县二校联考中考数学模拟试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 12022 的倒数是（ ） A B C2022 D2022 2我国冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 3一张普通 A4 纸的厚度约为 0.000104m，用科学记数法表示 0.000104，正确的结果为（ ） A1.04104
2、B1.04103 C1.04102 D0.104103 4下列计算结果是 x5的是（ ） Ax5x Bx2x3 C（x2）3 Dx10 x2 5如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B处，若1236，B 为（ ） A36 B144 C108 D126 6若分式的值等于 0，则 x 的值为（ ） A1 B0 C1 D1 7不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 8如图，ABC 内接于O，ABC110ABBC，AD 是O 的直径则DAB 的度数是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A35 B55 C65 D70 9某品牌连衣裙经过两次降价，每件零售
3、价由 1200 元降为 700 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x满足的方程是（ ） A1200 x2700 B1200（1+x）2700 C1200（1x）2700 D1200（1x%）2700 10如图，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC4，点 P 是ABC 边上一动点，沿 BAC 的路径移动，过点 P 作 PDBC 于点 D，设 BDx，BDP 的面积为 y，则下列能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11分解因式：ab2a 12关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0
4、有两个不相等的的实数根，则 c 的取值范围是 13已知一个正多边形的内角是 140，则这个正多边形的边数是 14使代数式有意义的实数 x 的取值范围为 15将抛物线 yx2+2 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物线的解析式为 16如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 CD8，EB2，则O 的半径为 学科网（北京）股份有限公司 17如图，一次函数 yx2 与 ykx+b 的图象交于点 P（n，4），则关于 x 的不等式 kx+bx2的解集为 18下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 4 个黑色三角形，第个图形中一共有 8
5、 个黑色三角形，第个图形中一共有 13 个黑色三角形，按此规律排列下去，第个图形中黑色三角形的个数是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分）分） 19（4 分）计算：（）2（1）0+|1|+2cos30 20（4 分）先化简，再求值：1，其中 a1 21（6 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB，O 的半径为 5，则 sinB （如需画草图，请使用图 2） 22（6 分）一只不透明的袋子中装有 2 个
6、白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同 学科网（北京）股份有限公司 （1）搅匀后从袋子中任意摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少？ （2）搅匀后先从袋子中任意摸出 1 个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出 1 个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率 23（7 分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图） 每天课外阅读时间 t/h 频数 频率 0t0.5 24 0.5t1 36 0.3 1t1.5 0.4 1.5t2 12 b 合计 a 1 根
7、据以上信息，回答问题： （1）表中 a ，b ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若平凉市崆峒区中学生总数为 6450 人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过 1.5 小时的人数 24（6 分）酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门晋城门，它是东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度（如图），他们在地面一条水平道路 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得晋城门最高点 A 的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45，测角仪的高度为 1.6m （1）求晋城门最高点 A 距离地面的高度（结
8、果精确到 0.1m参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，1.41）； （2）“景点简介”显示，晋城门的高度为 12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议 学科网（北京）股份有限公司 25（7 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，m）、B（n，1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 26（8 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连接 AE，过 B 点作 BHAE，垂足为点 H，延长BH 交 CD 于点 F，连接 AF （1）求证：AEBF （2）若正方形边长是
9、 5，BE2，求 AF 的长 27（8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，交 AC 于点 D，点 E 是 AB 延长线上的一点且BDEA （1）求证：DE 与O 相切； （2）若 DE3，C60，求 CD 的长 学科网（北京）股份有限公司 28如图，抛物线 y经过点 A（3，0），B（0，2），连接 AB，点 P 是第一象限内抛物线上一动点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 Q，判断是否存在点 P，使得以 P、Q、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 C 与点 B
10、关于 x 轴对称，连接 AC，AP，PC，当点 P 运动到什么位置时，ACP 的面积最大？求ACP 面积的最大值及此时点 P 的坐标 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 12022 的倒数是（ ） A B C2022 D2022 【分析】根据倒数的定义即可得出答案 解：2022 的倒数是 故选：A 【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为 1 的两个数互为倒数是解题的关键 2我国冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集
11、活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可 解：图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3一张普通 A4 纸的厚度约为 0.000104m，用科学记数法表示 0.0
12、00104，正确的结果为（ ） A1.04104 B1.04103 C1.04102 D0.104103 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解：0.0001041.04104 故选：A 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 学科网（北京）股份有限公司 4下列计算结果是 x5的是（ ） Ax5x Bx2x3 C（x2）3 Dx10
13、x2 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，逐一判断即可 解：Ax5与 x 不是同类项，故本选项不合题意； Bx2x3x5，故本选项符合题意； C（x2）3x6，故本选项不符合题意； Dx10 x2x8，故本选项不合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 5如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B处，若1236，B 为（ ） A36 B144 C108 D126 【分析】根据翻折可得BACBAC，根据平行四边形可得 DCAB，所以BACDC
14、A，从而可得12BAC，进而求解 解：根据翻折可知：BACBAC， 四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB， BACDCA， BACDCABAC， 1BAC+DCA， 12BAC36， BAC18， B180BAC21801836126， 故选：D 【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质 6若分式的值等于 0，则 x 的值为（ ） A1 B0 C1 D1 学科网（北京）股份有限公司 【分析】化简分式x10 即可求解； 解：x10， x1； 经检验：x1 是原分式方程的解， 故选：D 【点评】本题考查解分式的值为零的条件；熟练掌握因式分解的方法，分式方程
15、的解法是解题的关键 7不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 解：解不等式 x10 得 x1， 解不等式 52x1 得 x2， 则不等式组的解集为 1x2， 故选：C 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 8如图，ABC 内接于O，ABC110ABBC，AD 是O 的直径则DAB 的度数是（ ） A35 B55 C65 D70 【分析】由 ABBC
16、，ABC110，根据等腰三角形的性质，可求得C 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案 解：ABBC，ABC110， C35， DC35， AD 为O 的直径， 学科网（北京）股份有限公司 ABD90， DAB90D903555 故选：B 【点评】 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质 此题难度不大， 注意掌握数形结合思想的应用 9某品牌连衣裙经过两次降价，每件零售价由 1200 元降为 700 元已知两次降价的百分率都为 x，那么 x满足的方程是（ ） A1200 x2700 B1200（1+x）2700 C1200（1x）2700 D1200（1x%）2700 【分析】 若两次降价的百分
17、率均是 x， 则第一次降价后价格为 1200 （1x） 元， 第二次降价后价格为 1200（1x）（1x）1200（1x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格700 元，由此等量关系列出方程即可 解：设两次降价的百分率均是 x，由题意得： x 满足方程为 1200（1x）2700 故选：C 【点评】考查了列一元二次方程解应用题的问题，解应用题的关键是找出题目中的相等关系正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言 10如图，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC4，点 P 是ABC 边上一动点，沿 BAC 的路径移动，过点 P 作 PDBC 于点 D，设 BDx，BDP 的面
18、积为 y，则下列能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ） A B C D 【分析】过 A 点作 AHBC 于 H，利用等腰直角三角形的性质得到BC45，BHCHAHBC2，分类讨论：当 0 x2 时，如图 1，易得 PDBDx，根据三角形面积公式得到 yx2；当 2 学科网（北京）股份有限公司 x4 时，如图 2，易得 PDCD4x，根据三角形面积公式得到 yx2+2x，于是可判断当 0 x2 时，y 与 x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当 2x4 时，y 与 x 的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断 解：过 A 点作 AHBC
19、于 H， ABC 是等腰直角三角形， BC45，BHCHAHBC2， 当 0 x2 时，如图 1， B45， PDBDx， yxxx2； 当 2x4 时，如图 2， C45， PDCD4x， y（4x）xx2+2x， 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 y 与 x 的函数关系式 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11分解因式：ab2a a（b+1）（b1） 【分析】原式提取
20、 a，再利用平方差公式分解即可 解：原式a（b21）a（b+1）（b1）， 故答案为：a（b+1）（b1） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0 有两个不相等的的实数根，则 c 的取值范围是 c 【分析】根据根的判别式和已知条件得出（3）242c0，再求出不等式的解集即可 解：关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0 有两个不相等的实数根， （3）242c0， 解得：c 故答案为：c 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程 ax2+bx+
21、c0（a、b、c为常数，a0），当b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根，当b24ac0 时，方程有两个相等的实数根，当b24ac0 时，方程没有实数根 13已知一个正多边形的内角是 140，则这个正多边形的边数是 9 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案 解：设多边形为 n 边形，由题意，得 （n2）180140n， 解得 n9， 故答案为：9 【点评】本题考查了多边形，利用多边形的内角和是解题关键 14使代数式有意义的实数 x 的取值范围为 【分析】二次根式的被开方数是非负数 解：依题意得 2x10， 解得 故答案是： 【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式
22、性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 15 将抛物线 yx2+2 向右平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位， 得到抛物线的解析式为 y （x2）21 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式 解：将抛物线 yx2+2 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得到的抛物线解析式为 y（x2）2+23，即 y（x2）21 故答案是：y（x2）21 学科网（北京）股份有限公司 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 16如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 CD8，
23、EB2，则O 的半径为 5 【分析】连接 OC，设O 的半径为 R，根据垂径定理求出 CE，根据勾股定理列式计算，得到答案 解：连接 OC， 设O 的半径为 R，则 OER2， CDAB， CECD4， 由勾股定理得，OC2OE2+CE2，即 R2（R2）2+42， 解得，R5， 则O 的半径为 5， 故答案为：5 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 17如图，一次函数 yx2 与 ykx+b 的图象交于点 P（n，4），则关于 x 的不等式 kx+bx2的解集为 x2 【分析】先利用解析式 yx2 确定 P 点坐标，然后结合函数图象写出一
24、次函数 yx2 的图象在一次函数 ykx+b 的图象上方所对应的自变量的范围即可 解：把 P（n，4）代入 yx2 得n24， 学科网（北京）股份有限公司 解得 n2， 则 P（2，4）， 因为当 x2 时，kx+bx2， 所以关于 x 的不等式 kx+bx2 的解集为 x2 故答案为 x2 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于 （或小于） 0 的自变量 x 的取值范围； 从函数图象的角度看， 就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上 （或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 18下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律所组成
25、的，其中第个图形中一共有 4 个黑色三角形，第个图形中一共有 8 个黑色三角形，第个图形中一共有 13 个黑色三角形，按此规律排列下去，第个图形中黑色三角形的个数是 53 【分析】根据已知图形得出第 n 个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+n+2n+1，据此可得 解：第个图形中黑色三角形的个数 41+21+1， 第个图形中黑色三角形的个数 81+2+22+1， 第个图形中黑色三角形的个数 131+2+3+23+1， 第个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+7+8+28+153， 故答案为：53 【点评】 本题主要考查图形的变化规律， 解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个
26、数为1+2+3+n+2n+1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分）分） 19（4 分）计算：（）2（1）0+|1|+2cos30 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可 解：（）2（1）0+|1|+2cos30 41+1+2 2+ 2+2 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各 学科网（北京）股份有限公司 式是解题的关键 20（4 分）先化简，再求值：1，其中 a1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 解：当 a1 时， 原式1 1 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本
27、题属于基础题型 21（6 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB，O 的半径为 5，则 sinB （如需画草图，请使用图 2） 【分析】（1）利用尺规作出ACB 的角平分线 CD，作线段 AC 的垂直平分线交 CD 于点 O，以 O 为圆心，OC 为半径作O 即可 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E利用勾股定理求出 OE，EC，再利用勾股定理求出 BC，可得结论 解：（1）如图，射线 CD，O 即为所求 学科网（北京）股份有限
28、公司 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E CACB，CD 平分ACB， CDAB，AEEB， OE， CEOC+OE5+， ACBC8， sinB 故答案为： 【点评】本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题 22（6 分）一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同 （1）搅匀后从袋子中任意摸出 1 个球，摸到红球的概率是多少？ （2）搅匀后先从袋子中任意摸出 1 个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出 1 个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率
29、【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案； （2） 根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况， 然后根据概率公式即可得出答案 解：（1）袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，共有 3 个球， 摸到红球的概率是； （2）根据题意画图如下： 学科网（北京）股份有限公司 共有 6 种等情况数，其中两次都摸到白球的有 2 种， 则两次都摸到白球的概率是 【点评】此题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23（7 分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校
30、中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图） 每天课外阅读时间 t/h 频数 频率 0t0.5 24 0.5t1 36 0.3 1t1.5 0.4 1.5t2 12 b 合计 a 1 根据以上信息，回答问题： （1）表中 a 120 ，b 0.1 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若平凉市崆峒区中学生总数为 6450 人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过 1.5 小时的人数 【分析】 （1） 由 0.5t1 的频数及频率可得 a 的值， 用 1.5t2 对应频数除以 a 的值即可得出 b 的值； （2）根据频数之和等于总数求出 1t
31、1.5 的频数即可补全图形； （3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过 1.5 小时的人数所占比例即可 解：（1）a360.3120，b121200.1， 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：120、0.1； （2）1t1.5 对应频数为 120（24+36+12）48， 补全图形如下： （3）6450645（人）， 该校学生每天课外阅读时间超过 1.5 小时的人数约 645 人 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 24（6 分）酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门晋城门，它是
32、东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度（如图），他们在地面一条水平道路 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得晋城门最高点 A 的仰角为 22，然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45，测角仪的高度为 1.6m （1）求晋城门最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，1.41）； （2）“景点简介”显示，晋城门的高度为 12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议 【分析】（1）过 A 作 ADPM 于 D，延
33、长 BC 交 AD 于 E，则四边形 BMNC，四边形 BMDE 是矩形，于是得到 BCMN16m，DECNBM1.6m，求得 CEAE，设 AECEx，得到 BE16+x，解直角三角形即可得到结论； （2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法 解：（1）过 A 点作 AEBC，交 BC 延长线于点 E，交 MP 于点 F，设 AExm 在 RtACE 中，ACE45， AECExm， 学科网（北京）股份有限公司 BC16m， BEx+16 在 RtABE 中，ABE22， tan22，0.40， 解得：x10.67， 由题意，易知四边形 BEFM 为矩形， EFBM1.6m，
34、AF10.67+1.6 12.27 12.3（m） 答：晋城门的高度约为 12.3m （2）本次测量的误差为：12.612.30.3（m），宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 25（7 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，m）、B（n，1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）先利用反比例函数解析式确定 A 点和 B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求 OD 的长，根据面积和
35、可得结论 学科网（北京）股份有限公司 解：（1）把 A（1m），B（n，1）代入 y，得 m5，n5， A（1，5），B（5，1）， 把 A（1，5），B（5，1）代入 ykx+b 得 ，解得， 一次函数解析式为 yx+4； （2）x0 时，y4， OD4， AOB 的面积SAOD+SBOD41+12 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式 26（8 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连接 AE，过 B 点作 BHAE，垂足为点 H，延长BH 交 CD 于点 F，
36、连接 AF （1）求证：AEBF （2）若正方形边长是 5，BE2，求 AF 的长 【分析】（1）根据 ASA 证明ABEBCF，可得结论； （2）根据（1）得：ABEBCF，则 CFBE2，最后利用勾股定理可得 AF 的长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABEBCF90， BAE+AEB90， BHAE， 学科网（北京）股份有限公司 BHE90， AEB+EBH90， BAEEBH， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（ASA）， AEBF； （2）解：ABBC5， 由（1）得：ABEBCF， CFBE2， DF523， 四边形 ABCD 是正方形， A
37、BAD5，ADF90， 由勾股定理得：AF 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明ABEBCF 是解本题的关键 27（8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，交 AC 于点 D，点 E 是 AB 延长线上的一点且BDEA （1）求证：DE 与O 相切； （2）若 DE3，C60，求 CD 的长 【分析】（1）要证明 DE 与O 相切，想到连接 OD，只要证明ODE90即可，根据直径所对的圆周角是直角可得ADB90， 从而得ADO+ODB90， 再根据等边对等角和已知证出BDEADO 即可解答； （2）根据已知可得A30，从而求出D
38、OB60，进而得ODB 是等边三角形，然后在 RtDOE中，利用锐角三角函数求出 OD 的长，最后在 RtCDB 中即可解答 【解答】（1）证明：连接 OD， 学科网（北京）股份有限公司 AB 为O 的直径， ADB90， ADO+ODB90， OAOD， AODA， BDEA， ODABDE， BDE+ODB90， 即ODE90， OD 是圆 O 的半径， DE 与O 相切； （2）解：ABC90，C60， A90C30， DOB2A60， ODOB， ODB 是等边三角形， ODDB， 在 RtODE 中，DE3， OD3， DBOD3， 在 RtCDB 中，C60， CD 【点评】本题考
39、查了切线的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 28如图，抛物线 y经过点 A（3，0），B（0，2），连接 AB，点 P 是第一象限内抛物线上一动点 学科网（北京）股份有限公司 （1）求抛物线的表达式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 Q，判断是否存在点 P，使得以 P、Q、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 C 与点 B 关于 x 轴对称，连接 AC，AP，PC，当点 P 运动到什么位置时，ACP 的面积最大？求ACP 面
40、积的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】（1）运用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况：BPQ90时，列方程求解即可；PBQ90，过点 P 作 PMy 轴，垂足为 M，证明PMBBOA 即可得解； （3） 根据对称性求出点 C 的坐标， 运用待定系数法求出直线 BC 的解析式， 设点 P （n，n+2） ，N（n，），求出 PN 的长，运用面积法得到 n 的二次函数关系式，配方求解即可 解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0），B（0，2）， 把点 A（3，0），B（0，2）代入解析式得： ， 解得， 二次函数的解析式为：x+2； （2）设 P（m，m2+m+2）， BP
41、Q 是直角三角形，PQB90， 分两种情况讨论： 当BPQ90时，BPx 轴，当 y2 时，x+22， 学科网（北京）股份有限公司 解得：x10，（舍）或 x2， P1（，2）； 当PBQ90时，则有 BPx 轴，如图， 点 P 的纵坐标为 2， x2+x+22， 解得：x10，（舍）或 x2， P1（，2）； 当PBQ90时，过点 P 作 PMy 轴，垂足为 M，如图， 则PBM+BPM90，PMm，BMx2+x+22， PBQ90， PBM+OBA90， OBABPM， PMBBOA， ， 学科网（北京）股份有限公司 即， 解得：m0（舍）或 m， P2（，）， 综上所述，当以 PQB 为
42、顶点的三角形是直角三角形时，点 P 的坐标为（，2）或（，）； （3）设 PQ 的延长线交 AC 与点 N， B（0，2），点 C 与点 B 关于 x 轴对称， C（0，2）， 设直线 AC 的表达式为：ykx+b， 把 A，C 代入得： ， 解得， 直线 AC 的表达式为：， 设点 P（n，n+2）， 则 N（n，）， PNn+2（）n+4， SAPCPNOA（n+4）32n2+4n+62（n1）2+8， 学科网（北京）股份有限公司 a20，SAPC有最大值，且 0n3， 当 n1 时，APC 的面积最大，最大面积是 8， 此时，P（1，4）， 综上所述，APC 面积的最大值是 8，点 P 的坐标是（1，4） 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来， 利用点的坐标的意义表示线段的长度， 从而求出线段之间的关系，利用面积公式得出二次函数是解（3）的关键