1、第1讲 有理数与数轴模块一 有理数基本概念定义示例剖析正数：像、等的数，叫做正数在小学学过的数，除外都是正数正数都大于负数：像、等在正数前加上“”（读作负）号的数，叫做负数负数都小于既不是正数，也不是负数正数：1，2.5，负数：，一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号正数前面的“”可以省略，注意与表示是同一个正数用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为有理数：整数与分数统称有理数 正整数：1，2，10，负整数：，正分数：，1.5
2、，负分数：，注： 正数和零统称为非负数； 负数和零统称为非正数； 正整数和零统称为非负整数； 负整数和零统称为非正整数夯实基础【例1】 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）A节约汽油10升和浪费粮食B向东走8公里和向北走8公里C收入300元和支出100元D身高和身高 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ） A前进米的意义是后退米 B万元的意义是亏损万元 C收入的相反意义是支出 D后退米的意义是前进米 如果零上记作，那么零下记作（ ） A B C D 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降记作_，水位不升不降时水位变化记作_. 甲，乙两地的海拔高度分别为200米
3、，米，那么甲地比乙地高出（ ）A200米 B50米 C300米 D350米 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“（）”字样，请问“”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为， ，问抽查产品的容量是否合格？ 在下表适当的空格里打上“”号整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数【解析】 C； B； C； ，0； D； “”表示每瓶饮料容量最小可以是，最大可以是，抽出的5瓶容量均在与之间，因此合格 整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数能力提升【例2】 一种零件的长度在图纸上是米，表示这种零件加工要求最大不超过 米，最小不小于 米 （北京师范大学附属实验中学） 1是（）A最
4、小的整数B最小的正整数C最小的自然数D最小的有理数 ，以上各数中 属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数. 在15，0.15，中，负分数的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 （人大附中期中） 【解析】 20.05 19.95 B 属于负数的有：，；属于非正数的有：，；属于非负有理数：6，0， B.模块二 数轴定 义示例剖析数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴
5、上的单位长度一旦确定，则不能再改变 数轴的画法画一条水平的直线；在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：确定向右的方向为正方向，用箭头表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致画数轴的常见错误：没有原点 没有正方向没有原点单位长度不统一没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来注意：数轴上的点不都代表有理数，如利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数夯实基础【例3】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“”连接（北京101中学期中）
6、 和的大小关系是：_ 数轴上与原点的距离是3个单位长度的点所表示的数是_（北京四中期中） 数轴上点对应的数为，那么与相距个单位长度的点所对应的数是_ 数轴上的点、分别表示数和，点是的中点，则点所表示的数是_（人大附中单元测试） 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为 在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .【解析】 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的数大，故. ； 或; ; ，1，2; 2000能力提升【例4】 在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长度后
7、到达终点，此时这个点表示的数是（ ）A5B1CD 一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则终点表示的数是_ 数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至点后，用秒的时间吃光了点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？点与点的距离是多少个单位长度？点对应的数是多少？【解析】 C； 蚂蚁共爬行12个单位长度；点到点的距离为6个单位长度；点对应的数是5【例5】 已知数轴上有A、B两点，它们之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B所对应的数为 . 在数轴上，点和点的距离是点与30所对应点之
8、间的距离的4倍，那么点表示的数是_. 已知下图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数是整数，点M对应的数，那么m可以取的不同值有 个，m的最小值为 .【解析】 4或2或或. N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍. 若N点在数0和30之间，设N点到O点的距离为x，则5x=30，x=6.所以N=24. 若N点在30右边，设N点到O点的距离为x，那么N点到30所对应的点的距离即为x，O点到30所对应的点的距离为3x，则3x=30，x=10.所以4x=40.N=40.N点表示的数是24或40. 七等分点A、B、C、D、E、F中，只有两点对应的数
9、是整数，故可分以下几种情况讨论：若点F为整数，则有点A、B、C、D、E均为整数，不符合题意；若点E为整数，则有点A和点C都为整数，也不符合题意；若点D为整数，则点A为整数，符合题意；若点A或点B或点C为整数，则都只有一点为整数，不符合题意.通过以上的分析，可以发现只有点A和点D对应的数为整数.由题意得：对应的数为整数的两点为点A和点D，为整数，且和都不为整数，又m，解得：或或.【拓展】如图，已知数轴上、四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距1个单位，如果对应的实数为，对应的实数为，且，那么数轴上的原点应该是、中的哪一点？【解析】 从数轴上可以看出：，且，由于，所以，所以比大5的是原点。模块三
10、 相反数、倒数定 义示例剖析相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数特别地，0的相反数是0相反数必须成对出现，不能单独存在例如：和互为相反数，或者说是的相反数，是的相反数；例如：与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式注意不一定是负数当时，；当时，；当时，例如：3的相反数为的相反数为0的相反数为0互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则；反之，若，则与互为相反数一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等例如：3与互为相反数
11、，则3+=0多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）例如：倒数：乘积为1的两个数互为倒数，互为倒数，则；反之亦然负倒数：乘积为的两个数互为负倒数若，互为负倒数，则反之亦然例如：，3与互为倒数. 若,则与互为负倒数.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.夯实基础【例6】 7
12、的相反数（ ）A B7 C D（北京市中考题） 下列正确的是（ ）A一个数的相反数一定是负数 B和互为相反数C所有的有理数都有相反数 D和互为相反数 如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ； ； ； ； 的倒数是（ ）A B C D3（北京市中考题）【解析】 D C ，正数；，负数； ，负数； ，正数； ，正数 选A 能力提升【例7】 与 互为相反数；是 的相反数 的相反数是 ；是 的相反数 与 互为相反数，与 互为相反数，与 互为相反数【解析】 ，； ，； ； 5，【例8】 若与互为相反数，则 若、都是有理数，且使得四个两两不相等的数、能分成两组，每组的两个数是互为相反数，则的值等
13、于 【解析】 ；有两对相反数，初看没法确定4个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为0，所以这4个数的和仍为0，即，得到【例9】 已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较a、b、的大小，正确的是（ ）ABCD已知为有理数，且，将四个数按由小到大的顺序排列是 【解析】 C借助数轴标出的大概位置，知探索创新【例10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌比如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每
14、个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数，我们称它为数字“黑洞”，为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘请问，数字“黑洞” 【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；例如选择数字3，进行一次运算后的结果是；进行第二次运算后的结果是；进行第三次运算后的结果是；进行第四次运算后的结果是；所以结果153【例11】 电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示
15、的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数.【解析】.设点表示的有理数为x，则，点所表示的有理数分别为，由题意得：，解得.【例12】 动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度已知动点，的速度比是，（速度单位：单位长度/秒） 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出，两点从原点出发运动3秒时的位置 若，两点从中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 若，两点从中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点也同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向点运动，如此往返，直到
16、追上时，点立即停止运动若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？（北京东城区期末）【解析】 设的速度为单位长度/秒，的速度为单位长度/秒依题意， 即：的速度为1单位长度/秒，的速度为4单位长度/秒3秒时，的位置在，的位置在12 设秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 设秒后追上，依题意，点从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度 实战演练知识模块一 有理数基本概念 课后演练【演练1】 一天早上的气温是，中午上升了，半夜又下降了，那么半夜的气温是（ ）ABCD（八中期中） 如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作 下列说法正
17、确的是（ ）A有最小的负整数，没有最小的正整数B有最小的负数，没有最大的正数C有最大的负数，没有最小的正数D有最大的负整数，没有最大的正整数（十一学校期中） 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：，3，2.008，0，3.14正有理数数集合：非负整数集合：负分数集合：【解析】 A； 吨； D； 正有理数：3，2.008，3.14非负整数：3，0，；负分数：，【演练2】 检验5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数这5个排球的记数分别为：1号球，+5；2号球，+0.7；3号球，；4号球，；5号球，+2.5从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球 （八中期中）【解析】 4；3.知识模块二 数轴 课后演练【演练3】 数轴上，点分别表示和5，则线段的中点所表示的数是 【解析】 1【演练4】 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示：则（ ）ABCD 【解析】 A知识模块三 相反数，倒数 课后演练【演练5】 的相反数是 ，的倒数是 ，的倒数的相反数是 ；（北京师范大学附属实验中学） 的相反数为2，则 ；的相反数 【解析】 6，；2； 【演练6】 如图所示，若点是有理数在数轴上对应的点，则、1的大小关系是 【解析】