1、 安徽省皖南四校安徽省皖南四校 2020-2021 学年学年八年级八年级下下期中数学试卷期中数学试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列式子中，一定属于二次根式的是（ ） A B C D 2下列运算，结果正确的是（ ） A B C D 3下列哪个方程是一元二次方程（ ） A3xy1 Bx2+12xy Cx22x3 Dx2+2y70 4用配方法解方程 x26x+70 时，方程可变形为（ ） A （x3）22 B （x6）22 C （x3）27 D （x3）216 5设方程 x22x+30 的两根分别是 x1，x2，则 x
2、1+x2的值为（ ） A2 B2 C3 D 62018 年，宣城市全年居民人均可支配收入 26112 元，2020 年全年居民人均可支配收入为 30746 元，设宣城市 2018 年至 2020 年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A26112（1+2x）30746 B26112（1+x）230746 C26112（12x）30746 D26112（1x）230746 7以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B1，1， C9，12，13 D， 8等腰三角形的底边长为 6，腰长是方程 x27x+120 的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
3、 A12 B14 C12 或 14 D15 9如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为 25， （x+y）249，用 x，y 表示直角三角形的两直角边（xy） ，下列选项中正确的是（ ） A小正方形面积为 4 Bx2+y25 Cx2y27 Dxy24 10定义新运算“a*b”对于任意实数 a，b，都有 a*b（a+b） （ab）1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3（4+3）（43）1716若 x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程，则它的根的情况为（ ） A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的
4、实数根 D没有实数根 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12计算： （） 13关于 x 的方程 5x2+2xm0 的一个根是 1，则 m 14若，则 a 的取值范围是 15 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为 x 尺，根据题意，可列方程为 16若实数 m、n 满足|m6|0，且 m、n 恰好是直角三角形
5、的两条边，则该直角三角形的斜边长为 三解答题（共三解答题（共 6 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）解方程：x25x+60 19 （8 分）一块四边形草地（如图所示四边形 ABCD） ，AB米，BC5 米，CDAD2 米，D90，求A 的度数 20 （10 分）王师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是 5000 元，四月份的盈利达到6050 元，且从今年二月到四月，每月盈利的增长率都相同 （1）求每月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？ 21 （10 分）如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要
6、在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取ABD120，BD400 米，D30那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A、C、E 三点在一直线上（1.732，结果精确到 1 米）？ 22 （12 分） 【问题提出】在 2020 年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班 50 名同学共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点 M1、M2、M3、M50分别表示第 1、2、3、50 名同学，把该班级人数 n
7、与视频通话次数 S 之间的关系用如图模型表示： 【问题解决】 （1）填写如图中第 5 个图中 S 的值为 （2）通过探索发现，通电话次数 S 与该班级人数 n 之间的关系式为 ，则当 n50 时，对应的 S （3）若该班全体女生相互之间共通话 190 次，求该班共有多少名女生？ 【问题拓展】 （4） 若该班数学兴趣小组的同学， 每两位同学之间互发一条微信问候， 小明统计全组共发送微信 110 条，则该班数学兴趣小组的人数是 人 参考答案解析参考答案解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列式子中，一定属于二次根式的是（
8、） A B C D 【分析】根据二次根式的定义判断即可 【解答】解：A 选项，被开方数不是非负数，没有意义，故该选项不符合题意； B 选项，被开方数不能保证 x2 是非负数，故该选项不符合题意； C 选项，是三次根式，故该选项不符合题意； D 选项，是二次根式，故该选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式 2下列运算，结果正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的加减法法则判断 A、B；根据二次根式的除法法则判断 C；根据二次根式的乘法法则判断 D 【解答】解：A、与不是同类二次根式，
9、不能合并，故本选项结果错误，不符合题意； B、4 与不能合并，故本选项结果错误，不符合题意； C、，故本选项结果错误，不符合题意； D、2，故本选项结果正确，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键 3下列哪个方程是一元二次方程（ ） A3xy1 Bx2+12xy Cx22x3 Dx2+2y70 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行分析即可 【解答】解：A该方程中含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B该方程中含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符
10、合题意； C该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D该方程中含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2 4用配方法解方程 x26x+70 时，方程可变形为（ ） A （x3）22 B （x6）22 C （x3）27 D （x3）216 【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可 【解答】解：x26x+70， x26x7， 则 x26x+97+9，即（x3）22
11、， 故选：A 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键 5设方程 x22x+30 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2的值为（ ） A2 B2 C3 D 【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可 【解答】解：由 x22x+30 可知，其二次项系数 a1，一次项系数 b2， 由根与系数的关系：x1+x22 故选：A 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1x2 62018 年，宣城市全年居民人均可支配收
12、入 26112 元，2020 年全年居民人均可支配收入为 30746 元，设宣城市 2018 年至 2020 年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A26112（1+2x）30746 B26112（1+x）230746 C26112（12x）30746 D26112（1x）230746 【分析】根据题意可得等量关系：2018 年全年居民人均可支配收入（1+增长率）22020 年全年居民人均可支配收入，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设宣城市 2018 年至 2020 年全年居民人均可支配收入的年平均增长率为 x， 由题意得：26112（1+x）230746，
13、故选：B 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 7以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B1，1， C9，12，13 D， 【分析】判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可 【解答】解：A、32+4252，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意； B、12+12（）2，该三角形符合勾股定理的逆定理，故
14、是直角三角形，故选项不符合题意； C、92+122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意； D、（）2+（）2（）2，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键 8等腰三角形的底边长为 6，腰长是方程 x27x+120 的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ） A12 B14 C12 或 14 D15 【分析】先利用因式分解法解方程得到 x14，x23，再根据三角形三边的关系得到
15、等腰三角形的腰长为 4，然后计算该等腰三角形的周长 【解答】解：x27x+120， （x4） （x3）0， x40 或 x30， 解得 x14，x23， 3+36，不符合三角形三边的关系，x3 舍去， 等腰三角形的腰长为 4， 该等腰三角形的周长为 44+614 故选：B 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三角形三边的关系 9如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为 25， （x+y）249，用 x，y 表示直角三角形的
16、两直角边（xy） ，下列选项中正确的是（ ） A小正方形面积为 4 Bx2+y25 Cx2y27 Dxy24 【分析】根据勾股定理解答即可 【解答】解：根据题意可得：x2+y225，故 B 错误， （x+y）249， 2xy24，故 D 错误， （xy）21，故 A 错误， x2y27，故 C 正确； 故选：C 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型 10定义新运算“a*b”对于任意实数 a，b，都有 a*b（a+b） （ab）1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3（4+3）（43）1716若 x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程
17、，则它的根的情况为（ ） A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【分析】利用新定义得到（x+k） （xk）1x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用0 可判断方程根的情况 【解答】解：x*kx（k 为实数）是关于 x 的方程， （x+k） （xk）1x， 整理得 x2xk210 （1）24（k21） 4k2+50， 方程有两个不相等的实数根 故选：C 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 二填空
18、题（本大题共二填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据二次根式的被开方数非负和分母不为 0，列出不等式组，求解不等式组即可得出答案 【解答】解：根据题意得：， 解得：x3， 故答案为：x3 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，注意所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零 12计算： （） 12 【分析】利用二次根式的除法法则运算 【解答】解：原式1 12 故答案为 12 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中
19、，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 13关于 x 的方程 5x2+2xm0 的一个根是 1，则 m 7 【分析】把 x1 代入方程 5x2+2xm0 得到一个关于 m 的方程，求出方程的解即可 【解答】解：把 x1 代入方程 5x2+2xm0，得 512+21m0， 解得 m7， 故答案为：7 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 14若，则 a 的取值范围是 a2021 【分析】根据二次根式的性质可知 a20210，得 a2021 【解答】解：由题意知：a20210， 解得：a2021， 故
20、答案为：a2021 【点评】本题考查了二次根式的性质，关键是根据性质得出 a20210 15 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为 x 尺，根据题意，可列方程为 （x3）2+82x2 【分析】设绳索长为 x 尺，根据勾股定理列出方程解答即可 【解答】解：设绳索长为 x 尺，可列方程为（x3）2+82x2， 故答案为： （x3）2+82x2 【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 16
21、若实数 m、n 满足|m6|0，且 m、n 恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 10 或 8 【分析】利用非负数的性质求出 m，n 的值，然后利用勾股定理解答；需要分类讨论：n 直角边和斜边两种情况 【解答】解：|m6|0，且|m6|0，0， m6，n8 当 m，n 是直角边时， 直角三角形的斜边10， 当 m8 是斜边时，斜边为 8， 故答案为：10 或 8 【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，根据非负数的性质求得 m、n 的值是解题的突破口 三解答题（共三解答题（共 6 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （6 分）计算： 【分析】利用平方差公式，二次根式的乘
22、法，零指数幂进行运算，再进行加减运算即可 【解答】解： 5 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，零指数幂，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 18 （6 分）解方程：x25x+60 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：x25x+60， （x2） （x3）0， 则 x20 或 x30， 解得 x12，x23 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 19 （8 分）一块四边形草地（如图所示四边形 ABCD） ，AB米，BC5 米，CDAD2 米，
23、D90，求A 的度数 【分析】连接 AC，根据等腰直角三角形的性质求出DACDCA45，根据勾股定理求出 AC，根据勾股定理的逆定理得出BAC90，再求出答案即可 【解答】解：连接 AC， CDAD2 米，D90， AC2（米） ，DACDCA45， AB米，BC5 米， AB2+AC2BC2， BAC90， DABDAC+BAC45+90135 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键 20 （10 分）王师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是 5000 元，四月份的盈利达到6050 元，且从今年
24、二月到四月，每月盈利的增长率都相同 （1）求每月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？ 【分析】 （1）设每月盈利的增长率为 x，根据等量关系：二月份盈利额（1+增长率）2四月份的盈利额列出方程求解即可 （2）五月份盈利四月份盈利（1+增长率） 【解答】解： （1）设每月盈利的增长率为 x，根据题意得： 5000（1+x）26050 解得：x110%，x2210%（不符合题意，舍去） 答：每月盈利的平均增长率为 10%； （2）6050（1+10%）6655（元） 答：按照这个增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到 6655 元 【点评】此题主要考查了一元
25、二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量（1x）2后来的量，其中增长用+，减少用，难度一般 21 （10 分）如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取ABD120，BD400 米，D30那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A、C、E 三点在一直线上（1.732，结果精确到 1 米）？ 【分析】由ABD120，可求出EBD60，再结合D30，可证BED90，根据含 30角的直角三角形的性质，可得 BEBD，从而求得 BE 的长，在 RtBDE 中，根据勾股定理，即可求出 DE 的长 【解答】解：ABD120，D30， A
26、ED1203090， 在 RtBDE 中，BD400m，D30， BEBD200m， DE200346（m） ， 答：另一边开挖点 E 离 D346m，正好使 A，C，E 三点在一直线上 【点评】本题主要考查了勾股定理、含 30角直角三角形的性质的应用 22 （12 分） 【问题提出】在 2020 年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班 50 名同学共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点 M1、M2、M3、
27、M50分别表示第 1、2、3、50 名同学，把该班级人数 n 与视频通话次数 S 之间的关系用如图模型表示： 【问题解决】 （1）填写如图中第 5 个图中 S 的值为 15 （2）通过探索发现，通电话次数 S 与该班级人数 n 之间的关系式为 s ，则当 n50 时，对应的 S 1225 （3）若该班全体女生相互之间共通话 190 次，求该班共有多少名女生？ 【问题拓展】 （4） 若该班数学兴趣小组的同学， 每两位同学之间互发一条微信问候， 小明统计全组共发送微信 110 条，则该班数学兴趣小组的人数是 11 人 【分析】 （1）根据图形即可得知； （2）由前面几个图形可以得出规律 S，然后将
28、 n50 代入即可； （3）设该班有 x 名女生，根据题意，列方程，解方程即可； （4）设该班数学兴趣小组有 m 人，根据题意列方程 m（m1）110，解方程即可 【解答】解： （1）根据图形可知 S15， 故答案为：15 （2）通过几个图形，可以得出规律：S， 当 n50 时，代入得 S1225 故答案为：S，1225 （3）设该班共有女生 x 名，根据题意， 得， 解得 x120，x219（不符合题意，舍去） ， 答：该班共有 20 名女生 （4）设该班数学兴趣小组有 m 人，根据题意， 得 m（m1）110， 解方程得 x111，x210（不符合题意，舍去） ， 故答案为：11 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，推出图形的规律并根据题意列方程是解决本题的关键