1、 河南省示范性高中河南省示范性高中 2022 届高三下学期阶段性模拟联考二届高三下学期阶段性模拟联考二 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合,2Mx y xy，,2Nx y xy，则集合MN （ ） A0,2 B2,0 C0,2 D2,0 2若复数2i1 iz（i为虚数单位） ，则z （ ） A2 B1 C12 D22 3如图所示的阴影部分是由x轴及曲线sinyx围成，在矩形区域OABC内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ） A2 B12 C1 D3 4已知cos2cos2，则t
2、an4（ ） A4 B4 C13 D13 5 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示， 俯视图中间的实线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的侧面积为 （ ） A2 B44 2 C42 2 D4 6 2 6已知实数x，y满足221 0 xyxy，若zxmy的最大值为10，则m（ ） A1 B2 C3 D4 7已知 201720162018201721f xxxx，下列程序框图设计的是求0f x的值，在“”中应填的执行语句是（ ） A2018ni B2017ni BC2018ni D2017ni 8若函数 24xfxa存在两个零点，且一个为正数，另一个为负
3、数，则a的取值范围为（ ） A0,4 B0,+ C3,+ D3,4 9阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（0k 且1k ）的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为 2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值是（ ） A2 2 B2 C2 23 D23 10双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率2 33e ，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，AOF的面积为3 3，则双曲线C的方程为（ ） A2213612xy B221186xy C
4、22193xy D2213xy 11设锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c，2AC，则ABC周长的取值范围为（ ） A0,22 B0,33 C22,33 D22,33 12 若关于x的方程e0eexxxxmx有三个不相等的实数解1x，2x，3x， 且1230 xxx ， 其中mR，e2.71828为自然对数的底数，则3122312111eeexxxxxx 的值为（ ） A1 Be C1m D1 m 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知随机变量服从正态分布), 3(2N，)6(P0.84，则)0(P
5、_. 14.已知离心率为2的双曲线)0, 0( 1:22221babyaxC的右焦点F与抛物线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合,M是1C与2C的公共点，若5MF，则1C的标准方程为_. 15.已知cba,分别为ABC三个内角CBA,的对边，角CBA,成等差数列，且4b若ED,分别为边ABAC,的中点，且G为ABC的重心，则GDE面积的最大值为_. 16.已知三棱锥3, 8, 5,ACBDCDBCADABBCDA,则以点C为球心,22为半径的球面与侧面ABD的交线长为_. 三、解答题(共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题 12 分) 在ABC 中，角
6、A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 ccosA(a2b)cosC0。 (1)求C 的大小； (2)ABC 的面积等于 43，D 为 BC 边的中点，当中线 AD 长最短时，求 AB 边长。 18.(本小题满分 12 分) 在斜三棱柱 ABCABC中，ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱 AA23，顶点 A在面 ABC 的射影为 BC 边的中点 O。 (1)求证：面 BCCB面 AOA (2)求面 ABC 与面 ABC 所成锐二面角的余弦值。 19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C：22221(0)xyabab，过椭圆左焦点 F 的直线 x43y30 与椭圆 C 在第一象限交于
7、点 M，三角形 MFO 的面积为34。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 M 作直线 l 垂直于 x 轴， 直线 MA、 MB 交椭圆分别于 A、 B 两点， 且两直线关于直线 l 对称， 求证：直线 AB 的斜率为定值。 20.(本小题满分 12 分) 某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到 400 元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案： 方案：一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球，其中 3 个红球，9 个白球，搅拌均匀后， 顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 80 元的返金券，若抽到白球则获得 20 元的返
8、金券，且顾客有放回地抽取 3 次。 方案：一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球，其中 3 个红球，9 个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得 100 元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取 3 次。 (1)现有一位顾客消费了 420 元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得 180 元返金券的概率； (2)如果某顾客获得一次抽奖机会。那么他选择哪种方案更划算。 21.(本小题满分 12 分) 函数 f(x)ex2axa。 (1)讨论函数的极值； (2)当 a0 时，求函数 f(x)的零点个数。 选考题 请考生在第 22、23 两题中任选一
9、题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x22cosy12sin ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos(4)2。 (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，设点 P 的坐标为(0，2)，求|PM|2|PN|2的值。 23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|2xa|x1|。 (1)当 a2 时，求不
10、等式 f(x)0，不等式 f(x)20 恒成立，求实数 a 的取值范围。 理科理科数学答案数学答案 15 DCACB 610 BADAC 1112 CA 13. 0.16 14.1322yx 15. 33 16.5 17（本题满分 12 分） 解析： （1）cos(2 )cos0sincossin2sincos0cAabCCAABC由得 2 分 即sin2sincosA CBC, 3 分 从而1cos2C 4 分 而0 ,180C， 所以120C 6 分 （2）1sin1204 3,162Sabab 7 分 2222232cos1202242222222aaaabaabADbbbbab 9 分
11、 当且仅当12ba，即4 2,2 2ab时，等号成立。 10 分 此时213282 4 22 2562AB ，故2 14AB. 12 分 18.（本题满分 12 分） （1）证明：,ABACOBC且 为中点 AOBC 1 分 又A OABC面，所以AOBC 2 分 AOA OAA OO与在面内且相较于点，故BCAA O 面 4 分 而BCBCC B 面，从而即证BCC BAA O 面面 5 分 （2）以OA为x轴，OB为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为3,2 3AOAA,所以3AO 6 分 由条件可得0,0,3 ,3,1,3 ,0, 1,0ABC 从而3,1,0 ,0,1,
12、3ABCA 7 分 设面ABC 的法向量为1, ,nx y z 则3030 xyyz 从而可得13,3, 1n 9 分 因为A OABC 面，所以 面ABC的一个法向量20,0,1n 10 分 12113cos,1313n n ， 11 分 设面ABC与面ABC 所成锐二面角为，则12,n n 13cos13，故面ABC与面ABC 所成锐二面角的余弦值为1313。 12 分 19（本题满分 12 分） 解析：(1)直线4 330 xy过左焦点F，所以3,0F ，3c 1 分 又1313=242OMFMMSyy由可知 2 分 从而椭圆经过点132M， 3 分 由椭圆定义知112124,224aa
13、即 4 分 故椭圆的方程为22:14xCy. 5 分 （2）由条件知，直线MA MB、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，6 分 设直线132MAyk x：交椭圆于点11,A x y， 直线132MByk x ：交椭圆于点22,B x y， 由2213244yk xxy 得2222418 34124 330kxkk xkk 从而有，221122124 33124 333,413(41)kkkkxxkk即，2124 36123(41)kkyk 故2222124 334 361(,)23(41)3(41)kkkkAkk, 8 分 同理可得2222124 334 361(,)23(41)3(41)kk
14、kkBkk, 9 分 222222224 3614 361()()221233(41)3(41)2124 33124 338 33(41)3(41)kkkkkkkkkkkkkkk 11 分 即证直线AB的斜率为定值，且为32. 12 分 20（本题满分 12 分） 解析： （1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得 180 元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为31124P . 2 分 设“这位顾客获得 180 元返金券”为事件 A，则32134 419( )64P AC. 故这位顾客均获得 180 元返金券的概率964. 4 分 （2）若选择抽奖方案，则每一
15、次摸到红球的概率为14，每一次摸到白球的概率为34.设获得返金劵金额为 X 元，则 X可能的取值为 60，120，180，240. 则303327(60),464P XC12131327(120),4464P XC 223139(180),4464P XC 33311(240).464P XC 6 分 所以选择抽奖方案，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 271()6012018024010564642796464E X （元） 8 分 若选择抽奖方案，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为 Y，最终获得返金券的金额为 Z元，则13,4YB，故13( )344E Y . 选择方案，该顾客获得返金劵
16、金额的数学期望为3( )(100 )100754E ZEY（元） 11 分 从而有()( )E XE Z，所以应选择方案更划算。. 12 分 21.（本题满分 12 分） 解析： （1） 2xfxea 当0a时， 20 xfxea， f xR在 上为单调增函数；无极值。 1 分 当0a时， 由 20 xfxea，ln 2xa， ln(2 ),f xa 在上为单调增函数，2 分 由 20 xfxea，ln 2xa， ,ln(2 )f xa在上为单调减函数，3 分 =ln(2 )2 ln(2 )ffaaaa极小值，无极大值。 4 分 综上所述：当0a时， f x 无极值， 当0a时，=ln(2 )
17、2 ln(2 )ffaaaa极小值，无极大值。 5 分 （2）由（1）知当0a时， ln(2 ),f xa 在上为单调增函数， 在,ln(2 )a上为单调减函数，=ln(2 )2 ln(2 )ffaaaa极小值 而 (21)xf xeax，当x时， f x ； 当x 时， f x ； 7 分 当2 ln(2 )0aaa，即02ea时， f x 无零点； 8 分 当2 ln(2 )=0aaa，即=2ea时， f x 有1个零点； 9 分 当2 ln(2 )0aaa，即2ea 时， f x 有2个零点. 11 分 综上：当02ea时， f x 无零点； 当=2ea时， f x 有1个零点； 当2e
18、a 时， f x 有2个零点。 12 分 22.（本题满分 10 分） 解析： （1）曲线 C： 2 分 直线l ：02 yx 4 分 （2）设l：22(222xttyt 为参数） 5 分 将l的参数方程 代入22(2)(1)4xy得 4)223()222(22tt 09252tt 7 分 故 2521tt， 921tt 8 分 2222212121 2()250 1832PAPBttttt t 故 2232PAPB 10 分 23.（本题满分 10 分） （2）当2a时， 221f xxx ，即 3,11 3 , 113,1xxf xxxxx 4) 1()2(22yx 当1x时， 1f x 即3 1x ，从而有14x； 当11x 时， 1f x 即1 31x，从而有01x； 当1x时， 1f x 即31x，此时为； 综上所述：0,4x 5 分 （2）若0a， 1,21 3 , 121,1axaxaf xaxxax x 由函数性质可知 ,+22aaf x在为减函数，在，为增函数， 所以min122aaff 8 分 题意为min2f ，即122a ，从而得2a 又0a，故0,2a 10 分