1、2021年北京市朝阳区二校联考高二下期中数学试卷一、单选题（每题4分，共40分）1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ）A. B. C. D. 2. 在的展开式中，常数项为（ ）A. 20B. -20C. 160D. -1603. 函数在区间上的最大值是（ ）A. B. C. D. 4. 根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为，下雨的概率为，既吹南风又下雨的概率为，则在吹南风的条件下下雨的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是（ ）A. 90B. 297C. 90D. 2076. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2
2、盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）A. 0.08B. 0.1C. 0.15D. 0.27. 中国古典戏曲五大名著是牡丹亭、西厢记、桃花扇、窦娥冤和长生殿，它们是中国古典文化艺术的瑰宝；若从上述这部戏曲名著中任选部，则选到牡丹亭和西厢记两部中恰有部的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需
3、要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）A. B. C. D 9. 是定义在上非负可导函数，且满足对任意正数a，b，若，则必有（ ）A. B. C. D. 10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常函数的解析式来琢磨函数的图象特征如函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共25分）11. 二项式的展开式中各项的二项式系数之和为_；各项的项的系数之和为_12. 已知随机变量服从二项分布，则_，_.13. 若曲
4、线与曲线在公共点处有相同切线，则实数的值为_.14. 某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：学生：设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，_，_（填、或=）15. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是_2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;2013年到201
5、6年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;三、解答题16. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件甲破译密码，事件乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可表示为，所以.请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.17. 有2名男生、
6、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)（1）选4人排成一排;（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;（3）全体排成一排,女生必须站在一起;（4）全体排成一排,男生互不相邻;（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.18. 已知函数，求其单调区间.19. 某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款(单位：元)顾客人数统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于
7、元的顾客发放纪念品.（1）试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望.20. 已知函数（1）若,求在点处的切线方程;（2）求函数的单调区间;21. 已知函数（1）若函数在存在单调减区间，求实数的取值范围;（2）若,求证:函数存在极小值;（3）若对任意的实数,恒成立，求实数的取值范围参考答案一、单选题（每题4分，共40分）1. 【答案】B【解析】【分析】由确定增区间，由确定减区间【详解】由的图象可知，当时，单调递增，排除A；当时，单调递减，排除C，D.故选：B.【点睛】本题考查导函与函数单调性的关系掌握用导数研究单
8、调性的方法是解题关键2. 【答案】D【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为故选：3. 【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.【详解】对于函数，.当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以，.故选：C.【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得4. 【答案】A【解析】【分析】由条
9、件概率的求解公式即可求出吹南风的条件下下雨的概率.【详解】解：即事件“七月份吹南风”， “七月份下雨”，则，所以,故选:A.【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题.5. 【答案】A【解析】【分析】根据多项式乘法法则，由二项式定理求出展开式中和的系数，再相减可得【详解】因为的二项展开式中的系数是，的系数是，所以的展开式中的系数.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，用二项式定理求展开式中某项的系数，掌握二项式展开式通项公式是解题关键注意多项式乘法法则的应用6. 【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B
10、表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；则由全概率公式，所求概率为P=P+P+P=+=0.08.故选：A7. 【答案】C【解析】【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率公式求概率.【详解】依题意，将五大戏曲名著牡丹亭、西厢记桃花扇窦娥冤长生殿分别用字母A，表示，则从这部戏曲名著中任选部的总的基本事件有，共个，其中包含选到牡丹亭和西厢记两部中恰有部的基本事件有，共个；故所求概率故选：C【点睛】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.8. 【答案】C【解析】【分析】根据甲、乙个家庭的张票是否连号分类计算.【详解】若甲、乙
11、个家庭的张票连号，则有种不同的分配方法，若甲、乙个家庭的张票不连号，则有种不同的分配方法，综上，这张门票共有种不同的分配方法，故选：C.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法9.【答案】C【解析】【分析】设函数，得到，得到在区间上为单调递减函数或常数函数，结合，即可求解.【详解】由题
12、意，设函数，则，所以函数在区间上为单调递减函数或常数函数，因为，所以，即.故选：C.10. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先判断的奇偶性，再利用导数判函数的单调性即可【详解】解：函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，所以函数图像关于轴对称，所以排除A，当时，则，因为，所以在上递增，因为，所以，使，所以当时，当时，所以在上递减，在上递增，且，所以排除BC，故选：D二、填空题（每题5分，共25分）11.【答案】 . . 【解析】【分析】依题意二项式系数和为，令即可得到展开式各项系数和；【详解】解：二项式的展开式中各项的二项式系数之和为,令则各项的项的系数之和为故答案为：；12. 【答案】
13、 . 9 . 6【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出和，再根据离散型随机变量的期望和方差的性质可求得结果.【详解】 随机变量服从二项分布，所以，则，.故答案为：9；6.【点睛】关键点点睛：利用离散型随机变量的期望和方差的性质求解是解题关键.13. 【答案】【解析】【分析】设出公共点坐标，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关于，的方程组求解即可【详解】依题可得，设两曲线的公共点为，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线，根据切点处的导数值相等，函数值相等列出方程组是解题关键属于基础题14. 【答案】 . . 【解析】【分析】通过数据
14、的分布以及平均值和方差的意义即可得结果.【详解】通过所给数据发现教师的评分的明显高于学生的评分，即；教师的评分在之间比较集中，学生的评分在之间较分散，即；故答案为：.15. 【答案】【解析】【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.【详解】看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故错误；连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故正确；2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故正确；看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故错误；故答案为：.三、解答题16. 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（
15、2）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根据事件、之间的关系可得出小明计算错误的原因，再结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，且事件、相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且、互斥所以；（3）小明同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式，正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲乙二人中至少有一人破译密码”可以表示为，且、两两互斥，所以.【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；
16、（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.17. 【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.【解析】【分析】（1）（2）直接利用排列求解；（3）利用捆绑法求解；（4）利用插空法求解；（5）利用优先法求解；（6）利用间接法求解；（7）利用整体法求解.【详解】（1）选4人排成一排，有种；（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种；（3）全体排成一排,女生必须站一起，有种；（4）全体排成一排,男生互不相邻，有种；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最
17、右边，有种；（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种.18. 【答案】答案见解析.【解析】【分析】求出函数的导数，分为，四种情形，判断导数与0的关系即可得单调区间.【详解】，当时，时，；时，；即增区间为，减区间为；当时，时，；时，；即增区间为和，减区间为；当时，在上恒成立，即增区间为；当时，时，；时，；即增区间和，减区间为；综上所述：当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为和，减区间为；当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为和，减区间为.19. 【答案】（1）20，10，2400；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据位顾客中一次购物款不低于元的顾客占可求出，再根据总人数为10
18、0可求出，由可求出每日应准备纪念品的数量；（2）利用二项分布的概率公式求出概率可得分布列，利用二项分布的期望公式可求得数学期望.【详解】（1）由已知，位顾客中购物款不低于元的顾有：，解得，则，该商场每日应准备纪念品的数量约为；（2）由（1）可知人购物获得纪念品的频率即为概率，故人购物获得纪念品的数量服从二项分配，则，则的分布列为：的数学期望为.【点睛】关键点点睛：掌握二项分布的概率公式和期望公式是解题关键.20. 【答案】（1）；（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和
19、函数的单调性的关系即可求出单调区间，【详解】解：（1）当时，在点处的切线方程为，即，（2）因为，定义域为，所以当，即时恒成立，令，则，即在上单调递增，令则，即在上单调递减，当时，令，则或，当，即时，恒成立，所以在上单调递增；当即时，当或时，所以在和上单调递增，当时，所以在上单调递减；当即时，当或时，所以在和上单调递增，当时，所以在上单调递减；综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；21. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，令，利用导数说明其单调性，依题意
20、可得，即可求出参数的取值范围（2）由，求导得，令，根据的正负，得到的单调性，再确定的极小值（3）对任意的实数，恒成立等价于的最小值大于或等于，分和，两种情况讨论，即可得出答案【详解】解：（1）因为定义域为，因为，令，则，所以当时，即在上单调递增，所以时，要使函数在存在单调减区间，所以，即，所以，故（2）由，得，令，则，当时，当时，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数所以的最小值为，当时，又在单调递增，故存在，使得，所以在区间上，在区间，上，所以在区间上，在区间，上，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增，故函数存在极小值（3）对任意的实数，恒成立等价于的最小值大于或等于当时，由（2）得，所以所以，上单调递增，所以的最小值为，由，得，满足题意，当时，由（2）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意综上所述，实数的取值范围是