1、第12讲 相交线与平行线（一）模块一 相交线定 义示例剖析相交直线：如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线相交线的性质：两直线相交只有一个交点对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.对顶角的一个重要性质是：对顶角相等.如图中，和， 和，和，和互为邻补角.互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线
2、互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“于”性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最短点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角；如图所示，与，与，与，与都是同位角；与，与都是内错角；与，与都是同旁内角内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之
3、间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角注意：互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角夯实基础【例1】 如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是_，的对顶角是_.若，则_，_，_【解析】 和，【例2】 如图1，直线两两相交，求的度数 如图2，直线、交于点，且，求的度数 如图3，直线、交于点，求的对顶角和邻补角的度数 如图4，直线、交于，平分，求的度数【解析】 ，； 由对顶角相等可知，又，故从而由、互为邻补角可知，； 由对顶角相等可知，故由
4、、互为邻补角可知，由对顶角相等可知，的对顶角； 由、互为邻补角可知，又，故，由对顶角相等可知，又平分，故，又因为,所以,从而可知，能力提升【例3】 已知：如图所示，直线、交于点，求的度数【解析】 由对顶角相等可知，设，则，又，故，故【巩固】如图，、交于点，求的对顶角和邻补角的度数【解析】由对顶角相等可知，故由、互为邻补角可知，由对顶角相等可知，的对顶角【例4】 如图，已知及点，分别画出点到射线、的垂线段、 如图1，已知，垂足为，则点到直线的距离为线段 的长；线段的长为点 到直线 的距离 如图2，在直角三角形中，则 如图，在直角三有形中，于，比较线段、的大小【解析】 如下图： ，； ； 由可知，
5、故（垂线段最短）又，故（垂线段最短），故【备选】已知：、三点共线，为任意一条射线，平分，平分求证：【解析】 、三点共线平分,平分, =又夯实基础【例5】 如图1：与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角（清华附中统练） 如图，图中与1成同位角的个数是（ ）A2B3C4D5【解析】 与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错
6、角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角； B【例6】 用数码标出图中与是同位角的所有角【解析】的两条边所在的直线是，若把看成是第三条直线，则有：截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；若把看成第三条直线，则有：截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；截直线及得的同位角为能力提升【例7】 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同
7、旁内角？ 【解析】 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截成的内错角；与是直线、被直线所截成的同旁内角； 图中，与是直线、被直线所截形成的内错角； 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角.【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“、”型“”型是找同位角的方法，即：如图，和就是一对同位角，现改变“”的方向，如图 等，各个图中与依然是同位角“”型是找内错角的方法，如图， 和就是一对内错角，改变“”的方向后，各个图中和还是内错角，如等“”型是找同旁内角的方法，如图，和就是一对同旁内角，改变“”的方向后，如 等，各个图中，
8、和还是同旁内角“”型中的同位角.如图. “”字型中的内错角，如图. “U”字型中的同旁内角.如图. 探索创新【例8】 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角？ 三条平行直线呢? 四条、五条呢？ 你发现了什么规律？【解析】 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此平行时，被直线所截，即，则共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、;共对平行线，每对平行线被所截，产
9、生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角模块二 平行线定 义示例剖析平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线. 用“”表示平行线之间的距离处处相等.如，等平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.过直线外一点做，则与重合平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行.若，则平行线的性质： 平行线不相交(根据定义) 两条直线平行，同位角相等 两条直线平行，内错角相等 两条直线平行，同旁内角互补若，则；若，则；若，则平行线的判定方法： 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直
10、线叫做平行线)； 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两条直线平行； 同位角相等，两条直线平行； 内错角相等，两条直线平行； 同旁内角互补，两直线平行.若，则；若，则；若，则【例9】 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A同位角相等 B内错角相等 C同旁内角互补 D以上都不对 和是同旁内角，若，则的度数是（ ）A B C或 D. 不能确定 如图，下面推理中，正确的是（ ）A，B，C，D，(北京三帆中学期中) 如图，直线，若，则（ ）A50B40C150D130(北京101中期中) 如图，直线，为垂足，如果，则的度数是（ ）ABCD (北京八中期中) 如图，直线，点在
11、直线上，且，则的度数为_ (北京八十中期中) 如图，和互补，那么图中平行的直线有（ ）ABCD(北京十三分期中) 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：；，其中正确的个数（ ）A1B2C3D4 如图，直线，那么的度数是 (北京一六一中期中) 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于 (北京一六一中期中)【解析】 D； D ；C ；D ；C ；35； D ；D ；56； 52.【例10】 下列说法中，不正确的是（ ） A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B、过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交 C、同一平面内的两条不相交直线平行 D、过直线
12、外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 如图，于，于，平分请找出与相等的角 如图，且，那么图中与相等的角（不包括）的个数是（ ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 在同一平面内有，共97条直线，如果，那么与的位置关系是 .【解析】 本题主要考察两直线平行的识别.根据平行公理及其推论可知A、D正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C正确；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B不正确. 平分（已知），（角平分线的定义），（已知），（垂直于同一直线的两直线平行）（两直线平行，同位角相等），（等量代换）与相等的角有和 本题考查平行线的性质，
13、由图形找到与相等的角有， 寻找规律， ，；，4个一循环，所以【例11】 如图，,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整解：，（ ）， （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行）（ ）（北京市海淀区期末） 填空，完成下列说理过程.如图，平分交于点，如果，那么和相等吗？说明理由. 解：平分， （ ） ，且，.又，. （ ）. （北京市朝阳区期末） 如图,已知，求度数解：（ ）， （ ）， （ ）又（ ） （ ） （ ）（ ） （ ）【解析】 依次填：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等； 4，角平分线定义，180，同角的余角相等 已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相
14、等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；180；平角定义.【点评】第题即证明了三角形内角和等于180探索创新【例12】 如图所示，已知，在上，且满足，平分 求的度数； 若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由【解析】 ； ； 存在，实战演练知识模块一 相交线 课后演练【演练1】 已知：如图，、交于点，平分， 写出图中所有的对顶角、邻补角； 求【解析】 对顶角：与、与邻补角：与、与、与、与、与、与 平分（已知），（角平分线的定义）（已知），（
15、对顶角相等），【演练2】 找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的【解析】 与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截形成的内错角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角【演练3】 如图，直线、相交于点，是的平分线，若，判断把所分成的两个角的大小关系并证明你的结论（西城区期末）【解析】证明：是直线上一点，平分 ，知识模块二 平行线 课后演练【演练4】 如图1，则的度数是 如图2，直线与直线，相交若，则的度数是 如图3，直线，则的度数为（ ）ABCD
16、图2 【解析】 ； ； CABCDE【演练5】 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件： . 如图，点在的延长线上，给出下列条件： ； ； ； ； ； ； .能说明的条件有 .AEBGCDMHF123 如图，直线分别与直线、相交于点、，已知，平分交直线于点则（ ）ABCD【解析】 ()等(答案不唯一) ； A【演练6】 根据右图在（ ）内填注理由：（已知）（ ）（已知）（ ）（已知）（ ）（北京市东城区期末） 如图：已知，求证： 证明：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）又（ ） （ ）（ ）（ ）（ ） 如图，（已知），（已知）又 （ ） （ ）（ ）【解析】 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行 已知，；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；，；同位角相等，两直线平行 2；3；对顶角相等；1；等量代换；内错角相等，两直线平行