1、 山西省临汾市山西省临汾市 2021-2022 学年中考数学二模试卷学年中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1. 下列运算正确的是( ) A. (32)3= 96 B. ()2 3= 5 C. (2 )2= 42 2 D. 2+ 42= 54 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面.已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为( ) A. 55 106 B. 5.5 107 C. 5.5
2、 108 D. 0.55 108 4. 如图， 将 绕点逆时针旋转55得到 ，若 = 70且 于点，则的度数为( ) A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 5. 正比例函数 = 2与反比例函数 =2的图象或性质的共有特征之一是( ) A. 函数值随的增大而增大 B. 图象在第一、三象限都有分布 C. 图象与坐标轴有交点 D. 图象经过点(2,1) 6. 不等式组2 0;12 1的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 7. 图1是第七届国际数学教育大会()会徽， 在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形， 恰好能组合得到如图2所示的四边形.若 = = 1， = ，则2的
3、值为( ) 第 2 页，共 21 页 A. 1sin2+ 1 B. sin2 + 1 C. 1cos2+ 1 D. cos2 + 1 8. 某工厂生产、 两种型号的扫地机器人.型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%； 清扫1002所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫 2，根据题意可列方程为( ) A. 1000.5=100+23 B. 1000.5+23=100 C. 100+23=1001.5 D. 100=1001.5+23 9. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结
4、果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是( ) 类型 健康 亚健康 不健康 数据(人) 32 7 1 A. 32 B. 7 C. 710 D. 45 10. 如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为( ) A. 3:2 B. 2 C. 1 D. 5;2 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15 分） 11. 计算24 65 45的结果是_ 12. 观察下列各项：112，214，318，4116，则第项是_ 13. 某学校八年级(2)班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图.这个班参赛学生的平均成绩是
5、_ 14. 如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且/， = 60， = 8，过点作 于点，则阴影部分的面积是_ 15. 如图， 在矩形中， = 4， = 3， 将 沿射线平移长度( 0)得到 ， 连接，则当 是直角三角形时，的长为_ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16. (1)计算：4 + (12);1 260 + (2 )0； (2)已知 =16，求(3 1)2+ (1 + 3)(1 3)的值 第 4 页，共 21 页 17. 如图，点，在的边，上， =13， =13，连接， 求证：四边形是平行四边形 18. 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶型
6、消毒液和3瓶型消毒液共需41元，5瓶型消毒液和2瓶型消毒液共需53元 (1)这两种消毒液的单价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 19. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量 (2)求小聪成绩的方差 (3)现求得小明成绩的方差为小明2= 3(单位：平方分).根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由 2
7、0. 如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 = 2米，且两扇门的大小相同(即 = )，将左边的门11绕门轴1向里面旋转35， 将右边的门11绕门轴1向外面旋转45， 其示意图如图2，求此时与之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据：35 0.6，35 0.8，2 1.4) 21. 如图，已知反比例函数 =( 0)与正比例函数 = 2的图象交于(1,)，两点 (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且 的面积为3，求点的坐标 22. 在等腰 中， = ，点是边上一点(不与点、重合)，连结 (1)如图1，若 = 60，点关于直线的对称点为点，连结，则 = _ ； (2)若 = 6
8、0，将线段绕点顺时针旋转60得到线段，连结 在图2中补全图形； 探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若= ，且 = .试探究、之间满足的数量关系，并证明 第 6 页，共 21 页 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0)，(0,4)，(2,0)三点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为， 的面积为 求关于的函数关系式，并求出的最大值 (3)若点是抛物线上的动点，点是直线 = 上的动点，判断有几个位置能够使得点、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项 A：(32)3= 27
9、6，所以不符合题意； 选项 B：()2 3= 2 3= 5，所以符合题意； 选项 C：(2 )2= 42 4 + 2，所以不符合题意； 选项 D：2+ 42= 52，所以不符合题意； 故选： A、根据积的乘方的进行计算即可判断； B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断； C、根据完全平方公式进行计算即可判断； D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案 本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键 2.【答案】 【解析】解：.是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不合题意； C.不是轴对称图形，故本选项
10、不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称 本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3.【答案】 【解析】解：55000000 = 5.5 107 故选： 科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | 10，为整数当原数绝对值 10时，是正数 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1 | 0，函数值随的增大而增大，
11、 对于反比例函数 =2，2 0，双曲线在每一象限内函数值随的增大而减小， 选项不符合题意； 对于正比例函数 = 2，2 0，直线 = 2在第一、三象限， 对于反比例函数 =2，2 0，双曲线的两个分支在第一、三象限， 选项符合题意； 对于正比例函数 = 2，它的图象经过原点， 对于反比例函数 =2，它的图象与坐标轴没有交点， 选项不符合题意； 当 = 2， = 2 2 = 4 1， 正比例函数 = 2的图象不经过点(2,1) 当 = 2时， =22= 1， 反比例函数 =2的图象经过(2,1)， 选项不符合题意 故选： 利用正比例函数 = 2与反比例函数 =2的性质，对每个选项进行判断后得出结
12、论 本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特 征，反比例函数图象上点的坐标的特征反比例函数的增减性只指在同一象限内，这是解题的关键 6.【答案】 【解析】解：解不等式2 0，得： 2， 解不等式;12 1，得： 1， 不等式组的解集为1 2， 在数轴上表示为： 故选： 分别求出每一个不等式的解集，继而可得答案 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 7.【答案】 【解析】解： = = 1， 在 中， =， =1sin， 在 中， 2+ 2
13、= 2， 2= (1sin)2+ 12=1sin2+ 1 故选： 在 中， =，可得的长度，在 中，根据勾股定理2+ 2= 2，代入即可得出答案 本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键 8.【答案】 【解析】解：若设型扫地机器人每小时清扫2，则型扫地机器人每小时清扫(1 + 50%)2， 根据题意，得100=1001.5+23 故选： 若设型扫地机器人每小时清扫2，则型扫地机器人每小时清扫(1 + 50%)2，根据“清扫1002所用第 10 页，共 21 页 的时间型机器人比型机器人多用40分钟”列出方程，此题得解 本题主要考查了由实际问题抽象出分
14、式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键 9.【答案】 【解析】解：抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人， 测试结果为“健康”的频率是：3240=45 故选： 根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)，即频率=频数总数，进而得出答案 此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键 10.【答案】 【解析】解：假设与为直径的半圆切于点， 四边形为正方形， = 90， 与为直径的半圆相切， = ， = ， = 2 ， = 2 + ， 在 中，2= 2+ 2，即(2 + )2= 22+ (2 )2， 解得： =12， = 2 12=32， 阴影
15、部分的面积= 2212 1212 2 32=5;2， 故选： 根据切线的性质得到 = ， 根据勾股定理列出方程求出， 根据扇形面积公式、 三角形面积公式计算，得到答案 本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键 11.【答案】6 【解析】解：原式= 26 65 45 = 26 36 = 6 故答案为6 先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键 12.【答案】12 【解析】解：一列数为112，214，318，4116，、 这列数可以
16、写成：1121，2122，3123，4124， 第项是12， 故答案为：12 根据题目中数字的特点， 可以发现数字的整数部分是连续的整数， 从1开始， 而分数部分的分母是2的次方，从1开始，分子都是1，然后即可写出第项对应的数字 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出相应的数字 13.【答案】95.5 【解析】解：由统计图可知四个成绩的人数分别为3，2，5，10， ;=385:290:595:1010020= 95.5， 故答案为95.5 先根据统计图得出每组的人数，再根据加权平均数的计算公式即可 本题主要考查条形统计图的识图能力和加权平均数的计算，牢记加权平均数的计算
17、公式是解答此题的关键 14.【答案】643 83 【解析】 【分析】 本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键 连接， 易求得圆的半径为8， 扇形的圆心角的度数， 然后根据阴影= + 扇形+ 扇形 即可得到结论 【解答】 解：连接， 第 12 页，共 21 页 = 60， = ， 是等边三角形， = 8， 的半径为8， /， = = 60， = ， = 60， = = 60， = 60， 于点， =32 = 43， =12 = 4， = 8 + 4 = 12， 阴影= + 扇形+ 扇形 =12 8 43 + 2 60 8236012 12
18、43 =643 83 故答案为643 83 15.【答案】75或165 【解析】解：分两种情况： 如图1， = 90，延长交于，过点作 ，交的延长线于， = = = 90， 四边形是矩形， = = 90， = = 3， tan =，即=34， 设 = 3， = 4， = = 5， 由平移得： = = 5， = 3 + 3， = = 4， = = = 4 4， = + = 90， + = 90， = ， = = 90， ， =，即3:34;4=43， =725， = 5 725=75； 如图2， = 90，延长交于，则 ， = 90， 由平移得： = = 3， 同理设 = 3， = 4，则 =
19、= 5， = 4 4， + = 90， + = 90， = ， = = 90， 第 14 页，共 21 页 ， =，即43=34;4， =1625， = 5 = 5 1625=165； 综上，的值是75或165 分两种情况： 如图1， = 90，如图2， = 90，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应的值 本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论 16.【答案】解：(1)原式= 2 + 2 2 12+ 1 = 2 + 2 1 + 1 = 4 (2)原式=
20、92 6 + 1 + 1 92 = 2 6， 当 =16时， 原式= 2 6 16 = 2 1 = 1 【解析】(1)根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 (2)先根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案 本题考查负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的性质，特殊角的锐角三角函数的值，整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，本题属于基础题型 17.【答案】解：四边形是平行四边形， = ，/， =13， =13， = ， /， 四边形是平行四边形 【解析】根据平行四边形的性质得出 = ，/，进而得出
21、 = ，利用平行四边形的判定解答即可 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形两直线平行和两线段相等；对边平行且相等的四边形是平行四边形 18.【答案】解：(1)设型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元， 2 + 3 = 415 + 2 = 53， 解得 = 7 = 9， 答：型消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元； (2)设购进型消毒液瓶，则购进型消毒液(90 )瓶，费用为元， 依题意可得： = 7 + 9(90 ) = 2 + 810， 随的增大而减小， 型消毒液的数量不少于型消毒液数量的13， 90 13， 解得 6712， 当 = 67时，取得最小值，此时 = 2
22、 67 + 810 = 676，90 = 23， 答：最省钱的购买方案是购进型消毒液67瓶，购进型消毒液23瓶，最低费用为676元 【解析】(1)根据2瓶型消毒液和3瓶型消毒液共需41元，5瓶型消毒液和2瓶型消毒液共需53元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元； (2)根据题意，可以写出费用和购买型消毒液数量的函数关系，然后根据型消毒液的数量不少于型消毒液数量的13，可以得到型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程
23、组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 19.【答案】解：(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可， 小聪成绩的平均数：16(7 + 8 + 7 + 10 + 7 + 9) = 8， 小明成绩的平均数：16(7 + 6 + 6 + 9 + 10 + 10) = 8， 答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8； 第 16 页，共 21 页 (2)小聪成绩的方差为：16(7 8)2+ (8 8)2+ (7 8)2+ (10 8)2+ (7 8)2+ (9 8)2 =43； (3)小聪同学的成绩较好， 理由：由(1)可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方
24、差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定故小聪同学的成绩较好 【解析】(1)要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可； (2)根据方差的计算方法计算即可； (3)由(1)可知两人的平均数相同，由方差可知小林的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定 本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差 20.【答案】解：作 于点，作 于点，延长到点，使得 = ， = ， + = = 2， = = 1， 在 中， = 35， = 1， = sin = 1 35 0.6， = cos = 1 35 0
25、.8， 在 中， = 45， = 1， = sin = 1 45 0.7， = cos = 1 45 0.7， ， ， /， 又 = ， 四边形是平行四边形， = ， 在 中， = + = 1.3， = = .05， = 2+ 2= 1.94 1.4， 答：与之间的距离约为1.4米 【解析】作 于点，作 于点，延长到点，使得 = ，则 = ，在 、 中可求出、的长度，进而可得出的长度，再在 中利用勾股定理即可求出的长，此题得解 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长度是解题的关键 21.【答案】解：(1)把(1,)代入 = 2中，
26、 得 = 2， 点的坐标为(1,2)， 把点(1,2)代入 =中， 得 = 2， 反比例函数的解析式为 =2； (2)过点作垂直于轴，垂足为， 设点的坐标为(,0)， 点与点关于原点对称， 点的坐标为(1,2)， = | 2| = 2， = |， =12 =12 2 | = 3， 解得： = 3或 = 3， 点的坐标为(3,0)或(3,0) 【解析】(1)先把(1,)代入 = 2中，即可算出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案； (2)过点作垂直与轴， 垂足为， 设点的坐标为(,0)， 根据反比例函数与正比例函数的性质可得点的坐标， 由题意可得 = | 2| = 2， =
27、|， 再根据三角形面积计算方法即可算出的值， 即可得出答案 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键 22.【答案】(1)30 (2)补全图形如下： 第 18 页，共 21 页 = ，证明如下： = ， = 60， 是等边三角形， = ， = 60， 线段绕点顺时针旋转60得到线段， = ， = 60， = = 60， = ，即 = ， 在 和 中， = = = ， ()， = ； (3) = ( + )，证明如下： 连接，如图： = ， = ， = ， = ， =， ， = ，=， = ，即 = ， = ， = ， 在 和 中， = = = ，
28、()， = ， = + = + ， 而= ， := ，即 = ( + ) 【解析】解：(1) = ， = 60， 是等边三角形， = 60， 点关于直线的对称点为点， ， = 180 60 90 = 30； 故答案为：30； (2)见答案 (3)见答案 (1)由 = ， = 60，可得 = 60，点关于直线的对称点为点，可得 ，即可得到答案； (2)根据题意补全图形即可； 由已知得 = ， = ， = = 60，从而可得 = ， ()，即可得 = ； (3)连接， 根据已知可证 ， = ， = ， 从而可得 ， = ， 又= ，即可得到 = ( + ) 本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键
29、是掌握有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 23.【答案】解：(1)设此抛物线的函数解析式为： = 2+ + ( 0)， 将(4,0)，(0,4)，(2,0)三点代入函数解析式得： 第 20 页，共 21 页 16 4 + = 0 = 44 + 2 + = 0 解得 =12 = 1 = 4， 所以此函数解析式为： =122+ 4； (2) 点的横坐标为，且点在这条抛物线上， 点的坐标为：(,122+ 4)， = + =12 4 (122 + 4) +12 4 () 12 4 4 = 2 2 + 8 2 8 = 2 4， = ( + 2)2+ 4， 4 0， 当 = 2时，有最大值为： =
30、4 + 8 = 4 答： = 2时有最大值 = 4 (3)设(,122+ 4) 当为边时，根据平行四边形的性质知/，且 = ， 的横坐标等于的横坐标， 又直线的解析式为 = ， 则(,) 由 = ，得| (122+ 4)| = 4， 解得 = 0，4，2 25 = 0不合题意，舍去 如图，当为对角线时，知与应该重合， = 4 四边形为平行四边形则 = = 4，纵坐标为4，代入 = 得出为(4,4)； 四边形为平行四边形则 = = 4，横坐标为4，代入 = 得出为(4,4)； 由此可得(4,4)或(2 + 25,2 25)或(2 25,2 + 25)或(4,4) 【解析】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法 (1)先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式 (2)设出点的坐标，利用 = + 即可进行解答； (3)当是平行四边形的边时，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当是对角线时，由图可知点与应该重合