1、2020-2021 学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 （5 分）8，2 的等差中项是（ ） A5 B4 C5 D4 2 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，且 Snn2+1，则 a5（ ） A26 B19 C11 D9 3 （5 分）下列结论正确的是（ ） A若 ysinx，则 ycosx B若 y，则 y C若 ycosx，则 ysinx D若 y
2、e，则 ye 4 （5 分）已知函数 f（x）（2x1）3，则 f（1）（ ） A8 B6 C3 D1 5 （5 分）若 1，a，b，c，4 成等比数列，则 abc（ ） A16 B8 C8 D8 6 （5 分）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约 10%的能量能够流到下一个营养级在 H1H2H3这个生物链中，若能使 H3获得 10kJ 的能量，则需 H1提供的能量为（ ） A102kJ B101kJ C102kJ D103kJ 7 （5 分）已知an为等比数列，下列结论中正确的是（ ） Aa3+a52a4 B若 a3a5，则 a1a2 C若 a3a5，则 a5a7 Da4
3、8 （5 分）若函数 f（x）x2mx+10 在（2，1）上是减函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，+） B4，+） C （，2 D （，4 9 （5 分）直线 y5x+b 是曲线 yx3+2x+1 的一条切线，则实数 b（ ） A1 或 1 B1 或 3 C1 D3 10 （5 分）已知函数 f（x）（x1）2ex，下列结论中错误的是（ ） A函数 f（x）有零点 B函数 f（x）有极大值，也有极小值 C函数 f（x）既无最大值，也无最小值 D函数 f（x）的图象与直线 y1 有 3 个交点 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 1
4、1（5 分） 设某质点的位移 xm 与时间 ts 的关系是 xt2+4t， 则质点在第 3s 时的瞬时速度等于 m/s 12 （5 分）函数 f（x）的定义域为0，4，函数 f（x）与 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的单调递增区间为 13 （5 分）写出一个公比 q的递增等比数列的通项公式 14 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x）的导函数 f（x）（xa） （x2） ，若函数 f（x）无极值，则 a ；若 x2 是 f（x）的极小值点，则 a 的取值范围是 15 （5 分）设集合 Ax|x4n3，nN*，Bx|x3n1，nN*，把集合 AB 中的元素按从小到大依次排
5、列，构成数列an，则 a2 ，数列an的前 50 项和 S50 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）已知函数 f（x）x3x23x+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）求函数 f（x）的极值 17 （13 分）已知数列an满足 a11，2，等差数列bn满足 b1a3，b2a1 （）求数列an，bn的通项公式； （）求数列an+bn的前 n 项和 18 （12 分）已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a43 再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （
6、）数列an的通项公式； （）Sn的最小值，并求 Sn取得最小值时 n 的值 条件：S424； 条件：a12a3 19 （12 分）已知数列an中，a11 且 an+1 （）求数列an的第 2，3，4 项； （）根据（）的计算结果，猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法进行证明 20 （12 分）某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量 Q（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/千克）满足关系式 Q+10（x6）2，其中 3x6该产品的成本为 3 元/千克 （）写出该产品每千克的利润（用含 x 的代数式表示） ； （）将公司每日销售该商品所获得的利润 y 表示为销售价格 x 的函数； （）
7、试确定 x 的值，使每日销售该商品所获得的利润最大 21 （13 分）已知函数 f（x）lnx+ax（aR） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）若存在 x0，使得 f（x0）0，求 a 的取值范围 2020-2021 学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 （5
8、 分）8，2 的等差中项是（ ） A5 B4 C5 D4 【解答】解：根据等差中项的性质，可得 8，2 的等差中项是5， 故选：C 2 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，且 Snn2+1，则 a5（ ） A26 B19 C11 D9 【解答】解：根据题意，数列an中 Snn2+1， 则 a5S5S4（25+1）（16+1）9， 故选：D 3 （5 分）下列结论正确的是（ ） A若 ysinx，则 ycosx B若 y，则 y C若 ycosx，则 ysinx D若 ye，则 ye 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，ysinx，ycosx，A 正确； 对于 B，y，则 y
9、，B 错误； 对于 C，ycosx，则 ysinx，C 错误； 对于 D，ye，则 y0，D 错误； 故选：A 4 （5 分）已知函数 f（x）（2x1）3，则 f（1）（ ） A8 B6 C3 D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（2x1）3，则 f（x）6（2x1）2， 则 f（1）6（21）26， 故选：B 5 （5 分）若 1，a，b，c，4 成等比数列，则 abc（ ） A16 B8 C8 D8 【解答】解：若 1，a，b，c，4 成等比数列，b2ac14， b2， （负不合题意，奇数项符号相同） ， 则 abc248， 故选：B 6 （5 分）生物学指出：生态系统中，在输入一
10、个营养级的能量中，大约 10%的能量能够流到下一个营养级在 H1H2H3这个生物链中，若能使 H3获得 10kJ 的能量，则需 H1提供的能量为（ ） A102kJ B101kJ C102kJ D103kJ 【解答】解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是 10%， 如果要使 H3获得 10kJ 能量， 则 H1（10%）2H3，解得 H1103KJ， 故选：D 7 （5 分）已知an为等比数列，下列结论中正确的是（ ） Aa3+a52a4 B若 a3a5，则 a1a2 C若 a3a5，则 a5a7 Da4 【解答】解：对于 A：若 a31，a42，a54，则 a3+a52a4不成
11、立，故 A 错误； 对于 B：若 a3a5，则 a1q2a1q4，解得 q1，此时 a1a2不一定成立，故 B 错误； 对于 C：若 a3a5，则 a3q2a5q2，此时 a5a7，故 C 正确； 对于 D：a4，故 D 错误； 故选：C 8 （5 分）若函数 f（x）x2mx+10 在（2，1）上是减函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，+） B4，+） C （，2 D （，4 【解答】解；因为 f（x）x2mx+10 在（2，1）上是减函数， 所以， 解得 m2 故选：A 9 （5 分）直线 y5x+b 是曲线 yx3+2x+1 的一条切线，则实数 b（ ） A1 或 1 B1 或
12、3 C1 D3 【解答】解：设切点 M（m，n） ，y3x2+2， 则 3m2+25，解得 m1 或1； 若 m1，则 n5+b13+21+14b1； 若 m1，则 n5+b（1）3+2（1）+12b3； 综上所述，b1 或 3， 故选：B 10 （5 分）已知函数 f（x）（x1）2ex，下列结论中错误的是（ ） A函数 f（x）有零点 B函数 f（x）有极大值，也有极小值 C函数 f（x）既无最大值，也无最小值 D函数 f（x）的图象与直线 y1 有 3 个交点 【解答】解：对于 Af（1）0，函数 f（x）有零点，因此 A 正确 对于 BC令 f（x）（x+1） （x1）ex0，解得 x
13、1 或 1 可得函数 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减， 在（1，+）上单调递增，因此 x1 是函数 f（x）的极大值点，x1 是函数 f（x）的极小值点， 因此函数 f（x）有极小值，也有极大值，因此 B 正确，C 不正确 对于 D由上面可知：x1 是函数 f（x）的极大值点， x1 是函数 f（x）的极小值点，可得极大值 f（1）1，极小值 f（1）0， 又 x时，f（x）0；x+时，f（x）+ 函数 f（x）的图象与直线 y1 有 3 个交点，因此 D 正确 故选：C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5
14、 分） 设某质点的位移 xm 与时间 ts 的关系是 xt2+4t， 则质点在第 3s 时的瞬时速度等于 10 m/s 【解答】解：xt2+4t， x2t+4， 则 t3 时，x23+410， 故答案为：10 12 （5 分）函数 f（x）的定义域为0，4，函数 f（x）与 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的单调递增区间为 （2，4 【解答】解：若 f（x）的图像为虚线，则 f（x）的图像为实线， 由 f（x）0，得：x3，故 f（x）在（3，4）递增，与 f（x）的实线不符， 故不成立； 若 f（x）的图像为实线，则 f（x）的图像为虚线， 由 f（x）0，得：x2，故 f（x）在（
15、2，4）递增，与 f（x）的图像为虚线相符， 故成立； 综上：f（x）在（2，4递增， 故答案为： （2，4 13 （5 分）写出一个公比 q的递增等比数列的通项公式 an（）n， （首项为负数即可） 【解答】解：若等比数列为递增的，由于公比 q，则首项为负数即可，则 an（）n， 故答案为：an（）n， （首项为负数即可） 14 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x）的导函数 f（x）（xa） （x2） ，若函数 f（x）无极值，则 a 2 ；若 x2 是 f（x）的极小值点，则 a 的取值范围是 （，2） 【解答】解：函数 f（x）的定义域为 R，f（x）的导函数 f（x）（
16、xa） （x2） ， 由函数 f（x）无极值，则 f（x）0 恒成立，可得 a2 令 f（x）（xa） （x2）0，解得 xa 或 2 若 x2 是 f（x）的极小值点，则 a2 则 a 的取值范围是（，2） 故答案为：2， （，2） 15 （5 分）设集合 Ax|x4n3，nN*，Bx|x3n1，nN*，把集合 AB 中的元素按从小到大依次排列，构成数列an，则 a2 3 ，数列an的前 50 项和 S50 4590 【解答】解：数列4n3是首项为 1，公差为 4 的等差数列，数列3n1是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 可得 a11，a23， 由 3，27 不在 A 中，1，9，81
17、在 A 中，也在 B 中， 由 4n3243，可得 n50，则 243 不在数列an的前 50 项内 则数列an的前 50 项的和为（1+5+9+.+4483）+3+2748（1+4483）+304560+304590 故答案为：3，4590 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）已知函数 f（x）x3x23x+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）求函数 f（x）的极值 【解答】解： （）f（x）x3x23x+1，定义域是 R， f（x）x22x3（x3） （x+1
18、） ， 令 f（x）0，解得：x3 或 x1， 令 f（x）0，解得：1x3， 故 f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增； （）由（）f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增， 则 f（x）极大值f（1），f（x）极小值f（3）8 17 （13 分）已知数列an满足 a11，2，等差数列bn满足 b1a3，b2a1 （）求数列an，bn的通项公式； （）求数列an+bn的前 n 项和 【解答】解： （）由 a11，2， 可得 an2n1； 设等差数列bn的公差为 d， 由 b1a34，b2a11， 可得 db2b13， 则 bn43（n1）73n； （）
19、an+bn2n1+73n， 可得数列an+bn的前 n 项和为（1+2+4+.+2n1）+（4+1+.+73n） +n（4+73n）2n1+ 18 （12 分）已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a43 再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）数列an的通项公式； （）Sn的最小值，并求 Sn取得最小值时 n 的值 条件：S424； 条件：a12a3 【解答】解：若选择条件： （） 设等差数列an的公差为 d， 由 a43， 得 a1+3d3； 又 S424， 得 4a1+24，即 2a1+3d12 联立，解得 a19、d2，所以 an9+2（n1）2n11 （）由（）可知
20、：Sn9n+2n210n，所以 S55210525，根据二次函数的性质可得当 n5 时 Sn有最小值且最小值为 S525 若选择条件： （） 设等差数列an的公差为 d， 由 a43， 得 a1+3d3； 又 a12a3， 得 a12 （a1+2d） 即 a1+4d0 联立，解得 a112、d3，所以 an12+3（n1）3n15 （）由（）可知：Sn12n+3n2n，由于 nN+，所以当 n4 或 n5 时 Sn有最小值且最小值为 S4S530 19 （12 分）已知数列an中，a11 且 an+1 （）求数列an的第 2，3，4 项； （）根据（）的计算结果，猜想数列an的通项公式，并用数
21、学归纳法进行证明 【解答】解： （）a11 且 an+1， a2，a3，a4； （）根据（）的计算结果，可猜想数 an， 证明如下：当 n1 时，等式成立， 假设当 nk 时等式成立，即 ak， 那么当 nk+1 时，ak+1， 所以当 nk+1 时，等式成立， 由，对于任何 nN*，an 20 （12 分）某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量 Q（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/千克）满足关系式 Q+10（x6）2，其中 3x6该产品的成本为 3 元/千克 （）写出该产品每千克的利润（用含 x 的代数式表示） ； （）将公司每日销售该商品所获得的利润 y 表示为销售价格 x
22、的函数； （）试确定 x 的值，使每日销售该商品所获得的利润最大 【解答】解： （）由题意可知每千克的利润为 x3； （）由题意可知 y10（x3）360（x3）2+90（x3）+2， （3x6） ， （）由（2）知 y30（x4） （x6） ， 令 y0，解得 x4，或 x6； 函数在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减， x4 时，函数取得最大值为 42， 即售价为 4 元时日利润最大为 42 元 21 （13 分）已知函数 f（x）lnx+ax（aR） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）若存在 x0，使得 f（x0
23、）0，求 a 的取值范围 【解答】解： （）a1 时，f（x）lnx+x， 则 f（x）+1，f（1）1，f（1）2， 故切线方程为：y12（x1） ，即 2xy10 （）函数 f（x）lnx+ax（aR）的定义域为（0，+） ； f（x）， 当 a0 时，f（x）0， 则函数 f（x）lnx+ax（aR）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，x（0，）时，f（x）0， 则函数 f（x）lnx+ax（aR）在（0，）上单调递增； x（，+）时，f（x）0， 则函数 f（x）lnx+ax（aR）在（，+）上单调递减 综上所述， 当 a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+） ； 当 a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，） ；单调递减区间为（，+） （）由（）知：a0 时，f（x）在（0，+）单调递增，而 f（1）a0， 则存在 x0，使得 f（x0）0， a0 时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减， 故 f（x）maxf（）ln（a）10， 即 ln（a）1，解得：a0， 综上：a 的取值范围是（，+）