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河南省示范性高中2022届高三下学期阶段性模拟联考理科数学试题(二)含答案

1、 河南省示范性高中河南省示范性高中 2022 届高三下学期阶段性模拟联考二届高三下学期阶段性模拟联考二 理科数学理科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1已知集合,2Mx y xy,,2Nx y xy,则集合MN ( ) A0,2 B2,0 C0,2 D2,0 2若复数2i1 iz(i为虚数单位) ,则z ( ) A2 B1 C12 D22 3如图所示的阴影部分是由x轴及曲线sinyx围成,在矩形区域OABC内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是( ) A2 B12 C1 D3 4已知cos2cos2,则t

2、an4( ) A4 B4 C13 D13 5 九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示, 俯视图中间的实线平分矩形的面积, 则该“堑堵”的侧面积为 ( ) A2 B44 2 C42 2 D4 6 2 6已知实数x,y满足221 0 xyxy,若zxmy的最大值为10,则m( ) A1 B2 C3 D4 7已知 201720162018201721f xxxx,下列程序框图设计的是求0f x的值,在“”中应填的执行语句是( ) A2018ni B2017ni BC2018ni D2017ni 8若函数 24xfxa存在两个零点,且一个为正数,另一个为负

3、数,则a的取值范围为( ) A0,4 B0,+ C3,+ D3,4 9阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(0k 且1k )的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A,B间的距离为 2,动点P与A,B距离之比为2,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是( ) A2 2 B2 C2 23 D23 10双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率2 33e ,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,AOFOAF,AOF的面积为3 3,则双曲线C的方程为( ) A2213612xy B221186xy C

4、22193xy D2213xy 11设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且1c,2AC,则ABC周长的取值范围为( ) A0,22 B0,33 C22,33 D22,33 12 若关于x的方程e0eexxxxmx有三个不相等的实数解1x,2x,3x, 且1230 xxx , 其中mR,e2.71828为自然对数的底数,则3122312111eeexxxxxx 的值为( ) A1 Be C1m D1 m 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13.已知随机变量服从正态分布), 3(2N,)6(P0.84,则)0(P

5、_. 14.已知离心率为2的双曲线)0, 0( 1:22221babyaxC的右焦点F与抛物线2C的焦点重合,1C的中心与2C的顶点重合,M是1C与2C的公共点,若5MF,则1C的标准方程为_. 15.已知cba,分别为ABC三个内角CBA,的对边,角CBA,成等差数列,且4b若ED,分别为边ABAC,的中点,且G为ABC的重心,则GDE面积的最大值为_. 16.已知三棱锥3, 8, 5,ACBDCDBCADABBCDA,则以点C为球心,22为半径的球面与侧面ABD的交线长为_. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题 12 分) 在ABC 中,角

6、A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 ccosA(a2b)cosC0。 (1)求C 的大小; (2)ABC 的面积等于 43,D 为 BC 边的中点,当中线 AD 长最短时,求 AB 边长。 18.(本小题满分 12 分) 在斜三棱柱 ABCABC中,ABC 是边长为 2 的正三角形,侧棱 AA23,顶点 A在面 ABC 的射影为 BC 边的中点 O。 (1)求证:面 BCCB面 AOA (2)求面 ABC 与面 ABC 所成锐二面角的余弦值。 19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:22221(0)xyabab,过椭圆左焦点 F 的直线 x43y30 与椭圆 C 在第一象限交于

7、点 M,三角形 MFO 的面积为34。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 M 作直线 l 垂直于 x 轴, 直线 MA、 MB 交椭圆分别于 A、 B 两点, 且两直线关于直线 l 对称, 求证:直线 AB 的斜率为定值。 20.(本小题满分 12 分) 某商超为庆祝店庆十周年,准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到 400 元,则可参加一次抽奖活动,主办方设计了两种抽奖方案: 方案:一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球,其中 3 个红球,9 个白球,搅拌均匀后, 顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 80 元的返金券,若抽到白球则获得 20 元的返

8、金券,且顾客有放回地抽取 3 次。 方案:一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球,其中 3 个红球,9 个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 100 元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取 3 次。 (1)现有一位顾客消费了 420 元,获得一次抽奖机会,试求这位顾客获得 180 元返金券的概率; (2)如果某顾客获得一次抽奖机会。那么他选择哪种方案更划算。 21.(本小题满分 12 分) 函数 f(x)ex2axa。 (1)讨论函数的极值; (2)当 a0 时,求函数 f(x)的零点个数。 选考题 请考生在第 22、23 两题中任选一

9、题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为x22cosy12sin ( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos(4)2。 (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程; (2)直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,设点 P 的坐标为(0,2),求|PM|2|PN|2的值。 23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)|2xa|x1|。 (1)当 a2 时,求不

10、等式 f(x)0,不等式 f(x)20 恒成立,求实数 a 的取值范围。 理科理科数学答案数学答案 15 DCACB 610 BADAC 1112 CA 13. 0.16 14.1322yx 15. 33 16.5 17(本题满分 12 分) 解析: (1)cos(2 )cos0sincossin2sincos0cAabCCAABC由得 2 分 即sin2sincosA CBC, 3 分 从而1cos2C 4 分 而0 ,180C, 所以120C 6 分 (2)1sin1204 3,162Sabab 7 分 2222232cos1202242222222aaaabaabADbbbbab 9 分

11、 当且仅当12ba,即4 2,2 2ab时,等号成立。 10 分 此时213282 4 22 2562AB ,故2 14AB. 12 分 18.(本题满分 12 分) (1)证明:,ABACOBC且 为中点 AOBC 1 分 又A OABC面,所以AOBC 2 分 AOA OAA OO与在面内且相较于点,故BCAA O 面 4 分 而BCBCC B 面,从而即证BCC BAA O 面面 5 分 (2)以OA为x轴,OB为y轴,OA为z轴建立空间直角坐标系,如图所示: 因为3,2 3AOAA,所以3AO 6 分 由条件可得0,0,3 ,3,1,3 ,0, 1,0ABC 从而3,1,0 ,0,1,

12、3ABCA 7 分 设面ABC 的法向量为1, ,nx y z 则3030 xyyz 从而可得13,3, 1n 9 分 因为A OABC 面,所以 面ABC的一个法向量20,0,1n 10 分 12113cos,1313n n , 11 分 设面ABC与面ABC 所成锐二面角为,则12,n n 13cos13,故面ABC与面ABC 所成锐二面角的余弦值为1313。 12 分 19(本题满分 12 分) 解析:(1)直线4 330 xy过左焦点F,所以3,0F ,3c 1 分 又1313=242OMFMMSyy由可知 2 分 从而椭圆经过点132M, 3 分 由椭圆定义知112124,224aa

13、即 4 分 故椭圆的方程为22:14xCy. 5 分 (2)由条件知,直线MA MB、斜率存在,且两直线斜率互为相反数,6 分 设直线132MAyk x:交椭圆于点11,A x y, 直线132MByk x :交椭圆于点22,B x y, 由2213244yk xxy 得2222418 34124 330kxkk xkk 从而有,221122124 33124 333,413(41)kkkkxxkk即,2124 36123(41)kkyk 故2222124 334 361(,)23(41)3(41)kkkkAkk, 8 分 同理可得2222124 334 361(,)23(41)3(41)kk

14、kkBkk, 9 分 222222224 3614 361()()221233(41)3(41)2124 33124 338 33(41)3(41)kkkkkkkkkkkkkkk 11 分 即证直线AB的斜率为定值,且为32. 12 分 20(本题满分 12 分) 解析: (1)在一次抽奖机会的情况下,要想获得 180 元返金券,只能选择方案一,且摸到两次红球,一次白球,而每一次摸到红球的概率为31124P . 2 分 设“这位顾客获得 180 元返金券”为事件 A,则32134 419( )64P AC. 故这位顾客均获得 180 元返金券的概率964. 4 分 (2)若选择抽奖方案,则每一

15、次摸到红球的概率为14,每一次摸到白球的概率为34.设获得返金劵金额为 X 元,则 X可能的取值为 60,120,180,240. 则303327(60),464P XC12131327(120),4464P XC 223139(180),4464P XC 33311(240).464P XC 6 分 所以选择抽奖方案,该顾客获得返金劵金额的数学期望为 271()6012018024010564642796464E X (元) 8 分 若选择抽奖方案,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为 Y,最终获得返金券的金额为 Z元,则13,4YB,故13( )344E Y . 选择方案,该顾客获得返金劵

16、金额的数学期望为3( )(100 )100754E ZEY(元) 11 分 从而有()( )E XE Z,所以应选择方案更划算。. 12 分 21.(本题满分 12 分) 解析: (1) 2xfxea 当0a时, 20 xfxea, f xR在 上为单调增函数;无极值。 1 分 当0a时, 由 20 xfxea,ln 2xa, ln(2 ),f xa 在上为单调增函数,2 分 由 20 xfxea,ln 2xa, ,ln(2 )f xa在上为单调减函数,3 分 =ln(2 )2 ln(2 )ffaaaa极小值,无极大值。 4 分 综上所述:当0a时, f x 无极值, 当0a时,=ln(2 )

17、2 ln(2 )ffaaaa极小值,无极大值。 5 分 (2)由(1)知当0a时, ln(2 ),f xa 在上为单调增函数, 在,ln(2 )a上为单调减函数,=ln(2 )2 ln(2 )ffaaaa极小值 而 (21)xf xeax,当x时, f x ; 当x 时, f x ; 7 分 当2 ln(2 )0aaa,即02ea时, f x 无零点; 8 分 当2 ln(2 )=0aaa,即=2ea时, f x 有1个零点; 9 分 当2 ln(2 )0aaa,即2ea 时, f x 有2个零点. 11 分 综上:当02ea时, f x 无零点; 当=2ea时, f x 有1个零点; 当2e

18、a 时, f x 有2个零点。 12 分 22.(本题满分 10 分) 解析: (1)曲线 C: 2 分 直线l :02 yx 4 分 (2)设l:22(222xttyt 为参数) 5 分 将l的参数方程 代入22(2)(1)4xy得 4)223()222(22tt 09252tt 7 分 故 2521tt, 921tt 8 分 2222212121 2()250 1832PAPBttttt t 故 2232PAPB 10 分 23.(本题满分 10 分) (2)当2a时, 221f xxx ,即 3,11 3 , 113,1xxf xxxxx 4) 1()2(22yx 当1x时, 1f x 即3 1x ,从而有14x; 当11x 时, 1f x 即1 31x,从而有01x; 当1x时, 1f x 即31x,此时为; 综上所述:0,4x 5 分 (2)若0a, 1,21 3 , 121,1axaxaf xaxxax x 由函数性质可知 ,+22aaf x在为减函数,在,为增函数, 所以min122aaff 8 分 题意为min2f ,即122a ,从而得2a 又0a,故0,2a 10 分