1、1 / 72第第 15 讲 概率统计解答压轴题讲 概率统计解答压轴题1 （安徽皖北协作区联考）“博弈”原指下棋，出自我国论语阳货篇，现在多指一种决策行为，即一些个人团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙 3 元，若同时亮出反面，则甲付给乙 1 元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲 2 元（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望（2）各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，可以控制“亮”出正面或反面的频
2、率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈甲乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平【答案】 （1）0； （2）答案见解析【分析】 （1）根据题意可得随机变量的可能取值为2，1，3，列出分布列，求出数学期望即可（2）设甲以01pp的概率“亮”出正面，乙以01qq的概率“亮”出正面，分别求出甲的收益分布列以及乙的收益分布列，求出数学期望，讨论q的取值，分析甲、乙的数学期望即可得出结果【解析】 （1）是各自随机“亮”出正反面，
3、甲乙“亮”出正面的概率均可认为是12，设乙在此游戏中的收益为随机变量，则的可能取值为2，1，3，可得乙的收益的分布列为-213P121414111( )2130244E （2）假设甲以01pp的概率“亮”出正面，乙以01qq的概率“亮”出正面，甲收益的随机变量为X，乙收益的随机变量为Y，此时甲的收益分布列为2 / 72X2-1-3P11pqqp11pqpq甲的收益期望为211113E Xpqqppqpq3 831q pq同理可得乙的收益分布列为Y213P11pqqp11pqpq乙的收益期望为211113E Xpqqppqpq 8331pqp根据甲的收益期望，可知乙的最优策略是“亮”出正面的概率
4、为38，否则若318q，有3 80q，甲的收益期望3 831E Xq pq，甲可以选择都“亮”出反面的策略，即0p ，达到预期收益最大，此时1318E Xq 若308q，则甲选择都“亮”出正面的策略，即1p ，达到预期收益最大，1258E Xq同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为38，最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为38而当38pq时，18E X ， 18E Y ，此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平【点睛】关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，解题的关键是求出甲、乙收益的数学期望，考查了分析能力、理解能力以及数学期望2 （甘肃兰州模拟（理） ）20
5、20 年 1 月 15 日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见 （ 也称“强基计划”） ， 意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划 强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立若某考生报考甲大学，每门科目通过的概3 / 72率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为1 26 3m，,，其中01m（1）若23m，分别求出该考生报考甲、乙两所大学
6、在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的范围【答案】 （1）38，718； （2）213m【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式即可求解；（2）求出报考甲大学通过的科目数13,2XB，13()322E X ，设报考乙大学通过的科目数为Y，利用相互独立事件概率乘法公式及期望公式求得5( )6E Ym，由该考生更希望通过乙大学的笔试，即 E YE X，即可求出m的范围【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，则213113(
7、)228P AC，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B，则211521217( )2636335418P B；（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，根据题意可知，13,2XB，则13()322E X ，报将乙大学通过的科目数为Y，随机变量Y满足概率为：515(0)(1)(1)6318P Ymm，115251111(1)(1)(1)636363183P Ymmmm，12115211(2)(1)63636392P Ymmmm，121(3)639P Ymm，随机变量Y的分布列：Y01234 / 72P5118m111183m1192m19m111215( )183936E Ymmmm，该
8、考生更希望通过乙大学的笔试， E YE X，则5362m，m的范围为：213m【点睛】方法点睛：本题考查互斥事件相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题3 （湖北十一校三月联考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔
9、顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下5 / 72（1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率；（2）小红小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一
10、次游戏，小球掉入 m 号球槽得到的奖金为元，其中|164|m小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有13的概率向左，23的概率向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入 n 号球槽得到的奖金为元，其中2(4)n两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由【答案】 （1）1564； （2）小明的盈利多，理由见解析【分析】（1）设这个小球掉入 5 号球槽为事件A，掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次，利用独立重复试验
11、的概率计算可得；（2）的可能取值为 0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出E；的可能取值为 0，1，4，9，求出对应的概率，列出分布列求出E，比较E与E的大小，确定小明的盈利多【解析】（1）设这个小球掉入 5 号球槽为事件A，掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次，24261115( )2264P AC ，这个小球掉入 5 号球槽的概率为1564（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，4，8，123336115(0)(4)( ) ( )2216PP mC，22444266111115(4)(3)(5)( ) ( )( ) ( )222232PP mP m
12、CC，15556611113(8)(2)(6)( )( )( ) ( )222216PP mP mCC，066666111(12)(1)(7)( )( )2232PP mP mCC6 / 7204812P5161532316132一次游戏付出的奖金515311504812163214632E ，则小红的收益为159644小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，94331(0)2323(4)( )( )381PP nC，22244441(1)(3)(5)=(22403) ( )3381)PP nP nCC，41321(4)(2)( ) ( )83381PP nC，411(9)
13、(138)(1)PP n0149P32814081881181一次游戏付出的奖金3240881818181101491E ，则小明的收益为4 13 显然，934，小明的盈利多【点睛】方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题4 （湖北七市三月联考）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 G 有 2n1 个电子元件组成，各个电子元件
14、能正常工作的概率均为 p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统 G 可以正常工作，否则就需维修（1）当12,2np时，若该电子产品由 3 个系统 G 组成，每个系统的维修所需费用为 500 元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统 G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的7 / 72概率均为 p， 且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作， 则系统 C 可以正常工作， 问 p 满足什么条件时，可以提高整个系统 G 的正常工作概率？【答案】 （1）分布列见解析，数学期望为
15、 750； （2）112p【分析】（1）由题知当2n 时个系统需要维修的概率为3323111222C，进而得电子产品需要维修的系统个数X满足13,2XB，500X，再根据二项分布求解即可；（2）设21k 个元件组成的系统正常工作的概率为kp，进而得212121(1)kiikikki kpCpp ，再分三种情况（见解析）讨论1kp，进而求解10kkpp时的情况即可得答案【解析】（1）当2n 时，一个系统有 3 个电子元件，则一个系统需要维修的概率为3323111222C，设X为该电子产品需要维修的系统个数，则13,2XB，500X，3311(500 )(),0,1,2,22kkkPkP XkCk
16、，的分布列为：050010001500P18383818 1500 37502E （2）记21k 个元件组成的系统正常工作的概率为kp21k 个元件中有i个正常工作的概率为2121(1)iikikCpp ，因此系统工常工作的概率212121(1)kiikikki kpCpp 8 / 72在21k 个元件组成的系统中增加两个元件得到21k 个元件组成的系统， 则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少1k 个元件正常工作，概率为121(1)kkkkkpCpp；（b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有 1 个正常工作，概率为21211 (1)(1)kkkkpCpp；（c）
17、原系统中恰有1k 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为21121(1)kkkkp Cpp211211121212111111kkkkkkkkkkkkkkpp CpppCpppCpp，因此，211211121212111111kkkkkkkkkkkkkkppp CpppCppCpp121121kkkkppCp，故当112p时，kp单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，考查运算求解能力，分析数据处理数据的能力，是中档题本题第二问解题的关键在于求出21k 个元件组成的系统正常工
18、作的概率为212121(1)kiikikki kpCpp ，进而分三类情况讨论增加两个元件后的系统正常工作的概率1kp，并讨论使得10kkpp的情况5 （江西九校三月联考（理） ）已知正三角形ABC，某同学从A点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为： nPA， nP B， nP C，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为 10P A ， 112P B
19、， 112P C （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率 3P A， 3P B， 3P C；（2）记 nnP Aa， nnP Bb， nnP Cc，其中1nnnabc，nnbc，求8a9 / 72【答案】 （1） 314PA ， 338P B ， 338P C ； （2）843128a 【分析】（1）由题意分别列出到 A，B，C 的情况，进而可得结果（2）由题意可得1112nnnbac，进而可得121nnbb，构造等比数列13nb，即可得出结果【解析】（1）;ABCA ACBA， 311111112222224PA ;ABAB ACAB ABCB ； 31111111113+2
20、222222228P B ;ABAC ACAC ACBC 31111111113+2222222228P C （2）nnbc，即11nnbc，2n ，又1112nnnbac，2n 时11111122nnnnnbacab又1111nnnabc，可得121nnbb由11111111322323nnnbbb 可得数列13nb是首项为16公比为12的等比数列1111362nnb ， 即1111362nnb， 又11111111212136232nnnnab ，故843128a 【点睛】关键点点睛：由递推公式121nnbb，构造等比数列，进而可得通项公式本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题10
21、 / 726 （河南适应性测试（文） ）直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收某贫困地区有统计数据显示，2020 年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图 1 所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图 2 所示若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”（
22、1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成22列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？11 / 72使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计（2）某投资公司在 2021 年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为7 1 1,10 5 10，
23、；方案二：线上直播销售根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 315 10 10， ，针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由参考数据：独立性检验临界值表20P Kk0.150.100.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635其中，22(),()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd 【答案】 （1）22列联表见解析，有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关； （2）选方案一，理由见解析【分析】（1） 由图
24、 1 知， “年轻人”有160人， “非年轻人”有40人， 由图 2 知， “经常使用直播销售用户”有120人， “不常使用直播销售用户” 有80人，即可补全的列联表，计算2K，判断是否有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关（2）按方案一，设获利1X万元，列1X的分布列，并计算期望1E X和1D X；按方案二，设获利2X12 / 72万元列，列2X的分布列，并计算期望2E X和2D X，比较两个方案的期望和方程，从而选取方案【解析】（1）由图 1 知，“年轻人”占比为45.5%34.5%80%，即有200 80%=160（人） ，“非年轻人”有200 16040（人）由图 2 知，“
25、经常使用直播销售用户”占比为30.1% 19.2% 10.7%60%，即有200 60%=120（人） ，“不常使用直播销售用户” 有200 12080（人） “经常使用直播销售用户的年轻人”有中有51201006（人） ，“经常使用直播销售用户的非年轻人”有120 10020（人）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销售用户602080合计16040200于是100,20,60,20abcd22200 (100206020)252.0832.072120 80 1604012K，即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关（2）若按方案一
26、，设获利1X万元，则1X可取的值为行300150,0，1X的分布列为：1X3001500p710151101711300( 150)018010510E X （万元） ，2221711(300 180)( 150 180)(0 180)10510D X 222711120330180351001051013 / 72若按方案二，设获利2X万元，则2X可取的值为500, 300,0，2X的分布列为：2X5003000p353101102331500( 300)021051010E X （万元） ，2222331(500210)( 300210)(0210)51010D X 22233129051
27、0210132900510101212,E XE XD XD XQ，由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一【点睛】方法点睛：本题考查22列联表的应用以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题7 （江苏南通期末考试）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投
28、中，则“虎队”得 3 分；如果只有一个人投中，则“虎队”得 1 分；如果两人都没投中，则“虎队”得 0 分已知甲每轮投中的概率是34，乙每轮投中的概率是23；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响各轮结果亦互不影响（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中 3 个的概率；（2）设“虎队”两轮得分之和为X，求X的分布列；设“虎队”n轮得分之和为nX，求nX的期望值 （参考公式E XYEXEY）【答案】 （1）23； （2）答案见解析；2312nEXn【分析】（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件nA，nB，“虎队”至少投中 3 个记作事件C，根据相互独立事件的概率公式，即可求解（2）“虎队”
29、两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，求得相应的概率，得到分布列；得到14 / 7210,1,3X ，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解【解析】（1）设甲、乙在第n轮投中分别记作事件nA，nB，“虎队”至少投中 3 个记作事件C，则 12121212121212121212P CP A A B BP A A B BP A A B BP A A B BP A A B B2222112233232232C1C144343343 11126443（2）“虎队”两轮得分之和X的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则2232101143144P X，22332322101211114
30、43433144P X ，3232323232 3221111114343434343 43P X 323225114343144，3 2321232114 343144P X ，22332223604211443334144P X ，223236643144P X故X的分布列如下图所示：X012346P1144101442514412144601443614410,1,3X ，13210114312P X ，132325111434312P X，13 2634 312P X ，15 / 721562313121212EX ，12312nEXn EXn【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计
31、算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望，其中解答中熟记相互独立事件概率的计算公式，以及求得随机变量取值的概率，得到分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力8 （湖南长沙长郡中学月考）某省从 2021 年开始将全面推行新高考制度，新高考“312 ”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从 2021 年夏季高考开始， 高考政治、 化学、 生物、 地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为, ,A B C D E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时
32、， 将A至E等级内的考生原始成绩， 依照等比例转换法分别转换到86,100、71,85、56,70、41,55、30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为 100 分具体转换分数区间如下表：等级ABCDE比例15%35%35%13%2%赋分区间86,10071,8556,7041,5530,40而等比例转换法是通过公式计算：2211YYTTYYTT其中1Y，2Y分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T、2T分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为1Y，2Y时，等级分分别为1T、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分
33、区间等级分区间化学75 分B等级69,8471,85设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：847585756971TT，16 / 7276.677T （四舍五入取整） ，小南最终化学成绩为 77 分已知某年级学生有 100 人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取 2 名，求恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取 5 名，设 5 名学生中等级成绩不小于 96 分人数为，求的分布列和期望
34、【答案】 （1）1235P （2）见解析【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于 96 分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于 96 分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可【解析】（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：951008586xyxy，即：148514330861010 xxy，143309610 x，得：92.1x ，显然原始成绩满足92.1x 的同学有 3 人，获得A等级的考生有 15 人恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的概率为11312
35、2151235C CPC（2）由题意可得：等级成绩不小于 96 分人数为 3 人，获得A等级的考生有 15 人，0531251524(0)91C CPC，1431251545(1)91C CPC2331251520(2)91C CPC，323125152(3)91C CPC则分布列为17 / 720123P249145912091291则期望为：45202231919191E 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题9 （河南漯河期末考试（文） ）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树
36、某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为 08，引种树苗B、C的自然成活率均为(0.70.9)pp（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及()E X；（2）将（1）中的()E X取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为 08，其余的树苗不能成活求一棵B种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种B种树苗多少棵？【答案】
37、（1）详见解析； （2）096；700 棵【分析】（1）依题意，得到X的所有可能值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；（2）由（1）可知当0.9p 时，E X取得最大值，利用概率的加法公式，即可求得一棵B树苗最终成活的概率；记Y为n棵树苗的成活棵数， M n为n棵树苗的利润，求得 286E M nn，要使 200000E M n，即可求解【解析】（1）依题意，X的所有可能值为 0，1，2，3则200.2 1P Xp；18 / 7221210.810.21P XpCpp20.8 10.41ppp，即210.41.20.8P Xpp，21220.20.81
38、P XpCpp220.21.611.41.6ppppp ，230.8P Xp；X的分布列为：X0123P20.20.40.2pp20.41.20.8pp21.41.6pp20.8p22210.41.20.821.41.63 0.8E Xppppp 20.8p（2）当0.9p 时，E X取得最大值一棵B树苗最终成活的概率为0.90.1 0.75 0.80.96记Y为n棵树苗的成活棵数， M n为n棵树苗的利润，则,0.96YB n， 0.96E Yn， 3005035050M nYn YYn， 35050286E M nE Ynn，要使 200000E M n，则有699.3n 该农户至少种植
39、700 棵树苗，就可获利不低于 20 万元【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及期望的实际应用问题，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题10 （湖南常德一中月考）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个
40、滤芯是否需要更换相互独立） ，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个160 元若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元，现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据 100 个二级过滤器19 / 72更换的滤芯个数制成的频数分布表：二级滤芯更换频数分布表：二级滤芯更换的个数56频数6040以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换
41、滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率；（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若28mn，且5,6n，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值【答案】 （1）0.064； （2）见解析； （3）m=23，n=5【分析】（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则
42、一级12个滤芯，二级6个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为 2 个一级滤芯和 1 个二级滤芯，从而得到概率（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到X可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望（3）28mn且5,6n，则可分为两类，即22,6mn和23,5mn，分别计算他们的数学20 / 72期望，然后进行比较，选取较小的一组【解析】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A
43、一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4， 0.4 0.4 0.40.064P A （2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4由题意，X可能的取值为20，21，22，23，24，并且200.2 0.20.04P X ，210.2 0.4 20.16P X ，220.4 0.40.2 0.4 20.32P X ，230.4 0.4 20.32P X ，240.4 0.40.16P X X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.1620 0.0421 0.16
44、22 0.3223 0.3224 0.1622.4EX （3） 【解法一】28mn，5,6n，若22m ，6n ，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22 80200 0.32400 0.166 1602848 ；若23m ，5n ，21 / 72则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23 80200 0.165 160400 0.42832 故m，n的值分别为23，5【解法二】28mn，5,6n，若22m ，6n ，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Y（单位：元） ，则1Y176019602160p0.520.320.1611760 0.52
45、1960 0.322160 0.161888EY 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Y（单位：元） ，则26 160960Y ，21 960960E Y 该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 1218889602848E YE Y若23m ，5n ，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为1Z（单位：元） ，则1Z18402040p0.840.1611840 0.842040 0.161872E Z设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Z（单位：元） ，则2Z800120022 / 72p0.60.42800 0.6 1200 0.4960E Z该
46、客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为1218729602832E ZE Z故m，n的值分别为23，5【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题属于中档题11 （黑龙江鹤岗一中月考（理） ）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立（1）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学
47、期望） 【答案】 （1）5681； （2）22481【分析】（1）甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的情况有：前 2 局甲赢；第 1 局乙赢、第 2、3 局甲赢；第 1 局甲赢、第 2 局乙赢、第 3、4 局甲赢，从而就可以求出概率 （2）根据题意X的可能取值为2,3,4,5，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可【解析】（1）用A表示“甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kB表示“第k局乙获胜”则2()3kP A，1(),1,2,3,4,53kP Bk121231234( )()()()P AP A AP B A AP AB A A121231
48、234() ()() () ()() () () ()P A P AP B P A P AP A P B P A P A23 / 722222122125633333381（2）X的可能取值为2,3,4,512121212(2)()()() ()() ()P XP A AP B BP A P AP B P B2211533339，123123123123(3)()()() () ()() () ()P XP B A AP AB BP B P A P AP A P B P B12221123333339，1234123412341234(4)()()() () () ()() () () ()P
49、 XP AB A AP B A B BP A P B P A P AP B P A P B P B212212111033333333818(5)1(2)(3)(4)81P XP XP XP X 故X的分布列为X2345P5929108188112 （东北三省四市二模）在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活新奋斗的起点”某农户计划于 2021 年初开始种植某新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为 2000 元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两
50、者互不影响，其具体情况如下表：该农作物亩产量(kg)9001200概率0 505该农作物市场价格(元/kg)304024 / 72概率0 406（1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率【答案】 （1）分布列详见解析； （2）0.896【分析】（1）根据表中数据，可得X的所有可能值为：25000，34000，46000，再分别求得其相应的概率，列出分布列；（2）由（1）知30000340004600