1、第2讲 导数选择压轴题一、单选题：1（湖北B4联盟）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A7B8C9D11【答案】C【分析】等价于，令，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果【解析】由题干条件可知：等价于，令，则 ， ，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，则有最大值令，则，当时，此题无解，则，当，当，在上单调递减，在上单调递增，则有最小值若成立，只需，即，即，两边取对数可得：时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数恒成立，则在上单调递减，的
2、最大正整数为9故选C【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，若，则复合恒成立的情况2（湖北B4联盟）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出集合，再根据包含关系可得在上恒成立即在上恒成立，就分类讨论后可得正确的选项【解析】先考虑不等式的解，均为上的增函数，故为上的增函数，故故为不等式的解集的子集，即在上恒成立，故在上恒成立令，则，故当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数；当时，故，故在上恒成立，即在上恒成立，令，故，当时，当时，故在上为增函数，在上为减函数，故，故即若，当时，故，（注意恒成立）
3、，故符合题意当时，在上恒成立，故，即，设，则，故在上为增函数，故，故不成立，故舍去，综上，故选A【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化3（浙江绍兴市高三期末）已知、，且，对任意均有，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项【解析】，故与的符号相同，当时，；当时，与的符号相同，令，当时，恒成立，令，可得，分以下四种情况讨论：对于A选项，当，时，则，当时，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，当，时，则，若，若、均
4、为正数，若，则，当时，不合乎题意；若，则，当时，不合乎题意若、都不相等，记，则当时，不合乎题意由上可知，当时，若使得恒成立，则，如下图所示， 当，时，且，时，当时，恒成立；对于C选项，当，时，则，若时，则当时，不合乎题意；当时，构造函数，其中，函数在上单调递增，则，当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，当，时，则，此时、为正数当、都不相等时，记，当时，不合乎题意；若，则，当时，不合乎题意；当时，当时， 不合乎题意D选项错误故选B【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）分析与同号；（2）对、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证4（江苏省天一中学高三二模）若不等式在
5、区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是A B C D【答案】C【分析】由题可知，设函数，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围【解析】设函数，或， 时，或时，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，故选C【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力5（江西八校4月联考）已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意可知，构造函数，利用导数
6、研究函数的单调性及极值，又时，；当时，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解【解析】由题意，得，设，求导令，解得当时，单调递增；当时，单调递减；故当时，函数取得极大值，且又时，；当时，故；作出函数大致图像，如图所示：又，存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：，即，故选B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的
7、方法求解6（河南焦作市高三三模）已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上（ ）A有唯一零点B有两个零点C没有零点D不确定【答案】A【分析】先对函数和求导，根据两曲线在处的切线平行，由导数的几何意义求出，得到函数，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在上的最值，即可确定函数零点个数【解析】，又，由题设知，即，则，令，则，当时，即函数单调递减；当时，即函数单调递增；在上的最小值为，则，在上单调递增，且在上有唯一零点，故选A【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数（有时也需要利
8、用数形结合的方法进行判断）7（陕西下学期质检）已知函数关于的方程（）有8个不同的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据分段函数得解析式，利用导数研究函数的性质，作出函数的图象，将方程有8个不同的实数根转化为方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根，进而得到的取值范围【解析】当时，令，则令，则，故当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；当时，易知函数在上单调递减，在上单调递增，在单调递减又，故可画出函数的大致图象如图所示，令，则已知方程可化为观察图象可知，当时，只有2个交点；当时有3个交点；当时，有4个交点；当时有5个交点；当时，有6个交点要想满足题意，则只需使
9、得方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根方程的两根之积为1，令，由题意只需解得，故选C【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点8（天津十二区联考）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】函数恰有
10、2个零点，转化为直线与的图象有两个交点，作出函数的图象及直线观察它们交点个数，对函数要分类讨论，求在原点处或过原点的切线斜率【解析】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系当，故在处的切线方程为当，同理可得在处的切线方程为当，设切点为，其中，则过该点的切线方程为，代入，得，故过的切线方程为可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点此时，故选B【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题关键是转化为直线与函数图象交点个数，通过数形结合思想求解9（安徽江南十校3月联考）当x1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ）A(-，e)B(-，)C(-，)D(-，e
11、-2)【答案】D【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到的取值范围【解析】由题意知，构造函数，令则故当时单调递减当时单调递增，故选D10（浙江金华市高三期末）已知函数，、且满足，对任意的恒有，则当、取不同的值时，（ ）A与均为定值B与均为定值C与均为定值D与均为定值【答案】D【分析】分析得出，利用导数分析函数的单调性，可得知为函数的极大值点，为函数的极小值点，再由、结合因式分解可得出结论【解析】当时，此时，函数在上为增函数，当、时，不合乎题意，由可得，当或时，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为对任意的恒有，又当、且满足，为函数的极大值点，为函数的极小
12、值点，则，由可得，可得，即，则，可得，即，同理可得，故选D【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出、为函数的极值点；（2）利用等式，结合因式化简得出结果11（河南驻马店市高三期末）已知函数，则的最大值是（ ）ABCD【答案】A【分析】构造函数利用导数求出最小值，然后可得答案【解析】，设，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数，时有解，故选A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数利用导数求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力12（浙江绍兴市高三期末）已知函数，若对任意，存在使得，则a的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意
13、，的值域是的值域的子集，易知的值域，对于，只需考虑时，求解即可得出结果【解析】，当时，若对任意，存在使得，即存在，的值域为，的值域包含，根据函数性质，只需研究的值域即可令，则，由，解得：，故a的最大值为故选C【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件即可求出最值（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解）13（天津部分区期末考试）已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】令，由，可得，利用导数分析函
14、数的单调性与极值，作出函数的图象，由图象可知，方程有两根、，且满足，设，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围【解析】令，由，可得，函数的定义域为，当时，由可得，由可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；当时，此时函数单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由于关于的方程恰有四个不同的实数根，则关于的二次方程恰有两个不同的实根、，且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，设，由二次函数的零点分布可得，解得因此，实数的取值范围是故选D【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号
15、；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号结合图象得出关于参数的不等式组求解14（江苏扬州市高三月考）已知函数，若且，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【分析】设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值【解析】当时，求导，令，得当时，单调递减；当时，单调递增；作分段函数图象如下所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，令，得，
16、切点坐标为，此时，故选D【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题15（天水市第一中学高三月考）函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】分离参数后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数【解析】函数定义域为，由，得，设，令得，时，单调递增；时，单调递减；时，取极大值，要使函数有两个零点即方程右有两个不同的根，即函数与有两个不同交点即，故选 B【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题时，参数可以分离的情况下优先选择分离参数，然后构建新函数，将零点个数转化为两个函数图像的交点
17、个数16（江苏省滨海中学高三月考）已知关于方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】将问题转化为“方程有两个不等实根”，构造新函数，利用导数分析其单调性以及取值情况，由此确定出方程有两个不等实根时的取值范围【解析】当时，不是方程的解，当时，有两个不等实根有两个不等实根，即与的图象有两个交点，令，令，或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，要使与的图象有两个交点，则或，解得或，的取值范围是，故选D【点睛】本题考查利用导数研究方程根的问题，主要考查学生的转化、分析与计算能力，难度较难方程根的数目问题可以转化为函数图象的交点个数问题，也可转化为
18、函数的零点个数问题17（辽宁辽南协作区期末）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可【解析】的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，的解集中恰有两个正整数，由可得， ，令，则，单调递增，单调递减，作出函数与的图象如图，当恰有两个正整数解时，即为1和2，故选 C【点睛】本题以解不等式为载体，要求考生抓住函数图象和性质的本质，建立数与形之间的联系，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心
19、素养，属于难题18（湖南岳阳市高三一模）对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“先享点”已知函数且函数存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据存在5个“先享点”，等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，构造函数利用导数求得结果【解析】依题意，存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，令，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，并且当和时，实数a的取值范围为，故选A【点睛】该题考查的是有关新定义问题，
20、结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目19（安徽合肥市高三二模）函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】B【分析】先把化为，利用为奇函数可排除C，再结合函数值的符号可排除A D，从而可得正确的选项【解析】，令，则，故为上的奇函数，故的图象关于对称，故排除C 又当时，令，则，故，故当时，故排除D而，故排除A，故选B【点睛】方法点睛：已知函数解析式判断函数图象时，往往需要根据函数的奇偶性、单调性等来判断图象的性质，有时也需要根据函数值的正负来判断20（陕西下学期质检）已知函数在点处的切线与函数的图象相切于点，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据点在函数的图
21、象上，可得，再由导数的几何意义可得函数的切线的方程，再设，利用导数的几何意义列出方程即可求解【解析】由题意可知，点在函数的图象上，函数在点处的切线方程为，则令点，则，点在直线上，解得，点，故选C【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积21（漠河市高级中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，是函数
22、的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，由已知得在上的奇函数且单调递减，即可将不等式变形为，利用函数的单调性求解即可【解析】设，则又上，则，即函数在上单调递减，又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，又，即可得：，解得：故选B【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是根据题目条件构造与之对应的函数，再利用函数求导，结合函数的单调性来转化解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题22（江苏徐州市高三二模）若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】构造函数，利用导数得出，构造函数，利用导数证明，从而得出【解析
23、】令，则，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则，由于函数在上单调递减，则在上有唯一解，故在上有唯一解，即当时，则函数在上单调递减，即，即，故选C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系23（四川遂宁市高三二模）若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先对进行变形，即，由于同构，可构造函数，知在上单调递增，原不等式转化为，根据单调性的性质可得，再进行参变分离，求出函数最值， 即可得解【解析】原不等式化为，即，令，知在上单调递增，原不等式转化为，即，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故当时取得最小值
24、，的最大值为故选C【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式相关问题，考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题本题关键有：（1）找到所给不等式的同构特征，同构特征是解题的关键；（2）构造函数，并求所构造函数的单调性；（3）参变分离，转为恒成立问题24（山西名校模拟）已知函数，对于任意实数，且，都有，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意得在上恒成立，再由求函数最大值即可【解析】由对于任意实数，且，都有，可得在定义域上为减函数，在上恒成立，即，又，故选C【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由分析得函数为单调递减，进而转化为在上恒成立，利用参变分离求参是解题的关键，属于中档题25（
25、河南新乡市高三二模）已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用导数可确定的单调性和极值，由此得到的图象，将问题转化为与有个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果【解析】，当和时，；当时，；在上单调递增，在，上单调递减，的极大值为，极小值为，且当时，当时，由此可得大致图象如下图：有个不同实数根等价于与有个不同的交点，由图象可知：，的取值范围为故选C【点睛】方法点睛：已知方程根的个数求参数值或取值范围常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以
26、解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解26（河南金太阳3月联考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，则（ ）ABCD【答案】D【分析】利用当时，得到在上单调递增，根据函数是定义在上的偶函数，得到函数的图象关于直线对称，之后利用函数单调性和对称性之间的关系进行比较即可得到结果【解析】当时，在上单调递增又函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于直线对称在上单调递减，故选D【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决该题的关键27（浙江宁波市高三月考）已知函数，则函数的
27、零点个数是（ ）A3B4C5D6【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可画出函数的草图，从而得到的零点，则，转化为或或，数形结合即可判断；【解析】解：，令，解得，在上单调递减，令，解得或，在和上单调递增，函数图象如下所示：当时，令，得或；又时；时，使得；要使，即或，或即或，或由函数图象易知，与都有两个交点，故或或各有两个零点，故函数有6个零点；故选D。【点睛】本题解答的关键的根据函数的性质画出函数的草图，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点；28（黑龙江大庆市高三一模）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）AB CD【答案】D【分析】利用导数判断的单调性，
28、作出函数的图象，利用与的图象有两个不同的交点，数形结合即可求解【解析】若函数有两个零点，可得与的图象有两个不同的交点可得是奇函数，可得，由可得：，由可得：或，在单调递减，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：若与的图象有两个不同的交点，可得：或，实数的取值范围是，故选D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解29（湖
29、南湘豫名校3月联考）数列各项均是正数，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ）；数列是等比数列；数列是等比数列；A1B2C3D4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到，整理得到，利用构造法求出数列的通项，即可判断；【解析】由得，（*），正确；由（*）知，首项，是等比数列，正确；，首项，不符合等比数列的定义，错误；由对可知：，两边同除得，令，即数列是恒为0的常数列，故错误故选B【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将
30、已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项30（江苏南通市高三月考）已知曲线在，两点处的切线分别与曲线相切于，则的值为（ ）A1B2CD【答案】B【分析】 根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项【解析】由题设有，化简可得即，整理得到，同理，不妨设，令，当时，均为增函数，故为增函数，同理当时，故为增函数，故分别为在、上的唯一解，又，故，故为在的解，故即，故选B【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线
31、方程：二、多选题：31（湖北高三期末）已知函数，其中，则下列说法中正确的是（ ）A若只有一个零点，则B若只有一个零点，则恒成立C若只有两个零点，则D若有且只有一个极值点，则恒成立【答案】ABD【分析】利用以及零点存在定理推导出当时，函数在上至少有两个零点，结合图象可知当时，函数在上有且只有一个极值点，利用导数分析函数在上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断B选项的正误；取，解方程可判断C选项的正误；分析出当在上只有一个极值点时，分、三种情况讨论，结合可判断D选项的正误【解析】构造函数，其中，则当时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增，且，则当时，由零点存在定理可知，函数在
32、内至少有一个零点，当时，函数在区间上至少有两个零点，当函数在区间上只有一个零点时，对于A选项，当时，则，由零点存在定理可知，函数在区间上至少有一个极值点，令，可得，当时，由，可得，解得，函数在区间上有且只有一个极值点作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数在区间上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为，当时，此时；当时，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又若函数在区间上有且只有一个零点，则，则，解得，A选项正确；对于B选项，若函数在区间上有且只有一个零点时，由A选项可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，对任意的，B选项正确；对于C选项，取，则，则，令
33、，可得或，可得或，解得或当时，函数有两个零点，C选项错误；对于D选项，当时，若，则，且，当时，令，可得出，至少可得出或，即函数在区间上至少有两个极值点，不合乎题意，下面证明：当时，构造函数，其中，则，函数在区间上为增函数，即分以下三种情况来证明恒成立，可得，由可得出，则当时，则，即成立；当时，则；当时，综上所述，当函数只有一个极值点时，恒成立故选ABD【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类
34、讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题32（辽宁铁岭市高三一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（ ）AB是递增数列CD【答案】ABD【分析】设，求出导数，可得在上为单调递增函数，得出，即，由此可依次判断各个选项【解析】由，设，则，当时，即在上为单调递增函数，函数在为单调递增函数，即，即，即，则，故A正确；由在上为单调递增函数， 是递增数列，故B正确；，故C错误；因此，故D正确故选ABD【点睛】关键点睛：本题考查数列单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出单调性得出
35、33（山东日照市高三一模）已知函数对于任意，均满足当时，若函数，下列结论正确的为（ ）A若，则恰有两个零点B若，则有三个零点C若，则恰有四个零点D不存在使得恰有四个零点【答案】ABC【分析】设，作出函数的图象，求出直线与曲线相切以及直线过点时对应的实数的值，数形结合可判断各选项的正误【解析】由可知函数的图象关于直线对称令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函数的图象过点时，有，解得过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，解得，则切线斜率为，即当时，函
36、数的图象与函数的图象相切若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误故选ABC【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题34（湖北高三期末）已知在则实
37、数的取值范围（ ）ABCD【答案】ABCD【分析】利用特殊值判断各个选项，可得出答案【解析】首先，原式中有，无意义，题目错误；其次，若四个选项改为不含0的开区间时，利用特殊值法，取，则不等式可化为，即，当时，不等式成立，故排除选项AB；取时，代入，即，正确，故CD不满足故无正确答案35（湖南长沙市雅礼中学高三月考）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）A为单调递增的等差数列BC为单调递增的等比数列D使得成立的的最大值为6【答案】BCD【分析】令，利用可得，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，可推出，可得D正确【解析】令，则，是等比数列，即，B正确；，是公差为的递减
38、等差数列，A错误；，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；，时，时，时，时，又，使得成立的的最大值为6，D正确故选BCD【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键36（江苏省滨海中学高三月考）函数f(x)=ex+asinx，x(，+)，下列说法正确的是（ ）A当a=1时，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为2xy+1=0B当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0C对任意a0，f(x)在(，+)上均存在零点D存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线
39、方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线ya 的交点问题【解析】选项A，当时，故切点为，切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确选项B，当时，恒成立，单调递增，又， ，即，存在，使得，即则在上，在上，在上，单调递减，在上，单调递增存在唯一的极小值点，则，B正确对于选项C、D，令，即 ， 则令，令，得由函数的图像性质可知：时，单调递减时，单调递增时，取得极小值，即当时取得极小值，又，即又在上单调递减，时，取得极小值，即当时取得极大值，又，即当时，当，即时，f(x)在(，+)上无零点，C不正确当，即时，与的图象只有一个交
40、点即存在a0，f(x)在(，+)上有且只有一个零点，故D正确故选ABD【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题37（辽宁高三二模）若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确【解析】对A，令，则，当时，函数在上单调递减，故A正确；对B，由A知，函数在上单调递减，即，即，故B正确：对C选项，当时，故C错：对D，即，故D正确故选ABD【点睛】关键点
41、点睛：对于AB，构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键；对于D，作差，利用基本不等式放缩后，比较大小是解题关键38（湖北高三月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A若，则曲线在处的切线与相互平行B函数在1，4上单调递増的必要不充分条件是C记函数的最小值为，则D若，使得在恒成立，则的最大值为3【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义判断A；求出函数的导函数，令，即可得到，从而判断B；利用导数研究函数的单调性，即可判断C；【解析】解：依题意，故，故曲线在处的切线与相互平行，故A正确；令，利用导数判断D；，令，则，则，故，故函数在上单调递增的必要不充分条件，故B正确；令得，显然，时，函数单调递减；时，函数单调递增， ，令，则，得，时，函数单调递增；时，函数单调递减；，故C正确；，令，则令，时，即单调递增，设并记其零点为，故，且，当时，即，单调递减；当时，即，单调递增，因此，由于且，即，故D错误故选ABC【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想