1、2020-2021 学年北京市顺义区学年北京市顺义区二校联考二校联考高二高二下期中数学试卷下期中数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 1 （4 分）直线xy+10 的倾斜角为（ ） A150 B120 C60 D30 2 （4 分）已知数列an中，a12，an+1an2，那么 a8等于（ ） A16 B12 C12 D16 3 （4 分）已知点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2，那么 M 点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2+2x30 Bx2+y22x30 Cx2+y2+2y30 Dx2+y22y30 4 （4 分
2、）某工厂对一批元件进行抽样检测经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于 93 至 105之间将抽出的元件的长度以 2 为组距分成 6 组：93，95） ，95，97） ，97，99） ，99，101） ，101，103） ，103，105，得到如图所示的频率分布直方图若长度在97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是（ ） A80% B11% C20% D14.5% 5 （4 分）甲骑自行车从 A 地到 B 地，途中要经过 4 个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到
3、第 3 个路口才首次遇到红灯的概率是（ ） A B C D 6 （4 分） 如图， 从上往下向一个球状空容器注水， 注水速度恒定不变， 直到 t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可能是（ ） A B C D 7 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 Sn 1 20 61 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A81 B27 C81 或 81 D27 或 27 8 （4 分）已知 Sn是等差数列an（nN*）的前 n 项和，且 S5S6S4，以下有四个命题： 数列a
4、n中的最大项为 S10数列an的公差 d0 S100S110 其中正确的序号是（ ） A B C D 9 （4 分）已知抛物线 C：x24y 上的两点分别为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且点 C（1，0） ，若直线 AB 与坐标轴不平行，则下列说法错误的是（ ） A存在以点 A 为直角顶点的 RtABC B若 y10，y20，则|AC|BC| CABC 可能是等边三角形 D当 A、B、C 三点共线时，则|AB|4 10 （4 分）已知 aR设函数 f（x）若关于 x 的不等式 f（x）0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A0，1 B0，2 C0，e D1，e 二、填空
5、题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）函数 f（x）xlnx 的导函数 f（x） 12 （5 分）已知双曲线y21，则其渐近线方程为 ，离心率为 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下“竹九节”问题，现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面 3 节的容积共 3L，下面 3 节的容积共 4L，则第 5 节的容积为 L，9 节竹总容积为 L 14 （5 分）直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂直，其中 A 点坐标为（2，2） ，则直线 l 的斜率等于 15（5 分） 已
6、知 f （x） a （x+b）（x+c） ， g （x） xf （x）（a0） ， 则下列命题中所有正确命题的序号为 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）的单调区间完全一致； 存在 a，b，cR，使得 f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点完全相同； 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）分别为奇函数，偶函数； 对任意 a，b，cR，恒有 f（x） ，g（x）的零点个数均为奇数 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分） 已知数列an是公差为 d 的等
7、差数列， 数列bn是公比为 q （q0） 的等比数列， 且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； （）设，求数列cn的前 n 项和 Sn 17 （13 分）某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各 50 人进行研究，对这 100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素 养 指 标x和y ， 制 成 如 图 ， 其 中 “ * ” 表 示 男 同 学 ，“ + ” 表 示 女 同 学 若 0 x0.6，则认定该同学为“初级水平” ，若 0.6x0.8，则认定该同学为“中级水平” ，若 0.8
8、x1，则认定该同学为“高级水平” ；若 y100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质” ，否则为“不具备明显艺术发展潜质” （1）从 50 名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率； （2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选 2 名，求选出的 2 名均为“高级水平”的概率； （3）试比较这 100 名同学中，男、女生指标 y 的方差的大小（只需写出结论） 18 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点 （
9、）求证：C1MB1D； （）求二面角 BB1ED 的正弦值； （）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值 19 （15 分）已知椭圆+1（ab0）的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，点 Q 是直线 l 上异于 F2的一点，且满足，求证：点 Q 的横坐标是定值 20 （15 分）已知函数 f（x）axex（aR） （）如果曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 2，求此时的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）设，求证：当 x0
10、，1时，f（x）g（x）恒成立 21 （14 分）已知an是无穷数列，且 an0，给出该数列的两个性质： 对于an中任意两项 ai，aj（ij） ，在an中都存在一项 am，使得 am； 对于an中任意项 an（n3） ，在an中都存在两项 ak，al（kl） ，使得 an （）判断数列2n和数列2n是否满足性质（直接写出答案即可） ； （）若 an32n（n1，2，3，） ，判断数列an是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若an是递增数列，a11，且同时满足性质和性质，证明：数列an为等比数列 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分
11、，共分，共 40 分分. 1 （4 分）直线xy+10 的倾斜角为（ ） A150 B120 C60 D30 【解答】解：由直线可知：直线的斜率，解得 600， 故选：C 2 （4 分）已知数列an中，a12，an+1an2，那么 a8等于（ ） A16 B12 C12 D16 【解答】解：数列an中，a12，an+1an2，即 an+1an2， 数列an为等差数列，公差为2 那么 a822712 故选：B 3 （4 分）已知点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2，那么 M 点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2+2x30 Bx2+y22x30 Cx2+y2+2y30 Dx2+y22
12、y30 【解答】解：设 M（x，y） ，点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2， 可得： （x+1）2+（y0）24， 即：x2+y2+2x30， 故选：A 4 （4 分）某工厂对一批元件进行抽样检测经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于 93 至 105之间将抽出的元件的长度以 2 为组距分成 6 组：93，95） ，95，97） ，97，99） ，99，101） ，101，103） ，103，105，得到如图所示的频率分布直方图若长度在97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是（ ） A80% B11% C20% D14.5% 【解答
13、】解：长度在97，103）内的元件为合格品， 根据频率分布直方图得不合格的频率为： （0.0275+0.0275+0.045）20.2， 估计这批元件的不合格率是 0.2100%20% 故选：C 5 （4 分）甲骑自行车从 A 地到 B 地，途中要经过 4 个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第 3 个路口才首次遇到红灯的概率是（ ） A B C D 【解答】解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是 1， 那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯， 直到第 3
14、 个路口才首次遇到红灯的概率是， 故选：C 6 （4 分） 如图， 从上往下向一个球状空容器注水， 注水速度恒定不变， 直到 t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为 h0水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可能是（ ） A B C D 【解答】解：容器是球形，两头体积小，中间体积大， 在一开始单位时间内体积的增长速度比较慢，超过球心后体积的增长率变快， 故对应的图象是 C， 故选：C 7 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 Sn 1 20 61 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A81 B27 C81
15、 或 81 D27 或 27 【解答】解：由题意得，等比数列an中， 故 q481，q3， 因为 S10，S40， 所以 q3， 故 a4（3）327 故选：B 8 （4 分）已知 Sn是等差数列an（nN*）的前 n 项和，且 S5S6S4，以下有四个命题： 数列an中的最大项为 S10数列an的公差 d0 S100S110 其中正确的序号是（ ） A B C D 【解答】解：S5S6S4，a50，a60，a5+a60， d0，数列an中的最大项为 S5 S105（a5+a6）0，S1111a60 因此只有正确 故选：B 9 （4 分）已知抛物线 C：x24y 上的两点分别为 A（x1，y1
16、） ，B（x2，y2） ，且点 C（1，0） ，若直线 AB 与坐标轴不平行，则下列说法错误的是（ ） A存在以点 A 为直角顶点的 RtABC B若 y10，y20，则|AC|BC| CABC 可能是等边三角形 D当 A、B、C 三点共线时，则|AB|4 【解答】解：由题意可知，直线 AB 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 ykx+b， 联立方程组，可得 k2x2+（2kb4）x+b20， 故 对于 A，若存在以 A 为直角顶点的ABC，则 kABkAC1， 因为 kABk，则， 所以，又 y1kx1+b， 故，解得， 所以只要 1bk0，即 bk1 即可，故选项 A 正确； 对
17、于 B，若 y10，y20，由抛物线的定义可得|AB|x1+1，|BC|x2+1， 因为 x1x2，所以|AC|BC|，故选项 B 正确； 对于 C，若 ABBCAC，则 x1x2，故直线 AB 与 y 轴平行，与题意矛盾，故选项 C 错误； 对于 D，若 A，B，C，三点共线，则有 bk， 所以|AB|AC|+|BC|（x1+x2）+2， 因为 k0，所以|AB|4，故选项 D 正确 故选：C 10 （4 分）已知 aR设函数 f（x）若关于 x 的不等式 f（x）0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ） A0，1 B0，2 C0，e D1，e 【解答】解：当 x1 时，f（1）12
18、a+2a10 恒成立； 当 x1 时，f（x）x22ax+2a02a恒成立， 令 g（x）（1x+2）（22）0， 2ag（x）max0，a0 当 x1 时，f（x）xalnx0a恒成立， 令 h（x），则 h（x）， 当 xe 时，h（x）0，h（x）递增， 当 1xe 时，h（x）0，h（x）递减， xe 时，h（x）取得最小值 h（e）e， ah（x）e， 综上 a 的取值范围是0，e 故选：C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）函数 f（x）xlnx 的导函数 f（x） lnx+1 【解答】解：f（x）（x）lnx
19、+x（lnx）lnx+1， 故答案为：lnx+1 12 （5 分）已知双曲线y21，则其渐近线方程为 ，离心率为 【解答】解：双曲线的标准方程得：，a2，b1， c2a2+b25，c 则其渐近线方程为 ， 离心率：， 故答案为：； 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下“竹九节”问题，现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面 3 节的容积共 3L，下面 3 节的容积共 4L，则第 5 节的容积为 L，9节竹总容积为 L 【解答】解：设等差数列为an，公差 d0， 由题意得，a1+a2+a33，a7+a8+a94， 所以 a1+a2+a3+a7+a8+a96a57，
20、 所以 a5， S99a5 故答案为：； 14 （5 分）直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂直，其中 A 点坐标为（2，2） ，则直线 l 的斜率等于 【解答】解：对抛物线，yx，A 点坐标为（2，2） ，kA2，抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂直，所以 kB，所以 B（，） ， 所以直线 AB 方程的斜率为： 故答案为： 15 （5 分）已知 f（x）a（x+b） （x+c） ，g（x）xf（x） （a0） ，则下列命题中所有正确命题的序号为 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）的单调区间完全一致； 存在 a，b，cR，使得 f（x）+
21、g（x） ，f（x）g（x）的零点完全相同； 存在 a，b，cR，使得 f（x） ，g（x）分别为奇函数，偶函数； 对任意 a，b，cR，恒有 f（x） ，g（x）的零点个数均为奇数 【解答】解：f（x）a（x+b） （x+c） ，g（x）xf（x）ax（x+b） （x+c） ， （a0） ， f（x）为二次函数，有两个单调区间；g（x）为三次函数，存在三个单调区间，故错误； f（x）+g（x）a（1+x） （x+b） （x+c） ，f（x）g（x）a（1x） （x+b） （x+c） ， 当 b1，c1 时，f（x）+g（x） ，f（x）g（x）的零点为 1，1，故正确； f（x）a（2x+b
22、+c） ，g（x）a3x2+2（b+c）x+bc， 当 b+c0，f（x）2ax 为奇函数，g（x）a3x2+bc为偶函数，故正确； 当 b1，c0 时，f（x）的零点为，g（x）的零点为 0 和，故错误 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分） 已知数列an是公差为 d 的等差数列， 数列bn是公比为 q （q0） 的等比数列， 且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； （）设，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解：
23、（）因为数列an是公差为 d 的等差数列， 已知 a12，a4+a525， 所以 a1+3d+a1+4d25，所以 d3， 所以 an2+（n1）33n1 所以 a38 因为 a3b34所以所以 因为 b12，q0，所以 所以 （）因为，且， 所以数列cn是首项为 4，公比为等比数列， 所以 Snc1+c2+cn 17 （13 分）某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各 50 人进行研究，对这 100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素 养 指 标x和y ， 制 成 如 图 ， 其 中 “ * ” 表 示 男 同 学
24、，“ + ” 表 示 女 同 学 若 0 x0.6，则认定该同学为“初级水平” ，若 0.6x0.8，则认定该同学为“中级水平” ，若 0.8x1，则认定该同学为“高级水平” ；若 y100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质” ，否则为“不具备明显艺术发展潜质” （1）从 50 名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率； （2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选 2 名，求选出的 2 名均为“高级水平”的概率； （3）试比较这 100 名同学中，男、女生指标 y 的方差的大小（只需写出结论） 【解答】解： （1）由图知，在 50 名参加测试的女同学中
25、，指标 x0.6 的有 15 人， 所以，从 50 名女同学中随机选出一名， 该名同学为“初级水平”的概率为 p （2）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有 6 人， 其中“中级水平”有 3 人，分别记为 A1，A2，A3 “高级水平”有 3 人，分别记为 B1，B2，B3，所有可能的结果组成的基本事件有： A1，A2，A1，A3，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2， A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个， 其中两人均为“高级水平”的共有 3 个， 所以，所选 2 人均为“高级水平”的概率 p
26、（3）由图可知，这 100 名同学中男同学指标 y 的方差大于女同学指标 y 的方差 18 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点 （）求证：C1MB1D； （）求二面角 BB1ED 的正弦值； （）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值 【解答】解：以 C 为原点，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C1（0，0，3） ， A1（2，0
27、，3） ，B1（0，2，3） ，D（2，0，1） ，E（0，0，2） ，M（1，1，3） ， （）证明：依题意，（1，1，0） ，（2，2，2） ， 22+00，C1MB1D； （）依题意，（2，0，0）是平面 BB1E 的一个法向量， （0，2，1） ，（2，0，1） ， 设 （x，y，z）为平面 DB1E 的法向量， 则，即，不妨设 x1，则 （1，1，2） ， cos， ， sin， ， 二面角 BB1ED 的正弦值； （）依题意，（2，2，0） ， 由（）知， （1，1，2）为平面 DB1E 的一个法向量， cos， ， 直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值为 19 （15 分
28、）已知椭圆+1（ab0）的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点，点 Q 是直线 l 上异于 F2的一点，且满足，求证：点 Q 的横坐标是定值 【解答】解： （）因为椭圆的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，所以 c1（2 分） 因为离心率为，所以所以 b1（4 分） 所以椭圆的方程是（5 分） （）证明：因为 x1x2，故直线 AB 存在斜率， 设直线 l 斜率为 k，所以直线 l 方程可设为：yk（x1） ， 消去 y，整理得（1+2k2）x24k2x+2k22
29、0 所以，（8 分） 因为点 Q 在直线 l 上，所以设点 Q 的坐标是（x，y） ，则有 yk（x1） ， 因为，所以，（11 分） 所以（x+1） （x1+x2）2x1 x22x0 所以2，因为 yk（x1） ，所以 y2k，（15 分） 所以点 Q 的坐标是（2，k） 所以点 Q 在定直线 x2 上 20 （15 分）已知函数 f（x）axex（aR） （）如果曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 2，求此时的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）设，求证：当 x0，1时，f（x）g（x）恒成立 【解答】解： （）f（x）aex，由题意知，f（1）2，ae2
30、，a2+e 又 f（1）ae2，切线方程为 y22（x1） ，即 y2x； （）函数 f（x）的定义域为 R，f（x）aex， 当 a0 时，f（x）aex0 恒成立，函数在 R 上单调递减； 当 a0 时，由 f（x）aex0，得 xlna，此时函数 f（x）递增， 由 f（x）aex0，得 xlna，此时函数 f（x）递减 综上，当 a0 时，函数 f （x）的单调递减区间为（，+） ，无单调增区间； 当 a0 时，函数 f （x）的单调递增区间为（，lna） ，单调递减区间为（lna，+） ； 证明： （）设 h（x）f （x）g（x），则 h（x）3xex， 设 H（x）h（x） ，则
31、 H（x）3ex x0，1，ex1，e，H（x）3ex0 恒成立 当 x0，1时，H（x）h（x）单调递增 又h（0）10，h（1）3e0， 存在唯一的 x0（0，1） ，使得 h（x0）0 列表如下： x 0 （0，x0） x0 （x0，1） 1 h（x） 1 0 + 3e h（x） 0 极小值 当 x0，1时， 当 x0，1时，h（x）0，则有 f（x）g（x）0， 即 f（x）g（x）恒成立 21 （14 分）已知an是无穷数列，且 an0，给出该数列的两个性质： 对于an中任意两项 ai，aj（ij） ，在an中都存在一项 am，使得 am； 对于an中任意项 an（n3） ，在an中
32、都存在两项 ak，al（kl） ，使得 an （）判断数列2n和数列2n是否满足性质（直接写出答案即可） ； （）若 an32n（n1，2，3，） ，判断数列an是否同时满足性质和性质，说明理由； （）若an是递增数列，a11，且同时满足性质和性质，证明：数列an为等比数列 【解答】解： （）数列2n不满足性质；数列2n满足性质， （）对于an中任意两项 ai，aj（ij） ， 取 m2ji，满足，从而数列an满足性质； 对于an中任意项 an（n3） ，记 alan1，akan2（kl）显然有，从而数列an满足性质 综上，数列an同时满足性质和性质 （）an是递增数列，a11，则 a21，根据性质， 可以证明； 另一个方面，我们用反证法证明，； 假设（t1）是an中最小的不能写成 a2的整数指数幂的项，根据性质，存在两项 ak，al（kl） ，使得， 我们记，其中 1pq，可知：， 易知 t2qp（qp）+qq0， 根据（t1）的最小性可知：p，qN*，pq， 因此可得到 t2qpN*，与 t 不是正整数矛盾 综上所述，an是首项为 1，公比为 a2的等比数列