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2020-2021学年北京市房山区高二下期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年北京市房山区高二(下)期中数学试卷学年北京市房山区高二(下)期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1 (5 分)8,2 的等差中项是( ) A5 B4 C5 D4 2 (5 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,且 Snn2+1,则 a5( ) A26 B19 C11 D9 3 (5 分)下列结论正确的是( ) A若 ysinx,则 ycosx B若 y,则 y C若 ycosx,则 ysinx D若 y

2、e,则 ye 4 (5 分)已知函数 f(x)(2x1)3,则 f(1)( ) A8 B6 C3 D1 5 (5 分)若 1,a,b,c,4 成等比数列,则 abc( ) A16 B8 C8 D8 6 (5 分)生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约 10%的能量能够流到下一个营养级在 H1H2H3这个生物链中,若能使 H3获得 10kJ 的能量,则需 H1提供的能量为( ) A102kJ B101kJ C102kJ D103kJ 7 (5 分)已知an为等比数列,下列结论中正确的是( ) Aa3+a52a4 B若 a3a5,则 a1a2 C若 a3a5,则 a5a7 Da4

3、8 (5 分)若函数 f(x)x2mx+10 在(2,1)上是减函数,则实数 m 的取值范围是( ) A2,+) B4,+) C (,2 D (,4 9 (5 分)直线 y5x+b 是曲线 yx3+2x+1 的一条切线,则实数 b( ) A1 或 1 B1 或 3 C1 D3 10 (5 分)已知函数 f(x)(x1)2ex,下列结论中错误的是( ) A函数 f(x)有零点 B函数 f(x)有极大值,也有极小值 C函数 f(x)既无最大值,也无最小值 D函数 f(x)的图象与直线 y1 有 3 个交点 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 1

4、1(5 分) 设某质点的位移 xm 与时间 ts 的关系是 xt2+4t, 则质点在第 3s 时的瞬时速度等于 m/s 12 (5 分)函数 f(x)的定义域为0,4,函数 f(x)与 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调递增区间为 13 (5 分)写出一个公比 q的递增等比数列的通项公式 14 (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f(x)(xa) (x2) ,若函数 f(x)无极值,则 a ;若 x2 是 f(x)的极小值点,则 a 的取值范围是 15 (5 分)设集合 Ax|x4n3,nN*,Bx|x3n1,nN*,把集合 AB 中的元素按从小到大依次排

5、列,构成数列an,则 a2 ,数列an的前 50 项和 S50 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 75 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16 (13 分)已知函数 f(x)x3x23x+1 ()求函数 f(x)的单调区间; ()求函数 f(x)的极值 17 (13 分)已知数列an满足 a11,2,等差数列bn满足 b1a3,b2a1 ()求数列an,bn的通项公式; ()求数列an+bn的前 n 项和 18 (12 分)已知an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a43 再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知,求: (

6、)数列an的通项公式; ()Sn的最小值,并求 Sn取得最小值时 n 的值 条件:S424; 条件:a12a3 19 (12 分)已知数列an中,a11 且 an+1 ()求数列an的第 2,3,4 项; ()根据()的计算结果,猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法进行证明 20 (12 分)某公司销售某种产品的经验表明,该产品每日销售量 Q(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 Q+10(x6)2,其中 3x6该产品的成本为 3 元/千克 ()写出该产品每千克的利润(用含 x 的代数式表示) ; ()将公司每日销售该商品所获得的利润 y 表示为销售价格 x 的函数; ()

7、试确定 x 的值,使每日销售该商品所获得的利润最大 21 (13 分)已知函数 f(x)lnx+ax(aR) ()当 a1 时,求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程; ()求函数 f(x)的单调区间; ()若存在 x0,使得 f(x0)0,求 a 的取值范围 2020-2021 学年北京市房山区高二(下)期中数学试卷学年北京市房山区高二(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1 (5

8、 分)8,2 的等差中项是( ) A5 B4 C5 D4 【解答】解:根据等差中项的性质,可得 8,2 的等差中项是5, 故选:C 2 (5 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,且 Snn2+1,则 a5( ) A26 B19 C11 D9 【解答】解:根据题意,数列an中 Snn2+1, 则 a5S5S4(25+1)(16+1)9, 故选:D 3 (5 分)下列结论正确的是( ) A若 ysinx,则 ycosx B若 y,则 y C若 ycosx,则 ysinx D若 ye,则 ye 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,ysinx,ycosx,A 正确; 对于 B,y,则 y

9、,B 错误; 对于 C,ycosx,则 ysinx,C 错误; 对于 D,ye,则 y0,D 错误; 故选:A 4 (5 分)已知函数 f(x)(2x1)3,则 f(1)( ) A8 B6 C3 D1 【解答】解:根据题意,函数 f(x)(2x1)3,则 f(x)6(2x1)2, 则 f(1)6(21)26, 故选:B 5 (5 分)若 1,a,b,c,4 成等比数列,则 abc( ) A16 B8 C8 D8 【解答】解:若 1,a,b,c,4 成等比数列,b2ac14, b2, (负不合题意,奇数项符号相同) , 则 abc248, 故选:B 6 (5 分)生物学指出:生态系统中,在输入一

10、个营养级的能量中,大约 10%的能量能够流到下一个营养级在 H1H2H3这个生物链中,若能使 H3获得 10kJ 的能量,则需 H1提供的能量为( ) A102kJ B101kJ C102kJ D103kJ 【解答】解:根据题意可知:能量流动法则里表明能量的效率大约是 10%, 如果要使 H3获得 10kJ 能量, 则 H1(10%)2H3,解得 H1103KJ, 故选:D 7 (5 分)已知an为等比数列,下列结论中正确的是( ) Aa3+a52a4 B若 a3a5,则 a1a2 C若 a3a5,则 a5a7 Da4 【解答】解:对于 A:若 a31,a42,a54,则 a3+a52a4不成

11、立,故 A 错误; 对于 B:若 a3a5,则 a1q2a1q4,解得 q1,此时 a1a2不一定成立,故 B 错误; 对于 C:若 a3a5,则 a3q2a5q2,此时 a5a7,故 C 正确; 对于 D:a4,故 D 错误; 故选:C 8 (5 分)若函数 f(x)x2mx+10 在(2,1)上是减函数,则实数 m 的取值范围是( ) A2,+) B4,+) C (,2 D (,4 【解答】解;因为 f(x)x2mx+10 在(2,1)上是减函数, 所以, 解得 m2 故选:A 9 (5 分)直线 y5x+b 是曲线 yx3+2x+1 的一条切线,则实数 b( ) A1 或 1 B1 或

12、3 C1 D3 【解答】解:设切点 M(m,n) ,y3x2+2, 则 3m2+25,解得 m1 或1; 若 m1,则 n5+b13+21+14b1; 若 m1,则 n5+b(1)3+2(1)+12b3; 综上所述,b1 或 3, 故选:B 10 (5 分)已知函数 f(x)(x1)2ex,下列结论中错误的是( ) A函数 f(x)有零点 B函数 f(x)有极大值,也有极小值 C函数 f(x)既无最大值,也无最小值 D函数 f(x)的图象与直线 y1 有 3 个交点 【解答】解:对于 Af(1)0,函数 f(x)有零点,因此 A 正确 对于 BC令 f(x)(x+1) (x1)ex0,解得 x

13、1 或 1 可得函数 f(x)在(,1)上单调递增,在(1,1)上单调递减, 在(1,+)上单调递增,因此 x1 是函数 f(x)的极大值点,x1 是函数 f(x)的极小值点, 因此函数 f(x)有极小值,也有极大值,因此 B 正确,C 不正确 对于 D由上面可知:x1 是函数 f(x)的极大值点, x1 是函数 f(x)的极小值点,可得极大值 f(1)1,极小值 f(1)0, 又 x时,f(x)0;x+时,f(x)+ 函数 f(x)的图象与直线 y1 有 3 个交点,因此 D 正确 故选:C 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5

14、 分) 设某质点的位移 xm 与时间 ts 的关系是 xt2+4t, 则质点在第 3s 时的瞬时速度等于 10 m/s 【解答】解:xt2+4t, x2t+4, 则 t3 时,x23+410, 故答案为:10 12 (5 分)函数 f(x)的定义域为0,4,函数 f(x)与 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调递增区间为 (2,4 【解答】解:若 f(x)的图像为虚线,则 f(x)的图像为实线, 由 f(x)0,得:x3,故 f(x)在(3,4)递增,与 f(x)的实线不符, 故不成立; 若 f(x)的图像为实线,则 f(x)的图像为虚线, 由 f(x)0,得:x2,故 f(x)在(

15、2,4)递增,与 f(x)的图像为虚线相符, 故成立; 综上:f(x)在(2,4递增, 故答案为: (2,4 13 (5 分)写出一个公比 q的递增等比数列的通项公式 an()n, (首项为负数即可) 【解答】解:若等比数列为递增的,由于公比 q,则首项为负数即可,则 an()n, 故答案为:an()n, (首项为负数即可) 14 (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f(x)(xa) (x2) ,若函数 f(x)无极值,则 a 2 ;若 x2 是 f(x)的极小值点,则 a 的取值范围是 (,2) 【解答】解:函数 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f(x)(

16、xa) (x2) , 由函数 f(x)无极值,则 f(x)0 恒成立,可得 a2 令 f(x)(xa) (x2)0,解得 xa 或 2 若 x2 是 f(x)的极小值点,则 a2 则 a 的取值范围是(,2) 故答案为:2, (,2) 15 (5 分)设集合 Ax|x4n3,nN*,Bx|x3n1,nN*,把集合 AB 中的元素按从小到大依次排列,构成数列an,则 a2 3 ,数列an的前 50 项和 S50 4590 【解答】解:数列4n3是首项为 1,公差为 4 的等差数列,数列3n1是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 可得 a11,a23, 由 3,27 不在 A 中,1,9,81

17、在 A 中,也在 B 中, 由 4n3243,可得 n50,则 243 不在数列an的前 50 项内 则数列an的前 50 项的和为(1+5+9+.+4483)+3+2748(1+4483)+304560+304590 故答案为:3,4590 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 75 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16 (13 分)已知函数 f(x)x3x23x+1 ()求函数 f(x)的单调区间; ()求函数 f(x)的极值 【解答】解: ()f(x)x3x23x+1,定义域是 R, f(x)x22x3(x3) (x+1

18、) , 令 f(x)0,解得:x3 或 x1, 令 f(x)0,解得:1x3, 故 f(x)在(,1)递增,在(1,3)递减,在(3,+)递增; ()由()f(x)在(,1)递增,在(1,3)递减,在(3,+)递增, 则 f(x)极大值f(1),f(x)极小值f(3)8 17 (13 分)已知数列an满足 a11,2,等差数列bn满足 b1a3,b2a1 ()求数列an,bn的通项公式; ()求数列an+bn的前 n 项和 【解答】解: ()由 a11,2, 可得 an2n1; 设等差数列bn的公差为 d, 由 b1a34,b2a11, 可得 db2b13, 则 bn43(n1)73n; ()

19、an+bn2n1+73n, 可得数列an+bn的前 n 项和为(1+2+4+.+2n1)+(4+1+.+73n) +n(4+73n)2n1+ 18 (12 分)已知an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a43 再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知,求: ()数列an的通项公式; ()Sn的最小值,并求 Sn取得最小值时 n 的值 条件:S424; 条件:a12a3 【解答】解:若选择条件: () 设等差数列an的公差为 d, 由 a43, 得 a1+3d3; 又 S424, 得 4a1+24,即 2a1+3d12 联立,解得 a19、d2,所以 an9+2(n1)2n11 ()由()可知

20、:Sn9n+2n210n,所以 S55210525,根据二次函数的性质可得当 n5 时 Sn有最小值且最小值为 S525 若选择条件: () 设等差数列an的公差为 d, 由 a43, 得 a1+3d3; 又 a12a3, 得 a12 (a1+2d) 即 a1+4d0 联立,解得 a112、d3,所以 an12+3(n1)3n15 ()由()可知:Sn12n+3n2n,由于 nN+,所以当 n4 或 n5 时 Sn有最小值且最小值为 S4S530 19 (12 分)已知数列an中,a11 且 an+1 ()求数列an的第 2,3,4 项; ()根据()的计算结果,猜想数列an的通项公式,并用数

21、学归纳法进行证明 【解答】解: ()a11 且 an+1, a2,a3,a4; ()根据()的计算结果,可猜想数 an, 证明如下:当 n1 时,等式成立, 假设当 nk 时等式成立,即 ak, 那么当 nk+1 时,ak+1, 所以当 nk+1 时,等式成立, 由,对于任何 nN*,an 20 (12 分)某公司销售某种产品的经验表明,该产品每日销售量 Q(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 Q+10(x6)2,其中 3x6该产品的成本为 3 元/千克 ()写出该产品每千克的利润(用含 x 的代数式表示) ; ()将公司每日销售该商品所获得的利润 y 表示为销售价格 x

22、的函数; ()试确定 x 的值,使每日销售该商品所获得的利润最大 【解答】解: ()由题意可知每千克的利润为 x3; ()由题意可知 y10(x3)360(x3)2+90(x3)+2, (3x6) , ()由(2)知 y30(x4) (x6) , 令 y0,解得 x4,或 x6; 函数在(3,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减, x4 时,函数取得最大值为 42, 即售价为 4 元时日利润最大为 42 元 21 (13 分)已知函数 f(x)lnx+ax(aR) ()当 a1 时,求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程; ()求函数 f(x)的单调区间; ()若存在 x0,使得 f(x0

23、)0,求 a 的取值范围 【解答】解: ()a1 时,f(x)lnx+x, 则 f(x)+1,f(1)1,f(1)2, 故切线方程为:y12(x1) ,即 2xy10 ()函数 f(x)lnx+ax(aR)的定义域为(0,+) ; f(x), 当 a0 时,f(x)0, 则函数 f(x)lnx+ax(aR)在(0,+)上单调递增; 当 a0 时,x(0,)时,f(x)0, 则函数 f(x)lnx+ax(aR)在(0,)上单调递增; x(,+)时,f(x)0, 则函数 f(x)lnx+ax(aR)在(,+)上单调递减 综上所述, 当 a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+) ; 当 a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,) ;单调递减区间为(,+) ()由()知:a0 时,f(x)在(0,+)单调递增,而 f(1)a0, 则存在 x0,使得 f(x0)0, a0 时,f(x)在(0,)递增,在(,+)递减, 故 f(x)maxf()ln(a)10, 即 ln(a)1,解得:a0, 综上:a 的取值范围是(,+)