1、20212021 年贵州省铜仁市碧江区第二次中考模拟考试数学试题年贵州省铜仁市碧江区第二次中考模拟考试数学试题 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题均有分，每小题均有 A、B、C、D 四个备四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上）选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上） 1. 20211等于（ ） A 1 B. -1 C. 2021 D. -2021 2. “新冠”疫情前期，许多国家向我国捐助口罩，据统计约为 700 万个，将数据 700万用
2、科学计数法表示为（ ） A. 37 10 B. 30.7 10 C. 67 10 D. 370 10 3. 下列算式的运算结果为6a的是（ ） A. 32aa B. 32a C. 33aa D. 42aa 4. 一元二次方程2560 xx的解是（ ） A. 122,3xx B. 122,3xx C. 122,3xx D. 122,3xx 5. 若一个多边形内角和等于其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知单项式45ax y与27bx y的和仍是单项式，则 a、b 的值分别是（ ） A. a4，b2 B. a2，b4 C. a2，b4 D
3、. a4，b2 7. 在同一平面直角坐标系中，函数20ykxk和0kykx的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， A， B， C， 三点在正方形网格线的交点处， 若将ABC绕着点 A逆时针旋转得到ACB ， 则t a nB的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 24 9. 有甲、 乙两车从A地出发去B地， 甲比乙车早出发， 如图中1m、2m分别表示两车离开A地的距离y km与甲车行驶时间 t h之间的函数关系现有以下四个结论：甲车比乙车早出发 2 小时；乙车出发 4小时后追上甲车；甲车出发 11 小时两车相距100km；若两地相距260km，则乙车先到达B地，
4、其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一列数：3 5 9 172 4 8 16、 、它有一定的规律性若把第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第 n个数记为 an，则1232020aaaa的值是（ ） A. 2020 B. 2021-202012 C. 2020-202012 D. 2021-202112 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11. 81的算术平方根是_ 12. 要使式子214aa有意义，则 a 的取值范围是_ 13. 因式分解：32288xxx_ 14. 经过某十字路口的汽车，可直
5、行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是_ 15. 某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价 8折销售，售价为 2240元，则这种商品的进价是_元. 16. 抛物线 y=x26x+5向上平移 2个单位长度， 再向右平移 1个单位长度后， 得到的抛物线解析式是_ 17. 如图，点 D 是等边ABC 内一点，将BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60 ，得到ACE，连接 BE，若AEB45 ，则DBE的度数为_ 18. 按照如下图所示方法排列黑色小正方形地砖，则第 15个图案中黑色小正方形地砖的块数
6、是_ 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 4 个小题，第个小题，第 19 题题 10分，第分，第 20，21，22 题每题题每题 10 分，共分，共 40 分，要有分，要有解题的主要过程）解题的主要过程） 19. （1）计算：20212013513492 （2）先化简，再求值：22169122aaaaa，其中2sin603tan45a 20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD交于点 O，点 M，N 分别为 OA、OC 的中点，延长 BM至点 E，使 EMBM，连接 DE求证：AMBCND 21. 某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况， 从全校九年
7、级学生中随机抽取部分学生进行调查调查结果分为四类：A 类非常了解；B类比较了解；C 类一般了解；D类不了解现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）求出 D类所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解大约有多少名？ 23. 如图，在 RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，动点 M从点 B出发，在 BA边上以每秒 2cm的速度向点 A匀速运动， 同时动点 N从点 C出发， 在 CB边上以每秒3cm的
8、速度向点 B匀速运动，设运动时间为 t秒（0t5） ，连接 MN （1）若 BM=BN，求 t的值； （2）若MBN与ABC相似，求 t的值 四、 （本大题满分四、 （本大题满分 12 分）分） 24. 某商店购进A、B两种商品，购买 1 个A商品比购买 1个B商品多花 10 元，并且花费 300 元购买A商品和花费 100元购买B商品的数量相等 （1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）商店准备购买A、B两种商品共 80 个，若A商品的数量不少于B商品数量的 4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 五、 （本大题满分五
9、、 （本大题满分 12 分）分） 25. 如图， 点 E在ABC的边 AB上， 过点 B、 C、 E的O 切 AC 于点 C， 直径 CD交 BE于点 F， 连接 BD、DE，已知ACDE （1）求证：CDB2A； （2）若 AC2 2，BD1，求 BF的长 六、 （本大题满分六、 （本大题满分 14 分）分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22yaxxc与直线ykxb都经过 A（0，-3） ，B（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB的解析式； （2）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积最大时，试求出点 P 的坐标，并求出PAB
10、面积的最大值； （3）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过点 M作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 20212021 年贵州省铜仁市碧江区第二次中考模拟考试数学试题年贵州省铜仁市碧江区第二次中考模拟考试数学试题 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题均有分，每小题均有 A、B、C、D 四个备四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上）选答案，其
11、中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上） 1. 20211等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2021 D. -2021 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据 1 的 2021 是 1，可得到-12021的值为-1即可得到答案 【详解】解：12021=1， 20211=-1， 故选：B 【点睛】本题考查了-1 的整数幂与 1 的整数幂的区别，准确把握概念的实质，正确区分底数的符号是解决问题的关键 2. “新冠”疫情前期，许多国家向我国捐助口罩，据统计约为 700 万个，将数据 700万用科学计数法表示为（ ） A. 37 10 B. 30.7 10 C.
12、 67 10 D. 370 10 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先将 700万转换为 7000000，再用科学记数法表示 7000000即可 【详解】解：700万=7000000， 7000000=67 10， 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大数，能够注意单位的转换是解决本题的关键 3. 下列算式的运算结果为6a的是（ ） A. 32aa B. 32a C. 33aa D. 42aa 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则依次计算即可得出结果 【详解】解：A、32aa5a，不符合题意； B、326
13、aa，符合题意； C、3332aaa，不符合题意； D、422aaa，不符合题意； 故选：B 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则，熟练掌握各运算法则是解题关键 4. 一元二次方程2560 xx的解是（ ） A. 122,3xx B. 122,3xx C. 122,3xx D. 122,3xx 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解 【详解】解2560 xx 230 xx 20 x 或30 x 解得122,3xx 故选：D 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用 5. 若一个多边形内角和等于
14、其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题 【详解】解：根据题意，得： （n-2） 180=360 3， 解得 n=8 故选：D 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数 6. 已知单项式45ax y与27bx y的和仍是单项式，则 a、b 的值分别是（ ） A. a4，b2 B. a2，b4 C. a2，b4 D. a4，b2 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式45
15、ax y与27bx y的和仍是单项式，可知45ax y与27bx y为同类项，进而根据同类项的定义可求出 a，b的值 【详解】解：单项式45ax y与27bx y的和仍是单项式， 45ax y与27bx y为同类项， b=4，a=2， 故选：C 【点睛】 本题考查同类项的概念， 以及合并同类项， 能够对同类项的概念有清晰的认识是解决本题的关键 7. 在同一平面直角坐标系中，函数20ykxk和0kykx的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k 0 时，y=kx+2 过第
16、一、二、三象限，kyx过第一、三象限， 当 k0 时，y= kx+2过第一、二、四象限，kyx过第二、四象限， 观察图形可知，只有 B 选项符合题意， 故选：B 【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题的关键 8. 如图， A， B， C， 三点在正方形网格线的交点处， 若将ABC绕着点 A逆时针旋转得到ACB ， 则t a nB的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 24 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】 过 C点作 CDAB， 垂足为 D， 根据旋转性质可知， B=B， 把求 tanB的问题， 转化为在 Rt
17、BCD中求 tanB 【详解】过 C 点作CDAB，垂足为 D 则根据旋转性质可知，BB 在Rt BCD中，1tan3CDBBD 所以ta1ta3nn BB 故选 B 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法 9. 有甲、 乙两车从A地出发去B地， 甲比乙车早出发， 如图中1m、2m分别表示两车离开A地的距离y km与甲车行驶时间 t h之间的函数关系现有以下四个结论：甲车比乙车早出发 2 小时；乙车出发 4小时后追上甲车；甲车出发 11 小时两车相距100km；若两地相距260km，则乙车先到达B地，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【9 题
18、答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据2m与 x 轴的交点即可得；先根据图象求出甲、乙两车的速度，再根据乙车追上甲车时，两车行驶的路程相等建立方程求解即可得；根据甲、乙车的速度求出两车行驶的路程，再求差即可得；根据甲、乙车的速度求出两车到达 B 地时t的值即可得 【详解】由题意得：1m表示的甲车、2m表示的乙车， 由2m与 x 轴的交点可知，甲车比乙车早出发 2小时，则结论正确； 甲车的速度为160440(/ )km h， 乙车的速度为120(42)60(/ )km h， 设乙车出发 a小时后追上甲车， 则40(2)60aa， 解得4a ， 即乙车出发 4小时后追上甲车，结论正确； 甲车出
19、发 11小时时，甲车行驶的路程为40 11440()km， 乙车行驶的路程为60 (11 2)540()km， 则此时两车相距为540440100()km，结论正确； 若两地相距260km，甲车到达 B地时，1260406( )2th， 乙车到达 B地时，12260606( )3th， 因为116632， 所以乙车先到达B地，结论正确； 综上，正确的是， 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中正确获取信息是解题关键 10. 有一列数：3 5 9 172 4 8 16、 、它有一定的规律性若把第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第 n个数记为 an，则1232020aaaa
20、的值是（ ） A. 2020 B. 2021-202012 C. 2020-202012 D. 2021-202112 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【 分 析 】 分 析 数 据 可 得an= 212nn= 112n； 从 而 得 到1232 0 2 0aaaa的 表 达 式 为232020111111112222 ,根据等比数列的特征即可求和. 【详解】解：观察可知an= 212nn= 112n, 设1232020aaaa=b,则 b=232020111111112222 =23202011112020()2222 2b=23201911114040(1)2222 2b-b=23
21、201911114040(1)2222-23202011112020()2222 b=202012020(1)2=2020120212, 即1232020aaaa=2020120212, 故选:B. 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的本题找到 an的表达式是解题关键. 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11. 81的算术平方根是_ 【11 题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可 【详解】解：819，
22、 81的算术平方根是 3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个正数 x 叫做 a的算术平方根 12. 要使式子214aa有意义，则 a 的取值范围是_ 【12 题答案】 【答案】a1且 a2 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案 【详解】解：由题意，得：a-10，a240， 解得：a1且 a2， a的取值范围 a1 且 a2 故答案为：a1且 a2 【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数不能为负数，分母不能为零得出不等式是解题关键 13 因式分解：32288
23、xxx_ 【13 题答案】 【答案】2x（x2）2 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可 【详解】解：223288244xxxx xx2x（x2）2 故答案为：2x（x2）2 【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键 14. 经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是_ 【14 题答案】 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为 1，所以则两辆汽车都直行的概率为19，故答案为19 考点：
24、列表法与树状图法 15. 某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价 8折销售，售价为 2240元，则这种商品的进价是_元. 【15 题答案】 【答案】2000， 【解析】 【分析】设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240元，列方程解答即可. 【详解】设这种商品的进价是 x 元， 由题意得，(1+40%)x 0.82240， 解得：x2000， 故答案为 2000. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键. 16. 抛物线 y=x26x+5向上平移 2个单位
25、长度， 再向右平移 1个单位长度后， 得到的抛物线解析式是_ 【16 题答案】 【答案】y=（x4）22 【解析】 【详解】试题分析：根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 y=x26x+5=（x3）24，其顶点坐标为（3，4） 向上平移 2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度后的顶点坐标为（4，3） ，得到的抛物线的解析式是 y=（x4）22， 考点：二次函数图象与几何变换 17. 如图，点 D 是等边ABC 内一点，将BDC 以点 C 为中心顺时针旋转 60 ，得到ACE，连接 BE，若AEB45 ，则DBE的度数为_ 【17 题答案】 【答
26、案】15 【解析】 【分析】利用等边三角形性质得ACB60 ，再根据旋转的性质得CBDCAE，然后根据三角形内角和得到CAE+AEBCBE+BCA，于是等量代换后即可得到即DBE15 【详解】解：ABC为等边三角形， ACB60 ， BDC以点 C 为中心顺时针旋转 60 ，得到ACE， CBDCAE， CAE+AEBCBE+BCA， 即CBD+45 CBE+60 ， CBDCBE60 45 15 ， 即DBE15 故答案为：15 【点睛】本题主要考察了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键 18. 按照如下图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 1
27、5 个图案中黑色小正方形地砖的块数是_ 【18 题答案】 【答案】421 【解析】 【分析】图形边数为连续奇数个小正方形组成，黑白相间，黑色小正方形块，从左下到右上每一斜行中黑色小正方形都是奇数，先增加到 2n-1 然后减小到 1,再求和即可， 【详解】解：第 1 个图中黑色小正方形地砖的块数为 1=2 1-1=1， 第 2 个图中黑色小正方形地砖的块数为 1+3+1=2 （1+3）-3=5， 第 3 个图中黑色小正方形地砖的块数为 1+3+5+3+1=2（1+3+5）-5=13， 第 4 个图中黑色小正方形地砖的块数为 1+3+5+7+5+3+1=2（1+3+5+7）-7=25， ， 第 1
28、5 个图中黑色小正方形地砖的块数为 1+3+5+27+29+27+3+1=2（1+3+5+29）-29， =2()1129152+?-29 =421 故答案为 421 【点睛】本题考查图形规律探究，仔细观察图形方向边与小正方形的关系，斜行黑色小正方形变化，有理数加法运算，掌握图形规律探究，仔细观察图形方向边与小正方形的关系，斜行黑色小正方形变化，有理数加法运算法则是解题关键 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 4 个小题，第个小题，第 19 题题 10分，第分，第 20，21，22 题每题题每题 10 分，共分，共 40 分，要有分，要有解题的主要过程）解题的主要过程） 19. （1
29、）计算：20212013513492 （2）先化简，再求值：22169122aaaaa，其中2sin603tan45a 【19 题答案】 【答案】 （1）； （2）3aa，13 【解析】 【分析】 （1）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及乘方等运算求解即可； （2）根据分式的加减乘除运算进行化简，然后根据特殊角的三角函数值，求得 a，代入求解即可 【详解】解： （1）20212013513492 1 1 (3)74 ； （2）22169122aaaaa 23(2)2(3)aa aaa 3aa 32sin603tan4523332a 代入得， 原式3333133333 【点睛】此题考查了实数
30、的有关运算，分式的化简求值，涉及了零指数幂，负整指数幂，二次根式的运算，特殊角的三角函数值等，解题的关键是熟练掌握实数和分式的运算法则，熟记特殊角的三角函数值 20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD交于点 O，点 M，N 分别为 OA、OC 的中点，延长 BM至点 E，使 EMBM，连接 DE求证：AMBCND 【20 题答案】 【答案】见详解 【解析】 【分析】 根据平行四边形性质得出 AB=CD， ABCD， AO=OC， OB=OD， 根据平行线性质得出BAM=DCN，然后证明OMBOND（SAS）得出AMB=CND 即可 【详解】证明：四边形 ABCD 为平行
31、四边形， AB=CD，ABCD，AO=OC，OB=OD， BAM=DCN， 点 M，N 分别为 OA、OC的中点， OM=12OA ,ON=12OC OM=ON， 在OMB 和OND中， BODOBOMDONOMON ， OMBOND（SAS） BMO=DNO， AMB=CND， 在AMB 和CND中， CDBAMDCNAMBCNDAB ， AMBCND（AAS） 【点睛】本题考查平行四边形性质，平行线性质，等角的邻补角性质，三角形全等判定与性质，掌握平行四边形性质，平行线性质，等角的邻补角性质，三角形全等判定与性质， 21. 某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况， 从全校九年级
32、学生中随机抽取部分学生进行调查调查结果分为四类：A 类非常了解；B类比较了解；C 类一般了解；D类不了解现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）求出 D类所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的大约有多少名？ 【21 题答案】 【答案】 （1）本次共调查了 50 名学生； （2）条形统计图见详解； （3）D类所对应扇形的圆心角的度数为 36； （4）估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的大约有 150
33、名； 【解析】 【分析】 （1）用 B 类人数除以 B类所占的比例可计算出总人数； （2）先用总人数减去其他类别的人数算出 C 类的人数，再根据 C 类的人数补全条形统计图即可； （3）用 360度乘以 D 类人数在总人数中的占比可算出其对应的圆心角度数 【小问 1 详解】 解：本次调查的学生人数为：2040=50（名） ， 故答案为：50； 【小问 2 详解】 解：C类学生人数为：5015205=10（名） ， 条形图如下： 【小问 3 详解】 D 类所对应扇形的圆心角为：360550=36， 故答案为：36； 【小问 4 详解】 该校九年级学生对新冠肺炎知识非常了解的人数为：5001550
34、=150（名） ， 故答案为：150 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，以及利用样本估算整体，能够将条形统计图与扇形统计图相结合补全其中的信息是解决本题的关键 23. 如图，在 RtABC中，ACB=90，AC=5cm，BAC=60，动点 M从点 B出发，在 BA边上以每秒 2cm的速度向点 A匀速运动， 同时动点 N从点 C出发， 在 CB边上以每秒3cm的速度向点 B匀速运动，设运动时间为 t秒（0t5） ，连接 MN （1）若 BM=BN，求 t的值； （2）若MBN与ABC相似，求 t的值 【23 题答案】 【答案】 （1）t=10315； （2）当 t=52或 t=157时，M
35、BN 与ABC相似 【解析】 【分析】 （1）由已知条件得出 AB10，BC53由题意知：BM2t，CN3t，BN533t，由BMBN得出方程 2t533t，解方程即可； （2）分两种情况： 当MBNABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出 t的值； 当NBMABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出 t的值； 【详解】解： （1）在 RtABC中，ACB=90 ，AC=5，BAC=60 ， B=30 ， AB=2AC=10，BC=53 由题意知：BM=2t，CN=3t， BN=533t， BM=BN， 2t=533t， 解得：t=5 323=10315； （
36、2）分两种情况：当MBNABC时， 则MBBNABBC，即25 33105 3tt， 解得：t=52 当NBMABC 时， 则BNBMABBC，即5 332105 3tt， 解得：t=157 综上所述：当 t=52或 t=157时，MBN 与ABC相似 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含 30 角的直角三角形的性质；综合性较强，证明三角形相似是解决问题的关键 四、 （本大题满分四、 （本大题满分 12 分）分） 24. 某商店购进A、B两种商品，购买 1 个A商品比购买 1个B商品多花 10 元，并且花费 300 元购买A商品和花费 100元购买B商品的数量相等 （
37、1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）商店准备购买A、B两种商品共 80 个，若A商品的数量不少于B商品数量的 4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 【24 题答案】 【答案】 （1）购买一个A商品需要 15 元，购买一个B商品需要 5 元； （2）商店有 2 种购买方案，方案：购进A商品 65个、B商品 15个；方案：购进A商品 64个、B商品 16个 【解析】 【分析】 （1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要10 x元，根据数量总价 单价结合花费 300 元购买A商品和花费 100 元购买B商品的数
38、量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B商品m个，则购买A商品80m个，根据A商品的数量不少于B商品数量的 4倍并且购买A、B商品的总费用不低于 1000元且不高于 1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案 【详解】解： （1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要10 x元， 依题意，得：30010010 xx， 解得：5x ， 经检验，5x 是原方程的解，且符合题意， 1015x 答：购买一个A商品需要 15元，购买一个B商品需要 5元 （2） 设购买B商品m个，则购买A商品80m个
39、， 依题意，得：80415 805100015 8051050mmmmmm， 解得：1516m m为整数， 15m或 16 商店有 2 种购买方案，方案：购进A商品 65个、B商品 15个；方案：购进A商品 64个、B商品16 个 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 五、 （本大题满分五、 （本大题满分 12 分）分） 25. 如图， 点 E在ABC的边 AB上， 过点 B、 C、 E的O 切 AC 于点 C， 直径 CD交 BE于点 F， 连接 BD、DE，已知
40、ACDE （1）求证：CDB2A； （2）若 AC2 2，BD1，求 BF的长 【25 题答案】 【答案】 （1）证明见解析； （2）BF2 33 【解析】 【分析】 （1）利用切线的性质、三角形的内角和定理、等量代换及直径所对的圆周角为直角进行证明即可； （2）过 C作 CHAB于 H，交 BD 的延长线于 G，利用角的互余关系及已知条件可得CDB2DCH，进而得出GDCG，从而 CDDG；利用勾股定理求得 CD、CG，进而得出 BP 的长；然后由余弦函数得出 AH、AF的长，进而由等腰三角形的“三线合一“性质得出 AB的值，然后利用 BFABAF求得答案即可 【详解】解： （1）证明：AC
41、是O的切线， ACCF， ACF90 ， A+BCD+ABC90 ， 又CDEABC，ACDE， 2A+BCD90 ， CD是O的直径， CBD90 ， BCD+CDB90 ， CDB2A； （2）过 C作 CHAB于 H，交 BD 的延长线于 G，如图： DCH+ACH90 ，A+ACH90 ， DCHA， 又CDB2A； CDB2DCH， GDCH， CDDG BD1，BC2 2，在 RtBCD 中，CD2222(2 2)13BCBD， DG3， BGBD+DG4，CG22(2 2)42 6， cosG63BGCG， cosA63， 又 cosAAHACACAF， AHACcosA4 33
42、，AF2 3， ACDE，ABCCDE， AABC， ACBC， AB2AH8 33， BFABAF2 33 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，垂径定理及其推论，三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键 六、 （本大题满分六、 （本大题满分 14 分）分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22yaxxc与直线ykxb都经过 A（0，-3） ，B（3，0）两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB的解析式； （2）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积最大时，试求出点 P 的坐标，并求出PAB面积的最大值； （3）设直线 AB
43、 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过点 M作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 【26 题答案】 【答案】 （1）223yxx，3yx； （2）315,24P，278； （3）存在，21M，或31731722M ， 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式； （2）作 PQy轴交直线 AB 于点 Q，设 P（m，m2-2m-3） ，则 Q（m，m-3） ，先表示出 PQ=-m2+3m，利用三角形面积公式得到 SPAB=12 3 (-m2+3m)，
44、然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出 C点坐标和 E点坐标，则 CE=2，分两种情况讨论：若点 M在 x轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CE=MN，若点 M 在 x轴上方，四边形 CENM为平行四边形，则 CE=MN，设 M（a，a-3） ，则 N（a，a2-2a-3） ，可分别得到方程求出点 M 的坐标 【详解】解： （1）抛物线22yaxxc经过 A（0，-3） ，B（3，0）两点， 3096cac ，解得13ac ， 抛物线的解析式为223yxx， 直线 y=kx+b经过 A（0，-3） ，B（3，0）两点， 303bkb ，解得13kb ， 直线 AB的解析式为3
45、yx； （2）如图， 作 PQy轴交直线 AB 于点 Q， 设 P(m，m2-2m-3)，则 Q(m，m-3)， PQ=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m， SPAB=12 3 (-m2+3m)， 23922mm 23327()228m ， 当32m 时，PAB面积有最大值，最大值278，此时 P 点坐标为(32，154)； （3）存在，理由如下： 222314yxxx， 抛物线的顶点 C 的坐标为（1，-4） ， CEy轴， E（1，-2） ， CE=2， 如图，若点 M 在 x轴下方，四边形 CEMN为平行四边形，则 CE=MN， 设 M（a，a-3） ，则 N（a，a2-2a-3）
46、 ， MN=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a， -a2+3a=2， 解得：a=2，a=1（舍去） ， M（2，-1） ； 如图，若点 M 在 x轴上方，四边形 CENM为平行四边形，则 CE=MN， 设 M（a，a-3） ，则 N（a，a2-2a-3） ， MN=a2-2a-3-(a-3)=a2-3a， a2-3a=2， 解得：3172a或3172a（舍去） ， M317317()22 ， 综上可得 M 点的坐标为（2，-1）或317317()22 ， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键