1、2020-2021 学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（B） 一选择题（每小题一选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1 （4 分）函数 f（x）x2在 x1 处的导数为（ ） A2 B1 C1 D2 2 （4 分）已知函数 f（x）xsinx，那么 f（x）（ ） Acosx Bsinxxcosx Csinx+xcosx Dsinx 3 （4 分）为迎接 2022 年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道
2、速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶 5 个活动项目，每人限报 1 个项目有 3 位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ） A53 B35 CC DA 4 （4 分）在（3x2）5的展开式中，各项系数的和为（ ） A0 B1 C55 D55 5 （4 分）某物体在运动过程中，其位移 h（t） （单位：m）与时间 t（单位：s）的函数关系为 h（t）t2+1当t0 时，该物体在时间段1，1+t内的平均速度为（ ） A2m/s Btm/s C （ （t）2+1）m/s D （2+t）m/s 6 （4 分）从含有 3 件次品的 10 件新产品中，任意抽取 5 件进行检验，抽出的产品中恰好
3、有 2 件次品的抽法种数为（ ） AA A BA A CC C DC C 7 （4 分）学校准备在周二上午第 1、2、3、4 节举行化学、生物、政治、地理共 4 科选考科目讲座，要求生物不能排在第 1 节，政治不能排在第 4 节，则不同的安排方案的种数为（ ） A12 B14 C20 D24 8 （4 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） Af（1）f（2）f（3） Bf（1）f（3）f（2） Cf（3）f（2）f（1） Df（3）f（1）f（2） 9 （4 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） Af（a）0 Bf（x）没有极大值 C
4、xb 时，f（x）有极大值 Dxc 时，f（x）有极小值 10 （4 分）将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒设方盒的容积为 V（x） ，则下列结论错误的是（ ） AV（x）（a2x）2x（x（0，） ） BV（x）12x28ax+a2 CV（x）在区间上单调递增 DV（x）在时取得最大值 二填空题（每小题二填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知函数 f（x）e2x，那么 f（x） 12 （4 分）已知函数 f（x）x24x+2，且 f（x0）2，那么 x0的值为 13 （4 分）在（x+）4的展开式中，常数项为
5、 14 （4 分）一名同学有 3 本不同的数学书，2 本不同的物理书现将这些书全部放在一个单层的书架上，并且要求同类的书不分开，则不同放法有 种 （结果用数字作答） 15 （4 分）从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为 （结果用数字作答） 16 （4 分）已知函数 f（x）（x+1）ex，那么 f（x）的单调递减区间为 ；如果方程 f（x）a 有两个解，那么实数 a 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （7 分）已知曲线
6、 C：f（x）x3+x （）求 f（1）的值； （）求曲线 C 在点 P（1，f（1） ）处的切线方程 18 （10 分）已知函数 f（x）lnx+ （）求函数 f（x）的单调区间； （）求函数 f（x）在区间，e上的最大值和最小值 19 （8 分）某传统文化学习小组有 7 名同学，其中男生 4 名，女生 3 名现要从中选出 4 名同学参加学校举行的汇报展示活动 （）如果要求选出的 4 名同学中，男生、女生各有 2 名，那么有多少种不同的选法？（结果用数字作答） （）如果要求选出的 4 名同学分别参加国学、书法、绘画、茶艺 4 种不同的项目，且参加茶艺的同学必须是女生，那么有多少种不同的选法？
7、（结果用数字作答） 20 （11 分）已知函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2 （）求 a，b 的值； （）证明：f（x）exx 2020-2021 学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（B） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1 （4 分）函数 f（x）x2在 x1 处的导数为（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：f（x）2x， f（1）2 故选：D 2 （4 分）
8、已知函数 f（x）xsinx，那么 f（x）（ ） Acosx Bsinxxcosx Csinx+xcosx Dsinx 【解答】解：f（x）xsinx， f（x）sinx+xcosx 故选：C 3 （4 分）为迎接 2022 年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶 5 个活动项目，每人限报 1 个项目有 3 位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ） A53 B35 CC DA 【解答】解：根据题意，每人限报 1 个项目，有 3 位同学准备参加该活动， 则每人都有 5 种报名方法，则 53种报名方法，
9、故选：A 4 （4 分）在（3x2）5的展开式中，各项系数的和为（ ） A0 B1 C55 D55 【解答】解：令 x1，可得各项系数的和为 1 故选：B 5 （4 分）某物体在运动过程中，其位移 h（t） （单位：m）与时间 t（单位：s）的函数关系为 h（t）t2+1当t0 时，该物体在时间段1，1+t内的平均速度为（ ） A2m/s Btm/s C （ （t）2+1）m/s D （2+t）m/s 【解答】解：由 h（1+t）h（1）（1+t）2+1（1+1）t2+2t， 故 t+2， 故选：D 6 （4 分）从含有 3 件次品的 10 件新产品中，任意抽取 5 件进行检验，抽出的产品中恰
10、好有 2 件次品的抽法种数为（ ） AA A BA A CC C DC C 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、从 3 件次品中抽取 2 件次品，有 C32种抽取方法， 、从 7 件正品中抽取 3 件正品，有 C73种抽取方法， 则抽取的 5 件产品中恰好有 2 件次品的抽法有 C32C73种； 故选：C 7 （4 分）学校准备在周二上午第 1、2、3、4 节举行化学、生物、政治、地理共 4 科选考科目讲座，要求生物不能排在第 1 节，政治不能排在第 4 节，则不同的安排方案的种数为（ ） A12 B14 C20 D24 【解答】解：若生物排在第 4 节，则有 A336 种， 若生物
11、不排在第 4 节，则有 A21A21A228 种， 根据分类计数原理共有 6+814 种， 故选：B 8 （4 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） Af（1）f（2）f（3） Bf（1）f（3）f（2） Cf（3）f（2）f（1） Df（3）f（1）f（2） 【解答】解：f（x0）表示函数 f（x）在 xx0处的切线斜率， 由图可知，f（1）f（2）f（3） 故选：A 9 （4 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） Af（a）0 Bf（x）没有极大值 Cxb 时，f（x）有极大值 Dxc 时，f（x）有极小值 【解答】解：如图所示，
12、设函数 yf（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0） 由图象可知：f（a）f（d）f（c）0 xa 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；axd 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增；dxc 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；cx 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增 可得：a 是函数 f（x）的极小值点，d 是函数 f（x）的极大值点，c 是函数 f（x）的极小值点 b 不是函数 f（x）的极值点，f（a）0 不一定成立 故选：D 10 （4 分）将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒设方盒的容积为 V（
13、x） ，则下列结论错误的是（ ） AV（x）（a2x）2x（x（0，） ） BV（x）12x28ax+a2 CV（x）在区间上单调递增 DV（x）在时取得最大值 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 ， 折 成 无 盖 盒 子 的 底 面 是 边 长 为 a 2x 的 正 方 形 ， 高 为 x ， 则，选项 A 正确； 由 V（x）4x34ax2+a2x 得，V（x）12x28ax+a2，选项 B 正确； 令 V（x）0，解得，令 V（x）0，解得，故 V（x）在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值，选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：C 二填空题（每小题二填空题（每小题 4 分，共分，
14、共 24 分）分） 11 （4 分）已知函数 f（x）e2x，那么 f（x） 2e2x 【解答】解：f（x）e2x，f（x）2e2x 故答案为：2e2x 12 （4 分）已知函数 f（x）x24x+2，且 f（x0）2，那么 x0的值为 3 【解答】解：f（x）2x4， f（x0）2x042，解得 x03 故答案为：3 13 （4 分）在（x+）4的展开式中，常数项为 6 【解答】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为： Tr+1x4rx42r， 令 42r0，解得 r2； 所以展开式的常数项为6 故答案为：6 14 （4 分）一名同学有 3 本不同的数学书，2 本不同的物理书现将这些书全部放
15、在一个单层的书架上，并且要求同类的书不分开，则不同放法有 24 种 （结果用数字作答） 【解答】解：分 3 步分析： 、将 3 本数学书看成 1 个整体，考虑其顺序有 A33种情况， 、将 2 本物理书看成 1 个整体，考虑其顺序有 A22种情况， 、将数学书、物理书进行全排列，有 A22种情况， 则同类的书不分开，则不同放法有 A33A22A2224， 故答案为：24 15 （4 分）从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为 28 （结果用数字作答） 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 从 0，2，4 中任取 2 个数
16、字中不含 0，其取法有 1 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种， 将选出的 3 个数字全排列，组成三位数，有 A336 种情况， 此时有 2612 个没有重复数字的三位数， 从 0，2，4 中任取 2 个数字中含有 0，其取法有 2 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种， 用选出的 3 个数字组成三位数，有 A3324 种情况， 此时有 22416 个没有重复数字的三位数， 故有 12+1628 个符合题意的三位数； 故答案为：28 16 （4 分）已知函数 f（x）（x+1）ex，那么 f（x）的单调递减区间为 （，2） ；如果方程 f（x）a 有两个解，那
17、么实数 a 的取值范围是 （，0） 【解答】解：f（x）（x+1）ex， f（x）（x+2）ex， 令 f（x）0，解得：x2， 令 f（x）0，解得：x2， 故 f（x）的递减区间是（，2） ，递增区间是（2，+） ， 故 f（x）minf（2），而 x时，f（x）0，x+时，f（x）+， 画出函数 f（x）的图像，如图示： ， 如果方程 f（x）a 有两个解， 则 ya 和 yf（x）的图像有 2 个交点， 故 a 的取值范围是（，0） ， 故答案为： （，2） ， （，0） 三解答题（共三解答题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明
18、过程） 17 （7 分）已知曲线 C：f（x）x3+x （）求 f（1）的值； （）求曲线 C 在点 P（1，f（1） ）处的切线方程 【解答】解： （）由于 f（x）x3+x，故 f（x）3x2+1， 所以 f（1）312+14 （）因为 kf（1）4，f（1）13+12， 所以，切线方程为 y24（x1） ， 即 4xy20 18 （10 分）已知函数 f（x）lnx+ （）求函数 f（x）的单调区间； （）求函数 f（x）在区间，e上的最大值和最小值 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） f（x） 令 f（x）0，解得 x1 列表如下： x （0，1） 1 （1，+） f
19、（x） 0 + f（x） 单调递减 1 单调递增 所以，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增 （）由（）可知，f（x）在区间上单调递减， 在区间1，e上单调递增 因为 f（1）1， 所以，时，f（x）有最大值 e1；x1 时，f（x）有最小值 1 19 （8 分）某传统文化学习小组有 7 名同学，其中男生 4 名，女生 3 名现要从中选出 4 名同学参加学校举行的汇报展示活动 （）如果要求选出的 4 名同学中，男生、女生各有 2 名，那么有多少种不同的选法？（结果用数字作答） （）如果要求选出的 4 名同学分别参加国学、书法、绘画、茶艺 4 种不同的项目，且参加茶艺的
20、同学必须是女生，那么有多少种不同的选法？（结果用数字作答） 【解答】解： （）从 4 名男生中选取 2 名男生的选法有 C426 种，从 3 名女生中选取 2 名女生的选法有 C323 种， 因此，所求的不同选法有 6318 种 （）从 3 名女生中选取 1 名女生参加茶艺项目，有 A313 种选法， 从余下的 6 名同学中选取 3 名同学分别参加国学、书法、绘画 3 种项目，有 A63120 种选法， 因此，所求的不同选法有 3120360 种 20 （11 分）已知函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2 （）求 a，b 的值； （）证明：f（x）exx 【解答】 （）解：f（x）aex+b， 函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2， f（0）a+b0，f（0）a+12， 解得 a1，b1 经检验，a1，b1 符合题意 （）证明：由（）可知，f（x）exx+1 要证 f（x）exx 只需证：exx+1exx 即 exex+10 令 g（x）exex+1，则 g（x）exe 令 g（x）0，解得 x1 列表如下： x （，1） 1 （1，+） g（x） 0 + g（x） 单调递减 1 单调递增 可得：x1 时，g（x）有最小值 g（1）ee+110 故 f（x）exx 成立